Расчет надежности функционирования отраслевых информационных сетей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.87

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ОТРАСЛЕВЫХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СЕТЕЙ

© 2009 г. М.А. Бутакова, М.Д. Линденбаум, Н.А. Москат

Ростовский государственный университет Rostov State Transport

путей сообщения University

На основе анализа литературы выполнен обзор методов расчета надежности информационных систем. Приведены наиболее адекватные методики для расчета надежности сети передачи данных. Предложено использование математического ожидания потерь от отказов в качестве показателя надежности (при возможности оценить потери из-за отсутствия связи между абонентами при отказе одного из сечений). Проведен расчет надежностной структуры, имеющей кольцевую топологию.

Ключевые слова: надежность; информационная система; метод минимальных путей и сечений.

On the basis of the literature analysis the review of methods of calculation of reliability of information systems is executed. The most adequate techniques for calculation of reliability of a network of data transmission are resulted. Use of a population mean of losses from refusals as reliability indicator (is offered at possibility to estimate loss in the absence of communication between subscribers at refusal of one of sections). Calculation of reliability of the structure having ring topology is carried out.

Keywords: reliability; information system; a method of the minimum ways and sections.

Автоматизированная система оперативного управления перевозками (АСОУП) является неотъемлемой частью информационной среды железной дороги, функционирующей в сети передачи данных. По понятным причинам данная сеть является сложным программно-аппаратным объектом с разветвленной инфраструктурой и большим числом узлов и абонентов. В настоящее время сеть передачи данных дороги постоянно модернизируется и расширяется. Естественно, что от того, насколько надежна данная система, зависит не только работа АСОУП, но и всей отрасли в целом. Поэтому одним из ключевых вопросов являются методы, применяемые при расчете надежности. Таким образом, существует необходимость в разработке адекватных методик расчета надежности сети передачи данных.

Система передачи данных является многофункциональной, так как осуществляет обмен информацией между многими территориально разобщенными абонентами. Они обычно имеют сложную сетевую структуру. Связь между отдельными абонентами может осуществляться по многим возможным путям, включая транзит по целому ряду узлов сети. Сеть может иметь ряд особенностей и характеристик, которые необходимо учитывать при расчёте надёжности, например наличие симплексной или дуплексной связи, пропускная способность каналов и каналообра-зующей аппаратуры и т. д. В связи с этим наиболее адекватной моделью надёжности сети связи является сеть массового обслуживания с перебоями в работе. Такая модель столь сложна, что оценку надёжности можно находить только методом Монте-Карло, причём универсального алгоритма моделирования не существует.

Если в сети имеется достаточная временная избыточность и задержки в передаче информации не существенны, то задача исследования надежности информационной сети по существу сводится к оценке её структурной избыточности. При дуплексной системе связи и неограниченном транзите, когда возможны любые, не содержащие циклов, пути передачи данных, информационную сеть можно представить в виде неориентированного графа: каналы связи - рёбра, узлы связи - вершины графа. Считают, что абоненты находятся непосредственно в узлах графа, причём узлы абсолютно надёжны, это не снижает общности модели.

Точный расчет надежности сети с произвольной структурой по существу сводится к полному перебору возможных состояний каналов связи, т. е. даже для сравнительно небольших сетей становится громоздким. Поэтому для расчета надежности сетей обычно используют приближенные методы, в частности метод минимальных путей и минимальных сечений, который позволяет рассчитывать двусторонние оценки показателей надёжности. Обычно если расчет производится на ранних стадиях проектирования, исходные данные бывают ориентировочными, законы распределения обычно неизвестны, имеются лишь грубо приближённые оценки числовых характеристик. Поэтому нет смысла строить сложные математические модели и производить расчеты с большой точностью. Погрешность в полтора-два раза по вероятности отказа обычно считается вполне приемлемой, нужно только не ошибиться на порядки. Поэтому желательно оценивать погрешности от упрощения математической модели и от неточности исходных данных. Расчеты принято строить таким образом, чтобы погрешность все-

гда шла «в запас», т. е. оценки показателей надежности были бы снизу, а оценки ненадежности - сверху. Еще лучше, когда удается получить двусторонние оценки надёжности (сверху и снизу), что позволяет определить погрешность результата.

