CC BY
10
Окончание табл. 3
13.3 0.36078 0.56314 0.49439 0.31411 0.48953 0.49439
14.1 0.81550 1.22900 1.20961 0.80364 1.20660 1.20961
14.3 -2.50257 -3.93179 -3.69274 -2.34270 -3.67200 -3.69274
Выводы
1. Сравнивая результаты расчёта, полученные при расчёте в ПК Robot Structural Analysis, сделаны следующие выводы. Как показано в [3], наибольшая погрешность расчётов варианта 1 и варианта 2, равная 39,50 %, обусловлена тем, что использовались разные методы деления грузовой площади; погрешность расчётов варианта 3 в сравнении с вариантом 1, равная 30,70 %, возникает из-за того, что в варианте 3 не учитывается пространственная работа каркаса; а погрешность расчётов варианта 4 по сравнению с вариантом 1 обусловлено тем, что при расчёте методом перемещений (для уменьшения количества неизвестных) нами не учитывались продольные деформации стержней (то есть считалось, что жёсткость EA = да) (см. [4, с. 368]).
2. При сравнении результатов, полученных при расчёте в ПК Лира 10.6, можно сделать следующие выводы. Наибольшая относительная погрешность расчётов первого и второго вариантов составляет 39,89 %. Расхождения в результатах расчёта обусловлены тем, что использовались разные методы деления грузовой площади на области: в первом варианте - треугольный метод деления на области, а во втором варианте - прямоугольный. Наибольшая погрешность расчётов второго и третьего вариантов составляет 1,95 %. Данная погрешность обусловлена тем, что в третьем варианте рассчитывается плоская рама и не учитывается пространственная работа каркаса.
Наибольшая погрешность четвёртого варианта по сравнению с третьим вариантом, то есть компьютерного и ручного расчётов, составляет 11,61 %. Обусловлено это тем, что при расчёте методом перемещений (для уменьшения количества неизвестных) нами не учитывались продольные деформации стержней (то есть считалось, что жёсткость EA = да, см. [4, с. 368]).
3. При сравнении результатов расчёта в ПК Robot Structural Analysis и ПК Лира 10.6 видно, что значения изгибающих моментов различны. Более близки значения 3D-расчёта к ручному расчёту при использовании ПК Лира 10.6.
4. В целом преимущества компьютерного расчёта заключаются в том, что он позволяет проводить вычисления с большим количеством неизвестных и учесть пространственную работу каркаса. При традиционном подходе расчёта значения внутренних усилий оказываются завышенными, что приводит к перерасходу материала. Однако при переходе от традиционного подхода к компьютерному расчёту (методом конечных элементов) для исключения аварий (см. [5]) необходим более строгий контроль качества при производстве изделий и строгое соблюдение технологии производства.
Библиографический список
1. Мусафиров, Э. В. Автоматизация расчёта плоской рамы методом сил / Э. В. Мусафиров, М. А. Илькевич // Инновации в технологиях и образовании: сб. ст. участников XI Междунар. науч.-практ. конф. (Белово, 27-28 апр. 2018 г.). - Белово, 2018. - Ч. 2. - С. 310-312.
2. Сухоруков, В. В. Autodesk Robot Structural Analysis Professional. Проектно-вычислительный комплекс / В. В. Сухоруков. - М.: Ассоциация строительных вузов, 2009. - 128 с.
3. Илькевич, М. А. Сопоставление результатов 3d, 2d расчётов и расчёта методом перемещений / М. А. Илькевич, Э. В. Мусафиров // Актуальные проблемы современной науки: взгляд молодых учёных: мат-лы Всерос. науч.-практ. конф. молодых учёных, аспирантов и студентов с междунар. участием (Грозный, 18 мая 2018 г). - Махачкала, 2018. - С. 351-354.
4. Яровая, А. В. Строительная механика. Статика стержневых систем / А. В. Яровая. - Гомель: БелГУТ, 2013. - 447 с.
5. Логинова, Е. В. Потеря прочности, жёсткости, устойчивости строительных конструкций зданий и сооружений / Е. В. Логинова, В. В. Красиков // Вестник Хакасского государственного университета им. Н. Ф. Катанова. - 2015. - № 13. - С. 12-17.
