Нечетко-множественная модель многокритериального альтернативного выбора Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК. 519.8

НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННАЯ МОДЕЛЬ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО АЛЬТЕРНАТИВНОГО ВЫБОРА

В.Г. Чернов

Владимирский государственный университет имени А. Г. и Н. Г. Столетовых

Предложена модель многокритериального альтернативного выбора, в которой при оценке альтернатив могут участвовать несколько экспертных групп, представляющих интересы различных участников процесса. Оценки альтернатив представляются в нечеткой лингвистической форме.

Ключевые слова: нечеткое множество, нечеткое число, лингвистическое значение, функция принадлежности. координата центра тяжести.

В управленческой деятельности различных организаций, предприятий, фирм часто встречаются задачи выбора некоторого решения из множества возможных. Это, например, может быть формирование пакетов проектов для программы экономического развития, выбор корпоративной информационной системы для информатизации предприятия, подготовка решения о выпуске нового продукта и т.п. Несмотря на различия перечисленных задач, их объединяет ряд положений:

1. Все задачи - это задачи многокритериального альтернативного выбора;

2. В решении может участвовать несколько групп экспертов, формируемых из сотрудников организации или предприятия, независимых экспертов, а также экспертов, представляющих конкретные проекты;

3. Решение осуществляется в условиях неопределенности как относительно критериев, так и оценок критериального соответствия, т.к. процесс их формирования имеет экспертный характер, а экспертным оценкам принципиально свойственна неопределенность.

Соответственно возникает

следующая последовательность

прикладных задач математического моделирования:

1) выбор математического аппарата для

решения задач альтернативного многокри-

териального выбора, способного работать в условиях нестатистической неопределенности и при наличии оценок как в числовой, так и в вербальной форме. Условие нестатистической неопределенности связано с тем, что рассматриваемые задачи, как правило, имеют уникальный характер, а некоторые из оценок либо не имеют, либо не могут быть представлены в числовой форме;

2) согласование экспертных оценок. При

этом выборе применение известных методов согласования может быть затруднено из-за ограничений на число привлекаемых экспертов. Кроме того, практически целесообразно, чтобы алгоритм согласования экспертных оценок находился бы в рамках выбранного математического аппарата;

3) разработка на основе выбранного математического аппарата алгоритмического инструментария согласования экспертных оценок и структурирования альтернатив, пригодного для компьютерной реализации

По нашему мнению, наиболее логически адекватным для

рассматриваемых задач решением является математический аппарат нечетких множеств, что объясняется следующими причинами:

1) теория нечетких множеств создавалась именно для представления в строгой математической форме неопределенных суждений, свойственных человеческой приро-

де. Числовые оценки критериального соответствия в виде нечетких чисел, в отличие от традиционно используемых точечных (баллы или ранги), представляют экспертные оценки в виде интервалов значений и распределения их возможности, задаваемого функцией принадлежности;

2) методами теории нечетких множеств может решаться задача согласования экспертных оценок даже при отсутствии ограничений на число привлекаемых экспертов и анализируемых критериев;

3) теория нечетких множеств располагает большим набором алгоритмических методов для решения задачи многокритериального альтернативного выбора.

Постановка задачи.

Имеется множество проектов (альтернатив), которые намечаются для

реализации Р = {Р ;/ = 1,1 } . Для

принятия решения по отбору проектов должна быть разработана система критериев оценки, в создании которой могут участвовать различные группы экспертов, которые действуют независимо. Положим для простоты, что это внутренние эксперты- сотрудники организации (предприятия) и внешние эксперты. Оценки критериального соответствия могут иметь как числовую, так и вербальную форму. Таким образом, для оценки альтернатив должны быть составлены конечные множества как количественных, так и качественных

критериев: С8 = {с5:5 = 1, £}, построенное внутренними экспертами;

С л = (сг : г = 1, К), предлагаемое

внешними экспертами. В общем виде объединенное множество критериев оценок можно построить как логическую сумму:

С = С3 © Ся = (С3 п Ся) и (С3 и Ся)

• (1)

Тогда для решения задачи выбора наилучшего альтернативного варианта необходимо построить отображение:

Г : Р ^ С , (2)

учитывая, что отображение (2) является нечетким, т.е. указать однозначные, строгие соответствия проектов требованиям критериев невозможно, отображение (2) перепишем в виде:

Г: Р С (3), где Г -нечеткое отображение; ц- степень выполнения отображения Г .

