Принятие решений в условиях нечетких предпочтений на основе многокритериальной теории ценности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.81 Шакиров Владислав Альбертович,

к. т. н., доцент кафедры «Электроэнергетика и электротехника», БрГУ,

тел. 89500577587, e-mail: mynovember@mail.ru

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКИХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ НА ОСНОВЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ

ТЕОРИИ ЦЕННОСТИ

V.A. Shakirov

DECISION MAKING UNDER FUZZY PREFERENCES BASED ON MULTI-ATTRIBUTE VALUE THEORY

Аннотация. В статье предлагается подход к оценке альтернатив на основе многокритериальной теории ценности в условиях нечетких предпочтений лица, принимающего решения. Предлагается процедура построения нечетких однокритериальных функций ценности, определения нечетких образов при нечетком отображении четких и нечетких критериальных оценок.

Ключевые слова: нечеткие множества, принятие решений, функция ценности, нечеткое отображение, нечеткий образ.

Abstract. This article proposes a new approach to the evaluation of alternatives under decision maker's fuzzy preferences based on multiattribute value theory. Procedures for obtaining fuzzy single-attribute value functions, fuzzy images of fuzzy mapping from crisp and fuzzy criteria values are proposed.

Keywords: fuzzy sets, decision making, value function, fuzzy mapping, fuzzy image.

Для представления нечеткой информации с целью ее последующей обработки применяются нечеткие множества. Одним из простейших способов математического описания нечеткого множества - характеризация степени принадлежности элемента множеству числом из интервала [0, 1]. Так, если Х - множество элементов, то нечетким множеством A в Х называется совокупность пар вида (x, ¡Л(х)), где xeX, а ¡л(х) - функция Х ^ [0, 1], называемая функцией принадлежности нечеткого множества A. Значение функции ¡¡л(х) для конкретного x определяет степень принадлежности этого элемента нечеткому множеству Л.

При решении практических задач с нечеткими числами для наибольшей простоты выполнения операций и наглядной графической интерпретации часто используют треугольные нечеткие числа. Треугольным нечетким числом называют такое нормальное нечеткое число, функция при-

надлежности которого может быть задана треугольной функцией /А [7]. Треугольная функция принадлежности характеризуется тремя параметрами и в общем случае может быть записана в виде /д(х; а, Ь, с). На рис. 1 представлен пример

треугольного нечеткого числа А = (а, Ь, с). Элемент Ь является ядром А , так как ¡лА (Ь) = 1. Элементы а и с являются граничными значениями А , так как цА (а) = 0, цА (с) = 0. Интервалы [а, Ь) и (Ь, с] являются соответственно левым и правым расширением А.

Рис. 1. Графическое представление треугольного нечеткого числа

Впервые проблема принятия решений в нечеткой среде была поставлена и решена в [1]. К настоящему времени методы принятия решений в нечеткой среде хорошо разработаны как в теоретических, так и в прикладном аспектах. В [8] рассматриваются задачи нечеткого математического программирования, методы получения множеств недоминируемых альтернатив. В [2] представлены методы многокритериальной оценки и выбора альтернатив с использованием правила нечеткого вывода на основе нечеткого отношения предпочтения. В [3] описаны теоретические принципы, методы решений в условиях риска и нечеткой исходной информации на основе лингвистического

подхода, метода аксиоматической теории полезности MAUT (Multi-Attribute Utility Theory). Разработаны нечеткие версии известных методов: MAVT (Multi-Attribute Value Theory), AHP (Analytic Hierarchy Process), PROMETHEE (Preference Ranking Organisation METHod for Enrichment Evaluations) и ряда других, предлагаются новые, например FMAA (Fuzzy Multicriteria Acceptability Analysis) [12-14].

Нечеткая версия метода MAVT, известная как FMAVT (Fuzzy MAVT), позволяет проводить многокритериальную оценку альтернатив с нечетким описанием оценок по критериям. В статье представлено расширение метода до случая, когда нечетко могут быть представлены и предпочтения лица, принимающего решения (ЛПР).

Перед рассмотрением особенностей предлагаемого метода проведем описание MAVT, его основных этапов.

