Численный эксперимент по определению температуры внутри вращающегося по инерции жидкого кольца со свободными границами Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 103-112

Механика =

УДК 539.374

Численный эксперимент по определению температуры внутри вращающегося по инерции жидкого кольца со свободными границами

В.О. Бытев, Е.А. Гербер

Аннотация. Статья посвящена задаче определения поля скоростей и температуры внутри кольца несжимаемой жидкости со свободными границами в рамках неклассической модели гидродинамики. Проведено численное решение модифицированных уравнений Навье-Стокса и уравнения теплопроводности. Обсуждаются результаты счета для теплоизолированного кольца жидкости. Сделаны выводы о влиянии недиссипативной составляющей вязкости на поле скоростей и распределение температуры внутри кольца.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, уравнение

теплопроводности, жидкое кольцо, свободные границы, численный эксперимент.

Введение

В работе рассматривается вопрос нахождения температурного поля плоского теплоизолированного кольца несжимаемой жидкости со свободными границами, совершающего вращательно-симметричное движение по инерции, в рамках неклассической модели гидродинамики [2]. Примером рассматриваемого объекта может быть газопылевое облако.

Основой всего подхода к изучению задач со свободными границами является работа Л.В. Овсянникова [10]. Однозначная разрешимость такой задачи для классической системы уравнений Навье-Стокса была доказана в [3], там же была установлена и асимптотика поведения кольца при Ь ^ то. Динамика свободного кольца при V ^ 0 рассматривалась в работе В.В. Пухначева [11]. В работах О.М. Лаврентьевой [8,9] изучено поведение такого объекта при наличии сил поверхностного натяжения.

Ввиду того, что в рамках неклассической модели гидродинамики наряду с обычной динамической вязкостью присутствует ещё и недиссипативная вязкость, становится интересным вопрос о ее влиянии, как на поле скоростей,

так и на распределение температуры. В работах [5,6] было выявлено влияние недиссипативной вязкости на поле скоростей жидкого кольца. Целью данного исследования является вопрос, связанный выявлением степени влияния недиссипативной составляющей вязкости на распределение температуры внутри движущегося кольца жидкости. В литературе известно лишь ограниченное число случаев, допускающих интегрирование уравнений Навье-Стокса в аналитическом виде, поэтому достижение успеха в этой области возможно лишь при использовании численных методов. Все результаты этого исследования получены на основе численного моделирования.

В классической модели жидкости Навье-Стокса тензор напряжений имеет вид

где I — шаровой единичный тензор, ц — обычная динамическая вязкость, Б — тензор скорости деформации. Впервые в работе [1] был рассмотрен вариант обобщения модели стоксовой жидкости, в которой вместо обычной динамической вязкости используется тензор динамической вязкости следующего вида:

где — недиссипативная составляющая общей вязкости, которая

формально может иметь любой знак. Таким образом, рассматривается своеобразный вариант анизотропной вязкости. Система уравнений для описания движения кольца и потока тепла в нем с учетом вида тензора вязкости может быть записана в переменных Эйлера в следующем виде:

где и(иг(£, г); иф(£, г)) — вектор скорости, а для уравнения теплопроводности использовано обозначение скалярного произведения тензоров. В предположении осесимметричности плоского движения свободного жидкого кольца, выпишем в явном виде уравнения, связанные с переносом импульса и теплоты в полярной системе координат. После проведения несложных преобразований вид слагаемого, связанного с диссипацией энергии в уравнении теплопроводности, совпал с таковым в классической трактовкой, все слагаемые, связанные с недиссипативной вязкостью сократились. Таким

Постановка задачи

Т = —р1 + 2^Б,

(1)

(2)

(3)

образом, систему уравнений (3) можно записать в следующей форме:

2

диг диг иф (диг иг

------Ьиг--------------V I------------

ді дг т

-V

+ -

д2иг

V тдт т2 дт2

иф диф д иф

+^ \ "о -

диф иг иф диф / диг иг

+ ----- + иг^Г- + ------2 +

дт 2

д 2иг

ді

т

тдт т2 дт2

1 д(тиг)

т2 тдт дт2

. .иф диф

)ЬV(72 -

тдт дт2

дТ

рСр\ді + иг~ * = к

т дт

дт N

дт )

0,

1 д_

т дт

1 др п

+ _ ~я~=0, р дт

(4) ) = 0,

(5)

(6)

д 2и,

дТ

тдТ )

+

+М 2\ вТ) 2 +2 ( ^

дт т

+

д ( иф

дт

(7)

Если все теплофизические величины жидкости являются константами, то система уравнений распадается на две независимые группы. Первые три уравнения не содержат слагаемых, связанных с температурой, а решение последнего уравнения можно найти только в том случае, если известно решение первых трех уравнений для поля скоростей. Конвективная составляющая температурного поля зависит от радиальной составляющей скорости, а диссипативная — от обеих составляющих скорости. Граничные условия для уравнений (4)-(7) можно определить из условия равенства нулю тензора напряжений на свободных границах при г = Я^^), а именно из следующих равенств:

Ттт = -р + 2^ ^ + ^0 ^ -ц---------------------------------------гф) =

Тгф = д-Цф - Цф) - 2^0^ =0.

