CC BY
30
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 14 7, ки. 3
Физико-математические пауки
2005
УДК 532.546
О СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЯХ ЗАДАЧИ ХЕЛЕ-ШОУ
М.М. Алимов
Аннотация
Работа содержит краткий обзор по проблеме математического моделирования двухфазных течений в лотке Хеле-Шоу. Подробно проанализирован случай стационарной задачи Хеле-Шоу с идеализированным граничным условием. Предложена формализация метода годографа скорости. Показана методическая целесообразность такой формализации, позволяющей единообразно восстановить известные точные решения, построить новые числешго-апалитические решения, а также проводить параметрический анализ задачи без построения собственно ее решения. В частности, проведя такой анализ для задачи об одиночном пузыре, удается прояснить вопросы о степени вырождения ее решения и о существовании одиночного пузыря без продольной и поперечной симметрии.
Введение
Лоток Хеле-Шоу представляет собой два стеклянных листа, которые разделены узким зазором, заполненным вязкой жидкостью. Последняя может отбираться и нагнетаться различным образом. В свое время лоток Хеле-Шоу был предложен автором [1] и затем долго использовался как аналоговое устройство для визуализации решений уравнения Лапласа. Действительно, для медленных течений средняя по зазору скорость жидкости v удовлетворяет уравнениям
Ь2
Vv = 0, v= -—-V(p + pgx),
где Ь - ширина зазора, p - осредненное то зазору давление в жидкости, р - ее вязкость. В результате процесс описывается уравнением Лапласа
Д(р + рдх) = 0. (1)
Ряд исследователей [2 4], анализируя задачи теории течения грунтовых вод, пришли к моделям, в которых насыщенная область должна быть отделена от области сухого грунта свободной границей Г(t), форма которой в каждый момент времени подлежит определению в ходе решения задачи. Помимо естественных граничных условий на известных границах области (например, условий непрони-
Г
выписаны:
Г (t): -—(p + pgx) = vn, (2)
r(t) : р = 0. (3)
Вместе с (1) и заданной начальной конфигурацией границы T(t) = Г0 они полностью замыкают задачу. Здесь vn - нормальная скорость движения границы Г.
Условно (2) по сути своей является кинематическим и подразумевает материальность границы. Условие (3) является динамическим и означает, во-первых, что в области лотка, занятой воздухом, распределение давления удовлетворяет уравнению р = 0 (вязкость воздуха пренебрежимо мала по сравнению с вязкостью жидкости): во-вторых, что давление при переходе границы раздела фаз меняется непрерывно.
Одним из авторов этой постановки была П.Я. Полубаринова-Кочина. Она же первая пришла к выводу, что лоток Холе-Шоу при двужидкостном наполнении (вода и воздух) позволяет моделировать решения такой сложной нелинейной задачи со свободной границей, как задача (1) (3). В частности, она проверила на лотке некоторые из найденных ею точных решений.
Сейчас задачу (1) (3) называют задачей Холе-Шоу. подразумевая наличие еще начальных и естественных граничных условий. Список научных проблем, в которых она применима, растет с каждым годом. Помимо задач теории течения грунтовых вод и вытеснения нефти водой, это и задачи о плавлении или затвердевании материалов (производство стали, лазерная сварка), задачи выращивания кристаллов из расплава или раствора, задачи электрохимической обработки и даже задачи моделирования некроза опухоли [5]. Во всех этих приложениях безразмерный комплекс, характеризующий отношение скорости изменения свойств в объеме и скорости движения свободной границы, мал. и модель (1) (3) является разумным приближением. Например, для течения Холе-Шоу. которое характеризуется давлением в каждой точке жидкости (свойство в объеме, меняющееся со временем), соответствующий комплекс в обезразмеренном уравнении неразрывности
мал за счет малости коэффициента сжимаемости жидкости к 1 = р-1(др/др). При этом характерное время определено как характерный размер Ь, отнесенный к характерной скорости У1 продвижения свободной границы. По существу процесс управляется уравнением Лапласа в области лотка, занятой жидкостью
в совокупности с граничными условиями (2). (3).
Если отбросить pgx, вместо p записать температуру или концентрацию и проанализировать уравнение теплопроводности или диффузии (задача выращивания кристалла из расплава или раствора), то придем к аналогичному выводу (хотя первоначально вместо полной производной по времени будет фигурировать частная).
Решения, полученные П. Я. Полубарпновой-Кочиной. выявили существенные различия в поведении нестационарной свободной границы в случаях, когда жидкость наступает и, наоборот, когда она отступает. В первом случае межфазная граница со временем становится все более гладкой, во втором на свободной границе за конечное время могут образоваться критические точки точки заострения.