В тех случаях, когда расчет надежности производится для нескольких проектных решений с целью выбора лучшего варианта, причем во всех вариантах используется одна и та же элементная база, одни и те же исходные данные и одинаковая методика расчета, сравнительная точность оценок показателей надежности получится, как правило, существенно выше абсолютной точности результатов расчёта.

Существует множество подходов и методов получения приближенных оценок показателей надежности. В каждом конкретном случае выбор методов определяется структурой системы, характером процесса отказов-восстановлений, дисциплиной обслуживания, точностью исходных данных и теми мероприятиями, которые предлагается предпринять для обеспечения требуемой надёжности. На первом этапе расчета упрощают математическую модель системы. Примером такого упрощения является замена облегченного резерва нагруженным и ненагруженным. В первом случае получается оценка надежности снизу, во втором -сверху. Часто в расчетах надежности резервированных систем не учитывают надежность переключающих устройств. В этом случае получаются оценки надежности сверху, что нежелательно, однако при сравнительных расчётах такой прием может быть вполне допустимым.

Для описания процесса отказов-восстановлений используют марковскую модель. Если при этом у элементов имеют место процессы износа и старения, и время работы не превосходит наработку на отказ, то оценки показателей надежности получаются снизу.

Если показатели надёжности элементов определяются на основе статистических данных ограниченного объёма, то расчёт надёжности системы можно производить по нижней и верхней границам доверительного интервала. В этом случае возможны недопустимо большие погрешности. Существуют методы их уменьшения [1 - 3].

При оценке надежности высоконадежных систем применимы различные методы упрощения, в частности метод разложения функции надёжности в ряд и использование первых членов ряда, а также другие асимптотические методы [4]. Например, для схемы, представляющей собой последовательное соединение п элементов при Qc<< 1,

Qc =1 -п (! - %) %

i=1 i =1

(1)

е n -1 8 = -^

При исследовании надежности систем со сложной структурой резервирования используются различные методы упрощения фазового пространства состояний, наиболее простым и распространенным из которых является метод минимальных путей и минимальных сечений (метод Эзари - Прошана) [5].

Идея метода состоит в том, что система с произвольной структурой приводится к последовательно-параллельной схеме минимальных путей или к параллельно-последовательной схеме минимальных сечений, для расчёта по которым существуют очень простые формулы.

Минимальный путь - это множество элементов, работоспособное состояние которых обеспечивает работу системы, причем никакое подмножество этого множества таким свойством не обладает. Минимальное сечение - это множество элементов, отказ которых приводит к отказу системы, и никакое подмножество этого множества таким свойством не обладает. На рис. 1 приведен пример преобразования системы передачи данных по линиям связи, соединённым в мостиковую схему (рис. 1 а), абоненты находятся в узлах А и В. Последовательно-параллельная схема, построенная методом минимальных путей, и параллельно-последовательная, построенная методом минимальных сечений приведены на рис. 1 б, в.

B

причем оценка ненадежности системы получается сверху, и ее относительная погрешность 8 не превышает величину

%max = max(%).

Рис. 1. Преобразование надёжностной структуры методом минимальных путей и минимальных сечений: а - исходная схема; б - минимальные пути; в - минимальные сечения

А

а

1

2

б

1

2

1

2

3

3

4

4

5

5

в

В преобразованных схемах одноименные элементы считаются независимыми, хотя фактически это одни и те же элементы. Оценка показателя надежности, полученная методом минимальных путей, является оценкой сверху, а полученная методом минимальных сечений - снизу. Для высоконадежных информационных систем оценка по минимальным сечениям идёт «в запас» и имеет достаточно высокую точность. Оценка же по минимальным путям может давать сильно завышенные значения вероятности безотказной работы.