(8)

Так как, движение жидкости возможно лишь при наличии, либо внешних массовых сил (в нашем случае их нет), либо при наличии внешних сил, создающих перепад давления, либо при наличии начального распределения поля скоростей, обусловленного внешними силами (в этом случае будет происходить движение вязкой жидкости по инерции). Очевидно, что начальное распределение поля скоростей должно быть согласовано с условиями (8). Таким образом, если задано начальное распределение скорости и давления, то появляется возможность отыскания решения системы уравнений для поля скоростей, но трудность его поиска связана с тем, что в данной системе в явном виде не присутствует уравнение для определения поля давления. Для решения этой проблемы, как правило, прибегают к эквивалентной форме записи системы уравнений для скоростей в виде системы уравнений в переменных скорость-давление

2

2

или эквивалентной ей в переменных функция тока и вихрь. Приведем для справки систему уравнений в переменных скорость-давление:

1 ОП + д-П т Эт дт-

”о( 1!т + тТ2) - \пг( + ТгЦт ) + (^ )2

0 \ т от от2 ! \ т дт дт2 'от '

(9)

0 иф диф

где \1 = Т + ~дг — вспомогательная переменная для описания вихря. Основное отличие полученной системы от системы уравнений для классического варианта описания поведения стоксовой жидкости связано

( 1 гЮ г)-о\ /

со слагаемым щ I гдг + дг^ в уравнении для определения давления (в

классическом варианте оно отсутствует). Таким образом, можно сказать, что недиссипативная вязкость может влиять не только на закономерности изменения поля скоростей, но и поля давления в жидкости.

Другая проблема поиска численного решения системы уравнений (4)

связана с тем, что область интегрирования динамически изменяется со

временем. Для решения этой проблемы авторами [4,5] использовался прием, связанный с введением новых переменных, позволяющих осуществить отображение изменяющейся области интегрирования на фиксированную область. В качестве переменной, отслеживающей изменение положения внутренней границы кольца, взято отношение £(£) = . Можно показать,

0

что новая переменная ч = —С + рт-, определяющая положение любой точки

р-0

жидкого кольца, будет теперь изменяться в фиксированных пределах, а

Я-

именно: 0 ^ п ^ а = р-т — 1. Последнее соотношение обусловлено тем,

р-0

что осесимметричный характер движения сохраняет форму кольца, а его площадь сохраняется в силу условия несжимаемости. Если кроме этого перейти к безразмерным переменным:

V Ф(£) иш(гЛ)г VI , .

ит = -^А иф =—, Т = ж, (10)

I Л20 Я20

где V — обычная кинематическая вязкость, Ф(£), .(г,Ь) — неизвестные функции, определяющие закономерности изменения радиальной и угловой составляющих скорости, то система уравнений (3) вместе с начальными и краевыми условиями будет записана в следующем виде:

/ 7 а

'Ф = аФ(Ф—4) , 1 Г(4С + ,.2

% = «¡а^йт + 0(4£дП + -2)^п;

'ЩТ1 = 2Ф; С(0) = 1,

Ш+(+1 =8щ +4(С+ч)^; (§+¡¡+1-Ф)|ч=0>а =0; .(ч.0)=.о(ч).

-4 “=вж,((С+ч)Ц)+ ¡¡Щи+(С+ч)2(§)2;§ 0 =0; е(ч,0)=во(ч),

П=0,а

где использована безразмерная величина е = V0, равная отношению

соответствующих вязкостей, A,B — комбинация теплофизических

r\ T (t,n)

характеристик жидкости, 0 = T и — относительная температура.

T baz

Для проведения экспериментов по численному моделированию использовалась программа «Ring vl.1» [4], написанная на языке Delphi на основе конечно разностной аппроксимации системы уравнений (11). Тестирование программы осуществлялось путем сравнения численного решения с известным аналитическим решением при начальном условии Фо = 4 для первого уравнения этой системы. Анализ результатов численного моделирования показал достаточно хорошее согласие между найденным численным и аналитическим решением этой системы уравнений. Использование этой программы позволило исследовать характер влияния недиссипативной вязкости на динамику жидкого кольца, в зависимости от ее величины и знака отношения вязкостей е, путем варьирования ее значений. Для осуществления сквозного счета программа «Ring vl.l» была доработана и к блоку численного решения уравнений движения и неразрывности был добавлен блок для численного расчета температурного поля.