Еще более неожиданные свойства течений Хеле-Шоу выявили P.G. Saffriiari. G.I. Taylor (далее S&T). В 1958 г. они выполнили эксперименты по вытеснению глицерина воздухом в лотке Хеле-Шоу с канальной геометрией, проверяя своп теоретические результаты по анализу устойчивости вытеснения нефти водой [6]. В начальной стадии эксперимента поведение межфазной границы вполне согласовывалось с проведенным асимптотическим анализом устойчивости на ней формировалось предсказуемое количество складок. Однако затем из этих складок развивались пальцы, которые конкурировали между собой до тех пор. пока
A (p + pgx) = 0
Рис. 1. Двухфазное течение в лотке Хеле-Шоу
по оставался единственный палец, который, как правило, занимал половину ширины канала, А « 0.5 (рис. 1). Такое поведение межфазной границы на больших временах до сих пор не удается воспроизвести ни методами асимптотического, ни методами численного анализа.
Сами же авторы, Б&Т, высказали предположение о значимости капиллярных сил. Их эксперименты подтвердили, что относительная ширина сформировавшо-
А
безразмерпым параметром Са = У1р/а, где а - поверхностное натяжение на межфазной границе. Этот параметр называется капиллярным числом и характеризует соотношение вязких и капиллярных сил. При учете последних динамическое граничное условие (3) следует заменить на условие капиллярного скачка давления на межфазной границе
Г(*): р = *Х1, (4)
где Х1 _ размерная кривизна граничного контура Г в плане с соответствующим знаком.
Краевая задача (1), (2), (4) сильно нелинейна, поскольку имеется свободная Г
мой неизвестной границы. Это существенно затрудняет анализ проблемы. Вместе с тем, Б&Т показали, что во многих случаях поверхностное натяжение а либо мало, либо очень мало (конечно, на самом деле надо обозразморить задачу и говорить о малости некоторого безразмерного капиллярного параметра е, связанного с Са, см. п. 5). Поэтому идеализированное динамическое граничное условие (3) представляется разумным приближением, и можно попытаться аналитически получить форму пальца, наблюдаемую в эксперименте с относительной шириной А « 0.5.
Действительно, стационарная задача (1) (3) в канале поддается решению методом конформных отображений (иначе, годографа скорости). Это решение было
А
ся целое семейство решений симметричных пальцев с относительной шириной А € (0,1]. В частности, конфигурация пальца для решения с параметром А = 0.5 в точности совпала с полученной из эксперимента. Однако возникла проблема отбора
А
постное натяжение становится пренебрежимо малым. Дальнейшие исследования множества авторов выявили еще более сильную вырожденность стационарного решения, предсказываемого теорией, а именно существование еще и несимметричных пальцев, а также возможность расщепления одного пальца на несколько более узких, которые к тому же могут быть несимметричными.
Численные исследования стационарных задач Хеле-Шоу с капиллярным граничным условием показали, что капиллярность отбирает единственное решение. В частности, были численно воспроизведены конфигурации пальцев в экспериментах Б&Т с шириной пальца А > 0.5 [7]. Однако попытки аналитически подтвер-
е
отсутствие подходящего аппарата асимптотического анализа, поскольку возмущения носили сингулярный характер. Обычный аппарат давал, что все решения Б&Т с А € (0,1] допустимы, просто вносятся поправки порядка е в форму пальца. Лишь в последнее десятилетне показано, что на самом деле решение возможно лишь для счетного набора значений А, причем при е ^ 0 все А из этого набора стремятся к значению 0.5. Анализ этот очень сложен и фактически аппарат асимптотического анализа таких сингулярных возмущений находится на этапе становления (более подробно см. п. 5).
Один из путей безусловного решения проблемы вырожденности стационарного решения, очевидно, состоит в переходе к нестационарной постановке. Однако в случае, когда жидкость в лотке отступает (менее вязкая жидкость вытесняет более вязкую), эволюционирующая межфазная граница становится неустойчивой [6] и нестационарная задача (1) (3) будет некорректной. Одно из проявлений этой некорректности состоит в том, что можно построить такую пару точных решений, что для одного из них свободная граница всегда будет оставаться гладкой, а для другого на некоторый момент времени порядка 1 она приобретает точку заострения (и, соответственно, далее решение «разваливается») при том, что начальные конфигурации межфазной границы могут различаться на сколь угодно малую величину [8, 9].
Учет капиллярности делает свободную границу устойчивой, по крайней мере, к высокочастотным возмущениям [6] и, следовательно, регуляризирует нестационарную задачу. Однако проведенные численные исследования показали, что задачи со стягиванием области, запятой жидкостью, надежно разрешимы лишь при большой величине поверхностного натяжения, когда эффект регуляризации очень сильный. Для наблюдаемых в экспериментах на лотке Хеле-Шоу значений капиллярного е
Оказалось, что при учете малых капиллярных сил регуляризированная задача Хеле-Шоу сохраняет многие свойства идеализированной некорректной задачи (1) (3). В частности, это возможное нарастание со временем негладкости свободной границы катастрофического (в смысле ресурсов ЭВМ) характера.