Метод минимальных путей и минимальных сечений был предложен только для упрощения структуры фазового пространства состояний системы. При этом предполагалось, что элементы минимальных путей и минимальных сечений могут находиться в одном из двух состояний - работоспособности или отказа с известными вероятностями. Объединение идей методов минимальных сечений и разложения зависимостей в ряд даёт возможность получить очень эффективный метод декомпозиции по минимальным сечениям, позволяющий оценивать надёжность высоконадёжных отказоустойчивых систем с достаточно сложной структурой при широких предпосылках о процессах отказов-восстановлений [6].

Состояние системы в момент t задаётся вектором X(t) состояний всех её элементов:

X(t) = (Х!(0, Х^,..., X,{/),..., Х„(0),

где х() - состояние 1-го элемента, заданное на множестве е,={0,1, ..., т,} возможных состояний, существенных с точки зрения их влияния на состояния других элементов и системы в целом.

Например: 0 - состояние работоспособности, 1 -состояние явного отказа, идёт восстановление, 2 -отказ явный, ожидание прибытия ремонтной бригады, 3 - отказ скрытый и т. д.

Случайные интервалы времени безотказной работы считаем независимыми, а интервалы неработоспособного состояния элементов могут быть зависимыми, в частности, из-за ограниченного числа ремонтных бригад. Результатом расчёта является случайный процесс изменений состояний системы X(t), заданный на множестве Е, его переходы между подмножествами Е0 и Е1, по которым можно определить все интересующие нас показатели надёжности.

Метод минимальных сечений предполагает вычисление вероятности отказа системы Qс по вероятностям отказов минимальных сечений. При этом система со сложной структурой представляется в виде последовательного соединения минимальных сечений, и оценка для вероятности отказа всегда получается сверху. Разложение зависимости 60 в ряд ещё несколько завышает оценку, однако, учитывая достоинства метода декомпозиции, для высоконадёжных систем это завышение незначительно.

Для систем однократного и многократного использования Qс - это вероятность отказа за время штатной работы, для систем длительного использования - это нестационарный или стационарный коэффициент простоя (кп^) или кп).

Алгоритм решения состоит в следующем. Формируется множество всех минимальных сечений sk так, что при отказах всех элементов минимального сечения происходит событие отказа данного сечения е(Бк). Отказ хотя бы одного минимального сечения приводит к событию Z - отказа всей системы. События е(Бк), skeS совместны и зависимы, так как один и тот же элемент может принадлежать разным сечениям, а разные элементы разных сечений могут обслуживаться одной ремонтной бригадой. Для расчета вероятности события Z используется формула вероятности объединения совместных событий, т. е. вероятность Q представляется в виде знакочередующегося ряда до слагаемых второго порядка

6 = Р(2) = Р( и е(*к)) = I Р(е(*'к)) -

- I Р( е(*к )П е(хг)) +... =

Бк

= 1 6(Бк ) - I 0(°кг ) + ... = 6(1) - 6(2) + ...,(2)

где 6(Бк) - вероятность отказа сечения Бк, определяемая с учётом зависимости от поведения остальных элементов системы; 6(Бкг) - вероятность отказа пары минимальных сечений Бк, Бг, определяемая с учётом зависимости от поведения остальных элементов системы; Бкг - подмножество - объединение подмножеств Бк и (Бкг=Бк^Бг; Бк,Бге5; - множество всех

пар минимальных сечений к # г).

Отсутствие в формуле (2) слагаемых более высокого порядка обусловлено тем, что для высоконадёжных отказоустойчивых систем вероятность одновременного отказа трех или более сечений пренебрежимо мала. Формула (2), «оборванная» на знаке минус, содержит сумму 6(1) слагаемых только первого порядка и даёт верхнюю оценку показателя 6, а «оборванная» на знаке плюс содержит алгебраическую сумму 6(1) -6(2) и даёт нижнюю оценку показателя 6. Вероятности одновременного отказа нескольких сечений быстро уменьшаются. Это позволяет получить несравнимо более точную, чем в методе минимальных путей и минимальных сечений, оценку погрешности результата и при необходимости рассчитать более точную гарантированно верхнюю границу для вероятности отказа системы 6= 6(1) - 6(2)/2, имеющую абсолютную погрешность не

более 6(2)/2.

