Почти ar-деформации поверхностей с условием обобщенного скольжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Бодренко А.И., 2011

МАТЕМАТИКА

УДК 514.75 ББК 22.151

ПОЧТИ АЛ-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С УСЛОВИЕМ ОБОБЩЕННОГО СКОЛЬЖЕНИЯ

А.И. Бодренко

В статье исследуются свойства почти АЕ-деформаций гиперповерхностей в евклидовых пространствах с заданным изменением их грассманова образа, удовлетворяющих условию обобщенного скольжения.

Ключевые слова: деформация поверхности, средняя кривизна, вторая фундаментальная форма, грассманов образ, обобщенное скольжение.

Введение

Рассмотрим в евклидовом пространстве Еп+1,п > 1, односвязную ориентируемую гиперповерхность F € С'3,1', 0 < и < 1, с краем дЕ € С2'1'. Введем в Еп+1 декартову прямоугольную систему координат (у1,уп+1). Пусть (;гл,..., — локальные координаты

Е в произвольной точке М Е Е. Зададим Е системой уравнений

уа = Е Д Г е С3'"ф),а = Т^+Т,

где -О — односвязная ограниченная область в Еп с границей дИ класса С1,и. Введем в Еп декартову прямоугольную систему координат (я1,...,#”). Обозначим через г = г (М),М Е F, радиус-вектор поверхности F, п=п (М) — единичный вектор нормали к поверхности F в точке М. Пусть на F задана функция 7 = 7^, М), М 6^Д>0. Пусть дано действительное число А.

Определение 1. Деформацию {Е*},1 Е [0,£о),£о > 0, гиперповерхности F, определяемую уравнением:

Г* :г* (М) = г (М)+ с (*, М), УМ Е Г,

.

где I — параметр деформации, г — радиус-вектор поверхности F , будем называть почти ареально-рекуррентной деформацией(почти АЯ-деформацией), если выполнено условие: изменение Д*(с?<т) элемента площади с1а поверхности Я удовлетворяет соотношению:

Д*(с?<т) = Нп(\с + ^)с1а, (1)

где А — коэффициент рекуррентности деформации; Н{М) — средняя кривизна Р в точке М; с =<г , п>, < > — скалярное произведение в Еп+1.

Рассмотрим для векторного поля условие:

<(«;(*, М), п (М) >= #(*> м)> м е ^ (2)

где ск1’(1,М) = М)с1хг — заданное семейство линейных дифференциалов класса С1'и(Р). Это условие задает изменение грассманова образа поверхности Д при деформации {Д*}.

—У

На <9F рассмотрим единичное векторное поле ?7о, не касательное к <9F ни в одной точке и лежащее в касательной к Д плоскости. Рассмотрим П(?70) — множество еди-

—У —У

ничных векторных полей Чв, тангенциальная составляющая которых коллинеарна Чо ■

—^ ^ л—^

Каждое векторное поле Ле однозначно определяется заданием угла в =Ло; Чв, отсчиты-ваемым в сторону вектора п, так что Лж/2=п ■

Для поля деформации рассмотрим условие обобщенного скольжения на <9F:

< с (*, М), (М) >= <(*, М), М е (3)

где ( — заданная функция; ч]в ~ заданное векторное поле на

Будем говорить, что поверхность Д допускает непрерывные почти АД-деформации {Г*} в классе С1'и,1 > 0, если поле деформации л непрерывно по I и zE C'г’гУ(F).

Пусть функции 7, ( и ^ непрерывны по £, 7(0, М) = 0,^(0, М) = 0,\/М €

<(0,М) = 0,УМ е 7 е Сю'г'(Д),( € С'1’гУ(5Г), С'1’гУ(5Г).

Пусть Д не имеет действительных асимптотических направлений.

Теорема 1. Для Д существует не более чем счетное множество действительных чисел Л = {А„ в = 1, 2,... : — 1 = А1 < Л2 < не имеющее конечных предельных точек, такое, что при А ^ А для всякого По можно указать число 90 Е (0,7г/2), такое,

что для всех векторных полей Ле £ П(/7о), Ле £ С1'и(дР), удовлетворяющих условию: и/2 —во < 9 < 7г/2 на дР, существует такое значение параметра деформации £0 > 0, что гиперповерхность Д для I Е [0,£о) допускает в классе С°'и единственную непрерывную почти АЯ-деформацию с коэффициентом рекуррентности \, изменением ее грассманова образа, заданным формулой (2), удовлетворяющую краевому условию обобщенного скольжения (3).