Таким образом, математическое моделирование двухфазных течений Хеле-Шоу остается пока нерешенной проблемой. Причем это проблема не только вычислительной математики. Здесь уместно сравнение с турбулентностью [5]: несмотря на то, что математическая модель явления давно известна, а вычислительные методы и средства претерпели за последние 50 лет значительный скачок, предсказать по ней многие экспериментальные факты не удается. Причина этого в сильной нелинейности самих моделей (в турбулентности она обусловлена нелинейностью уравнений Навье Стокса, в течениях Хеле-Шоу наличием свободной границы) и, соответственно, неясности свойств моделей как на математическом, так и на физическом уровнях. Поэтому эти модели привлекают внимание специалистов не только по вычислительной, но и «чистой» математике, а также механиков и физиков. Еще один момент, усиливающий интерес к течениям Хеле-Шоу, обнаруженная в работе [11] аналогия между ними и современной теорией интегрируемых систем.
По геометрии лотка все течения Хеле-Шоу можно разделить на течения с канальной, угловой и круговой геометрией. В первом случае имеются параллельные непроницаемые стенки, т. е. лоток имеет форму канала, с одной его стороны отбирается жидкость, с другой стороны подается либо воздух, либо та же жидкость (при моделировании движения пузырей). В случае угловой геометрии непроницаемые стенки образуют угол, и воздух, как правило, подается в вершину угла, а жидкость отбирается на периферии. В случае круговой геометрии воздух подается
в выбранную точку лотка, а жидкость отбирается равномерно по периферии лотка. В случае канальной геометрии конфигурация межфазной границы со временем устанавливается и. следовательно, наряду с нестационарными, имеет смысл искать стационарные решения типа бегущей волны. В случае угловой и круговой геометрии интерес, как правило, представляют нестационарные решения (здесь следует отметить и класс самоподобных по форме решений [12]).
Для лотка типа канала в литературе построено множество частных стационарных решений [6. 13 18]. Считается, что они получены методом годографа скорости. Тем не менее, до сих пор этот метод но имеет четкой формулировки, и. соответственно. невозможно единым образом получить (или воспроизвести) решения и провести полный параметрический анализ задачи. Поэтому даже в случаях построения точного решения (например, задачи об одиночном пузыре [14]) остаются вопросы, связанные с оценкой степени вырожденности решения или с существованием решений без продольной и осевой симметрии. Цель данной работы, помимо введения в проблематику и краткого обзора, предложить формализацию метода годографа скорости. За исключением п. 5. всюду в дальнейшем рассматривается идеализированная задача (1) (3). сила тяжести не учитывается.
1. Формализация метода годографа скорости
Помимо введения комплексных переменных и применения методов теории функции комплексного переменного [2. 3]. в задачах типа Холе-Шоу целесообразно также использовать комплексиозиачиые аналоги векторных полей [19]. Если в плоскости Б,2 действует векторное поле = (г>ж, ), то с помощью
формул [20] х = (г + г)/2, У = (г — -Ю/2 можно перейти к комплекспозначпому аналогу векторного поля У(г, г, £), действующему уже в комплексной плоскости С
У(г, М) = г>ж(х,у,г) + гг>у(х,у,г).
Рассмотрим задачу о конфигурации пальца стационарной формы в канале Холе-Шоу. Пусть имеется капал ширины 1. на бесконечности справа с единичной скоростью отбирается жидкость, слева со скоростью V продвигается палец
р = 0 Г
(см. рис. 2). Все скорости здесь и далее безразмерны, т. е. отнесены к характерной У1
странственные координаты на характерный размер Ь ширины лотка, а время -на характерное время Ь/У1. Относительная ширина пальца А € (0,1], очевидно, связана со скоростью V продвижения пальца соотношением
иА = 1, V > 1. (5)
Введем две системы отсчета: неподвижную, связанную с положением пальца в начальный момент времени £ = 0, с координатами г0 = х0 + гу0 и подвижную, связанную с движущимся пальцем воздуха, с координатами 2 = х+гу. Координаты в этих системах отсчета соотносятся очевидным образом: г0 = 2 + Ш.
Средняя по зазору скорость движения частиц жидкости V0 относительно неподвижной системы отсчета удовлетворяет условию потенциальности движения V0(x0,y0,t) = где - безразмерный потенциал
= (6)
Соответственно, введем безразмерный комплексный потенциал течения относительно неподвижной системы отсчета: Ш0 = + г , где — функция тока,
Рис. 2. Вид физической плоскости в задаче о продвижении стационарного симметричного пальца в канале Хеле-Шоу
сопряженная к у0, причем Ш0 = Ш0(.0,^;). Переходя к комплексному аналогу ¥0(г0, .г0, вектора скор ости У°(ж°, у0, ¿), можно записать выражение
¥° = (д\¥°/дг°), (7)
из которого, в частности, вытекает, что V0 = ¥0(г0, ¿).
От координат (ж0, у0) можно перейти к (ж, у). Ввиду установившейся картины течения скорость, как вектор-функция координат подвижной системы отсчета, не должна зависеть от времени V0 = V0(г). Тогда, используя очевидное дифференциальное соотношение (дШ0/дz)t = (дШ0/д.0)4, из формулы (7) получим новое выражение
= (д\У°/дг)г. (8)
Интегрируя его по г, найдем структуру функции потенциала Ш0как функции переменных (., ¿)
= I V0(г)dг + А0(*), (9)
где А0 (¿) - некоторая действительная функция £ (мнимые части здесь и далее несущественны).