Построение согласованного множества критериев по соотношению (1) допустимо, если предполагается, что все критерии целесообразно включить в согласованное множество. В противном случае, такое решение нельзя считать корректным.

Предлагается следующая процедура построения согласованного множества критериев оценки. Целесообразность включения конкретного критерия в согласованную систему будем оценивать в вербальной форме, т.е. строится терм-множество Т = {тк : к = 1, К} (например, <нецелесообразно, целесообразно, очень целесообразно>, К=3). Этих оценок может быть и больше, однако размерность терм-множества не влияет на общность процедуры решения. Конечно, целесообразность включения критериев в согласованную систему может быть выражена и в числовой форме, например, как координаты собственного вектора матрицы парных сравнений. Однако это потребует достаточно громоздких вычислений. Кроме того, может оказаться, что не все из привлеченных экспертов владеют этим методом. Вербальное представление оценок целесообразности включения критериев в согласованную систему является более простым. Отметим, что к этой работе может быть привлечена и дополнительная группа независимых экспертов, которая будет заниматься только задачей построения согласованной системы критериев.

Эксперты, привлеченные к оценке целесообразности включения критериев в согласованную систему, должны построить отображение:

Г : С ^ Т (4) число экспертов равно пяти, терм- множе-

как для элементов множества С8, так и для ство содержит элемента, °т°бражение

элементов множества Ск. Например, если (4) может быть задано таблицами I,2.

Таблица 1

Оценки целесообразности включения критериев множества Сб __в согласованную систему_

Е / № Терм-множество Номер критерия

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Нецелесообразно 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

№1 Целесообразно 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0

Очень целесообразно 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1

№2 Нецелесообразно 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Целесообразно 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0

Очень целесообразно 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

№3 Нецелесообразно 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Целесообразно 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

Очень целесообразно 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1

№4 Нецелесообразно 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Целесообразно 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

Очень целесообразно 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1

№5 Нецелесообразно 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

Целесообразно 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0

Очень целесообразно 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1

Таблица 2

Оценки целесообразности включения критериев множества Ск в __согласованную систему_ _

Еп /№ Терм 1 2 3 4 5 6 7 8

Нецелесообразно 1 0 0 0 0 1 0 0

№1 Целесообразно 0 0 1 0 0 0 0 1

Очень целесообразно 0 1 0 1 1 0 1 0

№2 Нецелесообразно 0 0 0 0 0 1 0 0

Целесообразно 1 0 0 1 0 0 0 0

Очень целесообразно 0 1 1 0 1 0 1 1

№3 Нецелесообразно 1 0 0 0 0 0 0 0

Целесообразно 0 1 0 1 0 0 1 0

Очень целесообразно 0 0 1 0 1 0 1 1

№4 Нецелесообразно 1 0 0 0 0 1 0 0

Целесообразно 0 1 1 1 0 0 0 0

Очень целесообразно 0 0 0 0 1 0 1 1

№5 Нецелесообразно 0 1 0 0 0 1 0 0

Целесообразно 1 0 0 1 0 0 1 1

Очень целесообразно 0 0 1 0 1 0 0 0

Для принятия решения о включении критерия в согласованную систему введем оценку:

N

ßkj = min( 1, /N X wtk )'к e [ 1, K],j e [ 1,J],

i=1

результаты расчетов которой для множеств Cs, Cr представлены в таблицах

3,4, соответственно. Из таблицы 3 следует, что критерий с7£Св получил наибольшую оценку по лингвистическому значению «нецелесообразно» и его не следует включать в согласованную систему критериев.