Итоги расчета

На первом этапе численного моделирования распределения температуры во вращающемся жидком кольце проводился для воды, то есть использовались ее теплофизические характеристики. Значения параметра е выбиралось из интервала [0.001 div 40]. В нулевой момент времени температура кольца принималась одинаковой, что соответствует значению относительной температуры 0(0, п) = 1. Этот вариант начального распределения был выбран для того, чтобы процесс диссипации энергии за счет движения вязкого жидкого кольца был доминирующим, при условии что границы кольца будут теплоизолированы. Не смотря на то, что поле скоростей менялось достаточно существенно, никаких эффектов влияния недиссипативной составляющей вязкости на температуру обнаружено не было. Результаты численного эксперимента с большой точностью выдавали 0(т, п) = 1 для любого набора значений параметра е, то есть первоначальное распределение температуры в жидком вращающемся кольце практически оставалось неизменным.

Для объяснения подобного поведения температурного поля была проведена оценка величины диссипативной части энергии, которая перейдет в тепло для реального вещества, например, в нашем случае для воды. Характерные значения рассчитанных составляющих скорости равны соответственно ur = 5 • 10-6 m и пф = 0.5 • 10-6 m. Абсолютное значение

sec ^ sec

модуля скорости \u\ ~ 5 • 10-6m. Если вся кинетическая энергия перейдет

в тепло, то справедливо равенство

и2

т — = тСр АТ. (12)

2

Подставляя соответствующие значения в (12), получим оценку для разности температур АТ = Ц- ~ 2521б-ю3 ~ 5 • 10_15 град. Величина абсолютно неуловимая на фоне ошибок (тысячные доли процента), получающихся в ходе процесса численного решения системы (11). Таким образом, показано, что для ньютоновских жидкостей, которой является обычная вода, в зоне ламинарного течения (число Рейнольдса Ие = 5'1°1о-в'5 ~ 3) влияние недиссипативной вязкости ничтожно мало.

Для того, чтобы выявить эффект влияния недиссипативной вязкости на распределение температуры и сделать его более выпуклым дальнейший процесс численного моделирования был проведен для жидкости с физическими характеристиками, равными Ср = 1, р =1, Л =1, V =1 в соответствующих размерностях при прежних условиях.

Результаты численного моделирования в этом случае показывают заметное влияние величины недиссипативной вязкости на поведение температурного поля. Иллюстрация поведения относительной температуры представлена на рис.1, где показан характер ее изменения в радиальном направлении в разные моменты относительного времени.

^ *......1...1-—1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3

Т

Рис. 1. Изменение распределения температуры вдоль радиуса в разные

моменты времени

Относительная температура кольца меняется достаточно динамично. Вначале идет разогрев наружной части кольца, а затем и внутренней.

Подобное поведение можно объяснить разностью абсолютных величин скоростей на границах кольца. По истечению некоторого времени температура кольца достигает своего максимального значения и становится практически постоянной по всей площади кольца, так как кольцо практически останавливается. Величина максимальной относительной температуры 0max = const напрямую определяется лишь абсолютным значением е, то есть величиной недиссипативной вязкости, так как по условию в нашем случае v = 1.

Используем данные по составляющим скорости для этого случая, например, при е = 10 получились следующие средние по радиусу значения составляющих скорости ur sr = 5m, пф sr = 80m. Оценка числа

_ sec 1 г__ sec

Рейнольдса дает величину Re ~ 80, что позволяет сделать вывод о том, что движение жидкости для этого случая все еще осуществляется в ламинарном режиме.

Так как температура кольца стремится к насыщению, то становится интересным характер зависимости 0max(e) — максимального значения относительной температуры от абсолютной величины отношения вязкостей. На рис. 2 изображена зависимость 0max(e) при прочих фиксированных характеристиках. Набор точек, полученных в результате численного моделирования, для величины нагрева кольца A0max(e) = 0max(e) — 1, достаточно хорошо описывается зависимостью

A0max(e) = ве2. (13)

1400

1200

1000

800

600

400

200

о

© i 2.068&2 +0.0079^ + 1. 1907 у

» ■ ■ И * I- i i

10

15

20

25

Зависимость температуры от параметра эпсилон ■

-Полиномиальный Ряд

Рис. 2. Зависимость относительной температуры насыщения 0тах(е) от

отношения вязкостей

Объяснение подобного поведения, скорее всего, возможно на основании соотношения (12). Действительно, при всех имеющихся допущениях прирост относительной температуры за счет диссипации, будет пропорционален