В носике пальца, где . равно некоторой мнимой константе С, с учетом граничного условия (3) имеет место соотношение
. = С : Ие Ш0 = 0. (10)
Тогда, очевидно, А0(£) = 0 с точностью до константы, которую можно включить в состав первого слагаемого выражения (9). Следовательно, комплексный потенциал Ш0 является функцией только переменной т. е. Ш0 = Ш0(.).
Далее определим новое движение жидкости со скоростью У(ж0,у0,£) и, соответственно, комплексным аналогом скорости V(z0,Z°,t) следующим образом:
V = V0 - и, V = V0 - и. (И)
Здесь И - постоянный вектор, направленный горизонтально вправо и равный по модулю и. По физическому смыслу V представляет собой скорость осредненно-го по зазору течения жидкости относительно подвижной системы отсчета. Это течение, очевидно, также потенциально, V(ж0,y0,t) = Уу, с потенциалом течения
у(х0, у0, *) = у0(ж0, у0, *) - их0 + В(*), (12)
где В(£) - пока произвольная действительная функция. Соответственно, можно ввести комплексный потенциал этого течения Ш(.0, £) = у + г ф, где ф - функция
тока, сопряженная к причем Ш = Ш (г0,£). Тогда для комплексного аналога скорости можем записать выражение
¥= (д\У/дг°), (13)
из которого вытекает, что V = ¥(,г0,£).
Поскольку картина течения установилась, скорость движения жидкости относительно подвижной системы отсчета, как функция координат подвижной системы отсчета, не должна зависеть от времени: V = V(г). Тогда, используя очевидное дифференциальное соотношение (дШ/дг)4 = (дШ/дг%, из формулы (13) получим другое выражение для V
У(^) = (Ш/.
Подставляя его, а также выражение (8) в соотношение (11) и применяя операцию сопряжения, получим
(дШ/дг)4 = (дШ0/дг) ( — V.
Интегрируя это соотношение по г с учетом выражения (12) и условия (10), найдем
Ш(г, £) = Ш0(г) — иг + [В(£) — V2£] .
При этом никаких дополнительных физических соображений или ограничений, касающихся функции В(£), нет, и ее вид остается произвольным и несущественным (он никак не влияет на картину течения). Поэтому для упрощения выкладок положим В(£) = VТогда структура комплексного потенциала Ш, как функции координат в подвижной системе отсчета, упрощается (исчезает зависимость от времени), и, соответственно, последнее выражение перепишется в виде
Ш (г) = Ш 0(г) — V г. (14)
2. Формулировка задачи в терминах комплексных потенциалов
В результате проведенного выше анализа имеем:
(I) движение жидкости в лотке относительно неподвижной системы отсчета потенциально, его комплексный потенциал Ш0 как функция переменной г - положения точки относительно подвижной системы отсчета не зависит от времени:
(II) движение жидкости в лотке относительно подвижной системы отсчета также потенциально, его комплексный потенциал Ш как функция переменной г также не зависит от времени:
(III) оба этих потенциала связаны простым линейным соотношением (14). Далее используем распространенный в теории потенциальных течений прием
параметризации - введем некоторую вспомогательную плоскость переменного С канонического вида и перепишем выражение соотношение (14) в виде
г(С) = V-1 [Ш0(С) — Ш(С)] . (15)
Таким образом, определение стационарной конфигурации свободной границы Г в задаче Хеле-Шоу (1)-(3), т. е. определение вида функции г(£), сводится к определению вида двух функций переменного £ — комплексных потенциалов Ш0(£) и Ш(£) течения жидкости относительно неподвижной и, соответственно, подвижной систем координат.
Напомним, что комплексные потенциалы течений это функции, удобные для конструктивного анализа [21 23]. Из физических соображений, как правило, легко
устанавливаются их особенности и поведение на границах как в физической, так и в любых вспомогательных плоскостях.
Принципиально результат не является новым. Положения (1). (11) так или иначе установлены еще в пионерских работах Б&Т [6. 13]. а соотношение (14) неявно используется как в этих работах, так и в работах других авторов. Однако соотношения вида (14) и. тем более. (15). практически никто явно не выписывает и так задачу не формулирует. Исключение составляет работа [18]. где соотношение (14) есть, но вместо вводимого естественным образом комплексного потенциала Ш0(.) течения жидкости относительно неподвижной системы отсчета стоит выражение гШУ(.). Дадее поясняется, что — вспомогательная функция, граничные усло-
вия для которой могут быть получены на основании установленной ранее инвариантности задачи Хеле-Шоу относительно некоторого преобразования поворота [24]. В результате такой замены методическая ценность формулы снижается.
Приведенная формулировка задачи справедлива не только для одиночного пальца стационарной формы, но и для любых задач о стационарных, вообще говоря, несимметричных, конфигурациях свободных границ в канале Хеле-Шоу при любом динамическом граничном условии на свободной границе (естественно, замена идеализированного граничного условия на капиллярное отразится на сложности краевой задачи для потенциала Ш0(£) и всей задачи в целом). Методика сформулированного здесь подхода позволяет единообразно восстановить все известные точные решения типа бегущей волны как для пузырей, так и для пальцев при идеализированном динамическом граничном условии. Кроме того, подход дает возможность построить новые численно-аналитические решения идеализированной задачи для любой комбинации, вообще говоря, несимметричных пальцев и пузырей. Для таких численно-аналитических решений в соответствии с формулой (15) структура решения устанавливается точно, а вид комплексных потенциалов Ш0(£) и Ш(С) может быть найден численно.
