CC BY
20
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 148, кн. 3
Физико-математические пауки
2006
УДК 532.546
РОСТ ПУЗЫРЯ В ЛОТКЕ ХЕЛЕ-ШОУ С ОБРАЗОВАНИЕМ ЕДИНСТВЕННОГО ФИОРДА
М.М. Алимов
Аннотация
Построено повое точное решение односторонней нестационарной задачи Хеле-Шоу о раздувающемся пузыре при динамическом граничном условии Саффмэпа Тейлора. В отличие от известных решений оно характеризуется отсутствием какой-либо симметрии и формированием со временем единственного фиорда.
Введение
Классическая задача Хеле-Шоу описывает эволюцию границы раздела невязкой и вязкой жидкости (далее воздуха и просто жидкости) при их совместном течении в лотке Хеле-Шоу в предположении о непрерывности давления на границе раздела фаз [1]. Задача о пузыре представляет собой частный случай такого течения, когда жидкость занимает внешность некоторой односвязной области (пузыря). причем воздух внутри пузыря свободно связан с атмосферой, а жидкость отбирается или нагнетается равномерно по периферии лотка [2]. Наиболее интересен случай раздувающегося пузыря, когда жидкость отступает, и имеет место неустойчивость межфазной границы. При этом в экспериментах наблюдаются регулярные или почти регулярные пальцеобразные структуры [2 4].
Первые точные решения задачи о стягивании контура нефтеносности, родственной задаче Хеле-Шоу. найдены в работах [5 7]. Непосредственно для задачи Хеле-Шоу о раздувающемся пузыре ряд частных решений получен в работах [8 11]. Все они принадлежат классу решений, представленных параметризованной функцией, отображающей область некоторой вспомогательной плоскости £ па область П(Ь) физической плоскости г, причем производная отображающей функции рациональна во вспомогательной плоскости. Другими словами, оиа имеет конечное число пулей и полюсов, лежащих вне области П (необходимое условие конформности отображения £ ^ г). Эволюция межфазной границы области ЗПг (Ь) вызывает изменение положения пулей и полюсов в плоскости причем они могут двигаться в сторону границы области ЗП^ в плоскости В случае касания границы дП^ нулей ситуация критична: на межфазной границе дПг (Ь) образуется точка заострения и классическое решение задачи перестает существовать [12] (пример решение П.Я. Полубариновой-Кочиной [5] для кардиоиды).
Приближение полюсов к образу межфазной границы дП^ в плоскос ти £ некритично в результате на межфазной границе формируется фиорд [9, 10]. Два соседних фиорда образуют пальцеобразную структуру.
По построению все решения [8 11] обязательно обладают разного рода симметрией области течения, и число «фиордообразующих» полюсов не может быть меньше двух. В работе [13] было построено общее решение задачи пальцеобразо-вания в канале Хеле-Шоу. Перенося методы [13] на задачу о растущем пузыре и ограничиваясь тем же классом параметризованных решений, характеризуемым
рациональностью производной отображающей функции, удастся построить новое точное решение задачи Хслс-Шоу о раздувающемся пузыре. Оно отличается от решений [8 11] отсутствием какой-либо симметрии и формированием со временем единственного фиорда.
1. Определяющие соотношения
Математическая формулировка задачи Хслс-Шоу о раздувающемся пузыре (см. рис. 1. а) имеет вид [9]
П (*) : Др = 0,
дП2 (г): - (др/дп) = уп, р = 0, ^
I х2 + у21 —>■ оо : р —> 1п I х2 у21 _
II | |
Здесь П2 (г) - область, занятая жидкостью; дП2 (г) - межфазная граница между жидкостью и воздухом; п - внешняя нормаль к дП2(г); р(х, у, г) - давление в жидкости; - нормальная составляющая скорости движения межфазной границы; ф(г) > 0 - суммарный расход отбираемой на бесконечности жидкости (пока не определенная функция времени).
Задача (1) позволяет ввести комплексную физическую плоскость г = х + гу и комплексный потенциал течения Ш = ^ + г ф, где ^ = —р, ф — функция тока [14], причем Ш = Ш(г, г) и на бесконечности выполняется условие
2пг (дШ/дг)|и^то = д(г). (2)
Целесообразно [5 7] ввести вспомогательную плоскость комплексного переменного в которой областн П2(г) отвечает область П канонического вида - в данном случае внешность единичного круга (рис. 1, б). Свободной границе соответствует окружность |£| = 1, а бесконечности в плоскости г - бесконечность в плоскости Аналитическую функцию, конформно отображающую область П на область П2(г), обозначим через д(С,г):
г = д(С,г), |дд/дС|СеП< =0, го. (3)
Конформность отображения предполагает отсутствие в области П^ сипгулярпо-стей функции д(£, г), что отражено в выражении (3) [15]. Как следствие существует и обратное отображение
С = /(г, г), |д//дг|геП, =0, го. (4)
Нормируем конформное отображения (3) так, что а^(дд/д£) ^ ^и |£| ^ го, и производная дд/д£ будет вещественной функцией только времени г. Выберем эту функцию вполне определенной и равной (1 + г). В результате условие нормировки примет вид
(дд/дС)|К|^то = (1+ г) (5)
Учитывая граничные условия задачи (1), канонический вид области П^ и условие нормировки (5), сразу можем определить вид функции Ш(С, г)
2пШ (С,г) = д(г)1п с.