Теория ценности, полезности относится к американской школе многокритериального анализа решений. В задачах, где осуществляется выбор в условиях определенности, используется теория ценности и метод MAVT. Для выбора решения в условиях риска или неопределенности разработана теория полезности, метод MAUT [6]. Существует широкий круг проблем, где в силу большого количества альтернатив затруднительно описывать распределения вероятностей оценок по критериям. Как правило, это задачи предварительного исключения альтернатив, когда в поле зрения попадают все возможные варианты. В таких случаях целью является отбор ограниченного количества перспективных альтернатив, для которых целесообразны сбор дополнительной информации и дальнейший углубленный анализ [11]. Именно при решении таких проблем целесообразен MAVT.

Одним из основных преимуществ метода MAVT является возможность установить порядок предпочтений во всем пространстве оценок критериев. Появление новых альтернатив с оценками, не выходящими за диапазон оценок уже существующих альтернатив, изменение оценок альтернатив внутри диапазона крайних оценок не приводят к необходимости повторного анализа структуры предпочтений ЛПР. Возможна быстрая оценка новых альтернатив с использованием уже полученной функции ценности. При необходимости можно провести формализацию структуры предпочтений ЛПР для всего возможного в дальнейшем диапазона изменений оценок по критериям. Методы, основанные на парных сравнениях альтернатив и критериев (AHP), на выявлении отношений превосходства альтернатив по качеству (группа методов

ELECTRE), потребуют новых запросов к ЛПР и повторного решения задачи.

MAVT имеет аксиоматическое обоснование, то есть при выполнении определенных условий-аксиом дается математическое доказательство существования скалярной функции ценности v(y), которая ставит в соответствие каждой альтернативе число, отражающее ее ценность [6]. В этой связи необходимо проверить выполнение для ЛПР аксиом связности и транзитивности отношений предпочтения, аксиомы «растворимости», аксиомы Архимеда [10]. Выполнение аксиом отражает готовность ЛПР сравнивать, ранжировать альтернативы, ухудшать оценки по одному критерию для улучшения оценки по другому.

Выполнение условия взаимной независимости критериев по предпочтению позволяет получить многокритериальную функцию ценности (МФЦ) в аддитивном виде:

п

v( У) = v( У, y 2 V, Уп ) = X kV ( y )' (1) i=1

где k - шкалирующий коэффициент критерия i,

n

X k = 1; vi(yi) - однокритериальная функция цен-

i=1

ности (ОФЦ) критерия i; yi - оценка альтернативы по критерию i.

Условие взаимной независимости критериев по предпочтению формулируется: множество критериев X не зависит по предпочтению от дополняющего его подмножества Z тогда и только тогда, когда структура условного предпочтения в пространстве оценок x при фиксированном z' не зависит от z' [6]:

Vx', x" : [3z' : (x', z) y(x" , z ' )] ^

~ (2)

^ [Vz :( x', z) К x", z)].

Для проверки условия (2) достаточно воспользоваться следствием [6]: если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения, то критерии взаимонезависимы по предпочтению. Кроме того, достаточно часто уже из «физических» соображений можно констатировать некоторые условия независимости по предпочтению без их непосредственной проверки [10].

После проверок выполнения условий, аксиом необходимо провести построение ОФЦ. Для этого, в соответствии с [6], принимается, что значение ОФЦ при худшей оценке по критерию y0 равно 0, т. е. v(y°) = 0, значение ОФЦ при лучшей оценке по критерию y1 равно 1, т. е. v(yl) = 1. На интервале от

г о 1т

[y , y ] определяется средняя по ценности точка y0'5, принимается v(y0'5) = 0,5 (ЛПР считает, что изменение оценки по критерию с y0 до y0'5 равноцен-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

но изменению с у0'5 до у1). Аналогично определяет-

0,25 г 0

ся средняя по ценности точка у на интервале [у ,

0,5т / 0,2^^лг 0,75

у ] и полагается, что у(у , ) = 0,25; у - на интервале [у0,5, у1], у(у°75) = 0,75.

ОФЦ может быть выпуклой или вогнутой, что отражает ценность роста оценок по критерию для ЛПР. Пример ОФЦ представлен на рис. 2.

На следующем этапе в соответствии с МЛУТ необходимо определить шкалирующие коэффициенты к,. Существуют различные процедуры их определения. В [6] ЛПР предлагается работать в пространстве оценок двух выбранных критериев у1, у2, а оценки остальных критериев зафиксировать на худшем уровне.