Таблица 3

Результаты обаботки мнений экспертов по критериям CS.

Терм 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-"""Критерии

Нецелесообразно 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0.8 0 0 0

Целесообразно 2 0 3 0 2 0 1 2 4 0

0.4 0 0.6 0 0.4 0 0.2 0.4 0.8 0

Очень целесообразно 3 5 2 5 3 5 0 3 1 5

0.6 1 0.4 1 0.6 1 0 0.6 0.2 1

Таблица 4

Результат обработки мнений экспертов по критериям CR

Терм 1 2 3 4 5 6 7 8

__"-""Критерии

Нецелесообразно 3 1 0 0 0 4 0 0

H-ü 0.6 0.2 0 0 0 0.8 0 0

Целесообразно 2 2 3 4 0 1 1 3

H2j 0.4 0.4 0.6 0.8 0 0.2 0.2 0. 6

Очень целесообразно 0 2 2 1 5 0 4 2

H3j 0 0.4 0.4 0.2 1 1 0.8 0. 4

Аналогичная ситуация имеет место для критериев С]ЕСк, сг,ЕСк. В итоге

получим новые множества С8 и Сяи согласованную систему критериев: С = (С и С£) и (С п Сл) = (с : п = Г7^), (5) где К- число критериев в согласованной системе.

Так как отдельные критерии из множеств С3 и СК могут совпадать, то размерность объединенного множества

может быть меньше суммы размерностей отдельных, в него входящих, т.е.

После построения системы (5) необходимо провести оценку

соответствия альтернатив требованиям критериев, построив отображение (3). При этом возможны различные варианты, определяемые условиями, которые должны быть согласованы в начале решения задачи. Необходимо определить, будет ли предполагаться равнозначность

критериев, либо они имеют различные веса, в какой шкале представлены оценки критериального соответствия.

Предположим, что критерии, включенные в систему (5), имеют различные веса (различную значимость), соответственно, необходимо решить задачу их назначения. Для этой цели наиболее целесообразно применение матриц парных сравнений с последующим вычислением координат собственного вектора, которые можно интерпретировать как веса

соответствующих критериев. В качестве обоснования этого предложения можно указать на возможность контроля корректности получаемых значений весов, используя индекс согласованности. Конечно, этот метод потребует и определенных вычислительных затрат. Матрицы парных сравнений могут быть использованы и для определения оценок критериального соответствия. Однако объем вычислений быстро растет как при увеличении числа критериев, так и при

увеличении количества альтернатив. Кроме того, при большом числе последних трудно обеспечить

необходимый уровень согласованности. Более простым является метод балльных оценок. При этом, в силу их нечеткого характера, целесообразно

трансформировать их в вербальную форму[1].

Пусть для оценки степени соответствия требованиям критериев построено множество лингвистических

оценок Ь = : Я = 1,О) например, { УЬ-

очень малая, Ь-малая, М- средняя, Н-высокая, УН- очень высокая} и

соответствующие нечеткие множества с функциями принадлежности

М = {^ (г): г е [0,1]}. На рис.1

представлен алгоритм перехода от числовых балльных оценок к вербальным. Треугольные функции принадлежности выбраны только из соображений простоты изображения.

Рис.1. Переход от балльных оценок к вербальным

Как следует из рисунка, некоторому баллу Ьу 1-й альтернативы по ]-му критерию соответствуют две лингвистические оценки «малая» и «средняя», с соответствующими функциями принадлежности

|ь(Ьу),|м(Ьу), при этом |м(Ьу)>|ь(Ьу). Функцию принадлежности можно интерпретировать как распределение истинности (возможности) для

соответствующих оценок. Тогда из рис.1 следует, что истинность лингвистической оценки «средняя» больше истинности оценки «малая», а оценку « средняя» можно принять за окончательную. Использование только значения функции принадлежности может привести к ситуации, когда несколько альтернатив получат одинаковые оценки по всем критериям при различных

лингвистических значениях

критериального соответствия. Для устранения этой ситуации будем использовать интегральную оценку

у= |м (Ьу)*СО(|1м(Ьу)), (6),

где СО(|М(Ьу))- координата центра тяжести фигуры, ограниченной кривой соответствующей функции

принадлежности (рис.1).