Тогда краевая задача (1) приводит к граничному эволюционному уравнению Полубариновой-Галина [о, 6]
С =
2тг
(6)
Введем функцию Шварца £(г,Ь) [16]. Она получатся подстановкой х = (г + г)/2, у = (г — г)/2 в уравнение свободной границы
дПг(Ь): ^(х, у, Ь) = 0
г = S(г, Ь)
и разрешением его относительно г. Обозначим через г образ функции Шварца во вспомогательной плоскости г(С, Ь) = £ (д(С,Ь),Ь). Функция г(С,Ь) получается применением к функции д(С, Ь) преобразования [10]
г(С,Ь) = д*(С-1,ь) = Р [д(С, ь)]
(7)
которое определим как оператор Р [13]. Звездочка здесь и далее обозначает операцию сопряжения только по параметрам (но не переменным) функции. Отметим очевидное свойство оператора Р: примененный дважды к любой функции он будет эквивалентен тождественному преобразованию.
С помощью функции г(С, Ь) граничное эволюционное уравнение (6) может быть переписано в виде
С = е- : п Ф(С,Ь) = т (8)
где левая часть уравнения имеет вид [7]
О)
Оператор Р позволяет представить функцию Ф(С, Ь) результатом некоторого преобразования функции д(С, Ь)
ф(с,ь) = Р
дд
т
с^ + ^Р
ц д( т
дд
ас.
(Ю)
и, соответственно, установить инвариантность функции Ф(С, Ь) относительно преобразования Р. Тогда (см. [13]) вне зависимости от типа лотка Хеле-Шоу и, соответственно, вида граничных условий для функции д(С, Ь) справедливо следующее
Утверждение. Пусть частные производные функции д(С, Ь) по переменным С и Ь - рациональные функции в плоскости (. Тогда функция Ф(С,Ь) как результат преобразования (10) также рациональна и является комбинацией парных
нулей (су, с- и парных полюсов (Ъу, Ъ- отличных от нуля и бесконечности плоскости С-
Ф(^) = а(*)П [С - Су (*)] [С-1 - су (*)] / П [С - Ъу (*)] [С-1 - Ъу (*)] ,
3=1 / у=1
где а(£) - некоторая вещественная функция I. При этом количество нулей 2.п и полюсов 2. может, не совпадать. Знак разности . - . определяет поведение функции Ф(С,£) 6 муле и бесконечности: если он положителен, там будут, полюса порядка - ., если отрицателен - нули порядка . - .
2. Параметрический вид решения для пузыря с единственным фиордом
Для нахождения решения задачи с учетом известных результатов [8 11] целесообразно сразу заложить структуру решения, то есть параметрический вид функции g(Z, t), обеспечивающий условие рациональности ее частных производных в плоскости Z- Учитывая «фиордообразующую» роль полюсов производной dg/dZ, о которой говорилось выше, ограничимся случаем единственного простого полюса b = b(t), строго отличного от точки Z = 0. Тогда параметрический вид производной dg/dZ при нормировке (5) с необходимостью является таким:
дд (1-И) -Д
âz = zw-!(Z-b) 11 ~
Здесь через а„ = a„(t) обозначены нули функции (кратные просто повторяются) общим числом N ^ 1 (па самом деле, как будет показано далее, в п. 4, случай N = 1 несодержателен, а содержателен только случай N ^ 2). Соответственно, в точке Z = 0 с необходимостью присутствует пол юс порядка N — 1.
Заметим, что пули a„(t) в отличие от полюса b(t) в какой-то момент времени Z= 0 Z
и знаменателе у функции dg/dZ в точке Z = 0 в этот момент времени на самом
N— 1
первого.
Как сингулярности отображающей функции g(Z, t), реализующей конформное отображение Z ^ я, нули и полюса производной dg/dZ должны лежать внутри единичного круга |Z| < 1:
Vt : |b(t)| < 1; |a„(t)| < 1, n = 1,..., N. (12)
Рациональная функция (11) допускает и аддитивное представление, причем вместо пулей a„(t) параметрами становятся моменты при каждом слагаемом [15]. Анализ этого представления с учетом некоторой свободы в выборе параметров
g(Z, t)
g(U) = (1 +i)C + d0 ln [Z"1 - b"1 W] + E TÉr- (13)
m= 1 Z
Здесь d0, b и fim - свободные параметры, причем d0 - комплексная константа, а b(t), em(t) — комплекснозначные функции времени t.
