CC BY
39
УДК 519.81 Шакиров Владислав Альбертович,
к. т. н., доцент кафедры «Электроэнергетика и электротехника», Братский государственный университет, тел. 89500577587, e-mail: [email protected] Палатов Дмитрий Андреевич, аспирант кафедры «Автоматизация производственных процессов», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 83952638399, e-mail: [email protected]
ПОДДЕРЖКА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕТОЧНО ЗАДАННЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ В ОТНОШЕНИИ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
V. A. Shakirov, D. A. Palatov
DECISION MAKING SUPPORT UNDER INACCURATE PREFERENCE DATA
FOR IMPORTANCE OF CRITERIA
Аннотация. В статье формулируется проблема принятия решений в условиях неточно выраженных предпочтений лица, принимающего решения, в отношении критериев. Рассматривается метод принятия решений на основе многокритериальной теории полезности. Рассматривается процедура оценки шкалирующих коэффициентов и построения однокритериальных функций полезности. Формулируются недостатки известной процедуры анализа чувствительности решений к изменению структуры ценностей. Для совершенствования процедуры анализа чувствительности предлагается методика оценки альтернатив с учетом размытых предпочтений в отношении критериев. Рассматривается методика оценки склонности лица, принимающего решения, к выбору той или иной альтернативы. Рассматривается понятие относительной устойчивости решений. Выделяется проблема неоднозначности сравнения альтернатив с помощью оценки относительной устойчивости к изменениям предпочтений лица, принимающего решение. Предлагается дополнительный количественный показатель, отражающий результирующее доминирование альтернативы. Приводятся примеры оценки альтернатив в условиях размытых предпочтений в отношении критериев.
Ключевые слова: многокритериальный выбор, теория полезности, лицо, принимающее решение.
Abstract. We formulate the problem of decision making under inaccurate decision maker's preference data for importance of criteria. The decision making method on the basis of multi-criteria utility theory is considered. The procedure for scaling coefficients assessment and one-criterion utility functions constructing is considered. The disadvantages of known sensitivity analysis procedure for making changes in the structure of values are formulated. To improve the procedure of sensitivity analysis a method for evaluating alternatives under inaccurate preference data for importance of criteria is offered. The technique of estimation of the decision maker propensity to the choice of an alternative is considered. The concept of relative stability of the solutions is considered. The problem of ambiguity of alternatives comparison by evaluation of relative stability to change decision maker's preferences is provided. The additional quantitative indicator of the resulting dominance of alternatives is offered. The examples of evaluation of alternatives in a fuzzy preference for criteria are considered.
Keywords: multi-attribute choice, utility theory, decision maker.
Введение ЛПР в своих предпочтениях и оценить влияние на
Принятие решений по системным пробле- эффективность принятых решений, проводят ана-мам затруднено следующими свойствами: слабая лиз чувствительности полученных оценок к изме-структурированность, конфликтность, неопреде- нениям структуры предпочтений ЛПР [2, 3]. В ленность, неоднозначность, наличие риска, много- статье будут рассмотрены недостатки известного аспектность, эволюционность [1]. Применение ме- подхода и предложена методика, совершенствую-тодов системного анализа позволяет на основании щая анализ чувствительности. опроса лица, принимающего решение (ЛПР), фор- Принятие решений на основе
мализовать его предпочтения и определить рацио- многокритериальной теории полезности
нальное решение. Но существует ряд проблем, и анализ чувствительности
когда предпочтения ЛПР в отношении критериев полученных решений
оценки эффективности решений системной про- Одним из наиболее известных методов при-
блемы размыты. Например, при анализе вариантов нятия решений, получивших широчайшую апро-развития промышленной или энергетической ин- бацию на практике, является метод многокритери-фраструктуры района многообразные последствия альной теории полезности (Multi-attribute utility решений будут проявляться долгие годы, отража- theory (MAUT)) [2-5]. Метод MAUT имеет аксио-ясь на экономических, экологических, социальных матическое обоснование, т. е. при выполнении показателях района. Учитывая высокую неопреде- определенных условий-аксиом дается математиче-ленность будущих условий, выразить точной ко- ское доказательство существования многокрите-личественной оценкой свои предпочтения для риальной функции полезности u(y), с помощью ЛПР затруднительно. Чтобы учесть неуверенность которой могут быть получены оценки альтернатив
с учетом всех критериев [2, 5, 6-8]. Все аксиомы можно разделить на две группы: первая - общего характера - связности, транзитивности, растворимости, архимедова [9], вторая - условия независимости, непосредственно определяющие вид функции полезности.
