Динамика кольца двухвязкостной жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

ДИНАМИКА КОЛЬЦА ДВУХВЯЗКОСТНОЙ ЖИДКОСТИ

© 2010 В.О. Бытев, Е.А. Гербер1

В работе рассматривается плоское вращательно-симметричное движение кольца несжимаемой жидкости со свободными границами в неклассической модели гидродинамики. Представлены результаты численного моделирования, а также проведен анализ влияния недиссипативной вязкости на динамику жидкого кольца.

Ключевые слова: уравнения Навье — Стокса, гидродинамика, свободные границы.

1. Постановка задачи

В работе рассматривается плоское вращательно-симметричное движение по инерции кольца несжимаемой жидкости в рамках неклассической модели гидродинамики [1]. Примером такого кольца может служить аккреционный диск.

Однозначная разрешимость такой задачи для классической системы уравнений Навье — Стокса была доказана в [2]. Там же была установлена и асимптотика поведения кольца при t i ж. Асимптотика при v i 0 установлена в [3]. В работах [4, 5] изучено поведение такого объекта при наличии поверхностного натяжения.

Основой всего подхода к изучению задач со свободными границами является работа [6]. Ниже предлагается вариант поиска решения указанной задачи с помощью численных методов. Запишем исходные модифицированные уравнения Навье — Стокса

' ^ + (lt, V) -MAJt + Vp = 0, divlf = 0,

здесь 1 = (U, V) — вектор скорости, р — гидростатическое давление, M =

V V° ) — матрица вязкости, v — обычная диссипативная и vo — недис-—vo v J

сипативная вязкости, последняя может иметь любой знак.

Записав (1) в полярной системе координат (т,в) и предполагая наличие вращательной симметрии, получим систему уравнений всей задачи:

= ш

r '

> _ Ф2 . = —¿{р

r3 r

+ ФА. \ r dr фV = v \ dr2

r2

_ _ _ _ 1 d(rV)

dt r3 r dr lp v0 r dr

dV + ф_д__= v J d2V + 1 dV _ dV

dt r dr r2 | dr2 ' r dr dr2

} ^ (2)

1 Бытев Владислав Олегович (vbytev@utmn.ru), Гербер Евгений Александрович

(e.a.gerber@gmail.com), кафедра математического моделирования Тюменского государственного

университета, 625003, Россия, г. Тюмень, ул. Семакова, 10.

r

Дальнейшие преобразования системы уравнений (2) проведем с использованием новых переменных и искомых функций, которые связаны с прежними переменными следующими соотношениями:

f , r2 v , f R2(t) r2-R2(t)

С + n = R2- ,T = -R2-= -RH ,n = r2 ;,

2 R202 R20 R20 R20

a = Rl- R2-(t) U = V = ГУ" Ф = Ф (3)

Rl- ' r ' Rl-' v'

£ = iy-, 0 < n < а , 0 < T < rflr, 0 < С < то ,

где Rw — радиус подвижной внешней границы кольца, R20 — радиус подвижной внутренней границы кольца при t = 0, v — обычная диссипативная вязкость, vo — недиссипативная вязкость, t — время, t — приведенное безразмерное время, r — полярная координата.

В результате использования переменных (3) система уравнений (2) преобразуется в систему уравнений относительно искомых функций w(n,т), Ф(т), С(т)

ды 1 zw ^ _ 4(£ + Т) д ы I 8 ды

дт дп2 дп 7

dW _ Щ+Шр + JoV + 4едЫ]dn, (4)

§ _4Ф

с начальными и краевыми условиями вида:

Ф(0) _ Фо,

е(0) _ ео,

ш(ц, 0) _ (р(ц),

ды | _ Ф _

дп ь (£.+п)2 ~

(5)

0 I

п=0,п=а

Особенность системы уравнений (4) заключается в том, что теперь исходная задача со свободными границами преобразована в краевую задачу в полуполосе с фиксированными границами.

Расчетная схема организована следующим образом. В каждый момент времени третье уравнение системы (4) решается методом Эйлера, а затем найденные значения используются для решения второго уравнения системы (4) тем же методом. Интеграл, входящий во второе уравнение, вычисляется методом средних прямоугольников. Значение ш для следующего временного слоя находится из первого уравнения системы (4) на основе конечно-разностной аппроксимации этого уравнения.

На первом этапе была поставлена задача проверки адекватности выбранной расчетной схемы путем сравнения найденного численного решения с известным аналитическим решением [2]. Результатом такой проверки будет алгоритм выбора размера шагов разбиения, соответствующих интервалов переменных, позволяющий оценить погрешность полученных решений.