В соответствии с основной идеей метода функции Шварца [16] удовлетворим
Z
частные производные функции д(£, Ь) вида (13) в плоскости С будут рациональными функциями. Следовательно, функция д(С, Ь) удовлетворяет всем условиям утверждения п. 1. Поэтому функция Ф(£, Ь) также рациональна в плоскости С и структурно состоит из двух слагаемых рациональных функций с одними и теми же полюсами. Соответственно, можно пытаться добиться взаимного сокращения полюсов путем наложения дополнительных условий на свободные параметры функции д(£,Ь). Тогда по теореме Лиувилля [15] Ф(С, Ь) во всей плоскости С будет функцией только параметра Ь, причем вещественной, вследствие ее инвариантности относительно преобразования Р. В результате из утверждения п. 1 вытекает
Следствие. Пусть функция д(С, Ь) имеет вид (13) и удовлетворяет условию (12), а функция Ф(С,Ь) является образом д(С,Ь) при преобразовании (10). Если, управляя свободными параметрами 6(Ь), вт(Ь), т = 1,..., N — 1, добиться выполнения совокупности таких локальных условий
то функция д(С, Ь) будет удовлетворять граничному эволюционному уравнению (8) и, соответственно, будет решением задачи Xеле-Шоу о раздувающемся пузыре с некоторым определенным, законом отбора жидкости
Отметим, что условия (14) носят характер запрета на наличие особенностей у функции Ф(С,Ь) в определенных точках плоскости С, и фактическое число локальных условий, определяемых (14), больше двух. Если, например, в окрестности бесконечности по построению у функции Ф(£, Ь) может быть полюс 3-го порядка, то из второго условия (14) будет вытекать фактически три локальных условия запрета полюсов 1-го, 2-го и 3-го порядков соответственно.
Вид закона определяется выбором конкретной функции времени в нормировке (5). В дальнейшем заменой переменной Ь ^ 0(Ь) можно получить решение задачи для любого наперед заданного закона ф(0) > 0 [12].
Зная вид решения д(£,Ь) и комплексного потенциала Ш(£), можно найти комплексно сопряженную скорость потенциального движения
Таким образом, с помощью параметризации решения в виде (13) краевая задача Хеле-Шоу (1) о раздувающемся пузыре сводится к задаче локального анализа поведения функции Ф(С, Ь) в окрестности ее особых точек.
Использование комплексных переменных делает целесообразным и введение комплекснозначных аналогов векторных полей [13]. Если в плоскости И2 действует векторное поле "У(х,у,Ь) = (г>х, «у), то, очевидно, можно говорить о действующем в комплексной плоскости С векторном поле У(г, г, Ь), которое получается подстановкой х = (г + г)/2, у = (г — г)/2 в векторное поле «х (х, у, Ь) + (х, у, Ь). Тогда для скорости потенциального течения можно использовать формулу ¥р = дШ/дг, откуда, в частности, следует ¥р = Ур(г, Ь).
Пусть в плоскости И2 задано гладкое векторное поле "У(х, у, Ь). Следуя [17, 18], можно ввести расширенное пространство И х И2, действующее в нем векторное (1, " ) (1, " )
Их С
ф(С,Ь)1с~б-1 = о(1), Ф(С,*)1|С|~ТО = о(1),
(14)
(15)
3. Формализм
поле (1, V) и производную Ли относительно этого векторпого поля. Если / (г, £) -аналитическая функция комплексного переменного г и действительного переменного £, то производная Ли скалярного поля / относительно векторного поля (1, V) имеет вид [13]
£(1,У)/ = д//д£ + Vд//дг. (16)
Пусть в соответствии с п. 1 функция /¿) в каждый момент времени £ € € Т С И реализует конформное отображение области Пг (£) на П^, а функция д(£, ¿) - обратное отображение. Вводя тождественное преобразование времени ф(£) = £, определим взаимно обратные отображения (ф, /) и (ф, д)
(ф,/): Т х Пг(¿) ^ Т х Пс; (ф,д): Т х Пс ^ Т х Пг(¿).
В области Т х П2 (£) действует векторное поле (1, V). В результате отображения (ф, /) в области Т х П^ ему будет отвечать векторное поле (1,и). В механической интерпретации поле У(г, с , £) задает движение материальных точек
области Пг (£), а поле Ц(С, С, ¿) _ движение их образов в области П при отобра-(ф, /)
(1, и) = £ (1,у) (ф, /) • С учетом формулы (16) будем иметь
1 = £(1,у)ф(*), и(С,С,£)= (д//д£ + Уд/^)^^. (17)
Зависящее от времени £ как от параметра конформное отображение (3) задает группу преобразований, которой отвечает некоторое конформное движение точек физической плоскости. Вспомогательная плоскость С при этом выступает в качестве плоскости лагранжсвых переменных. Скорость такого движения обозначим через Уд (г, £) и по определению имеем
Vg = (дд/д£)|с=/(М) . (18)
В плоскости £ этому движению отвечает векторное поле Цд(С, ¿) = 0. Подставляя его в формулы (17), получим другую формулу для поля Уд (г, £)
Аналогично можно определить другое конформное движение, порожденное отображением (4), когда г выступает плоскостью лагранжевых переменных. В этой плоскости ему отвечает поле скоростей V/ (г, £) = 0, а в плоскости £ _ поле и (С, £), по аналогии с (18), (19) имеющее вид
"'«•<> =1
*=д(С,«) дЪ!