Рис. 3. Процедура определения равноценных альтернатив

Значения ОФЦ критериев, оценки которых были фиксированы на наихудших уровнях, равны 0, что позволяет исключить их из уравнения (4). В то же время выполнение условия (2) позволяет впоследствии полученный порядок предпочтения распространить на случаи любых оценок критериев, которые были фиксированы.

Для случая N критериев необходимо составить N - 1 уравнений вида (4). Дополнительное

позволяет составить систему

Рис. 2. Пример ОФЦ

Формируется искусственная альтернатива А с лучшей оценкой по менее важному критерию у\ и худшей оценкой по более важному критерию у0. Затем предлагается определить равноценную альтернативу В с худшей оценкой по менее важному критерию у0 (рис. 3).

ЛПР должно выбрать оценку ук2 альтернативы В такую, что:

V, (у|, у0, Уз0,... у„°) = V, (у0, ук, Уз0,... у„°) .

Поскольку значения ОФЦ для худшей оценки по критерию равно 0, а лучшее равно 1, то с учетом (1) можно сформировать уравнение:

2 = к^2( ук), (4)

где к1, к2 - шкалирующие коэффициенты первого и второго критериев, v2(у2) - значение ОФЦ

т «2

критерия 2 с оценкой у2 .

условие X 2 =1

1=1

уравнений, решение которой дает шкалирующие коэффициенты. Так может быть определена МФЦ в виде (1).

Известная нечеткая версия рассмотренного метода - БМЛУТ расширена до случая, когда оценки по критериям у,, значения ОФЦ у(у,), шкалирующие коэффициенты ки значения МФЦ у(у) описываются нечеткими числами. В качестве ОФЦ у(у) используются обычные четкие функции [12].

В практике принятия решений для ЛПР, как правило, затруднительно назначать точные оценки при построении ОФЦ. Кроме того, при дальнейшем анализе к изменению оценок ОФЦ не возвращаются из-за сложности и многоэтапности процедур задания ОФЦ и повторного вычисления ценности альтернатив, в то время как при анализе чувствительности проводят изменения шкалирующих коэффициентов для оценки влияния на результаты ранжирования альтернатив. Это приводит к тому, что при анализе не выявляются возможные отклонения в оценках альтернатив, связанные с нечеткими суждениями ЛПР при построении ОФЦ.

п

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

,0,5L 0,5С

лежности /д (у , у , у ) . Оценки у , у у0'5* имеют одинаковую ценность для ЛПР, равную 0,5, но с разной степенью принадлежности. Оценка у0,5С имеет ценность 0,5 со степенью принадлежности л =1, а у0'51, у0'5* имеют ценность 0,5 с ¡=0, поскольку являются граничными для ЛПР значениями, соответствующими ценности 0,5. Указанные оценки отмечены на рис. 4 соответственно УС(у°5С), ^(у°5Ь), ^(уом).

,0,5С

ш

В результате может произойти ошибочное исключение ценных альтернатив.

В этой связи предлагается метод FFMAVT (Full Fuzzy MAVT), расширенный до случая, когда ОФЦ являются нечеткими функциями.

Рассмотрим особенности предлагаемой процедуры построения нечеткой ОФЦ (НОФЦ). Для построения НОФЦ принимается, что значение функции от худшей оценки по критерию y0 равно

0, т. е. y0) = 0, значение НОФЦ для лучшей

оценки по критерию y1 равно 1, т. е. v(y:) = 1.

На интервале от [y0, y1] определяется средняя по

0,5С 0,5L

ценности точка y , а также возможное левое y и правое y0,5R граничные значения. ЛПР считает,

0 0,5С

что изменение оценки по критерию с y до y равноценно изменению с y°'5C до y1, но допускает возможное изменение точки равной ценности от y°'5L до y0'5R. Таким образом, от ЛПР получена нечеткая треугольная оценка с функцией принад-

Через точки (у0, 0), (у0,25*, 0,25), (у0'5*, 0,5), (у0'75*, 0,75), (у1, 1); (у0, 0), (у0'25С, 0,25), (у0'5С, 0,5), (у0'75С, 0,75), (у1, 1) и (у0, 0), (у0'25Ь, 0,25), (у0'5Ь, 0,5), (уО,75Ь, 0,75), (у1, 1) могут быть получены функции ^(у), Vе(у), у*(у). Эти функции позволяют определить ценность критериальной оценки с достоверностью ц = 0, ц = 1, ц = 0 соответственно. Функции V(у), V(у) соответствуют границам НОФЦ.

