CC BY
23
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 152, кн. 1
Физико-математические пауки
2010
УДК 532.546
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ЭВОЛЮЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПУЗЫРЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ
М.М. Алимов
Аннотация
В предположении, что поле течения вязкой жидкости в щелевом лотке определяется произвольными гидродинамическими особенностями па бесконечности и действием капиллярных сил па межфазпой границе можно пренебречь, изучается процесс эволюции пузыря в однофазной постановке. Показано, что эллиптический пузырь эволюционирует, оставаясь эллипсом, тогда и только тогда, когда поле течения определяется произвольной комбинацией из источника, диполя и квадруполя па бесконечности. Построенное точное решение задачи общего вида содержит все известные частные случаи. Помимо этого выявлен и неизвестный ранее случай о сносе эллиптического пузыря неизменной формы однородным в бесконечности потоком, когда пузырь ориентирован несимметрично относительно потока.
Ключевые слова: задача Хеле-Шоу, однофазная идеализированная постановка, эллиптический пузырь.
Введение
Идеализированная задача Хеле-Шоу является математической моделью процесса эволюции границы раздела двух вязких жидкостей в щелевом лотке в случае пренебрежимо малых капиллярных сил [1]. Задача об эволюции пузыря в безграничном лотке представляет собой частный случай, при котором размеры лотка во всех направлениях в плане много больше размера пузыря. Динамика такого процесса полностью определяется начальной конфигурацией пузыря и заданными особенностями течения вязкой жидкости на бесконечности, где возможна комбинация особенностей различного типа [2. 3]. Для отдельных особенностей течения на бесконечности: источника [4]. диполя [5]. квадруполя [6] имеются точные решения задачи об эволюции пузыря эллиптической формы. Цель настоящей работы найти максимально общий вид особенности течения в бесконечности, допускающий сохранение эллиптической формы пузыря.
1. Однофазная постановка задачи Хеле-Шоу
Течение вязкой жидкости в горизонтальном лотке Хеле-Шоу характеризуется законом Дарен V = —Ур, который связывает скорость жидкости и рас-
пределение давления р(х, у, ¿) в области (¿) лотка, занятой жидкостью. С учетом несжимаемости жидкости задача Хеле-Шоу об эволюции границы раздела воздуха и жидкости в однофазной постановке формулируется в виде [1]
Др = 0, Г(*):р = 0, ~^=иП1 (1)
О г ()
а)
О
г
У
6)
Рис. 1. Вид физической плоскости г (о) и вспомогательной плоскости £ (б)
к которому необходимо еще добавить условия непроницаемости на заданных границах лотка, а также условие на бесконечности. Отметим, что на межфазной границе Г(г) выполняются два условия. Первое условие, динамическое, означает, что давление в области, занятой воздухом однородно, а действием капиллярных сил на межфазной границе пренебрегается. Второе условие, кинематическое, означает, что межфазная граница материальна и нормальные составляющие скорости частиц жидкости, принадлежащих границе, определяют нормальную скорость продвижения самой границы ип.
Выполнение уравнения Лапласа (1) делает целесообразным введение комплексной физической плоскости г = х + гу и комплексного потенциала течения жидкости Ш(г, г) = у(х, у, г) + г ф(х, у, г), где у(х, у, г) = -р(х, у, г) - потенциал течения, а ^(х, у, г) - функция тока, гармонически сопряженная потенциалу у(х, у,г) [2]. Тогда скорость течения жидкости можно вычислить по формуле
Пг (г): у(х,у,г) = ^ V(г,1) =
д\У
дг '
(2)
где комплекснозначный аналог скорости \(х, у,1). Черта над объектом
здесь и далее обозначает операцию комплексного сопряжения. Соответственно, условия па межфазной границе Г(г) можно записать в виде
Г(г) : V = 0,
д<р дп
(3)
Отметим, что комплексный потенциал течения Ш(г,г) определяется с точностью до несущественной аддитивной функции времени. Поэтому нуль в правой части первого условия (3) может быть заменен на произвольную вещественную функции времени [1, 5].