Из формул (9), (20) найдем новое представление функции Ф(£,¿):
Ф(С,*) = С(дд/дС) £(1,и/)г(С,£). (21)
Тогда эволюционное граничное уравнение (8) можно записать в терминах производной Ли
< = «": £<,,,),«.<) = ^ (!)"'■ т
В результате можно переписать локальные условия (14) для функции Ф(С, в терминах производной Ли. При этом необходимо знать особенности поля Ц/(С, ¿) в комплексной плоскости С- Судить о них легче в случае, когда в параметрическом представлении решения (13) величина N принимает минимально возможное значение, а именно: N = 2, то есть от суммы членов вида вт(£)С1-т остается одно слагаемое: в(£).
4. Простейший случай N = 2
Полагая N = 2 в формуле (13), придем к такому виду функции д(СД):
д(С,Ь) = (1+ Ь)С + ¿о 1п [С-1 — Ь-1(Ь)] + в(Ь). (23)
Здесь ¿0, Ь и в _ свободные параметры, причем ¿0 - комплексная константа, а Ь(Ь), в(Ь) _ комплекснозначные функции времени Ь. Найдем частные производные функции д(С, Ь)
дь ^ (С-1 — ь-1)ь2 дс у ' (С-1 — ь-1)'
После элементарных преобразований получим производную дд/д£, практически приведенную к виду (11)
дд = (1+Щ6-С)-^о6
ас (ь-ОС
Подставляя эти выражения в (20), найдем вид функции Ц (С, Ь)
(24)
п ^ л (с+юаъ-с) + <къ'уъ-1с2 и/(с') =--(1+щб-о-^—•
Очевидно, что функция Ц(С,Ь) рациональна в илоскости С, причем па бесконечности функция имеет простой полюс. Сравнение выражений (24) и (25) показывает, что остальные полюса функции Ц (С, Ь) в плоскости С совпадают с нулями производной дд/дС- Последние в силу требования (12) лежат внутри единичного круга. Соответственно, функция иf(C,t) регулярна всюду в области но не в замыкании П •
Учитывая это, а также то обстоятельство, что все полюса рациональной функции дд/ЭС, лежат вне замыкания области перепишем условия (14) с помощью представления (21) функции Ф(£, Ь) посредством производной Ли образа функции Шварца г(С, Ь)
£(1,и/>г(С,Ь)|с_5-1 = °(1),
(26)
}г(С,Ь)||СНто = О (С-1).
Далее, используя преобразование (7) функции д(С, Ь) вида (23), найдем образ функции Шварца г(£, Ь) в виде:
г(СД) = + ¿0 1п [с - Ь~Щ + т (27)
с точностью до константы (несущественной, поскольку используются только частные производные функции).
С учетом формулы (16) проанализируем левые части условий (26) на предмет наличия особенностей в замыкании области П • Таковые могут быть порождены особенностями функции Ю/(СД) (см- формулу (25)) и частных производных функции г(С,Как уже отмечалось выше, функция Uf((l,t) в замыкании имеет единственную особенность простой полюс на бесконечности. В частных производных дг/дЬ, дг/дС функции вида (27) особенность типа простого полюса в точке Ь-1 появляется за счет слагаемого ¿о 1п[С — Ь-1(Ь)], и только за счет него. Соответственно, в левую часть 1-го локального условия (26) существенный вклад может
дать только слагаемое ¿о МС — с 1(£)] представления (27). В результате первое условие (26) дает
£(1,0/) [1п (С — Ъ-1)] = 0(1). (28)
Несколько сложнее со вторым условием (26), а именно условием на бесконечности. Используя выражение (25), оценим поведение поля Ц/ (С, £) на бесконечности
С
|С|~оо: Uf(C,t) = -Jí:^T)+0(l). (29)
С учетом формулы (16) убедимся, что первое слагаемое в представлении (27) не дает существенного вклада во второе условие (26), поскольку
L
(1,0/)
1 +1
= «(с1).
с
Соответственно, само условие можно переписать в виде
L (1,0/) {do ln [С - b-1(t)] + Ш||с|-То = O (С-1) . (30)
Таким образом, совокупность локальных условий (14) сведена к более простой совокупности локальных условий (28), (30).
5. Формулировка динамической задачи
Свободные параметры b(t), e(t) решения вида (27) можно трактовать как фазовые координаты некоторой обобщенной динамической системы [8]. Другими словами, условия (28), (30) позволяют выписать систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений для двух неизвестных b(t) и e(t) •
Проанализируем сначала условие (30). Распишем его левую часть с учетом формулы (16) и оценки (29) поведения Uf (Z, t) на бесконечности:
ICI ~ ОО : £(MJ/) {do ln [с - Ь-1 W] + m} « m - {c_-bdf){1+t) + OiC1)-
Соответственно, само условие (30) будет удовлетворено только в случае, когда
(31)
Решение этого дифференциального уравнения для параметра e(t) может быть выписано сразу:
в(*) = do ln(1+1)+ в(0). (32)
Теперь проанализируем условие (28). Распишем его левую часть с учетом формулы (16)
С-ь-1
и соответственно, само условие может быть удовлетворено только в случае, когда
Подставляя в это соотношение выражение (25) для функции Ц/ (£, 4) и учитывая уже известный вид параметра в(4), получим нелинейное дифференциальное уравнение для параметра 6(4)
1 + ^ 6 - = ) - с10Ь
(33)
Это диффереициалыюе уравнение может быть решено численно, например, с помощью пакета МАТЬАВ. Вместе с тем. уравнение (33) может быть проинтегрировано аналогично [13].