Отметим, что провести параметрический анализ и оценить степень вырожденности решения по параметрам можно и без построения самого решения. Для этого в рассматриваемом случае идеализированного динамического граничного условия в качестве плоскости вспомогательного комплексного переменного С следует избрать саму плоскость комплексного потенциала Ш0 течения жидкости относительно неподвижной системы отсчета
ш 0(С) = С- (16)
Тогда все параметры задачи приобретают ясный смысл и легко могут быть связаны с физическими параметрами задачи, а неизвестным остается только комплексный потенциал Ш(С). В качестве примера ниже приведен такой анализ для двух стационарных задач о движении пальцев и движении одиночного пузыря в канале Хеле-Шоу.
3. Параметрический анализ задачи о движении пальцев стационарной
формы в канале Хеле-Шоу
Продвижению пальца (или системы пальцев) стационарной формы в лотке Хеле-Шоу отвечает в плоскости комплексного потенциала Ш0 полуполоса (рис. 3),
причем стенкам канала соответствуют боковые стороны, а межфазной границе Г -
ф0 0
Выпишем краевую задачу для комплексного потенциала Ш (£). Гидродинамический анализ движения жидкости относительно подвижной системы отсчета в
0
А
и
А
Рис. 3. Вспомогательная плоскость
случае симметричного пальца относительной ширины А приводит к таким особенностям функции Ш(С):
¿Ш/¿С « 1 - и,
ш(С)1с^в « (и - 1) п-11п(С - г), (17)
Ш(С)|с^ « (и - 1) п-11п (С + г)
и следующим граничным условиям для Ш (£):
^Ьа = 0, = (1 - и)/2, = 1 - и. (18)
Условия (17), (18) означают, что в точке А расположен источник суммарной мощности Qa = и - 1, а в точках В и Б - стоки суммарной мощности Qь = Qd = (1 - и)/2. При этом с необходимостью выполняется балансовое соотношение
Qa + Qь + Qd = 0. (19)
Таким образом, краевая задача для потенциала Ш(£) сформулирована. Она замкнута, ее решение единственно и строится в аналитических функциях [6]. Соответственно, для симметричного пальца и идеализированного динамического граничного условия функция ,г(£) при заданном и восстанавливается единственным образом. Иначе говоря, единственным параметром в этой задаче является скорость
иА
Если отказаться от требования симметрии пальца, то появится еще один параметр 5ь € [0,1], характеризующий распределение расхода Qa между Qь и Qd:
Qb = ¿ь (1 - и), Qd =(1 - ¿ь)(1 - и)
так, что выполняется и балансовое соотношение (19).
Таким образом, в случае продвижения единственного пальца стационарной формы задача Хеле-Шоу в идеализированной постановке имеет два определяющих вещественных параметра: и и ¿ь •
Однако это не последняя степень вырождения решения в идеализированной постановке возможно существование нескольких пальцев. Например, введем точку С - еще один гидродинамический источник для потенциала Ш (£). Его положение определяется значением € (0,1), а мощность - вели чиной ¿С . В результате течение, отвечающее комплексному потенциалу Ш(С), будет характеризоваться и источником суммарной мощности Qa в точке А, и стоками суммарной мощности Qь, Qc, Qd в точках В, С и Б
Qa = и - 1, Qb = ¿ь (1 - и),
Qc = ¿С (1 - и) , Qd = (1 - ¿С - ¿ь)(1 - и)
Рис. 4. Вид физической плоскости в задаче о продвижении двух стационарных пальцев в канале Хеле-Шоу
так, что выполняется балансовое соотношение Qa + Яь + Qd + Яс = 0, аналогичное соотношению (19). Кроме того, из физических соображений вытекают ограничения
¿с > 0, ¿ь > 0, ¿с + ¿ь < 1.
В физической плоскости этому случаю будет отвечать следующая картина течения, рис. 4 (см. [17]). Вместо одного будет два пальца Г = Г и Г2, причем их относительная ширина Ах и А 2 должна удовлетворять естественным ограничениям Ах > 0, А2 > 0, Ах + А2 < 1.
Вследствие уравнения неразрывности будут иметь место балансовые соотношения, аналогичные (5)
и (Ах + А2) = 1 ^ Ах + А2 = и-1, и > 1. (21)
Из выражений (20) сразу вытекают граничные условия для функции тока ф:
^Ьа = 0, ф|ВА = 1 - и;
ф|Г1 = (1 - ¿ь) (1 - и), ф|Г2 = (1 - ¿ь - ¿с) (1 - и).