Ограничимся в дальнейшем случаем безграничного лотка (см. рис. 1, а). Тогда к условиям (3) надо добавить только условие для комплексного потенциала течения Ш(г,г) на бесконечности. В общем случае его можно сформулировать в виде линейной комбинации источника и полиполой [2, 31
оо
Ш(г,г)
т
2тг
к
1п г + тк(г)г
(4)
к=1
Здесь Q(t) - вещественная функция времени, обозначающая суммарный расход жидкости, отбираемой (Q > 0) или нагнетаемой (Q < 0) та бесконечности; шк(г), к = 1К, - комплекснозначные функций времени, обозначающие моменты полиполой на бесконечности.
Отметим, что обращение в бесконечность скорости течения жидкости дШ/дг при |г| ^ го является следствием идеализации - предположения о безграничности
лотка. При переходе к реальному лотку большого, но конечного размера создать определенное течение Хеле-Шоу с потенциалом, отвечающим поведению (4). можно вполне конечными скоростями отбора или нагнетания жидкости по периферии лотка.
2. Уравнение Полубариновой-Галина для решений параметризованного вида
Основным инструментом анализа нестационарных краевых задач Хеле-Шоу в однофазной постановке является граничное эволюционное уравнение Полубариновой-Галина [7 9]. Для его получения целесообразно ввести вспомогательную плоскость комплексного переменного в которой области Qz (t) отвечает область канонического вида - внешность единичного круга |С| > 1 (см. рис. 1, б). Эволюционирующей межфазной границе r(t) в каждый момент времени t отвечает окружность |Z| = 1 в плоскости Конформное отображение Q^ ^ (t) реализует аналитическая функция g(Z,t,)
* = g(U), If^0'00' Ceöc, (5)
которую можно нормировать следующим образом [10]
ICH 00 : |<7(C,i)Hoo, (6)
Известно, что краевая задача Хеле-Шоу (3). (4) сводится к граничному эволюционному уравнению Полубариновой-Галина общего вида [9. 11]
Уточним вид правой части в рассматриваемом памп случае. Поведение (4) на бесконечности функции Ш(г, £) позволяет оцепить поведение на бесконечности функции Ш(£,£):
|С|-оо: + (8)
3=1
где значения коэффициентов ряда Ск (¿) определяются коэффициептами шк(£), к = 1,..., К и поведением в бесконечности функции д(С, £). Тогда, учитывая условие Ие Ш = 0 та границе круга С = е1а > вытекающее из (3), можно полностью восстановить вид функции Ш(С, [12]:
= + Е [сшз-Сз^)С3] (9)
3=1
и найти вид правой части уравнения Полубариновой-Галина (7)
В. {с^}№# ^тс-'Ь ,Ш,
В отличие от рассмотренного ранее случая единственной особенности на бесконечности источника [13], когда правая часть уравнения (7) является заданной
константой ^(£)/(2п), здесь правая часть выражается через коэффициенты Ск(£), которые зависят от поведения искомой функции д(£, ¿) в бесконечности.
Для конструктивного анализа задачи (7). (10) зададимся определенным параметрическим представлением функции д(£, £), более узким по сравнению с используемым в работе [13]:
N
д(С,*) = Е ад)С1-п, (11)
п=0
где Во(4) — вещественная и положительно определенная функция времени ввиду нормировки (6), а Вп(£), п = 1,..., К, - комилекснозначные функции времени. Таким образом, эволюция межфазной границы определяется вектором неизвестных {Вп(£), п = 0,..., N} параметрического представления (11).