6. Интегрирование дифференциального уравнения (33)
Пусть свободные параметры 6(4) и в(4) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений (31). (33). что эквивалентно выполнению совокупности локальных условий (28). (30) и, соответственно, совокупности локальных условий (14). Тогда, согласно следствию п. 2, всюду в плоскости £ выполняется эволюционное граничное уравнение (8), и соответственно, эволюционное граничное уравнение (22).
Далее, с помощью отображения (ф, д) (см. п. 3) перейдем из области Т х П^ в область Т х П2 (4). С учетом инвариантности производной Ли относительно отображений [18] и определения образа г(£, 4) функции Шварца Б(.г,4) (см. п. 1) найдем:
г е дПг(4) : {£а,0/)г(С, 4) }с=/(м) = £а,У/)Б(г, 4) = дБ/д4.
Тогда нз уравнения (22) с учетом выражения (15) получим еще один вид граничного эволюционного уравнения:
г е дП2(4) : дБ/д4 = 2 (д^/дг). (34)
Именно такой вид уравнения использовался в [10], и последующее интегрирование уравнения (33) можно назвать методом Ховисона [13].
Уравнение (22) выполняется всюду в плоскости Функция £ (дд/д^), а значит и д^/дг, регулярна всюду в замыкании П (4). Поэтому уравнение (34) выполняется не только на границе дП2 (4), то также и в замыкании области П2 (4) (но не во всей плоскости г):
г е П (4) : дБ/д4 = 2 (д^/дг). (35)
Формула (2) фактически дает оценку поведения д^/дг та бесконечности |г| ^ ^ го: д^/дг = 0(,г-1). С учетом этого, из уравнения (35) найдем оценку поведения производной дБ/д4 всюду в замыкании области П2 (4)
г е П(4): дБ/д4 = 0(1). (36)
Функция г(^,4) вида (27), очевидно, имеет особенности на бесконечности и в точке С = 6-1(4). Соответственно, функция Б(г,4) будет иметь особенности на бесконечности и в точке г = В(4) - образе точки £ = 6 -1(4) при отображении д(С,4):
В(4) = д(С,4)|с=5-1(4) . (37)
Проанализируем поведение функции Б (г, 4) в окрестности точки В(4). Ввиду регулярности функции д(£, 4) в точке С = 6 -1(4) можно выписать ряд Бурмана-Лагранжа [15] (штрих обозначает производную по С):
д'
, АоМ) = - Я"
С=ь-1 2(д')3
С=б-1
Подставляя это разложение в представление (27) функции г(£, 4), найдем, что комбинация S(г, 4) — ¿о 1п[г — В(¿)] в окрестности точки В (4) представима следующим образом
^4) = <¿0 1п [г — В(4)] + аТо 1п А (4) + £(*) + О (г — В) .
Отсюда следует, что найденная оценка поведения функции £(.г, 4) в окрестности точки В(4) не будет противоречить оценке (36) только при выполнении условия типа закона сохранения
В(4) = В(0), (38)
которое с учетом выражения (37) для В(4) и вида (23) функции д(С, 4) записывается в виде
Ш+с101п)±1+с101п[1-тП =щ-Ло1пЬ(0) + <г01п[1-|Ь(0)|2] • (39)
Здесь учтен уже известный вид (32) параметра и отброшены одинаковые константы слева и справа. Соотношение (39) и есть искомый интеграл дифференциального уравнения (33).
7. О законе отбора жидкости на бесконечности
Выбор конкретной функции времени в нормировке (5) определяет вид закона отбора жидкости па бесконечности В то же время, как правило, этот закон
бывает задан изначально. Заменой переменной времени 4 та «новое время» в можно получить решение задачи для любого наперед заданного закона ф(в) > 0 [12].
Пусть новое время в связно со старым 4 взаимнооднозначным соответствием в = в(4) так, что в'(4) > 0 для любого 4 > 0, и в(4) = 0 при 4 = 0. Функция в(4) удовлетворяет соотношению [13]
г в
У д(4) ^ = у д(в) ¿в. (40)
оо
Это выражение позволяет установить взаимнооднозначное соответствие в(4) до тех пор, пока выполняется условие > 0. Таким образом, исходя из решения задачи Хеле-Шоу вида (13), отвечающего определенному закону отбора жидкости на бесконечности с помощью выражения (40) можно получить решение задачи
для любого наперед заданного закона ф(в) > 0.