В работе [1] изучались непрерывные почти АДС-деформации гиперповерхностей в евклидовом пространстве.

1. Вывод уравнений почти ЛЛ-деформаций гиперповерхности с заданным изменением ее грассманова образа

Так как Д не имеет действительных асимптотических направлений, то, не нарушая общности, ориентируем поверхность Д единичным вектором нормали п так, чтобы ее средняя кривизна Н была положительной. Обозначим через у", па, л" компоненты векторов г,?г,с во введенной системе координат в Еп+1, соответственно. Положим:

za = alya,i + cna, где аг = п'{1. М). с = <■{!. М). М е F — неизвестные функции, знак «, ?'» означает ковариантную производную по переменной хг в метрике гиперповерхности F. Обозначим через gij и bjk — метрический тензор и тензор второй основной формы гиперповерхности F, соответственно, через — тензор, обратный к д^. Находим (см. [4]):

za,j = {albij + Cj)na + (cij - cbjmgm%)ya, *. (4)

Тогда уравнения, описывающие заданные изменения грассманова образа гиперповерхности F при деформации {F*}, примут вид:

аг = btj {—djC + V’j)) i = 1) n, (5)

где bli — тензор, обратный к тензору 6^-; djC. — частная производная функции с по переменной х?.

Условие (1) эквивалентно соотношению:

= пХНсу/д + 7 у/д, (6)

где At(^fg) = \[ф — л/д, дг — определитель матрицы, составленной из коэффициентов первой основной формы гиперповерхности F*.

Подсчитаем величину А 1{д^) = gb — gij, где (/*• — метрический тензор поверхности

J J

F1.

^ (9ij) ^а/ЗУ , i j 4" ^а/ЗУ ,j~ , г 4“ &а/, iZ ,j, где sap = 1, при а = /3; 5aj3 = 0, при а ф /5.

Используя свойства определителя, имеем:

А\д) = g'jf'A'igtj) + Wi,

где для удобства введено следующее обозначение:

w, = ЁЕ нг^адП^'Ы).

*’=2 IS,JS р= 1

где суммирование ведется по всевозможным размещениям индексов Is = и

всевозможным сочетаниям индексов Js = Индексы *1, ..., is, jl, js могут

принимать значения от 1 до п. Величина Misjs есть минор (п — s)-ro порядка матрицы \\gij\\, получающийся вычеркиванием из нее строк и столбцов с номерами и

соответственно. _ знак, с которым входит в разложение определителя д слагаемое вида Щ=1

Рассмотрим дифференциальный оператор на поверхности F:

в,Ш>"Вг) , ,

пН^д +1-

Используя полученные формулы и полагая /л = А + 2, уравнение (6) перепишем так:

Ьс. = /лс + S(t) + P{t, с), где

s(t) = 1-^4b),l/(Hn),

Pit, с) = (Ас + 7)2??Я/2 - gv6afiza,^3,j/(2Hn) - Wt/(2Hng).

Полученное уравнение относительно неизвестной функции с, с учетом формул (4) и (5), описывает искомые почти АД-деформации гиперповерхности F с заданным изменением ее грассманова образа.

2. Доказательство теоремы 1

Обозначим /4 = -Ьч6al3ya, We , he = 5aj3nai^, & = ( - b46а13уа,г'Пв4ч> гДе Пв ~ координаты вектора Ve в En+l. со^урх^) — направляющие косинусы единичного вектора внешней нормали v к поверхности 8D в Еп.

Лемма 1. Для всякого р > 0 существует такое 90 Е (0,7г/2), что для любого 9 : 7г/2 — 90 < 9 < 7г/2 на 8F выполнены неравенства: тах^тах^ \h?e\ < р, \he\ ф 0.

—У

Доказательство следует из правила задания векторного поля Ve ■

Лемма 2. Пусть функция / е C2'U(F) является решением уравнения Lf = pf + р, р ф 1, р Е C°'U(F) и удовлетворяет на 8F условию:

Kfyf + hef = £в, (7)

he ф 0. Тогда можно выбрать р,90,9, удовлетворяющие условию леммы 1 так, что имеет место оценка: ||/||(F)2,^ < K0(\\p\\(F)0^ + ||69||(aF)i,^)> где постоянная К0 > 0 определяется поверхностью F, числами р,п,и, функциями h.Je,he.