С другой стороны, учитывая поведение на бесконечности комплексного потенциала Ш(г) течения относительно подвижной системы отсчета
¿Ш= 1 - и, ¿Ш/¿г^,^ = -и,
можно получить другие выражения для граничных условий функции тока ф: ф|г1 =1 - и + Ньи,
1 (23)
ф|г2 = -Я^и =1 - и + (Яь + Нс) и,
где Я4 - асимптотическая ширина рукава ж идкости при х ^ -то в точке Яс -в точке С, Яь - в точке В.
Сравнивая условия (22) и (23), легко выразить физические параметры Я4, Яс, Яь через вспомогательные и, ¿ь, ¿с :
Яь = ¿ь (и - 1) и
Яс = ¿с (и - 1) и(24)
Я4 = (1 - ¿ь - ¿с )(и - 1) и
Далее, определяя координату у точки С € Г2 непосредственно из вида физической плоскости, а также из формулы (15), получим
у|сег2 = А2 + Яй, у|сег2 = и ^ф,0 + Я4,
В Г с А
--- о
В А
а)
1
В с о ^ А
1 -Г )
о
В А
б)
Рис. 5. Виды физической и вспомогательной плоскостей в задаче об одиночном пузыре стационарной формы
0
откуда находится связь между физическим параметром и вспомогательными
Ф°, и
Л2 = и-1ф°. (25)
Таким образом, в случае продвижения двух пальцев стационарной формы задача Хеле-Шоу в идеализированной постановке имеет 4 определяющих вещественных параметра: и, 5ъ, дс , ф°. Физически значимые параметры - И^, Ис, Иъ, Л1, Л2 -являются производными от них и определяются соотношениями (21). (24). (25). Результат очевидным образом обобщается па случай N пальцев: задача Хеле-Шоу в идеализированной постановке будет иметь 2N вещественных параметров.
Заметим, что при конструировании самого решения в качестве вспомогательной плоскости С необходимо взять некоторую плоскость канонического вида, как это и сделано в работе [17], где приведен и вид самого решения. Соответственно, изменится выбор определяющих параметров, но не их число.
4. Параметрический анализ задачи о движении пузыря стационарной формы в канале Хеле-Шоу
Еще один пример параметрического анализа касается задачи о движении одиночного пузыря стационарной формы в канале Хеле-Шоу (см. рис. 5, а). Следует сказать, что в работе [14] построено точное решение, зависящее от трех определяющих параметров. Однако во введении упоминается частное сообщение о построении четырехпараметрического семейства решений этой же задачи, и неясность в степени вырождения решения осталась. Там же указывается, что остается невыясненным вопрос о существовании решения без продольной и поперечной симметрии. Цель данного параграфа дать ответы на эти вопросы.
В соответствии с п. 2 выберем в качестве плоскости вспомогательного комплексного переменного С плоскость комплексного потенциала Ш° течения жидкости относительно неподвижной системы отсчета. Она представляет собой горизонтальную полосу единичной ширины с разрезом вдоль оси ф° = 1т Ш°, отвечающим границе пузыря (см. рис. 5, б). Верхней точке разреза С отвечает значение ф° = ф нижней точке разреза Б - значение ф° = ф°. При этом единственное физически
значимое ограничение имеет вид
¿Ш/<1ке = -и,
— 1с=о =0, — |с= = -и,
(%>/дп)|Сег =0.
(26)
Задача для Ш(С) полностью определена. Даже не строя решения, можно заметить, что плоскость £ и граничные условия (26) для функции Ш(£) симметричны относительно оси = 1ш £. Тогда, очевидно, форма пузыря будет всегда симметрична относительно линии С Б, проходящей через геометрический центр пузыря перпендикулярно оси канала. Кроме того, задача имеет три параметра это относительная скорость пузыря и и два параметра —°, —°, фиксирующие геометрию вспомогательной плоскости.
Теперь обратим внимание на граничное условие на Г в выражении (26). Фактически оно означает, что
где —* - значение, единственным образом определяемое задачей (26). Возникает вопрос, а нельзя ли задавать его произвольным образом и таким образом получить еще один параметр задачи?
Вопрос нетривиальный, поскольку, например, в теории плоских потенциальных течений идеальной жидкости такой параметр действительно есть, и он означа-Г
у(С) = К-е Ш(£) уже неоднозначна — на ветви линии тока — = —*, отходящей от контура Г влево (поток набегает справа), величина у терпит скачок как раз на величину циркуляции. В отличие от теории плоских потенциальных течений идеальной жидкости, в течениях Хеле-Шоу обтекания тел с ненулевой циркуляцией невозможны [25]. Действительно, неоднозначность функции у(С) вследствие соотношений (6), (12) приведет и к неоднозначности давления р в физической плоскости, что, естественно, недопустимо.
Таким образом, идеализированная задача о движении одиночного пузыря стационарной формы в канале Хеле-Шоу в общем случае зависит от трех вещественных определяющих параметров. Соответственно, можно сделать вывод, что в работе [14] построено общее решение этой задачи. Оно с необходимостью обладает поперечной симметрией, т. е. симметрией относительно линии, проходящей через геометрический центр пузыря перпендикулярно оси канала.