В примере, представленном на рис.1, при переходе к лингвистическим оценкам, они получаются в виде нечетких множеств с трапецеидальными функциями принадлежности. В этом случае при вычислениях по

соотношению (6 ) вместо координаты

центра тяжести можно использовать оценку Чью-Парка [2] Ср(1^)=(а1(1^)+а2(1^)+а3(1^)+а4(1^))/4+ + ,Ца2(у)+а3(у))/2, где а1(у), а4(у), а2(у),а3(у))-координаты нижнего и верхнего оснований трапецеидальной функции принадлежности. Для симметричных трапеций параметр w можно положить равным единице, Предположим для определенности, что согласованная система критериев содержит десять критериев, результаты описанных преобразований представлены таблицей 5. Безусловно, что количество критериев может быть и каким-то другим.

Таблица 5

Оценка проектов по согласованной системе критериев

Проекты ___---~""~Ерт ерии Вес <w) Г(^) Вес О) Вес (w) Г(Д) Вес (w) Г(Д)

0.1 [Н]=0.6 0.12 [М]=.45 0.14 [H]=-8 0.1 [VH]=0.8

0.1 [М]= 0.5 0.13 [HJ=0.75 0.15 [VL]= 0.3 0.1 [L]= 0.3

0.15 [VH]= 0.8 0.2 [VHJ= 0.85 0.13 [VHJ= 0.8 0.2 [VH]= 0.95

0.08 [Ы1= 0.65 0.04 |М]=0.5 0.09 H= 0.35 0.09 |MJ= 0.6

0.08 [Н]=0.7 0.04 [HJ=0.8 0.06 [H]= 0.8 0.1 [H]= 0.75

с, 0.12 [Ы1= 0.65 0.15 [HJ=0.8 0.11 |MJ= 0.6 0.08 H= 0.4

с7 0.1 М= 0-4 0.11 М=0.4 0.04 [VH]= 0.85 0.06 [H]= 0.8

са 0.06 И= 0.25 0.09 [VH]=0_9 0.12 [MJ= 0.5 0.08 [LJ= 0.45

с9 0.11 [М]= 0.6 0.07 [VH]=0.8 0.07 [H]= 0.7 0.12 [H]=0.75

0.1 [Н]= 0.7 0.05 [L]=0.35 0.09 [VL]= 0.25 0.07 [VLJ= 0.3

Правило выбора альтернатив может быть записано в виде пересечения (пессимистическая позиция) или объединения (оптимистическая позиция) соответствующих нечетких множеств, которые формализуются операцией минимума или максимума,

соответственно, выполняемыми над соответствующими функциями

принадлежности. Тогда: 1) при равнозначных критериях:

м _

Ppes = |>с (P ) = min ус. (р);i = 1,1.

j=1 j j=1M J м _

Popt = 1>с (P ) = max/с (P );i = 1,1;

j=1 J J=1M 1

2) при неравновесных критериях:

м _

Ppes = О? (P) = min Ус1. (P) ;i = 1,1,

1=1

м

j=1M

Popt = örC1 (P,) = maxуС1 (Pt);i = 1,1, (7)

j=l Cj J=1M cj

где - а ■ коэффициент относительной

важности или рангкритерия С.,

м

х а=1.

з=1

Уровень несоответствия оценок проектов по всем критериям будет равен:

Р& = 1 - Р°р = 1 (р).