Для вычисления входящих в выражение (1) слагаемых первого порядка 6(Бк) рассматривается в каждом сечении случайный процесс отказов-восстановлений элементов сечения

х(Бк, 0 = (х^), Х2(0,..., х(),..., хи(0), где х() - состояние 1-го элемента к-го минимального сечения в момент t, заданное на множестве ек={0,1,..., тк} возможных состояний, мощность |ек|= тк+1.

Случайный процесс Х(Бк,() отказов-восстановлений к-го минимального сечения задан на множестве Ек, которое разбивается на два подмножества Ек0 и Ек1 -работоспособных и неработоспособных состояний; мощность | Ек |= П (тк +1).

Задача определения вероятности отказа минимального сечения решается обычными методами. При формировании множеств состояний элементов рассматриваемого минимального сечения необходимо учитывать возможные зависимости времени восстановления от состояния элементов других минимальных сечений, если они обслуживаются общими ремонтными бригадами. Для этого следует вводить состояния ожидания прибытия ремонтных бригад. Вероятности отсутствия свободной ремонтной бригады в момент отказа и время ожидания прибытия бригады легко рассчитываются методами теории массового обслуживания.

При вычислении слагаемых второго порядка Q(skr) рассматриваются случайные процессы отказов-восстановлений элементов парных объединений минимальных сечений

x(skr,f) = (xi(t), X2(t),..., x(t),..., X„(t)),

где x(t) - состояние i-го элемента объединения kr-х минимальных сечений в момент t, заданное на множестве eikr={0,1, ..., mikr} возможных состояний, мощность |ekr|= mikr+l.

Случайный процесс X(skr, t) отказов-восстановлений объединения kr-х минимальных сечений задан на множестве Ekr, которое разбивается на два подмножества Ekr0 и Ekri - работоспособных и неработоспособных состояний; мощность I Ekr |= П (mikr +1). Определение вероятности skr eS(2)

отказа для объединения минимальных сечений также решается обычными методами. Учет зависимости времени восстановления от состояния элементов других минимальных сечений, если они обслуживаются общими ремонтными бригадами, тоже осуществляется аналогично.

Минимальные сечения и их парные объединения обычно содержат небольшое число элементов (в пределах двух-пяти), что позволяет использовать наиболее разработанный аппарат исследования надёжности простых систем. Вместе с тем, расчёт надёжности парных объединений несравненно сложнее расчёта просто для сумм вероятностей отказов минимальных сечений, так как числа элементов в объединениях сечений в среднем почти вдвое больше, и мощность множества возрастает примерно по квадратичной зависимости. Поэтому расчёт надёжности парных объединений следует производить только в тех случаях, когда требуется оценка погрешности или необходим более точный результат расчёта.

Отказы минимальных сечений сложных систем обычно имеют ясный физический смысл, поэтому представление вероятности отказов системы в виде суммы вероятностей отказов отдельных минимальных сечений открывает широкие возможности для углубленного анализа и оптимального надёжностного синтеза. Легко находить слабые с точки зрения надёжности звенья систем, исследовать влияние различных факторов и предполагаемых мероприятий, строить

оптимальные структуры с учётом последствии отказов различных устройств и затрат на обеспечение их надёжности.

Применение метода минимальных путей и минимальных сечений определяется выбранным критерием отказа сети. Простейшим критерием отказа является потеря связи между двумя фиксированными абонентами, т. е. сеть рассматривается как однофункцио-нальная система. Могут использоваться любые стационарные и нестационарные показатели надёжности. Сеть рассматривается как случайный двухполюсный граф, каждое ребро которого может присутствовать (состояние канала е0), либо отсутствовать (состояние канала ех).

Для двухполюсного произвольного графа метод минимальных путей и минимальных сечений дает следующие верхнюю и нижнюю оценки связности:

П

j=1

1 "П(1 - Чг )

ieI j

(

<Qc < 1 -П

k=1

Л

1 -П q

. ieIk

(3)

где Qc - вероятность отсутствия связи между полюсами; г - количество минимальных путей; Д - множество индексов элементов, входящих в ^й минимальный путь; 5 - количество минимальных сечений; I - множество индексов элементов, входящих в ]-е минимальное сечение.