3. Конструктивный анализ уравнения Полубариновой-Галина
Для построения решений уравнения (7) используется как метод моментов [6. 14]. так и метод функции Шварца [9. 15]. Воспользуемся последним методом, с оговоркой, что саму функцию Шварца вводить не будем, а ограничимся только введением оператора Р, действие которого сводится к операции сопряжения по параметрам функции и замене ее аргумента С на С-1 [9, 11]:
С = е- : д(С,*)= Р [д(СМ] .
(12)
В результате уравнение Полубариновой-Галина (7) с учетом (10) можно представить в виде
Р
дд
т
дд
т
С
дд\ _ дм ас
к
+ 2J2J[cj(tкj + с (13)
3 = 1
где С = ега. Далее используем основную идею метода функции Шварца - распространим действие этого уравнения с границы Г : |£| = 1 в плоскости С на всю плоскость. Учитывая параметрическое представление (11). получим эволюционное уравнение для вектора неизвестных {Вп(£), п = 0,..., N}
N
N
N
N
£впс ]Г(1-п)впсп + ЕЕ(!-
9.
п
к
ЗЕЛ^'+^С^], (14)
3=1
где точки над переменными обозначают производные по времени. Поскольку в правой части уравнения стоит не константа, а полином по степеням С> непосредственно использовать теорему Лиувилля аналогично работам [11, 13] нельзя. Целесообразнее использовать простые соображения симметрии уравнения (14) по положительным и отрицательным степеням
Приравняем сомножители при одинаковых степенях С слева и справа, в результате чего получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно вектора неизвестных {Вп(£), п = 0,..., N}. На первый взгляд представляется, что полученная система будет переопределена, поскольку число неизвестных равно N + 1, а число уравнений составляет 2К + 1. На самом деле независимых уравнений в системе будет равно N + 1 по числу, скажем, неотрицательных степеней С 5 а оставшиеся N будут выполняться автоматически в силу инвариантности
уравнения Полубариновой-Галина относительно преобразования P [11]. Необходимым условием существования такого решения, очевидно, является неравенство K < N.
Заметим, что полученное таким образом математическое решение задачи может оказаться нефизичным. поскольку сингулярности отображающей функции g(Z, t), а точнее, нули производной dg/dZ, могут попасть в замыкание области П^, в результате чего область n(t) окажется неоднолистной. Однако в начальный момент времени t = 0 всегда есть возможность подобрать значения параметров {Bn(0), n = 0,..., N} так, чтобы нули производной dg/dZ лежали вне замыкания области П • Далее они будут оставаться вне этого замыкания либо всегда, либо по непрерывности еще некоторое время до момента t* развала классического решения задачи, когда один из нулей производной dg/dZ коснется границы Z = eiCT [16]. В этот момент на межфазной границе r(t) образуется заострение, в котором скорость течения обращается в бесконечность, аналогично решению для кардиоиды [7].
N
N
точно простой и содержательный случай N = 2.
4. Общее решение уравнения (14) в случае N = 2
Под общим решением задачи понимается решение, полученное при максимально произвольном виде особенности на бесконечности, в данном случае при K = 2, и произвольном виде функций, отвечающих моментам Q(t), mi(t), m2(t) соответствующих полиполой. Заметим, что после установления этого факта нельзя получить общее решение как суперпозицию частных решений [4 6], поскольку задача Холе-Шоу нелинейна в силу наличия нестационарной свободной границы. Воспользуемся методикой разд. 3.