Неопределенность полученных оценок можно определить следующим образом:

н = р°рр Л Р°р = С (Рг ) ^^С, (Рг ) =

= ШШ{ /ис](Р1),Ис](Р1)}

При сравнении нечётких множеств Н, Рорр, Рорр, т.е для упорядочения проектов и определения наилучшей альтернативы, нужно выбрать те проекты, для которых Рор -—^1, Н и Р°р7 ^ 0. При неравновесных критериях, используя данные табл.5 и соотношения (7) получим:

Рре5 = 0.91,Р1°р/ = 0.97,Р/е5 = 0.9, Р°р = 0.99, Р3ре5 = 0.83, Р°р = 0.98, Рре5 = 0.89, Р°р = 0.99.

Структурирование множества проектов при пессимистической позиции имеет вид Р3 ч Р2 ч Р = Р, при оптимистической Р ч Р ч Р = Р . Очевидно, что для «оптимиста» и «пессимиста» нет однозначного выбора, по крайней мере, между проектами Р1,Р2,Р4, хотя проект Р4 может рассматриваться как наиболее предпочтительный. Необходимо отметить проблему влияния весовых коэффициентов критериев. Дело в том, что при равнозначных критериях получается совсем другое структурирование проектов:

пессимистическое- Р ч Р ч Р ч Р , оптимистическое- Р ч Р ч Р ч Р . Поэтому к назначению весов критериев надо подходить очень тщательно.

Проведенное рассуждение было выполнено без учета содержательной стороны критериев. Пространство критериев можно разделить на два непересекающихся подпространства: элементами первого являются критерии, характеризующие возможности получения дохода, улучшения каких-то показателей, развития и т.д., второго - критерии, представляющие возможные расходы, какие-то возможные ухудшения во внешней среде проекта, связанные с его реализацией. Обозначим эти подпространства через С(+) и С(-) соответственно. Очевидно, что свертка оценок по соответствующим критериям должна выполняться по разному:

1. благоприятный вариант, в этом случае оценки по критериям, принадлежащим С(-) должны быть минимальными, т.е.

шт( Р 1 ) и наилучшей будет

]

С( -)

шш шш(РС] ), (8)

• 1

для критериев, принадлежащим С(+),

наилучший вариант

С(+)

шах(шах Р1 ); (9)

• 1 1

2. неблагоприятный вариант, для С(-) будет характеризоваться

сочетанием

С(.-)

шш(шах Р 1 ))

(10)

гс+)

для С(+) - шах(шш Р1 )• (11)

• 1 1

Предположим, что подпространство С(-) = {(, С}, соответственно

С( ) = {С3, С4 ,••• ,С10}

Результаты расчетов по

соотношениям (8)-(11) при

неравновесных критериях приведены в таблице 6.

Оценка проектов по критериям C(-) и C

4+)

Таблица 6

Проекты Благоприятный вариант Неблагоприятный вариант

min PC C+ max P j max PCj C+ min P j

P 0.93 0.97 0.95 0.91

P2 0.91 0.99 0.96 0.90

P, 0.83 0.98 0.97 0.88

P4 0.89 0.99 0.98 0.91

Полученные результаты опять же не позволяют получить однозначное решение.

Значения min PC max

^-max PCj min PCj у можно рассматривать

как материальные точки, принадлежащие некоторым множествам оценок проектов в соответствующих ситуациях-благоприятной или неблагоприятной. На этих множествах теоретически можно указать точки C(+) или С(~ \ представляющие их интегральные оценки. При этом для

подпространства C(точка С 0(") будет характеризовать предельно допустимую «негативную» оценку и проект будет тем лучше, чем дальше его интегральная оценка по этой совокупности критериев находится от точки С(~). В

подпространстве C(+) точка C 0(+) характеризует наилучшую для конкретной ситуации интегральную оценку проектов и чем меньше расстояние до этой точки интегральной оценки проекта по данной группе критериев, тем проект лучше. Ранжирование проектов можно произвести по расстоянию между полученными оценками проектов и

расстоянию d (C( ,min P. J ) или

d(+)(C,(+),maxpCj) для благоприятного

варианта или d(:) (Cq:), maxPCj ),

d(+) (Cq+) ,min PCj ) для неблагоприятного.