© Илькевич М. А., Мусафиров Э. В., 2019
УДК 621.391.05
ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ АНАЛИЗА СТРУКТУРНОЙ НАДЁЖНОСТИ И ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ1
Д. Ю. Карандеев
Научный руководитель — А. С. Дулесов, доктор технических наук, доцент Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова
В статье проводится анализ новаторских подходов к решению актуальных проблем из сферы технических наук, таких как поиск оптимальной структуры электрической сети на этапах её проектирования и анализ структурной надёжности функционирующей технической системы. Рассматриваются возможности применения моделей Ральфа Хартли и Клода Шеннона в задачах определения количества информации, содержащейся в структуре системы.
Ключевые слова: мера неопределённости информации, структурная надёжность систем, оптимизация, оптимальная структура технической системы, резервирование.
Введение. При проектировании распределительной сети одной из задач является выбор её оптимальной структуры в основном по критерию минимума затрат, что сказывается на издержках в случае аварии из-за низ-
1 Работа выполнена при поддержке Фонда содействия инновациям по программе «УМНИК» в рамках договора № 13138ГУ/2018 от 23.05.2018.
кой надёжности систем различного рода. В то же время уже построенные и функционирующие технические системы, в том числе и электрические, вследствие износа оборудования начинают выходить из строя и отказывать в работе, что может привести к значительным экономическим издержкам и недопоставляемой продукции производственных предприятий. В данном случае важным фактором, влияющим на данного рода издержки, является выявление на ранних этапах наименее надёжных участков системы и добавления в них определённого количества резервирующих элементов для повышения уровня надёжности этих участков до требуемого значения.
Критерии эффективности в задаче выбора оптимальной структуры. Проектировщик в ходе осуществления выбора структуры распределительной сети должен произвести анализ всех важных, по его мнению, критериев эффективности и, учитывая их, выбрать оптимальную структуру из всех имеющихся вариантов. На практике выделяют следующие критерии: экономичность, которая выражает стоимостные затраты на строительство и эксплуатацию проектируемой системы; надёжность, отражающая вероятностную величину работоспособности всех элементов системы и всей системы в целом [1]. Кроме того, следует отметить такие критерии, как безопасность и живучесть. При этом на практике делают акцент на первых двух критериях и в большей степени на критерии экономичности, что довольно часто впоследствии приводит к возникновению высоких издержек, вызванных выходом из строя недостаточно надёжных участков сети. В статье [2] представлена методика поиска оптимальной структуры электрической сети. Данная методика основывается на модернизированном методе «ветвей и границ» [3], учитывающем два критерия эффективности - надёжность и экономичность. Недостатком данной методики можно назвать довольно громоздкий расчёт уровня надёжности в силу использования его вероятностной формы. Одним из возможных способов решения данной проблемы является применение инструментов из других областей знаний. Рассмотрим некоторые их них.
Кибернетический и синергетические подходы к анализу поведения системы. Если говорить о таких областях знаний, как кибернетика и синергетика, то в первую очередь стоит упомянуть работу Норберта Винера [4], который был основоположником кибернетического подход. Он считал, что машины так же, как и органические существа, могут обмениваться информацией и впоследствии корректировать свою деятельность в нужном направлении. При этом стоит отметить, что процессы «старения», аналогичные тем, что происходят в живой природе, в какой-то мере можно отнести и к неживой природе, в частности, к сложно сформированным функционирующим системам, например, техническим. Если данное предположение верно, то путём оценивания степени «старения» рассматриваемой системы можно было бы следить за общим состоянием системы и модернизировать её оборудование, тем самым улучшать в целом «состояние» системы, способствуя продлению её «жизни». Всё это относится к области самоорганизующихся систем, которые изучаются в синергетике (см. [5-7]) и в которых представлены некоторые направления исследований в данной области. Однако сегодня данные подходы из технических наук в области решения задач могут обосновать суть протекающих там процессов лишь с философской и теоретической точек зрения. Всё это подтверждает пользу дальнейших исследований в данном направлении.