На рис. 1 приведены последовательно-параллельная схема, построенная методом минимальных путей, и параллельно-последовательная, построенная методом минимальных сечений.

(1-Р1Р2Х1-Р4Р5Х1-Р1РзР5Х1-Р2РзР4)^с<1 - (1~Ч1Ч4)У-

X (1-Ч2%5)(1-Ч1 ЧзЧ5)( 1 -Ч2ЧзЧл),

(4)

где pi - вероятность безотказной работы /'-го ребра; Ъ=1-р/ - вероятность отказа /-го ребра.

Формулы (3), (4) можно использовать как в нестационарном режиме, рассматривая вероятности безотказной работы за заданное время работы t, так и в стационарном, интерпретируя вероятности как стационарные коэффициенты готовности.

Для высоконадежных сетей при 6С<<1 верхняя граница для вероятности отказа может рассчитываться по простой формуле, полученной методом декомпозиции по минимальным сечениям

6с«I П ъ.

]=1

Для двухполюсной мостиковой схемы рис. 1 вероятность отказа равна

Qc ~ Ч1Ч4 + Ч2Ч5 + Ч1Ч3Ч5 + Ч2ЧзЧ4.

(5)

Рассмотрим более общие постановки исследования надежности информационных сетей. Пусть абоненты находятся во всех вершинах графа. В качестве критерия отказа будем считать потерю связи между

любыми двумя узлами сети. В этом случае достаточно удобно пользоваться оценками, полученными с помощью метода декомпозиции по минимальным сечениям, только при этом множество минимальных сечений представляет собой объединение множеств минимальных сечений двухполюсных графов для всех пар узлов. Так как нас интересует, прежде всего, оценка вероятности безотказной работы снизу, целесообразно использовать метод декомпозиции по минимальным сечениям (5). Оценка вероятности отказа для мости-ковой схемы рис. 2 равна

6с ~ qlq4+q2q5+qlqзq5+q2qзq4+qlqзq2+q4qзq5. (6)

л j =

Б-(1 + Б2- ) = П (П-1)-[П1 - (П1 , -1)+ П2- (п2- -1)] Б П (п-1)

и математическое ожидание относительных потерь от нарушения связности сети легко рассчитывается по формуле (5).

Для мостиковой схемы (рис. 1 а)

МИ = 7(+ 4245 + ?1?3?2 + ?4?3?5 ) + 6

+ ^ (%1%3%5 + %4%3%2 ).

Рис. 2. Декомпозиция надёжностной структуры мостиковой схемы с абонентами во всех узлах

методом минимальных сечений

Такого рода оценки надёжности сети имеют смысл лишь в случае, если обмен информацией реально происходит между любыми двумя абонентами и потеря связи между любыми двумя или более абонентами выводит из строя всю сеть. Это имеет место только в том случае, если все абоненты сети управляют одним технологическим процессом, и любой отказ в управлении нарушает весь ход процесса.

Вероятность потери связи сети вычисляется как сумма вероятностей отказов всех минимальных сечений по формуле (6). Это позволяет рассмотреть более общие постановки задачи. Если каким-либо образом удаётся оценить потери гс- из-за отсутствия связи между абонентов при отказе --го минимального сечения, то в качестве показателя надёжности целесообразно использовать математическое ожидание потерь от отказов

Следует отметить, что приведенные выше методы рассчитаны для информационных сетей «условной» структуры. На практике широко известны сети, объединенные посредством топологий кольцо, звезда, общая шина и т. д.

Произведем расчет для сети с кольцевой топологией.

Пусть сеть имеет структуру, показанную на рис. 3. То есть сеть состоит из п - узлов и т - абонентов. Для данного примера п = 6, т = 3 у каждого узла (для простоты расчета). В состав сети включен сервер, отказ которого приводит к невозможности доступа к сетевой информации и соответственно к отказу всей сети.