Заметим, что в выборе двух определяющих параметров задачи существует произвол, связанный с произволом в выборе вида вспомогательной плоскости (третьим
и
выбран в соответствии с рис. 5, то это будут параметры — °, —°. Однако вместо полосы с вертикальным разрезом в качестве С можно взять кольцо, как в работе [14], или, например, полосу с вырезанным кругом. В последнем случае этими двумя геометрическими параметрами будут ордината центра круга и его радиус. В любом случае в физической плоскости этим двум параметрам отвечают две степени свободы площадь пузыря и положение его относительно центральной линии канала Хеле-Шоу.
— |г = —* >
5. Учет капиллярности в стационарной задаче Хеле-Шоу
Покажем принципиальные трудности отказа от идеализированного динамиче-
Г
граничного условия (4). Формулировка п. 2. которая посредством выражения (15) сводит задачу к поиску двух потенциалов Ш°(£) и Ш(£), справедлива и в этом случае, поскольку при выводе (15) вообще не использовалось динамическое граничное условие на Г. Краевая задача для потенциала Ш также не содержит этого условия. Поэтому функцию Ш(С) можно считать совпадающей с соответствующей функцией для идеализированной задачи. Сложности возникают при построении комплексного потенциала Ш°(£).
Г
ной кривизны Х1 контур а Г к безразмерной кри визне х = ¿х1 и от давле ния р к безразмерному потенциалу с помощью формулы (6), придем к такой форме
Г
где е - безразмерный капиллярный параметр.
Заметим, что в задачах Хеле-Шоу в качестве параметра, безусловно характеризующего соотношение между вязкими и капиллярными силами, выступает именно
е
плекса b/L, например, для одного и того же лотка, эту функцию может выполнять капиллярное число Са. Действительно, характерные вязкие силы определяются из закона Дарсп (1) и имеют порядок 12 ^Vib-2. Характерные капиллярные силы имеют порядок ctL -2 [26] (учитывается только кривизна в плане, имеющая порядок L-1, поскольку кривизна в поперечном сечении всюду одинакова). Их отношение приводит ко второму выражению в (27).
е
тельном графике figure 14 в работе [6] есть ошибка (см. [7]), то будем пользоваться и результатами [7]. В экспериментах [6] геометрические параметры лотка (опыты с маслом Shell Diala) имели значения b = 0.8 мм, L = 25.4 мм, откуда следует, что b/L « 0.03 и, соответственно, е « 0.75 • 10-4/Ca. При этом Ca • А « 0.0003 ^ 0.045 (см. [7], figure 5 и table 1), где множитель А появился за счет того, что S&T в своем определении капиллярного числа использовали не характерную размерную скорость жидкости на бесконечности V, а характерную размерную скорость продвижения пальца U = Vi/А (это неудобно, поскольку А определяется только после решения задачи, а анализ размерностей целесообразнее делать до ее решения). Значению 0.0003 отвечает А « 1, а значению 0.045 - А « 0.56.
Ca
лено здесь) менялось в пределах 0.0003^0.08, а капиллярный параметр е, соответственно, в диапазоне 0.001 ^ 0.25. Уточним, что левой границе диапазона отвечает А « 0.56, а правой, в стою очередь, - А « 1. Следовательно, капиллярный параметр е мал те только при А « 0.5, то также и для А, заметно отличающихся от 0.5. Это обстоятельство со времени опубликования результатов экспериментов S&T побуждало исследователей к привлечению методов асимптотического анализа, но до недавнего времени не приводило к сколь-нибудь существенным результатам. Виной тому существенно сингулярный характер возмущения, вносимого в задачу е
Если вспомогательную плоскость Z выбрать той же геометрии, что и в идеализированной задаче, т. е. полуполосу, то непосредственно добиться равенства (16) невозможно: в плоскости W0 контур у Г отвечает, вообще говоря, криволинейная
(27)
граница. С учетом малости параметра е естественно искать потенциал W°(Z) в виде суммы
W°(С)= Z + еK [z(C)|C], (28)
причем вид малого добавка определяется оператором K, действующим па функцию z(Z), которую и надо найти в результате построення потенциала W°(Z)•
Оператор K - составной и представляет собой последовательное применение двух операторов: оператора кривизны и. условно говоря, оператора Шварца [20]. Оператор кривизны х контур а Г является дифференциальным и нелинейным оператором функции z(Z), хотя и локальным. В свою очередь, оператор Шварца восстанавливает функцию W°(Z) — Z j аналитическую всюду в области , по значению ее вещественной части на границе (см. условие (27)). Оператор Шварца является линейным, но нелокальным, интегральным. Иначе говоря, его поведение в точке Z G Г определяется те только поведением функции z(Z) в окрестности этой точки, а видом функции z(Z) во всей области определения.
Таким образом, стоящий в (28) оператор K - интегро-дифференциальный и нелинейный. В результате подстановки выражения (28) в соотношение (15) получим уравнение
Uz(Z)+ W(Z) — Z — еK [z(Z)|Z] = 0, (29)
где функция W(Z) и вид оператора K известны. Уравнение (29) представляет собой нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно функции z(Z), причем сингулярное, поскольку содержит малый параметр е при том члене, который и делает уравнение нелинейным и интегро-дифференциальным.