Как правило, в задаче о раздувающемся пузыре отбор жидкости на бесконечности фиксирован: ф(в) = ф0. Тогда из выражения (40) сразу следует
г
т = (41)
о
Очевидно, эта формула будет эффективна в том случае, когда выражение представляет собой производную по времени 4 некоторой функции. Непосредственный путь определения путем вычисления левой части граничного эволюционного уравнения (8) в произвольной точке плоскости С дает множество различных по форме, но эквивалентных по сути выражений для функции Однако ни
одно из них не будет иметь вид, удобный для использования в формуле (41).
Подходящее выражение для можно получить путем дополнительного анализа уравнения (35) в бесконечной точке плоскости г. Поведение производной д^/дг на бесконечности дает выражение (2). Подставляя его в уравнение (35) получим более точную, чем (36). оценку на бесконечности
го :
дБ
Tit
(42)
В то же время, локальный вид функции Шварца в окрестности бес-
конечности можно получить путем анализа поведения функций г(£, 4) и $(£, 4), аналогичным проведенному в п. 6, но не в точке С = Ь 1 (4), а на бесконечности.
Непосредственно из представления (23) функции #(£, 4) с учетом уже известного вида (32) параметра в(4) можно найти выражение С (г) в окрестности бесконечности:
(1+ t)zi |
= z — e(t) — d0 ln
1 1
Lc" m\
= z — e(0) — d0 ln
1+i ■ b(t) J
+ O (z-1) .
Подставляя его в представление (27) образа г(£, 4) функции Шварца Б (г, 4), можно оценить поведение на бесконечности самой функции Б (г, 4) с точностью до о(
S(z,i)||z|^TO = в(0) + do ln z + z-1 [(1+1)2 — doD(t)] + o(z-1) где через D(t) обозначено выражение
D(t) = в(0)
i±l
6(i)
do ln
1 + i ■ 6(i) .
(43)
(44)
Дифференцируя выражение (43) по времени, получим оценку поведение па бесконечности левой части соотношения (42)
N - оо : ^ = [(1 + ;)2 - ¿0В(Щ + о (^) .
Подставляя ее непосредственно в соотношение (42), найдем вид закона в требуемой форме как частную производную по времени от некоторой функции:
Q(t)
-[(l+tf-d0D(t)].
Отметим, что по физическому смыслу зависимость Q(t) с необходимостью вещественна. В то же время, вещественность правой части найденного для нее выражения неочевидна, поскольку параметры решения do, b(t) и в(^), а значит, и выражение D(t), вообще говоря, комплекснозначны. Чтобы прояснить этот вопрос, используем найденный в п. 6 интеграл (39) дифференциального уравнения (33) и перепишем выражение (44) в виде
D(t) = —d0 ln [1 — |b(t)|2] + const.
Подставляя его в найденный вид закона Q(t), придем к другому его виду
^ = |{(l+i)2 + Ho|2ln[l-|6(i)|2] },
в котором вещественность правой части выражения уже очевидна.
Соответственно, подставляя это выражение в формулу (41), получим для функции в (4) точную формулу
С ее помощью построенное в п. 4 6 решение задачи о раздувающемся пузыре при нормировке (5) распространяется на случай фиксированного отбора жидкости на бесконечности: ф(в) = ф0.
В конкретных расчетах эволюция единственного переменного параметра решения 6(4) определялась путем численного решения нелинейного и неявного относительно 6(4) алгебраического уравнения (39) для интервала времени 4 € [0, 4*], проходимого с малым шагом. Затем с помощью выражения (45) определялось конечное время в* = в(4*), задавалось разбиение интервала времени [0, в*] на десять частей: вп = в*п/10, п = 1,..., 10. С помощью того же выражения (45), но уже как нелинейного и неявного уравнения относительно 4, определялась последовательность 4П = 4 (вп) моментов времени 4, в которые необходимо прорисовывать положение свободной границы.
Были проведены расчеты для 3-х вариантов выбора начальных значений свободных параметров:
о) в(0) =0, <0 = 0.1, 6(0) =0.35, 4* =3.2, в* = в(4*) = 51.8421;
б) в(0) = 0, <0 = — 0.15, 6(0) = 0.3, 4* = 2.8, в* = в(4*) = 41.2872;
в) в(0) = 0, <0 = -0.1, 6(0) = 0.3, 4* = 1.9598, в* = в(4*) = 24.2964.
Соответствующие картины эволюции пузыря представлены на рис. 2, о, б, в.
Звездочкой в правой части каждого рисунка отмечено положение точки г = В(0). Варианты (о) и (в) характеризуются симметрией начальной и всех последующих конфигураций пузыря относительно оси х, а вариант (б) - отсутствием какой-либо симметрии. В варианте (в) в качестве 4* указано предельное время существования решения, когда на свободной границе формируется точка возврата и для последующих моментов времени решения уже не существует. В вариантах (а) и (б) решение существует для любого 4 > 0, и в качестве 4* выбран момент, когда фиорды достаточно полно сформировались, и характер дальнейшей эволюции уже не меняется.