Для N = 2 отображающая функция z = g(Z, t) представляется в виде
g(C,t)=B0(t)C + B1(t) + ^, (15)
где Bo(t) - вещественная и положительно определенная, a Bi(t), B2(t) — вообще говоря, комплокснозначныо функции времени. Какими бы ни были эти функции, в плоскости z коптур r(t), отвечающий окружпости Z = ela, всегда будет оставаться эллипсом. Чтобы убедиться в этом, введем обозначение
т = ±axgB2(f) (16)
и, выбрав а £ [0, 2п] в качестве параметра, найдем параметрическое уравнение контура r(t) :
Ví r(í) : X(а) + ¿Y(а) = B1(t)+
+ eie(t) {[Bo(t) + |B2(t)|] cos [а - £(t)] + i [Bo(t) - |B2(t)|] sin [а - £(t)]} . (17)
Очевидно, что это уравнение эллипса, геометрический центр которого лежит в точке Zc(t) = Bi(t^, большая полуось величины a(t) = Bo(t) + |B2(t)| > 0 составляет с осью ж угол e(t) £ [—п/2, п/2], а величина малой полуоси равна b(t) = B0(t) — |B2(t)|. При этом условие
|B2(t)| < Bo(t)
(18)
фактически является условием однолистности области обеспечивающим от-
сутствие нулей производной в замыкании области Можно также найти
выражение для эксцентриситета эллипса
£(t) =
1-^ = 2
a2 (t.)
Bo(i) 1/2 B2(i)
B2(i) + Bo(i)
1/2ч
-1
(19)
Без потери общности можно принять Bi(0) = 0 и arg B2(0) = 2в(0) = 0. Это означает, что геометрический центр эллипса и ориентация его большой полуоси в начальный момент времени выбираются за начало системы координат x, y и направление оси x соответственно.
Согласно формуле (4) поведение течения в бесконечности определяется комбинацией из источника мощности Q(t), диполя и квадруполя, ориентацию и интенсивность которых определяют моменты mi(t) и m2(t):
|z| —> ^о : W(z,t)
Q(t)
2тг
In z + m1(t)z + m2(t)z2.
Подставляя сюда формулу (15), легко найдем вид коэффициентов Ск(£): С^) = [т^) + 2т2(4)В1(4)] Во(*), С2(*) = то(4)В0(4),
(20)
(21)
определяющих поведение функции ^(С, £) в бесконечности (см. формулу (8)) и вид самой функции (см. формулу (9)).
В результате уравнение Полубариновой-Галина (14) примет вид
В0 + В1С + В2С
Бо-4
9.
п
CiC-
£1
с
C2C2
£2
с2
(22)
Выписывая коэффициенты при одинаковых неотрицательных степенях £ в левой н правой частях уравнения (22) и приравнивая их, получим систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений
Ё2(*)В0(*) - ВоЮВ2а) = 4С2(*), - Вф)В2(г) = 2Сф),
2Щ1)В0(1) - %(1)В2(1) - В2(1)В2(1) =
После подстановки вместо Ск (¿) выражений (21) и элементарных преобразований система приводится к такому виду:
~В2(1)
d, dt
LBo(i)J
d dt
4 m2(i),
dt 1 1 п
ßiW-
B^Bojt) B0(t)
2m1(t).
Очевидно, все уравнения этой системы пригодны к прямому интегрированию, в результате которого найдем искомые функции Вк (¿):
Bo(t) =
Fo(t)
1 - |F2(t)|
3. »■> /W./V!. (23)
1 -|F2(t)|2
Bo(t)
Здесь были использованы обозначения
г
= ^ I Я(г)л + в1(о)-вЦо),
о
(24)
г г
Р1{1) = 2У пцй сЫ, В2(^) = 4У т2(*) А + оо
причем В0(4), очевидно, всегда вещественно, а В1.(£), В2(£), вообще говоря, ком-плекснозначны.
Отметим следующие важные свойства найденного общего решения (15), (20), (23), (24) однофазной задачи Хеле-Шоу в случае N = 2.
1. Изменение площади эллипса определяется только законом изменения мощности источника (стока) на бесконечности
г
па(г)6(г) - па(0)6(0) = J д(4) А, (25)
о
что согласуется с соображениями материального баланса.
2. Момент Ш1(£) диполя на бесконечности в физической плоскости оказывает влияние только па положение геометрического центра эллипса (4) = В^).
3. Изменение ориентации главных осей эллипса (см. формулу (15)) и его эксцентриситета (см. формулу (16)) определяется только моментом т2(4) квадруполя на бесконечности в физической плоскости.