Подходы, основанные на теории информации и базирующиеся на работах Клода Шеннона. Говоря о теории информации [8], стоит отметить, что область применимости инструментов данного раздела теоретической информатики с каждым годом охватывает всё большее количество сфер. В частности, из области экономики можно назвать управление развитием крупномасштабных систем [9] и разработку энтропийной модели инвестиционного портфеля [10]. В [11] получены результаты применения меры неопределённости информации в сфере цветной металлургии; в книге [12] описывается применение теории информации в сфере физики; применение же теории информации в прогнозировании электропотребления рассмотрено в работе [13], а труд [14] Е. А. Седова посвящён универсальности формулы определения количества информации. Такое разнообразие сфер применения инструментов из теории информации объясняется тем, что неопределённость присутствует практически в любой сфере знаний и позволяет на основе использования существующих инструментов по снятию данной неопределённости решать задачи различного рода. При этом описанная мера может быть выражена в количественной и качественной форме.
Меру неопределённости информации можно применить и для решения задачи анализа надёжности технических систем различного рода, в том числе электрических, нефтепроводных, тепловых и прочих. В данном случае качественная составляющая энтропии будет отражать работоспособное и неработоспособное состояния системы, а количественную составляющую можно определить, опираясь на классическую модель Клода Элвуда Шеннона об информации и энтропии [15]: plog2 р, где р - вероятность проявления события или вероятность нахождения объекта в том или ином состоянии. При это отметим, что представленная модель базируется на работах Ральфа Винтона Лайона Хартли [16]. Ключевую роль формула К. Шеннона играет в задачах выбора из множества альтернатив.
Решение задачи поиска оптимальной структуры электрической сети на базе теории информации.
На рисунке наглядно продемонстрирована актуальность проблемы поиска оптимальной структуры электрической сети на этапах проектирования.
Из рисунка видно, что задача проектировщиков сводится к выбору наиболее оптимальной структуры с учётом ряда критериев эффективности. Учёт лишь критерия экономичности может привести к лишним издержкам, вызванным выходом из строя недостаточно надёжных элементов системы, что приведёт к простою оборудования и недопоставке продукции. Для решения данного рода проблемы следует сформулировать оптимизационную задачу. Данная задача, сформулированная в работах [2; 17], представляет собой целевую функцию, на-
правленную на минимизацию экономической составляющей, а также систему ограничений, характеризующую уровень надёжности каждого потребителя электроэнергии. Оптимизационная задача имеет следующий вид:
Рис. Этапы выбора струтуры электрической сети
Б
с,х, ^ тт;
Н(Р01) > Н (Ро!) Н (Р02) > Н °(Ро2)
Н (Ро,) > Н "(Ро,),
(1) (2)
где Н0(Р01) - это информационные энтропии обеспечения бесперебойного электроснабжения электроприёмника и I на участке 0-,; х7 может принимать значения, равные 1 или 0, означающие наличие или отсутствие элемента 7 в структуре сети; с, характеризует величину стоимости элемента, выраженную в валюте.
К возможным методам решения оптимизационной задачи можно отнести точные и эвристические методы оптимизации, но у них есть свои недостатки. Среди точных можно выделить метод «ветвей и границ», однако недостатком данного рода методов оптимизации является «проклятие размерности». Среди эвристических методов можно выделить генетические алгоритмы и метод имитации отжига, реализуемые в среде МайаЬ^тиНпк, однако они неэффективны для малого количества потребителей, а также менее точны и сложны в реализации. Анализ данных методов был произведён в работе [18].
Применение модели Клода Шеннона для построения оптимальной структуры не исключает расчёта количества информационной энтропии, присущей связи «источник - потребитель» рассматриваемой структуры. Тем самым мера неопределённости информации играет определённую роль в измерении уровня структурной надёжности через количество информационной энтропии. В работе [19] было представлено решение этой задачи на основе моделей К. Шеннона с применением меры неопределённости информации в качестве выражающего структурную надёжность критерия. Данный критерий позволяет рассчитывать количество информации, содержащейся в структуре электрической сети. Последующий анализ позволяет осуществлять в ходе проектирования отсечение заведомо менее надёжных структур и выбирать из оставшихся структур самую экономически выгодную и надёжную. Процесс такого отбора представлен в статьях [20-21].