Такая существенная разница в эволюции первоначально гладких и мало отличающихся друг от друга пузырей является проявлением существенно различной эволюции сингулярностей конформного отображения £ ^ г [8, 10]. У производной дд/функции г = 4) будет два полюса С = 6(4), С = 0 и два нуля £ = ац2 (4) • Последние определяются из выражения (24):
Заметим, что все рассуждения, касающиеся построенного решения, правомерны лишь в случае, когда полюса 6(4) и нули 01,2(4) удовлетворяют условиям (12). Потребовать их выполнения можно только в начальный момент времени подходящим путем выбора начальных значений свободных параметров: <0 и 6(0). Выбор константы в(0), очевидно, несуществен, поскольку он определяет только начало отсчета плоскости г — поэтому принималось в(0) = 0. С течением времени положение сингулярностей отображения £ ^ г изменяется, но по непрерывности условия (12) удовлетворяются еще, по крайней мере, некоторое время.
(45)
8. Примеры и обсуждение результатов
Рис. 2. Эволюция раздувающегося пузыря для вариантов (в), (б), (в) начальных значений свободных параметров
Движение полюса b(t) функции dg/dZ подчиняется дифференциальному уравнению (33). Выявить какие-либо тенденции этого движения путем непосредственного анализа уравнения затруднительно ввиду его нелинейности. Тем не менее, используя результаты п. 6. удается установить определенную тенденцию в движении полюса b(t) - со временем он обязательно будет приближаться к границе единичного круга.
Действительно, вследствие равномерного отбора жидкости по периферии лотка граница r(t) бесконечной области Qz(t), запятой жидкостью, будет «раздуваться». С другой стороны, в соответствии с формулой (37) образ z = B(t) точки Z = b -1(t) при отображении g(Z, t) необходимо принадлежит области Qz (t), и ввиду соотношения (38) этот образ неподвижен: B(t) = B(0). Соответственно, «раздувающаяся» свободная граница r(t) в физической плоскости будет приближаться к неподвижному образу z = B(0) точки Z = b-1(t). Тогда и сама точка Z = b-1(t), а значит, и точка Z = b(t), будут приближаться к образу свободной границы в плоскости Z _ единичной окружности, то есть со временем |b(t)| ^ 1.
В то же время, перевалить точку z = B(0) свободная граница не может, и соответственно, возможны два сценария дальнейшей эволюции раздувающегося пузыря. Первый сценарий: на границе образуется фиорд, причем «голова» фиорда - это сама точка z = B(0). Величина |b(t)| экспоненциально приближается к 1, оставаясь, тем не менее, меньше 1. При этом arg {b(t)} уже практически устанавливается:
arg b(t) « стто = lim {arg b(t)} .
t—
В представлении (23) функции g(Z, t) в окрестности Z — такие малые
изменения b(t) отражаются главным образом на члене d0 ln [Z-1 — b 1 (t)] . Тогда для свободной границы r(t) в окрестности точки z = B(0) и, соответственно, Z — ега , а — справедлива оценка
Z ~ , а ~ ато : g(Z, t)^ — g(Z,t)U^ ~
- do ln (e-iff — )l — do ln (e-iff — )l =+indo, (46)
V /I a>a^ \ /I a<a^ 4 '
причем правая часть равна именно +ind0, поскольку Z хоть и близка к границе единичного круга, но все-таки принадлежит его внешности.
Выражение (46) объясняет прямолинейность «хвоста» фиорда. Полагая, что правая его часть представляет собой нормальное сечение фиорда, получим ширину фиорда |nd0| и направление «хвоста» фиорда от точки z = B(0), задаваемое вектором вг arg do (это направление получено поворотом на — п/2 направления +ind0). Заметим, что положение «хвоста» фиорда, задаваемого вектором +ind0, определяется уже в начальный момент времени (см. варианты (а) и (б) пунктирные линии). Такой же характер формирования фиордов наблюдается и для течений Хеле-Шоу в лотке типа канала [9, 10, 13].
Однако при приближении свободной границы к неподвижной точке z = B(0) возможен и второй сценарий эволюции, а именно, просто «развал» решения. Связано это с тем, что нули производной dg/dZ достигают границы единичного круга: |а 1j2(t)| = 1. В результате на свободной границе образуется точка возврата, скорость течения в них становится бесконечной, и решение задачи перестает существовать, см. вариант (в).
О движении сингуряностей отображающей функции - полюса b и нулей а1,2 — для эволюции пузырей, представленных на рис. 2, можно судить по графикам, приведенным на рис. 3 и 4. На рис. 3, а, б, в показаны зависимости |b(0)| и |a1j2(0)|, а
Рис. 3. Эволюция | ах | - кривая 1, | а2 | - кривая 2, и | Ь | - кривая 3, для вариантов (о), (б), (о) начальных значений свободных параметров (по горизонтали отложен помер шага по времени 0)
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3
-0.4_L
0.5 0
-0.5
-1.5
а)
n
01 23456789 10
б)
n
01 23456789 10
1, 3
0
1
7
n
10
Рис. 4. Эволюция (arg a1) - кривая 1, (arg а2) - кривая 2, и (arg b) - кривая 3, для вариантов (а), (б), (о) начальных значений свободных параметров (по горизонтали отложен номер шага по времени 0)
3
2
3
2
2
3
2
на рис. 4, а, б, в - зависимости arg 6(0) и arg a1 2(0), соответственно, для вариантов
(а), (¿Ь (в).