Так, если выполняется условие взаимной независимости критериев по полезности, то функция полезности примет аддитивный (1) или мультипликативный (2) вид [5]:
п
и (у) = и (ух, у 2,..., Уп ) = 2 к1и1 (Уг )> (1)
,=1
п
ки(у) +1 = ки(ух, у2,..., Уп) +1 = П 1кк,и, (У,) +1], (2)
г=1
где Ыг(уг) - однокритериальная функция полезности; у, - исход альтернативы по критерию 7; к, -шкалирующий коэффициент критерия 7; к - шкалирующий коэффициент.
При решении задачи в условиях определенности вместо функции полезности проводят построение функции ценности [9]. Для получения функции в аддитивном виде (3) необходимо выполнение условия взаимной независимости критериев по предпочтению [5]:
Чу) = V(yl , у......уп ) = 2 кгуг & X
г=1
Определение шкалирующих коэффициентов к проводится также с помощью ЛПР. Рассмотрим стандартную процедуру их определения на примере многокритериальной функции ценности аддитивного вида (3). В случае п критериев необходимо сформировать п-1 пар для сопоставления. При анализе каждой пары критериев 7, ] оценки по остальным критериям фиксируются на худших уровнях для исключения их из уравнений, так как у(у0) = 0. Формируется пара искусственных альтернатив А1 и А2 с лучшей оценкой по одному критерию и худшей по другому (рис. 2). ЛПР предлагается отдать предпочтение одной из этих альтернатив. Например, ЛПР выбирает альтернативу А с лучшей оценкой у,1 по критерию 7 (рис. 2). Тогда ЛПР предлагается определить альтернативу Аз, которая будет равноценна проигравшей альтернативе А2, с худшей оценкой по критерию ] и оценкой по критерию 7, находящейся в интервале между у70 и
у1.
(з)
где Уг(уг) - однокритериальная функция ценности; у7 - оценка альтернативы по критерию
Входящие в состав (1), (2), (3) однокритери-альные функции строят с помощью опроса ЛПР. Они позволяют установить ценность для него каждого исхода или оценки альтернативы. Пример однокритериальной функции полезности по критерию «затраты на строительство объекта» представлен на рис. 1. Исходу с наименьшими затратами у10 соответствует полезность И1(у1°) = 1, исходу с наибольшими затратами - ^(и1) = 0. Нелинейный вид функции полезности позволяет отразить отношение ЛПР к риску [2, 5].
Рис. 1. Пример однокритериальной функции полезности
Рис. 2. Процедура определения равноценных альтернатив
Для полученных равноценных альтернатив А2 и Аз с учетом аддитивного вида функции ценности и условия, что у(у°) = 0, можно записать
к/(у) = к,у(уХ).
Определив аналогичные равенства для всех п-1 пар критериев, принимая во внимание, что сумма всех шкалирующих коэффициентов равна 1, можно составить систему линейных уравнений, решение которой определит все к. Аналогичным образом могут быть определены шкалирующие коэффициенты и для функции полезности, необходимо лишь формировать для сопоставления лотереи и детерминированные исходы [5].
После определения однокритериальных функций и шкалирующих коэффициентов на основании (1), (2) или (3) могут быть определены многокритериальные оценки всех альтернатив.