Решение задачи анализа надёжности функционирующей технической системы на базе применения меры неопределённости информации. Как было упомянуто ранее, важной задачей сегодня является проведение анализа функционирующей технической системы. В ряде работ (например, [22-23]) представлены возможные пути решения описанной проблемы, базирующиеся на применении меры неопределённости информации. В частности, предлагалась модернизация формулы (2), которая с учётом ряда преобразований приняла следующий вид:
#(Р,1) > н °(Р>1)
Н(РЫ) > Н\РЫ) =>
qХ11og2 q1 < Н 0©1)
^ 1о^ qJ < Н)
(3)
^ 1og2 qn < Н0©„),
[Н(Р,„) > Н Р)
где х - количество резервных элементов; H'(Q) - граничная (критическая) величина энтропии, при несоблюдении которой нарушается условие достижения требуемого числа резервных элементов; Н(Р0,) - энтропия работоспособного состояния связи 0-,, по которой протекает энергия от источника к потребителю; 0 - номер источ-
7=1
ника питания; H°(P0i) - заданная граничная величина энтропии как меры обеспечения бесперебойного снабжения энергией по связи 0-1 потребителя I.
Для решения данного рода нелинейного неравенства можно применить метод множителей Лагранжа, представленный в работе [24], однако в таком случае нужно будет учесть одно допущение: ограничения нужно будет преобразовать в равенства, так как метод множителей Лагранжа применим лишь для задач с равенствами. Для решение же задачи с неравенствами необходимо применить теорему Куна-Таккера и найти седловую точку функции Лагранжа.
Заключение. Проведённое исследование позволяет констатировать следующее: для решения таких задач, как поиск оптимальной структуры электрической сети и анализ структурной надёжности технической системы, можно обратиться к довольно разным по специфике наукам, таким как кибернетика, синергетика и теория информации. Первые две области позволяют разобраться с философской и теоретической точек зрения в основных механизмах, протекающих в технических системах процессов, и затронуть процессы «старения», а инструменты такой области, как теория информации, позволяют на основе применения математических аппаратов решить данные задачи с привлечением методов оптимизации, надёжности, вероятностей и теории графов. В частности, применение меры неопределённости информации позволяет выразить в количественной форме уровень надёжности анализируемой структуры.
Библиографический список
1. Правила устройства электроустановок (ПУЭ). - Изд. 7. - М.: Изд-во НЦ ЭНАС. - 2004. - 222 с.
2. Дулесов, А. С. Построение оптимальной структуры технической системы методом «ветвей и границ» с учётом критериев экономичности и надёжности / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев // Надёжность и безопасность энергетики. - 2016. - № 2 (33). - С. 56-59.
3. Land, A. H. An automatic method of solving discrete programming problems / A. H. Land, A. G. Doig // Econometrica. - 1960. - Vol. 28. -P. 497-520.
4. Винер, Н. Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине / Н. Винер. - 2-е изд. - М.: Советское радио, 1968. - 213 с.
5. Колесников, А. А. Синергетические методы управления сложными системами: Энергетические системы / А. А. Колесников. - М.: Ком-Книга, 2006. - 248 с.
6. Чернавский, Д. С. Синергетика и информация. Динамическая теория хаоса / Д. С. Чернавский. - М.: Наука, 2001. - 105 с.
7. Шаповалов, В. И. Законы синергетики и глобальные тенденции / В. И. Шаповалов, Н. В. Казаков // Общественные науки и современность. - 2002. - № 3. - С. 141-148.
8. Cover, T. M. Thomas. Elements of Information Theory, second edition / Thomas M. Cover, A. Thomas Joy // New Jersey: Wiley and Sons. 2006.
- 748 с.