Для критериев группы С: это расстояние должно быть максимальным,

а для

C + -минимальным.

j

Истинные

значения С(+) и С( ) определить практически невозможно. Известно [3], что обобщенной характеристикой системы материальных точек является координата центра тяжести, которую в данном случае можно принять в качестве эталонной точки. Если положить, что масса элементов множества равна единице, то вычисление координаты центра тяжести можно заменить вычислением среднего значения

CG = -

m x

n

X m

i=1

1 n

■ = — X x. при m;=1.

n i=1 '

Расстояние до эталонной точки можно вычислить разными способами: расстояние Хэмминга, Евклида, может быть использовано понятие псевдоинерции [2]. В таблице7 представлены значения линейного расстояния.

точками C „(+) или

С (") С 0

по

i =1

Таблица 7

Оценка проектов по расстоянию до идеальной точки

Проекты Благоприятный вариант Неблагоприятный вариант

d (-}(C( ^min PCj d (+)(C g+),max Pf+) d{-\Cg_),maxPfj) d(+)(C¿+),minPC )

P 0.04 0.0125 0.015 0.01

P2 0.02 0.0075 0.005 0.0

P3 0.06 0.0025 0.005 0.002

P4 0 0.0075 0.015 0.01

К сожалению, решение опять получается неоднозначным. Дальнейшие попытки получить однозначное решение заключаются в следующем: исходя из пессимистической позиции для оценок ситуации Cj( ) определим q. = min[ d(CM (БП), d(CM (НБП)], (12)

что дает наихудшую оценку по негативным факторам для j-го проекта и ^ = max[d (Cj+) (БП ), d (C<+)(НБП )] (13)

- наилучшую оценку по благоприятным факторам, и, наконец,

A, =-

j Z

(14)

Логика этого предложения объясняется тем, что для более привлекательного проекта q ^ max , z ^ min, что

приводит к увеличению оценки A ■.

Оценка (14) является относительной и, как известна, она более чувствительна к различиям между альтернативами.

Результаты расчетов по соотношениям (12-14) представлены в таблице 8 и позволяют принять окончательное решение по структурированию альтернатив

P ^P2 ^P3 ^P4.

Таблица 8

Оценка проектов по относительному показателю X

Проекты qj sj

P 0.015 0.0125 1.2

P2 0.005 0.0075 0.67

P3 0.005 0.002 0.25

P4 0 0.01 0

Заключение. Предложен метод структурирования альтернативных решений, учитывающий неопределенности экспертных оценок критериального соответствия. представленных как в число-

вой, так и в вербальной форме. Практическая реализация может быть выполнена с помощью нечеткой надстройки Б^-2уЕхее11 для известной электронной таблицы.

ЛИТЕРАТУРА

1.Чернов В.Г. Энтропийный критерий принятия решений в условиях полной неопределенности. // Информационно-управляющие системы. - 2014. -№ 6. - С.51-56.

2. Chui, Y.C. andChan, S.P. Fuzzy cash flow analysis using present worth criterion. Engineering Econ-omist,1994, 39, pp. 113-138.

3. Diday, E. et collaborateurs: Optimisation en classification automatique. Rocquencourt, INRIA, 1979 (Deux tomes). Diday, E., Lemaire, J., Pouget, J., Tes-tu, F.: Elements d'analyse de donne.

Рукопись поступила в редакцию 14.05.2015.

THE FUZZU SET MODEL OF MULTI-ALTERNATIVE CHOICE

V. . Chernov

The proposed model of multi-alternative choice,in which in the evalution of alternatives can participate several expert groups representing the interests of various stakeholders. Estimations of alternatives is presented in the form linguists fuzzy.

Key words — fuzzy set, fuzzy number,, linguistic meaning, membership function, coordinate of the center of gravity.