После получения всех многокритериальных оценок проводится анализ чувствительности полученных решений. Он сводится к повторным оценкам альтернатив при изменении некоторой
Информатика, вычислительная техника и управление
исходной информации с целью анализа влияния этих изменений. Выделяют анализ чувствительности к изменению исходных данных, структуры ценностей, структуры проблемы [2].
Анализ чувствительности к изменению структуры ценностей предполагает изменение всех шкалирующих коэффициентов и анализ изменений в многокритериальных оценках альтернатив [2].
К недостаткам процедуры следует отнести следующие:
1) работа ведется с полученными в результате решения системы уравнений шкалирующими коэффициентами непосредственно, поэтому диапазон их допустимых и необходимых изменений остается неясным, как и взаимное влияние при изменении коэффициентов.
2) для полноты исследования необходимо провести все возможные комбинации изменений шкалирующих коэффициентов, однако отсутствуют методические рекомендации для такого анализа.
3) в результате анализа чувствительности не формируются количественные показатели, отражающие степень изменчивости альтернатив, вывод о качестве полученных решений принимается на основе неформализованных процедур.
Для совершенствования процедуры анализа чувствительности и устранения указанных недостатков предлагается методика учета размытых предпочтений ЛПР [10].
Методика учета размытых
предпочтений ЛПР
Для учета возможных изменений в структуре ценностей предлагается дать ЛПР возможность указать интервалы оценок при сопоставлении пар критериев I, у (рис. 2) [11]. Иллюстрация предлагаемой процедуры представлена на рис. 3.
Полученные при сопоставлении пар интервалы предлагается заменять конечным количе-
ством оценок Таким образом, потребуется решение Г'1 систем линейных уравнений и анализ соответствующего количества вариантов многокритериальных оценок альтернатив [11].
Рис. 3. Процедура определения равноценных альтернатив с интервальным заданием оценки
На рис. 4 представлены возможные графики изменения многокритериальных оценок двух альтернатив А\, А2 для случая трех критериев п = 3, и разбиением интервалов на ^ = 10 значений. Многокритериальная оценка альтернативы А1 превосходит оценку А2 при любых комбинациях предпочтений внутри интервалов. Можно сделать заключение, что лучшая альтернатива А1 устойчива к изменениям предпочтений ЛПР.
На рис. 5 представлен случай, когда из-за размытых предпочтений ЛПР в отношении критериев многокритериальные оценки альтернатив попеременно превосходят друг друга. Смена ранжирования может быть оценена показателем - относительной устойчивостью решений (ОУР). ОУР равна процентному отношению количества комбинаций предпочтений ЛПР, при которых альтернатива доминирует, ко всему количеству комбинаций предпочтений [11].
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99
— -Оценки А1 -Оценки А2
Рис. 4. Графики изменения многокритериальных оценок альтернатив при интервально заданных предпочтениях:
ранжирование не меняется
- Оценки А1 -Оценки 1
Рис. 5. Графики изменения многокритериальных оценок альтернатив при интервально заданных предпочтениях:
ранжирование меняется
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95 97 99
--Оценки А1 -Оценки А2
Рис. 6. Графики изменения многокритериальных оценок альтернатив при интервально заданных предпочтениях
в отношении важности критериев
Относительную устойчивость решений 7-й альтернативы можно оценить по выражению [11]:
N .
Оур = —52м! 100% , (4)
г N
где ^домг - количество комбинаций предпочтений ЛПР, определенных внутри заданных им интервалов, при которых 7-я альтернатива доминирует; N -суммарное количество комбинаций предпочтений ЛПР при заданном шаге разбиения интервалов на конечное множество значений.
Так, для случая, представленного на рис. 4, оценки лучшей альтернативы А1 меняются от 0,533 до 0,575, ОУРа1 = 100 %. Для случая, представленного на рис. 5: оценки альтернативы А1 меняются от 0,587 до 0,614, ОУРа: = 30,7 %; оценки альтернативы А2 меняются от 0,588 до 0,629, ОУРа2 = 69,з %. Исходя из интервалов изменения много-
критериальных оценок и ОУР, следует отдать предпочтение альтернативе А2.