Рис. 4. Этап определения средней по ценности точки y

а также возможных граничных значений y°'5i, у°'5Л

Аналогичным образом устанавливаются

г 0 0,5т

средние по ценности точки на интервалах [у , у ] и [у0'5, у1], а также возможные граничные значения:

0,25! 0,25* 0,75! 0,75* тт г

у , у ; у , у . На рис. 5 представлен пример построения НОФЦ, полученной из ОФЦ (см. рис. 2) путем установления граничных значений

0,25 С 0,5С 0,75 С

для средних по ценности точек у , у , у .

Рис. 5. НОФЦ при [1(у, г(у))=0

Для границ НОФЦ характерно л( у, у( у)) =0. Т. е. степень достоверности того, что у имеет оценку у(у) равна 0. Например, для рис. 5 границе НОФЦ соответствует ¡(У0 25я, 0,25) = 0.

Для возрастающих функций ценности левая граница НОФЦ ^(у) образуется из правых гранич-

0,25* 0,5* 0,75*

ных значений у , у ; у , а правая граница НОФЦ У*(у) - из левых граничных значений у ' , у0'5!.; у0 75^. Это связано с тем, что любой произвольной оценке по критерию у должно соответствовать большее значение ^*(у) и меньшее ^(у). Для убывающих функций ценности левая граница НОФЦ образуется из левых граничных значений, а правая граница НОФЦ - из правых.

На рис. 6 представлена НОФЦ, описанная треугольными функциями принадлежности.

НОФЦ устанавливает нечеткую ценность критериальным оценкам. Оценки по критериям могут быть заданы четко и в виде нечетких множеств. Соответственно может возникать задача определения образа четкого и нечеткого множества при нечетком отображении.

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Рис. 6. НОФЦ, образованная треугольными функциями принадлежности / у ( у), Vе ( у), у" ( у))

Образом отображения /: X ^ У четкого множества X во множество У является множество таких элементов множества У, для которых существует прообраз в множестве X:

/ (X) = {у еУ|Зх е X :/ (х) = у}.

Нечеткое отображение / множества X во множество У можно описать функцией принадлежности и~ : X х У ^ [0;1]. Функция принадлежности

и~(х, у) определяет степень достоверности того, что точка у принадлежит образу точки х при нечетком отображении / .

Образом / (А) четкого множества А с X при нечетком отображении / : X ^ У будет объединение образов его элементов [8]:

(5)

Mj (A)( У) = SUP (х' У) .

xeA

Образом /(А) нечеткого множества А с X при нечетком отображении / : X ^ У называется нечеткое подмножество множества У с функцией принадлежности [8]:

и~(А)(у) = зиртт[ иА(х);и/(x,у)]. (6)

xеX

Итак, для определения образа при нечетком отображении в соответствии с (5), (6) необходимо установить функцию принадлежности нечеткого отношения ии~(у, v(у)) . Ввиду того, что НОФЦ, образованная треугольными функциями принадлежности (см. рис. 6), не может быть описана уравнениями плоскостей, получение аналитического выражения и~(у, у)) достаточно затруднительно. В связи с этим предлагается разбивать по а -уровням полученные от ЛПР нечеткие множества, описанные треугольными функциями принадлежности /Д (V1 (у), Vе (у), V* (у)).

Множеством уровня а нечеткого множества А в X называется множество в обычном смысле, составленное из элементов х е X, степени принадлежности которых нечеткому множеству А не меньше числа а . Таким образом, если А - множество уровня а нечеткого множества А, то [8]

Аа= {х | х е X, ^а(х) >а} . (7)

Левые и правые границы полученных множеств А образуют линии уровня а НОФЦ. При этом становится возможным определение нечеткого отношения и~(у, у)) для выбранных а-уровней. Пример разбиения НОФЦ по а -уровням представлен на рис. 7.

Рис. 7. Разбиение НОФЦ по а -уровням (а = 0; а = 0,5; а = 1)

На рис. 7 также показан пример определения нечеткого образа четкого множества, состоящего из одного элемента ук. Полученный нечеткий образ описывается функцией принадлежности, заданной следующими парами:

[Voi(у2), Я(у) = 0]; [<5(у2), Я(у) = 0,5 ];

[ Vе (у2), и,(у) = 1 ];

[ <5(/), M

),5( У ), Pv(y) = 0,5 ]; [ V0( У X Mv (У) = 0 ].