4. При фиксированной мощности момента т2(4) решение задачи существует только для конечных времен 4 £Е [0,4*), как и в случае наличия отдельного квадруполя в бесконечности [6]. Действительно, из третьей формулы (19) следует, что величина |В2(4)| достигает значения 1 за конечное время, которое обозначается как . В этот момент эксцентриситет эллипса достигает значения 1, что соответствует пределу а(4) ^ го, 6(4) ^ 0. Если момент т^) при этом отличен от нуля, то |В1(4)| ^ го, то есть геометрический центр эллипса также уходит па бесконечность.
5. Анализ решения в частных случаях
Рассмотрим простейшие частные случаи найденного общего решения для N = 2, отличающиеся типом особенности на бесконечности.
5.1. Источник. На бесконечности в физической плоскости задается только источник интенсивности то есть т^) = т2(4) = 0. Решение полностью соответствует решению [4]: эллиптический пузырь растет самоподобно, то есть без изменения эксцентриситета и положения геометрического центра.
5.2. Диполь постоянной мощности. На бесконечности в физической плоскости задается только диполь, момент которого фиксирован, то есть т1(4) = т°,
= т2(4) = 0. Тогда из всех В^(4) только В^) будет линейной функцией времени, остальные будут вещественными константами
Л(*)=2т?*, Во = В2(0) - В22(0), В2 = В2(0)/Во(0).
Соответственно, из всех В&(£) линейной функцией времени будет только В1(4) = Ш, остальные будут совпадать со своими начальными значениями. Через и обозначена скорость поступательного движения пузыря
п ор> (()) пг1В2(0) + ш°1В0(0)
и-2в0(о) вт_вт ■ т
Далее, используя формулы (21), найдем коэффициенты С&(4):
С = т?Во(0), С2 = 0. В результате восстанавливается вид комплексного потенциала
ЩС)=В0(0)(т?С-^) (27)
и отображающей функции г = д(С, 4)
з(С,*)=Во(0)С+^Р + Ш, (28)
что позволяет восстановить поле течения в физической плоскости. Решение, очевидно, стационарно, поскольку вся эволюция эллипса сводится к поступательному
и
можно выделить два характерных случая в зависимости от того, совпадают ли направления скорости потока на бесконечности —>■ оо : {с1\¥/сЫ) —>■ т° и одной из главных осей эллипса. Если они совпадают, то согласно формуле (26) направло-
и
этой главной осп, а величина |и | будет связана с отношением полуосей эллипса формулой а/6 = | и/т°| — 1. Этот случай полностью соответствует решению [5].
Вместе с тем возможен и другой случай, когда направление скорости потока на бесконечности не совпадает ни с одной из главных осей эллипса, то есть Ке т° = 0, 1ш т° = 0. Тогда с учетом формулы (26) направление комплекснозначного векто-
и
ниом скорости потока на бесконечности и направлением главной осн. В качестве иллюстрации к такому случаю возьмем
Во(0) = 1, В2(0)=0.5, т? = е-"/4, (29)
так что эллиптический пузырь характеризуется полуосями а =1.5, 6 = 0.5, а набегающий поток на бесконечности составляет угол п/4 с осью х. Используя формулы (26) (28), найдем скорость поступательного движения пузыря
\Щ = ^«2.98 0.75\/2 ' ' 0.75
и потенциал Ш(г, 4) течения жидкости
ЩС)=е-"/4 (С-^), з-1Л = С +
1
2С'
Линии тока течения Холе-Шоу, отвечающего заданным условиям (29), приведены на рис. 2.
-4 -3 -2 -1
Рис. 2. Лилии тока вокруг эллиптического пузыря, несимметрично ориентированного относительно потока па бесконечности
5.3. Квадруполь постоянной мощности. На бесконечности в физической плоскости задается только квадруполь. момент которого фиксированная комплексная константа, то есть т2(4) = т!>, = т^) = 0. Анализ такого частного случая имеет смысл, поскольку в [6] был рассмотрен только очень узкий случай, когда момент квадруполя вещественная константа.