9. Попова, О. А. Анализ новых подходов к представлению неопределённости в данных для крупномасштабных систем / О. А. Попова // Управление развитием крупномасштабных систем: мат-лы Восьмой междунар. конф. (29 сентября - 1 октября 2015 г., г. Москва): в 2 т. Т. 2 / под общ. ред. С. Н. Васильева, А. Д. Цвиркуна. - М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2015. -С. 385-388.
10. Попков, А. Ю. Энтропийная модель инвестиционного портфеля / А. Ю. Попков // Автоматика и телемеханика. - 2006. - № 9. -
C. 179-190.
11. Малышев, В. П. Информационные оценки технологических переделов в цветной металлургии / В. П. Малышев, С. Ш. Кажикенова // Вестник Национальной инженерной академии наук. - 2009. - № 2(32). - С. 126-131.
12. Хармут, Х. Применение методов теории информации в физике / Х. Хармут. - М.: Мир, 1989. - 334 с.
13. Неопределённость информации в задаче прогнозирования / А. Б. Андросик, В. И. Хрусталёв, А. С. Дулесов и др. // Информационные технологии: приоритетные направления развития: Кн. 7. - Новосибирск: ЦРНС - Изд-во «Сибпринт», 2012. - 176 с.
14. Седов, Е. А. Одна формула и весь мир: книга об энтропии / Е. А. Седов. - М. : Знание, 1982. - 175 с.: ил.
15. Shannon, С. E. Mathematical Theory of Communication / С. E. Shannon // Bell System Tech. J. - Short Hills, N. J., etc. - 1948. - Vol. 27, iss. 3.
- P. 379-423.
16. Hartley, R. V. L. Transmission of Information / R. V. L. Hartley // Bell System Technical Journal. - 1928. - Vol. 7. - № 3. - P. 535-563.
17. Dulesov, А. S. The evaluation of the correlation between entropy and negentropy in the structure of a technical system / А. S. Dulesov,
D. Y. Karandeev, T. G. Krasnova // MATEC Web Conf. International Conference on Modern Trends in Manufacturing Technologies and Equipment (ICMTMTE 2017). - 2017. - Vol. 129. - P. 1-4.
18. Карандеев, Д. Ю. Анализ методов оптимизации для решения задачи построения оптимальных структур технических систем / Д. Ю. Карандеев // IV науч.-практ. Междунар. конф. молодых учёных «Прикладная математика и информатика: современные исследования в области естественных и технических наук». Ч. 1. Секция I «Теоретические основы информационных технологий». - Тольятти, 2018. - С. 53-59.
19. Dulesov, A. S. Reliability analysis of distribution network of mining enterprises electrical power supply based on measure of information uncertainty / А. S. Dulesov, D. Y. Karandeev, N. V. Dulesova // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science (EES). - 2017. - Vol. 87. -P. 1-6.
20. Дулесов, А. С. Показатель разграничения уровня надёжности технической системы по качественному признаку: энтропийный подход / А. С. Дулесов, Н. В. Дулесова, Д. Ю. Карандеев // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 2-3. - С. 477-481.
21. Карандеев, Д. Ю. Учёт количества информации в задачах построения оптимальных структур распределительных сетей с резервированием / Д. Ю. Карандеев // Вестник Хакасского государственного университета им. Н. Ф. Катанова. - 2017. - № 20. - С. 16-19.
22. Dulesov, A. S. Optimal redundancy of radial distribution networks by criteria of reliability and information uncertainty / А. S. Dulesov, D. Y. Karandeev, N. V. Dulesova // 3nd International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM). - 2017.
- P. 1-4. DOI: 10.1109/ICIEAM.2017.8076467.
23. Дулесов, А. С. Определение количества информационной энтропии в структуре технической системы методом минимальных сечений / А. С. Дулесов, Д. Ю. Карандеев, Н. Н. Кондрат // Фундаментальные исследования. - 2016. - № 3-3. - С. 472-476.
24. Карандеев, Д. Ю. Поиск оптимального количества резервирующих элементов посредством метода множителей Лагранжа с учётом меры неопределённости информации / Д. Ю. Карандеев, Д. А. Калугин // Постулат. - 2018. - № 9 (35). - С. 1-10.
© Карандеев Д. Ю., 2019