К сожалению, в условиях размытых предпочтений в отношении критериев не всегда могут складываться ситуации с однозначным преимуществом одной альтернативы (рис. 6).
Например, на рис. 6 представлен случай, когда альтернатива имеет большую устойчивость, но ее многокритериальные оценки не столь эффективны. Оценки альтернативы А1 меняются от 0,443 до 0,525, ОУРа1 = 42,4 %; оценки альтернативы А2 меняются от 0,483 до 0,497, ОУРа2 = 57,6 %.
Предлагается для более полной оценки ввести дополнительный показатель сравнения альтернатив в условиях размытых предпочтений.
Оценка общей степени превосходства для всех вариантов предпочтений:
Информатика, вычислительная техника и управление
P (^ ) - Vz (^ ) )
(5)
где Ру - превосходство 7-й альтернативы над у-й; г - вариант предпочтений ЛПР, определяемый комбинацией возможных оценок внутри заданных интервалов при сопоставлении пар критериев; уг(у7) -многокритериальная оценка 7-й альтернативы, определенная по многокритериальной функции ценности (полезности) со шкалирующими коэффициентами, соответствующими варианту предпочтений г.
Для примера, представленного на рис. 6, Ра1-А2 = -0,496; PA2-A\ = 0,496. Можно сделать вывод, что результирующее доминирование второй альтернативы выше, т. е. при доминировании А2, эта альтернатива имеет оценки намного лучше, чем А1 . А при доминировании А1 альтернатива А2 имеет оценки ненамного хуже, чем Аь Предложенный показатель дает дополнительный аргумент в пользу альтернативы А2.
Заключение
Для оценки альтернатив в условиях размытых предпочтений ЛПР может применяться анализ чувствительности к изменениям структуры предпочтений. Для совершенствования анализа с целью количественной оценки такой устойчивости может использоваться показатель относительной устойчивости решений. При неоднозначности превосходства альтернатив предлагается использовать дополнительный показатель, отражающий результирующее превосходство каждой альтернативы. В совокупности, методика учета размытых предпочтений с двумя количественными показателями позволяет сформировать предпочтение у ЛПР в отношении альтернатив.
2. Кини Р.Л. Размещение энергетических объектов: выбор решений : пер. с англ. М. : Энерго-атомиздат, 1983. 320 с.
3. Игнатьев И.В., Шакиров В.А. Многокритериальный анализ вариантов размещения энергетических объектов. Братск : Изд-во Братск. гос. ун-т, 2011.
4. Larichev, O.I., Olson, D.L.: Multiple Criteria Analysis in Strategic Siting Problems. Kluwer Academic Publishers. Boston, 2001. 215 p.
5. Кини Р. Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М. : Радио и связь, 1981. 560 с.
6. Dyer J.M., Sarin R.K. Measurable Multiattribute Value Function // Operations research. 1979. Vol. 4. P. 810-822.
7. Miyamoto J. M., Wakker P. P. Multiattribute Utility Theory Without Expected Utility Foundations. Operations Research. 1996. 44(2). Pp. 313-326.
8. von Winterfeldt D., Edwards W. Decision Analysis and Behavioral Research. Cambridge. Cambridge University Press, 1986. 604 p.
9. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. СПб. : БХВ-Петербург, 2005. 416 с.
10.Шакиров В.А., Панкратьев П.С. Поддержка принятия решений на стадии предпроектных исследований на основе двухуровневого многокритериального анализа // Прикладная информатика. 2013. № 6 (48). С. 111-121.
11.Панкратьев П.С. Поддержка принятия решений при многокритериальном двухуровневом выборе пунктов размещения электростанций : авто-реф. дис. ... канд. техн. наук. Иркутск, 2015. 22 с.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
z=1
1. Новосельцев В.И. Теоретические основы системного анализа. М. : Майор, 2006. 592 с.