Используя формулы (23), (24), найдем вид всех и Вк:
Л = В2(0) - В2(0), Л = 0, *0(*) = 4т2* +
В2( 0) Во(0)'
Во
/В°2(0) - В2(0)
в1= о, в2(*) = Г2(1)В„(1).
(30)
(31)
1-1ВД1 '
Далее, используя формулы (21), найдем коэффициенты Ск(¿):
С1 =0, С2(4)= т2В2(4).
В результате восстанавливается вид комплексного потенциала Ш(С, 4) и отображающей функции г = #(£, 4):
<?(С,*) = Во(4)С-
В2(*)
С2 , „ , с В частности, легко установить, как эволюционируют полуоси эллипса
(32)
а(*) = [1 + ^(¿)|]
Ло
1 -|Л2(;)Г
Ло
1 -|Л22(*)Г
Первое очевидное следствие геометрический центр пузыря всегда будет неподвижен, поскольку и = В1 (4) = 0. Далее, площадь эллиптического пузыря в соответствии со свойством 1 остается неизменной. В то же время полуоси эллипса меняются по величине, причем с разной скоростью. Выписывая формулы для эксцентриситета е(£) и угла
2
|^)Г1/2 + |Л2(*)|
1/2 :
в(4) = -0.5 а^
видим, что изменение со временем |F2(t)| приводит к изменению эксцентриситета эллипса, а изменение arg F2(t) — к изменению ориентации главных осей эллипса. Из третьей формулы (24) следует, что argF2(t) ^ argm2 при t ^ го. Поэтому главные оси, изначально ориентированные вдоль координатных осей, со временем эволюционируют, так что e(t) ^ вто = -0.5 arg Однако в соответствии со свойством 4 решение задачи существует только до конечного момента времени t* , когда |F2(t*)| обращается в 1. Поэтому предельная величина угла e(t) составляет не вто, а в* = -0.5argF2(t*).
В качестве иллюстрации случая квадруполя на бесконечности возьмем
Во(0) = 1, В2( 0) = 0.5, т°2 = у/2е-^'А\ (33)
так что в начальный момент времени эллиптический пузырь характеризуется полуосями a = 1.5, b = 0.5, а общая схема течения соответствует рис. 3. Непосредственно из формул (30) получим
F0 =0.75, F1 =0, F2(t) = 0.5 - 4t (1 + i), откуда, в частности, следует
Vt > 0 : |F2(t)|2 = (32t2 - 4t + 0.25) > 0.
Тогда из формул (31) найдем
0 75
Во = 75 + 4*'-32*2' Bl=0' S2(i) = S0(i) [0.5 + 4i (г - 1)],
и далее легко определяются большие полуоси эллипса и угол наклона его большей полуоси к осп x
a(t) = [l + \F2(t)\]B0(t), b(t) = [l-\F2(t)\]B0(t), /?(*) = ^ - 1аrctg
Наконец, полагая величину |F2(i)| равной 1, найдем предельное время t* = (1 + а/7)/16 « 0.228 и величину предельного угла
fUU) = \- ¿axctg « 0.997.
Рис. 4. Эволюция эллиптического пузыря, отвечающая заданным условиям (33), с шагом по времени ДЬ = 0.041
Рис. 5. Траектория центра эллипса в плоскости г для частного случая, рассмотренного в п. 5.4
На рис. 4 представлена эволюция эллиптического пузыря, отвечающая заданным условиям (33), с шагом по времени Д1 = 0.041 и последним расчетным временем £ = 0.205 (номер шага указан справа от соответствующей кривой). Штрих-пунктирная линия показывает направление в(0)> определяющее ориентацию квадруполя на бесконечности. Штриховая линия показывает предельное направление в* ■
5.4. Совокупность квадруполя и диполя постоянной мощности.