Получаемая функция принадлежности нечеткого образа не является треугольной. На рис. 8 показан пример НОФЦ, для которой на рис. 9 определены по выражению (5) нечеткие образы четких множеств, состоящих из одного элемента У = 1, y = 3, y = 5, y = 7, y = 9.

Для получения функций принадлежности нечетких образов была разработана программа в среде Delphi, позволяющая осуществлять разбиение НОФЦ на 100 а -уровней.

Современные технологии. Математика. Механика и машиностроение

ш

Для упрощения вычислений и ввиду малого отличия получаемых функций принадлежности от треугольных предлагается пренебречь отклонением функций принадлежности от треугольной формы. В этом случае для определения функции принадлежности нечеткого образа достаточно определить:

[(ук), лЛу) = 0]; [ Vе(ук), лУ(у) = 1 ]; [у;? (Ук), Лу) = 0 ].

Рис. 8. Пример НОФЦ

оценки у, у2, у3 описываются треугольными функциями принадлежности / (уь, уе, уК): /1д (1,3,5), Лд (3,5,7), /зд (5,7,9).

Рис. 9. Полученные нечеткие образы оценок у = 1; 3; 5; 7; 9

На рис. 10 представлены нечеткие образы при нечетком отображении нечетких критериальных оценок, полученные с помощью выражения (6), для примера рис. 8. Нечеткие критериальные

Рис. 10. Нечеткие образы нечетких критериальных оценок ~ , ~2, ~

Функции принадлежности полученных нечетких образов также близки к треугольным. На степень отклонения от треугольной формы влияет отличие в угловых коэффициентах кусочно-линейных функций V(у), УС(у), ^*(у) на а -уровнях. В случае, когда угловые коэффициенты равны на интервале [у1, у*], функция принадлежности нечеткого образа имеет треугольную форму.

Предлагается, как и в случае отображения четких критериальных оценок, пренебречь отклонением функций принадлежности от треугольной формы. Тогда, для определения функции принадлежности нечеткого образа достаточно определить:

[ Уо (уЬ), Лу) = 0 ]; [ Vе (уе), лУ{у) = 1 ]; [ ук0 (уК), лУ{у) = 0 ].

Итак, предложены: процедура построения НОФЦ и способы определения нечетких образов четких и нечетких оценок по критериям. Разработки позволяют сформировать нечеткую модель определения ценности для ЛПР альтернатив с четкими и нечеткими значениями по критериям.

После построения НОФЦ необходимо провести определение шкалирующих коэффициентов. Требуется установить равноценные альтернативы, в частности выбрать оценку у£ (см. рис. 3). Эта оценка может быть задана нечетким числом у-2_

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

с треугольной функцией принадлежности (у", уек, у2к) (рис. 11). В этом случае уравнение (4) примет вид

k = y 2),

(7)

где к1, к2 - нечеткие шкалирующие коэффициенты, у2(у2) - образ нечеткого отображения у не-

« « у к ^ четкой критериальной оценки ук по критерию 2.

2 2 2

Рис. 11. Процедура нечеткого определения равноценных альтернатив

После проведения опроса ЛПР и выявления равноценных альтернатив может быть сформирована система нечетких линейных алгебраических уравнений (СНЛАУ):

(8)

k1 = k2~2(.~2 X ~ = j У X

k п—1 = kn-1Vn-1 («y n—1 X

у + ~2 +... + kn = 1.

Для решения СНЛАУ могут применяться известные методы [3, 5]. Так, в случае треугольных нечетких чисел уравнения с нечеткими неизвестными можно решить, разложив нечеткие числа по а-уровням и оперируя с границами полученных нечетких интервалов.

В результате решения СНЛАУ вида (8) можно записать нечеткую многокритериальную функцию ценности (НМФЦ):

k(.y ) = k(.y1, ~2 ,..., Уп ) = X k'k (k> ^

(9)

НМФЦ позволяет каждой альтернативе с четкими или нечеткими оценками по критериям дать нечеткую оценку ~ (y).

Полученные оценки альтернатив необходимо сравнить. Процедуры сравнений нечетких чисел достаточно хорошо разработаны, описаны в [2, 4,

5, 9].