т1етких критериев, позволяющих на этапе выбора начальных значений свободных параметров предсказать, достигнут или не достигнут границы единичного круга нули ai,2 производной dg/dZ, нет. Но с учетом всех известных решений задачи Хеле-Шоу [8 13] можно высказать ряд гидродинамически обоснованных предположений:
1) Все отклонения от гладкого характера эволюции межфазной границы так или иначе связаны с приближением этой границы к неподвижным образам z = = B(0) точек Z = 6 -1(t) (последние являются симметричными отражениями относительно единичного круга дП^ полюсов 6(t) производной dg/dZ отображающей функции z ^ Z) •
2) Анализ начальных значений свободных параметров, как правило, позволяет уже на начальном этапе наметить фиорды.
3) Будет ли решение продолжило по времени до бесконечности или развалится в какой-то момент времени, зависит от величины угла между направлением «хвоста» фиорда и направлением вектора, соединяющего, скажем, геометрический центр начальной конфигурации межфазной границы с «головой» фиорда. Если этот угол близок к нулю, фиорд сформируется полностью, и решение будет продолжило до бесконечности. Если этот угол близок п, то с приближением границы к «голове» фиорда решение определенно развалится.
Сформировать более точно количественные условия продолжимости или непродолжимости решения по времени до бесконечности затруднительно. Например, в приводимом варианте (б) этот угол близок к п/2, максимальные значения скорости течения наблюдаются при обходе свободной границей «головы» фиорда (рис. 2, б). Соответственно, в этот же момент наблюдается максимальное значение кривизны свободной границы (большое, но конечное). Если этот угол увеличить еще немного, скажем взять = -0.01 — i 0.15, фиорд также начинает формироваться, но когда свободная граница огибает «голову» фиорда, скорость течения достигает бесконечного значения, и на границе образуется точка возврата решение разваливается.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Х- 05-01-00516).
Summary
М.М. Alimov. Bubble growth at the Hele-Sliaw coll with only оно fiord formation.
Now solution of the one-pliaso Hele-Sliaw problem with the Saffman&Taylor boundary condition for growing bubble was found. In contrast to well-known solutions it is characterized by asymmetric property and only one fiord formation.
Литература
1. Saffman P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium or Helo-Sliaw cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. 1958. V. 245, No 1242. P. 312 329.
2. Paterson L. Radial fingering in a Hole Shaw cell // J. Fluid Mecli. 1981. V. 113. P. 513 529.
3. Couder Y.,Cardoso O., Dupuy D., Tavernier P., Thorn W. Dendritic growth in the Saffman Taylor experiment. // Europliys. Lett. 1986. V. 2. No 6. P. 437 443.
4. Окендон Дон:.Р., Ховиеон С.Д. П.Я. Кочипа и Холе-Шоу в совромоппой математике, естественных пауках и технике // ПММ. 2002. Т. 66, Вып. 3. С. 515 524.
5. Полубарииооа-Кочииа П.Я. К вопросу о перемещении контура нефтеносности // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47, Л» 4. С. 254 257.
6. Галин JI.A. Неустановившаяся фильтрация со свободной границей // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47, Л» 4. С. 250 253.
7. Куфарев П.П. Решение задачи о контуре нефтеносности для круга // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60, Л» 8. С. 1333 1334.
8. Shraiman В., Bensimon D. Singularities in nonlocal interlace dynamics // Pliys. Rev. A. 1984. V. 30, No 5. P. 2840 2842.
9. Howison S.D. Fingering in Hele-Sliaw colls // J. Fluid Mecli. 1986. V. 167. P. 439 453.
10. Howison S.D. Complex variable methods in Hele-Sliaw moving boundary problems // Europ. J. Appl. Math. 1992. V. 3, No 3. P. 209 224.
11. Dai W-S., Katlanoff L.P., Zhou S.-M. Interface dynamics and the motion of complex singularities // Pliys. Rev. A. 1991. V. 43, No 12. P. 6672 6682.
12. Hohlov Y.E., Howison S.D. On the classification of solutions to the zero-surface-tension model for Helo-Sliaw free boundary flows // Quart. Appl. Matli. 1993. V. 51, No 4. P. 777 789.
13. Алимов М.М. Общее решение задачи Хеле-Шоу для течений в канале // ПММ. 2006. Т. 70, Вып. 3. С. 384 399.
14. Lamb Н. Hydrodynamics. Cambridge: Univ. Press, 1932 = Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.
15. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.
16. Davis P.J. The Scliwarz Function and its Applications. Washington.: Math. Assoc. of America, 1974. 228 p.
17. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 271 с.
18. Schutz B.F. Geometrical Methods of Mathematical Physics. Cambridge: Univ. Press, 1982. = Шутц Б. Геометрические методы математической физики. М.: Мир, 1984. 303 с.
Поступила в редакцию 03.10.06
Алимов Марс Мясумович кандидат физико-математических паук, ведущий научный сотрудник НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.
E-mail: Mars.AlimovQksu.ru