квадрату средней скорости вращения. Поскольку, начальное распределение угловой составляющей скорости должно быть согласовано с граничным условием для третьего уравнения системы (11), то в качестве начального распределения угловой скорости, соответствующего этому условию, в данной программе использовалось выражение и(0,ц) = у+п. Очевидно, что в данном случае начальное распределение угловой части скорости, являющейся основной составляющей полной скорости элемента жидкости (рис.3), прямо пропорционально отношению вязкостей, что и объясняет квадратичную зависимость прироста относительной температуры. Таким образом, можно считать, что нет прямого влияния недиссипативной составляющей вязкости на распределение относительной температуры. Что касается характера влияния недиссипативной вязкости на поведение составляющих полной скорости, то следует отметить, что ростом ее величины заметным образом изменяется характер поведения радиальной составляющей скорости движения жидкого кольца.

¡а: й:

1 є.=. ±]

і

і / ;

і / ;

і 1 є = ±0, 5

1 і

і / ;

і І ¿ = ±0,2

і / /

1 /

і і $

Ті/ • і

'Ні • і

• і

•*і

! ! !

□ ' 0 1,5 2 2,5 Т

а) б)

Рис. 3. Изменение составляющих вектора скорости скорости, при различных значениях е при Фо = —4; а) изменение радиальной составляющей, б) изменение угловой составляющей

Заключение

Создана программа для численного расчета как поля скоростей, так и поля температур жидкого движущегося кольца. На основе численного моделирования исследован эффект влияния недиссипативной составляющей вязкости на распределение температурного поля. Показано, что для реальных жидкостей эффект повышения температуры за счет диссипации

ничтожен. На примере модельной жидкости исследован характер прогрева вращающегося по инерции жидкого теплоизоливанного кольца со свободными границами и объяснена его закономерность. Так же установлено, что недисспативная вязкость влияет на изменение температурного поля кольца только косвенно через поле скоростей.

Список литературы

1. Bytev V.O. Building of Mathematical Models of continuum media on the basis of invariante principle // Acta Appl. Math. 1989. V.16. P.117-142.

2. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003.

3. Бытев В.О. Неустановившиеся движения кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами // ПМТФ. 1970. №3 C.88-98.

4. Бытев В.О., Гербер Е.А. О восстановлении точного решения и о распространении температуры в кольце жидкости // Математическое и информационное моделирование. Тюмень, 2009. C.50-57.

5. Бытев В.О., Гербер Е.А. Об одной задаче с двумя свободными границами // Современные проблемы математики и её прикладные аспекты. Пермь, 2010. C.100.

6. Бытев В.О., Гербер Е.А. Численное моделирование динамики жидкого кольца // Наукоемкие информационные технологии. Переславль-Залесский, 2010. C.109-114.

7. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.II. М.: Физматгиз, 1963. 728 с.

8. Лаврентьева О.М. Неустановившееся движение вращающегося кольца вязкой капиллярной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1978. Вып.31. С.52-60.

9. Лаврентьева О.М. Предельные режимы движения вращающегося вязкого кольца // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980. Вып.4. С.15-34.

10. Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Сб. работ теор. Отдела ИГ СО АН СССР. Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1967. C.5-75.

11. Пухначев В.В. Неклассические задачи теории пограничного слоя. Новосибирск: НГУ, 1980.

Бытев Владислав Олегович (vbytev@utmn.ru), д.ф-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра математического моделирования, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет.

Гербер Евгений Александрович (e.a.gerber@gmail.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Институт математики и компьютерных наук, Тюменский государственный университет.

Numerical experiment to determine the temperature inside the rotating by inertia ring of fluid with free boundaries

V.O. Bytev, E.A. Gerber

Abstract. The article is devoted to the problem of determining the velocity field and temperature inside the ring of liquid with free borders in the non-classical model of hydrodynamics. Describe the results of the numerical solution of modified Navier-Stokes equations and heat equation. The results account for the insulated ring fluid. The conclusions about the impact of non-dissipative component of viscosity on the velocity field and temperature distribution inside the ring.

Keywords : Navier-Stokes equations, heat equation, temperature distribution, liquid ring, free borders, numerical experiment.

Bytev Vladislav (vbytev@utmn.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling, Institute of Mathematics and Computer Science, Tyumen State University.

Gerber Evgeny (e.a.gerber@gmail.com), postgraduate student, department of mathematical modeling, Institute of Mathematics and Computer Science, Tyumen State University.

Поступила 12.01.2011