Для сравнения нечетких чисел k может использоваться способ нечетких отношений, полученных попарным сравнением v~ . Можно выделить четыре показателя превосходства [9]:

Pos(vR > v^) - возможность того, что правая граница оценки НФМЦ v~ будет, по меньшей мере, равна левой границе оценки НМФЦ v~ .

Pos (vR > vR) - возможность того, что правая граница оценки НФМЦ v~ будет больше правой границы оценки v~ .

NecV > v^) - необходимость того, что левая граница оценки НФМЦ у будет, по крайней мере, равна левой границы оценки v~ .

Nec(v^ > vR) - необходимость того, что левая граница оценки НФМЦ у будет больше правой границы оценки v~ .

Полученные с помощью (9) оценки у, у ...,у можно ранжировать по значениям показателей превосходства. Определение значений показателей превосходства основано на расчете пересечения функций принадлежности нечетких оценок у, у2 уп .

Таким образом, предложен метод FFMAVT, являющийся нечетким расширением методов MAVT, FMAVT до случая, когда однокритериаль-ные функции ценности заданы нечетко. Разработанный метод позволяет получить нечеткую оценку как точно заданных, так и заданных в виде нечетких оценок альтернатив. Получаемые в результате решения нечеткие значения НФМЦ позволяют судить о возможных изменениях в оценках альтернатив, так как левые и правые расширения нечетких оценок учитывают:

- возможные изменения ценностных соотношений ЛПР между критериями;

- возможные изменения в суждениях о ценности различных оценок по критериям;

- возможные изменения критериальных оценок.

Разработанный метод FFMAVT позволит решить широкий круг проблем принятия решений в области многокритериального анализа альтернатив при нечетких предпочтениях ЛПР. Так, FFMAVT позволит ранжировать по предпочти-

i=1

тельности и оценить возможные отклонения в оценках эффективности инвестиционных проектов в энергетике, промышленности, транспорте. Разработанные процедуры позволяют задать предпочтения ЛПР, что особенно важно на начальных стадиях анализа, когда общие представления о проблеме размыты, а альтернативы, как правило, многочисленны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях : пер. с англ. // Вопросы анализа и процедуры принятия решений М. : Мир, 1976. С. 172-215.

2. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей : Примеры использования. Рига : Зинатне, 1990. 184 с.

3. Борисов А. Н., Алексеев А. В., Меркурьева Г. В. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. М. : Радио и связь, 1989. 304 с.

4. Дюбуа Д. Прад А. Теория возможностей. Приложение к представлению знаний в информатике. М., 1990. 332 с.

5. Ибрагимов В. А. Элементы нечеткой математики

: моногр. Баку : АГНА, 2010. 394 с.

6. Кини Р. Л., Райфа Х. Принятие решения при многих критериях: предпочтения и замещения : пер. с англ. / под ред. И. Ф. Шахнова. М. : Радио и связь, 1981. 580 с.

7. Леоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. СПб. : БХВ-Петербург, 2005. 736 с.

8. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М. : Наука, ГИФМЛ, 1981. 208 с.

9. Секретарев Ю. А., Диденко С. А., Караваев А. А., Мошкин Б. Н. Ситуационное управление энергетическими объектами и процессами электроэнергетической системы : моногр. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007. 308 с.

10. Черноруцкий И. Г. Методы принятия решений. СПб. : БХВ-Петербург, 2005. 416 с.

11. Шакиров В. А. Многокритериальный анализ вариантов размещения энергетических объектов : автореф. дис. ... канд. техн. наук : 05.13.01. Иркутск, Изд-во ИрГУПС, 2007. 22 с.

12. Яцало Б. И., Грицюк С. В., Мир-зеабасов О. А., Василевская М. В. Учет неопределенностей в рамках многокритериального анализа решений с использованием концепции приемлемости // Сборник трудов. Вып. 32: М. : ИПУ РАН, 2011. C. 5-30.

13. Csutora R., Buckley J.J. Fuzzy Hierarchical Analysis: the Lambda-Max Method // Fuzzy Sets and Systems. 2001. 120. P. 181-195.

14. Goumas M., Lygerou V. An extension of the PROMETHEE Method for Decision Making in Fuzzy Environment: Ranking of Alternative Energy Exploitation Projects // European Journal of Operational Research. 2000. 123. P. 606-613.