Именно исследования этого уравнения (с точностью до выбора вида вспомо-Z)
асимптотик (буквальный перевод асимптотик вне всех порядков), и благодаря недавним работам (см. обзор [5]) стало понятно, что решение уравнения (29) существует не для любого U (а значит и А),а только для счетного набора значений Un, причем при е ^ 0 все Un ^ 2. Соответственно, в этом пределе уравнение (29) имеет решение только при А = 0.5.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Х- 05-01-00516).
Summary
М.М. Alimov. Он steady solutions of Hele-Sliaw problem.
The problem of mathematical modeling of two phase flow in a Hele-Sliaw cell is observed. Our study focuses on steadily bubbles and fingers moving in a Hele-Sliaw channel in the absence of surface tension. The formalization of liodograpli transformation method is suggested. The formalization allows to restore the known exact solutions, to construct new solutions, and to estimate the degeneracy of solution without need of constructing full solution. In particular the degree of degeneracy of the single bubble solution is derived and the single bubble solution without fore and aft symmetry is proved to not exist.
Литература
1. Hide-Shaw H.S. The flow of water // Nature 1898. V. 58, No 1488. P. 33 36.
2. Полубарипооа-Кочипа П.Я. К вопросу о движении контура нефтеносности // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47, № 4. С. 254 257.
3. Галин JI.A. Неустановившаяся фильтрация со свободной границей // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47, № 4. С. 246 249.
4. Mnskat М. The flow of homogeneous fluids through porous media. N. Y.: McGraw-Hill. 1937. 763 p. = Mаскет M. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.-Л.: Гостоитехиздат, 1949. 628 с.
5. Океидои Дон:.P., Ховпсои С. Д. П.Я. Кочипа и Хеле-Шоу в совремешюй математике, естественных пауках и технике // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 3. С. 515 524.
6. Saffпит P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Sliaw cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1958. V. 245, No 1242. P. 312 329.
7. McLean J.W., Saffman P.G. The effect of surface tension on the shape of fingers in a Hele-Sliaw cell // J. Fluid Mecli. 1981. V. 102. P. 455 469.
8. Howison S.D. Complex variable methods in Hele-Sliaw moving boundary problems // Europ. J. Appl. Mat.li. 1992. V. 3. P. 209 224.
9. Hohlov Y.E., Howison S.D. On the classification of solutions to the zero-surface-tension model for Hele-Sliaw free boundary flows // Q. Appl. Mat.li. 1993. V. 51, No 4. P. 777 789.
10. Ceniceros H., Hon T.Y. The singular perturbation of surface tension in Hele-Sliaw flows // J. Fluid Mocli. 2000. V. 409. P. 251 272.
11. Wieyman P.W., Zabrodin A. Conformal Maps and Integrable Hierarchies // Commuii. Mat.li. Phys. 2000. V. 213. P. 523 538.
12. Markina I., Vasil'ev A. Explicit solutions for Helo-Sliaw corner ows // Europ. J. Appl. Mat.li. 2004. V. 15. P. 1 9.
13. Taylor G.I., Saffman P.G. A note on the motion of bubbles in a Helo-Sliaw coll and porous medium // Q. J. Mecli. Appl. Mat.li. 1959. V. 12. P. 265 279.
14. Tanveer S. Now solutions for steady bubbles in a Helo-Sliaw coll // Phys. Fluids. 1987. V. 30, No 3. P. 651 658.
15. Brener E., Levine H., Tn Y. Nonsymmot.ric Saffman-Taylor fingers // Phys. Fluids A. 1991. V. 3, No 4. P. 529 534.
16. Vasconcelos G.L. Multiple bubbles in a Helo-Sliaw coll // Phys. Rev. E. 1994. V. 50, No 5. P. 3306 3309.
17. Vasconcelos G.L. Exact solutions for N steady fingers in a Helo-Sliaw coll // Phys. Rev. E. 1998. V. 58, No 5. P. 6858 6860.
18. Vasconcelos G.L. Motion of a finger wit.li bubbles in a Helo-Sliaw coll: An exact, solution // Phys. Fluids 1999. V. 11, No 6. P. 1281 1283.
19. Алпмов M.M. Особенности конструирования решения стационарных и нестационарных задач Хеле-Шоу // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. о-ва, 2004. Т. 27. С. 19 29.
20. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
21. Lamb Н. Hydrodynamics. Cambridge University Press, 1932 = Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 928 с.
22. Биркгоф Г., Сараитоиелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964. 466 с.
23. Гуревпп М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979. 536 с.
24. Tian F.R., Vasconcelos G.L. Rotation invariance for steady Helo-Sliaw flows. // Phys. Fluids A. 1987. V. 5, No 8. P. 1863 1865.
25. Faber Т.Е. Fluid dynamics for physicists. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997. = Фабер Т.Е. Гидроаэродипамика. M.: Постмаркет, 2001. 560 с.
26. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.
Поступила в редакцию 08.10.05
Алимов Марс Мясумович кандидат физико-математических паук, ведущий научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
Е-шаП: Mars.AlimovQksu.ru