Доказательство леммы 2. Так как неравенство | Н cos(u; xj)\ > р0, ро = const. >

> 0 выполняется в силу того что Ve не касателен к 8F ни в одной точке и того условия, что F не имеет действительных асимптотических направлений, то в силу вида оператора L имеет место неравенство Шаудера (см. [2]):

ll/ll(F)2,v < Ki(M\(Fnv + ||&ll(dF)i,^ + max |/|).

Г

Имеем: шаху |/| < max^ |(^ — hJedjf)/hg\ + maxy |p/(p — 1)|.

Тогда: || \f\\{F)2,u < K2(\\p\\{f)o,u + ||&H(aF)i^ + max, max9F\h3g\\\f\\(F)2,u)-Постоянные K\ > 0, K-2 > 0. Тогда для p E (0,1/K2), 90 и 9, удовлетворяющих условиям леммы 1, получаем искомую оценку. Лемма 2 доказана.

Применяя результаты из [3] и [2], получим, что если поверхность F класса С'3,1', то существует не более чем счетное множество действительных чисел

А* = {p,S = 1,2,... : 1 = Pi < р,‘2 < ...}, не имеющее конечных предельных точек, такое, что при р ^ А* операторное уравнение Lf = pf + р,р Е C°'U(F), на F относительно неизвестной функции /, удовлетворяющей условию (7), имеет единственное решение класса C2'U(F).

Положим А = {A.s., s = 1,2,... : = ps — 2}. Зафиксируем число А ^ А, вы-

берем р,9о,9 так, чтобы выполнялись условия лемм 1 и 2. Исследуем разрешимость в пространстве C2'U(F) уравнения: Lf = pf + S(t) + P(t,f), с граничным условием (7), эквивалентным (3).

Построим последовательность функций {сА’}, удовлетворяющих на 8F условию (7). Функцию с1 найдем из уравнения Lc.1 = рс1 + S(t). Функцию ck,k > 1 найдем из уравнения Lck = pck + S(t) + P(t, cfc_1).

Тогда, в силу леммы 2, получим оценки: ||cfc||(F)2,^ < Mi(i),VA: ||cfc+1 — ck'\\(F)2,v <

< M2(t)||cfc — ck~^1|(f)2,vi где для всех достаточно малых t > 0 функции Mi(i) < 1,

М2{1) < 1. Тогда последовательность функций {сА’} является фундаментальной С2'1'^) и, следовательно, сходится к функции с € С2'1'^), так как С2'1'^) является полным.

Покажем, что полученное решение с единственно. Предположим, что существуют два различных решения с.\ и с2. Тогда имеет место неравенство: ||с1 — с21|(<

< М3(1)\\с-1 — с2||(^)2,гу, где для всех достаточно малых I > 0 : М3(£) < 1. Получаем противоречие.

Покажем, что полученное решение с непрерывно по параметру деформации I. Для всех достаточно малых 1\,12 > 0 имеет место оценка:

Цфг) - с{Ь2)\\{Р)2^ < |^1 (*1,*2)1

где функция $1(£ь£2) непрерывна по и *2, <5^1 (*, *) = 0. Получаем непрерывность решения с для всех достаточно малых £ > 0.

Тогда существует £0 > 0 такое, что € [0,£о) поле деформации {Д*} ле С'1,гУ(Д) и непрерывно по I.

Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бодренко, А. И. Непрерывные почти АЕС-деформации гиперповерхностей в евклидовом пространстве / А. И. Бодренко // Изв. вузов. Серия «Математика». — 1996. — № 2. — С. 13-16.

2. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. — М. : Наука, 1973. — 576 с.

3. Фоменко, В. Т. АЕС-деформации гиперповерхностей в римановом пространстве / В. Т. Фоменко // Ред. Сиб. мат. журн. Деп. в ВИНИТИ 16.11.1990. — 1990. — № 5805. — С. 1-22.

4. Эйзенхарт, Л. П. Риманова геометрия / Л. П. Эйзенхарт. — М. : Изд-во иностр. лит., 1948. - 316 с.

ALMOST Afl-DEFORMATIONS OF SURFACES WITH CONDITION OF GENERALIZED SLIDING

A.I. Bodrenko

The properties of almost AE-deformations of hypersurfaces in Euclidean spaces with prescribed change of Grassmannian image and condition of generalized sliding are studied in this article.

Key words: deformation of surface, mean curvature, second fundamental form, Grassmannian image, generalized sliding.