Пусть вдобавок к условиям (33) на бесконечности в физической плоскости помимо квадруполя задан и диполь постоянной интенсивности = 1. Тогда отличие от случая, рассмотренного в п. 5.3, касается только величин и В\(€).
В соответствии с формулами (23). (24) найдем
\-т)\2
Следовательно, эволюция формы эллипса будет той же самой, что и в п. 5.3. но помимо этого геометрический центр эллипса не останется в начале координат, а будет перемещаться. В частности, если форма эллипса меняется в соответствии с рис. 4. то его центр описывает в плоскости г кривую, представленную на рис. 5, где звездочками с номером шага по времени отмечено положение центра на этот момент времени.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 08-01-00548а).
Summary
М.М. Alimov. General Solution of the One-Pliase Holo-Sliow Problem for Elliptic Bubble.
In the general case of several mult.ipole wo study one-phase Hele-Sliaw flow with a moving boundary when surface tension effect, is negligible. We find the explicit solution with lioiist.at.ioiiary elliptic shape of the bubble for case when Hele-Sliaw flow is produced by any combination of sink, dipole and quadropole at infinity. This general solution includes all known particular cases. In the particular case of a dipole at infinity we find new explicit solution with stationary elliptic shape of the bubble that is not symmetrical with respect, to the flow.
Key words: one-pliaso Helo-Sliaw problem, elliptic bubble.
Литература
1. Saffman P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium or Helo-Sliaw coll containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1958. V. 245, No 1242. P. 312 329.
2. Lamb H. Hydrodynamics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1932 = Ламб Г. Гид-родипамика. М.: Л.: Гостехиздат. 1947. 928 с.
3. Batchelur G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1970 = Бэтчелор Дон:. Введение в динамику жидкости. М.: Мир. 1973. 760 с.
4. Howison S.D. Bubble growth in porous media and Helo-Sliaw colls // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Sor. A. 1986. V. 102, No 1-2. P. 141 148.
5. Taylor G.I., Saffman P.G. A note on the motion of bubbles in a Helo-Sliaw coll and porous medium // Quart.. J. Mecli. Appl. Math. 1959. V. 12. P. 265 279.
6. Entov V.M., Etingof P.I., Kleinbock D. Ya. Hole-Sliaw flows with a free boundary produced by multipoles // Europ. J. Appl. Math. 1993. V. 4, No 2. P. 97 120.
7. Полубарииооа-Кочииа П.Я. К вопросу о перемещении контура нефтеносности // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47, Л» 4. С. 254 257.
8. Галин JI.A. Неустановившаяся фильтрация со свободной границей // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47, Л» 4. С. 250 253.
9. Howison S.D. Complex variable methods in Helo-Sliaw moving boundary problems // Europ. J. Appl. Math. 1992. V. 3, No 3. P. 209 224.
10. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
11. Алимов М.М. Общее решение задачи Хеле-Шоу для течений в канале // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 3. С. 384 399.
12. Birkhoff G., Zarantunellu Е. Jets, wakes and cavities. N. Y.: Acad. Press, 1957 = Биркгоф Г., Сараитоиелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. 466 с.
13. Алимов М.М. Рост пузыря в ячейке Хеле-Шоу // Изв. РАН. МЖГ. 2007. 2. С. 133 147.
14. Richardson S. Hele-Sliaw flows with a free boundary produced by injection of fluid into a narrow channel // J. Fluid Mecli. 1972. V. 56. P. 609 618.
15. Davis P.J. The Scliwarz Function and its Applications. Washington: Math. Assoc. of America, 1974. 228 p.
16. Howison S.D. Fingering in Hele-Sliaw cells // J. Fluid Mecli. 1986. V. 167. P. 439 453.
Поступила в редакцию 25.12.09
Алимов Марс Мясумович кандидат физико-математических паук, ведущий научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
E-mail: Mars.AlimovQksu.ru