MW = , П %

(7)

j=1

isI j

Например, если объем обмена информацией между любыми двумя абонентами примерно одинаков, то потери в обмене информацией пропорциональны количеству разорванных связей. В полностью связанном графе, состоящем из п узлов, имеет место б = = п (п-1)/2 связей. Любой разрез графа делит его на две несвязанные между собой части, внутри которых связи сохраняются, то есть получается два подграфа из п1 и п2 узлов, п1 + п2 = п. При этом остаются целы-

ми s =

«1 (« -1)

n2 (n2 -1)

связей. Доля

2 2 потерянных связей к- для --го минимального сечения равна

Рис. 3. Структура сети с кольцевой топологией

Декомпозиция нашей надёжностной структуры сети с кольцевой топологией представлена на рис. 4. Оценка вероятности отказа для схемы рис. 4 равна

6с = кп12 + кп23 + кп13 + кп34 + кп14 + кп24 + кп54 + кп15 +

+кп25 + кп35 + кп65 + кп16 + кп26 + кп36 + кп46.

и

Отказ |H i 1 1 ^ h Ш H 31 H i 1 H 21 15 h

сервера U ^ 1 1 3 H Ш M ' 1 ч ' 1 Ц ' 1 1 ' M

1 i h H 21 1 3 h H * 1

15 M 4 5 1 1 5 и -1 5 1

rl i 1 rl 2 1 H 3 1 H ' 1

-I * 1 M i 1 M ' 1 4 * 1

Рис. 4. Декомпозиция надёжностной структуры сети с кольцевой топологией с абонентами во всех узлах методом минимальных сечений

При отказе сервера происходит отказ всей сети, то есть n□m, при отказе одного узла из строя выходят 3 компьютера, а при отказе двух узлов соответственно 6.

Так как данная система восстанавливаемая, то в сечении имеем Марковский процесс (рис. 5).

_2\ — X

1

М м

Рис. 5. Граф состояний системы

Коэффициент простоя для системы рис. 5 вычисляется по формуле

/ m 1

к = 1/т-рт - 'КрГ

/ к=о к!р

Тогда для данной структуры (рис. 4) формула (7) примет вид:

М(п)= I п} П кп.

]= геI]

Обобщенный показатель - математическое ожидание потерь от отказов при использовании метода декомпозиции по минимальным сечениям позволяет оценивать надёжность информационных сетей при

самых общих предпосылках, например, учесть реальный объем обмена информацией между абонентами, ограничения на размеры транзита, симплексной связи и т. п.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 09-08-00097-а)

Литература

1. Надежность технических систем : справочник / под ред. И.А. Ушакова. М., 1985. 606 с.

2. Судаков Р.С. Избыточность и объем испытаний технических систем и элементов. М., 1980

3. Тескин О.И. Оценка надежности систем на этапе эксплуатационной отработки. М., 1981.

4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности. М., 1965. 524 с.

5. Барлоу Р., Прошан Ф. Математическая теория надежности : / пер. с англ. М., 1969. 448 с.

6. Линденбаум М.Д. Расчёт надёжности сложных систем методом декомпозиции // Междунар. сб. науч. тр. «Проблемы и перспективы развития устройств автоматики, связи и вычислительной техники на ж.д. транспорте» / РГУПС. Ростов н/Д., 1999.

7. Ушаков И.А., Гадасин В.А. Анализ надёжности структурно-сложных систем. М., 1978.

Поступила в редакцию

1 июля 2009 г.

Бутакова Мария Александровна - д-р техн. наук, профессор, Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. 2-72-65-43. E-mail: butakova@rgups.ru

Линденбаум Михаил Давидович - канд. техн. наук, профессор, Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. 2-54-66-36.

Москат Наталья Александровна - ассистент, Ростовский государственный университет путей сообщения Тел. 25-54-253. E-mail: Nancy@rostov.ru

Butakova Mariya Aleksandrovna - Doctor of Technical Sciences, professor, Rostov State Transport University. Ph. 2-72-65-43. E-mail: butakova@rgups.ru

Lindenbaum Michail Davidovich - Candidate of Technical Sciences, professor, Rostov State Transport University. Ph. 2-54-66-36.

Moskat Nataliya Aleksandrovna - assistant, Rostov State Transport University. Ph. 25-54-253. E-mail: Nancy@rostov.ru