CC BY
24
Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1257-1258
УДК 532.5
ПЛОСКИЕ СТОКСОВЫ ТЕЧЕНИЯ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ © 2011 г. С.А. Чивилихин
Санкт-Петербургский госуниверситет информационных технологий, механики и оптики
зег §еу. chivilikhin@gmail.com
Поступила в редакцию 15.06.2011
Исследуется стоксово течение вязкой жидкости в двухмерной области со свободной границей. Получены строгие ограничения на закон движения свободной границы с учетом капиллярных сил и давления внутри пузырей. В частности, найдена верхняя оценка времени существования конфигурации с заданным числом пузырей.
Ключевые слова: стоксово течение, свободная граница, вариационный принцип, капиллярные силы.
Введение
Плоские стоксовы течения со свободной границей привлекали внимание многих исследователей [1-5]. Полное аналитическое описание этой системы возможно лишь для специальных конфигураций границы. Однако некоторые ограничения для динамики свободной границы могут быть получены для произвольных конфигураций области. В [6] была исследована динамика свободной границы под действием капиллярных сил. В настоящей работе исследовано движение жидкости под действием капиллярных сил и внешнего гидростатического давления.
Уравнения движения в квазистационарном приближении Стокса, уравнение неразрывности и граничные условия имеют вид:
dßPaß = ° dßvß = О, X Є g,
P aßnß= fa, X ЄY,
где Paß = -P6aß + ÄVß + dßVo) - ньютоновскИй тензор напряжений; va , na и fa — компоненты скорости, вектора внешней нормали к границе и внешней силы, приложенной к поверхности; p — давление, |1 — вязкость (которая предполагается постоянной). По дважды повторяющимся индексам проводится суммирование. Пусть у0
— внешняя граница области g; Ym , k = 1, 2,..., M,
— внутренние компоненты связности границы (границы пузырей),
м
k=0
(PaßPaß- 2 P 2)dg -f fava dY = °. (2)
Расчет давления и скорости
Поскольку (2) справедливо при любых малых вариациях давления 5р и скорости Ъуа , выберем эти вариации таким образом, чтобы тензор напряжений оставался неизменным
5Рар = -5Р5аР +^(5а^р + дрК ) = 0 (3)
Введем однопараметрическэе семейство вариаций 6р = ^6e, Ьуа = ха/(2|а)б£, где ^ и Ха -гладкие поля. Тогда (2), (3) приобретают вид
f PVdg = -1 f faX
(daXß + dßXa ) = V5aß.
(4)
(1)
Согласно (4), у и Ха представляют собой гармонические функции, связанные соотношением
^ (Х1 +Х2) = (Р + ,
где Ю — гармоническая функция, сопряженная с р. Пусть ук — полный набор гармонических функций в области g. Представим давление в виде р = ^кРк Vк • Согласно (4), коэффициенты этого разложения удовлетворяют алгебраической системе уравнений
z(f Vk Vndg К = - 2 f faXandY,
n = 0,1,
Зная распределение давления в области, можно рассчитать скорость на ее границе
Уравнения и граничные условия (1) могут быть получены из вариационного принципа
2ц
(
eaßf fßdYm -ZPkXak
\
(5)
5
cx
где интеграл берется вдоль ут от фиксированной точки до текущей.
Ограничения на закон движения свободной границы
Рассмотрим течение под действием капиллярных сил на границе и давления р0 , действующего на внешнюю границу области. Будем считать, что гидростатическое давление внутри каждого из пузырей равно нулю. Тогда fа = = — С«аЭр«р — pmnа (а — коэффициент поверхностного натяжения). Используя выражение для скорости изменения периметра L области [6]
dL
dt
S
p + f nß.
2ц
dL
dSb
ц| cdT+p»-d*
<-po(aLb + p0Sb ) -
dW ^ T„ 2. , ц-----< - p 0W - ne M,
(7)
где W = cZfe + Из (7) следует неравенство
W (t )<-
W (0)+
exp - pL t
1 ц )
.(8)
Анализ соотношения (8) дает верхнюю оценку времени существования М рассматриваемой конфигурации с M пузырями:
Рo
tM < —ln
1+-
-(cLb (0) + po Sb (0))
соотношения (4) и (5), а также неравенство 51 p2dg >([ pdg)2 , где 5 — площадь области g, получаем дифференциальное неравенство
1 ( Л2 (6)
-5( Р05ь + Л -ПС2(М-1),
где 5ъ , Lъ — суммарная площадь и периметр всех пузырей. Для случая отсутствия внешнего давления аналогичное неравенство получено в [6]. Рассмотрим предел бесконечной области. Тогда (6) приобретает вид
пс M
Полученная оценка согласуется с решением для схлопывания одиночного пузыря, имеющего форму кругового цилиндра, под действием капиллярных сил и внешнего давления.
Работа выполнена при поддержке ФЦП, грант №16. 740.11.0030.
Список литературы
1. Френкель Я.И. // ЖЭТФ. 1946. Т. 16, №1. С. 29-38.
2. Воинов О.В. // ДАН СССР. 1978. Т. 243. С. 1422-1425.
3. Антоновский Л.К. // ПМТФ. 1988. Т. 3. С. 90-94.
4. Hopper R.W. // J.Fluid Mech. 1990. V. 213. P. 349-375.
5. Richardson S. // Eur.J.Appl.Math. 1992. V. 3, No 3. P. 193-207.
6. Чивилихин С.А. // ДАН СССР 1990. Т. 315, №3. С. 558-560.
0
PLANAR STOKES FLOWS WITH A FREE BOUNDARY
S.Â. Chivilikhin
Stokes flows of viscous liquid in a two-dimensional region having a free boundary have been investigated. Taking in account the capillary forces and pressure inside the bubbles, strict limitations for the motion of the free boundary are obtained. In particular, the upper estimation for the lifetime of the configurations with a given number of the bubbles is predicted.
Keywords: stokes flow, free boundary, variational principle, capillary forces.