Для поиска численного решения системы дифференциальных уравнений с заданной точностью, определяющего поле скоростей движущегося жидкого кольца, была написана программа "Ring vl.1" на языке Delphi. В этой программе реализована вышеописанная расчетная схема и предусмотрена возможность анализа поведения исследуемого объекта при варьировании как параметров, входящих в систему уравнений, так и начальных и граничных условий.

2. Результаты численного моделирования

Для определенных начально-краевых условий, а именно:

*(0) = 4,

е(0) = 1,

°) = , ды | _ Ф _

дп + ь а+п)2 _

(6)

° I

П=0 ,п=a,

известно точное аналитическое решение для закономерностей изменения составляющих вектора скорости движения жидкости во вращающемся кольце:

Ф(т) = 4,

£(т) = 1 + 8т,

)) = ■

(7)

Адекватность разработанной расчетной схемы проверялась путем сравнения численного решения с известным точным решением (7), полученным для тех же начально-краевых условий (6). Численное решение системы уравнений приведено с использованием физических свойств пресной воды, для которой использованы средние значения динамической вязкости / = 1, 003 • 10-3 и кинематической вязкости V = 1 • 10-6, значение недиссипативной вязкости принято равным Vо = 1 • 10-6.

Ниже, на рис. 1, приведен график, на котором изображено точное решение системы (точками) и рассчитанное решение системы уравнений (линиями). Для каждой пары из рассчитанного и точного решения приведена максимальная на расчетном интервале ошибка в процентах 5 = | 1100 %.

Рис. 1. Зависимость относительного внутреннего радиуса жидкого кольца от приведенного времени, 6 = 10-4 % получена при НТ = = 6 • 10-3

Зависимость относительной погрешности решения от количества шагов по относительному времени Нт = N-1 и пространственной переменной Нт = 6N-1 приведена на рис. 2. Для удобства анализа результатов расчетов число интервалов разбиения по переменным принято одинаковым и равным N.

Полученные данные (рис. 2) показывают, что с ростом количества интервалов разбиения N увеличивается точность полученного решения, то есть расчетная схема для поиска решения системы уравнений восстанавливает имеющееся аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с погрешностью, увеличивающейся на порядок при росте на порядок количества шагов. Таким об-

2 2,2 2.4 2,6 2,8 3 3,2 3 4 3,6 3,8 4

1пЛ/

Рис. 2. Зависимость логарифма величины относительной ошибки \ ^ от количества интервалов разбиения ^ N

разом, существует возможность поиска решения поставленной задачи с наперед заданной точностью.

Далее на основе численного моделирования было проведено исследование влияния начального условия Фо, определяющего закон изменения радиальной составляющей скорости элементов жидкого кольца, на динамику изменения внутреннего радиуса жидкого кольца Д2. Были использованы следующие значения: Ф(0) = = ±0,1; ±0, 2; ±0, 5; ±1, а также краевые условия (7), начальное распределение 0) = и начальное условие £(0) = 1 при е = 1, определяющее равенство диссипативной и недиссипативной вязкостей.

Все расчеты проводились с использованием следующих начальных геометрических размеров кольца: внутренний радиус К2 = 0, 5 м, внешний радиус К1 = 1 м.

Рис. 3. Зависимости величины внутреннего радиуса жидкого кольца от относительного времени т для различных начальных условий Ф0

Анализ зависимостей (рис. 3) показывает, что при отрицательных значениях начальной радиальной скорости Фо внутренний радиус сначала начинает уменьшаться, затем, достигнув минимума, начинает расти. При этом чем больше абсолютная величина Фо, тем интенсивнее изменяется внутренний радиус Д2. Данное поведение решения не противоречит поведению решения в классической модели уравнения Навье — Стокса [2].

Интересным является вопрос о влиянии безразмерного параметра е, определяющего отношение соответствующих вязкостей, на поведение угловых и радиаль-

ных составляющих скорости элементов жидкого кольца. Результаты численного моделирования получены при начальных условиях = 1, Фо = —1, 0) = и приведены на рис. 4 и 5. Параметр е варьировался путем изменения недисси-пативной вязкости щ.

О 0,2 0,4 0,5 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 X

Рис. 4. Зависимость радиальной составляющей скорости элементов кольца от значений параметра е = 0; ±0, 2; ±0, 5; ±1

Анализ результатов, представленных на рис. 4, показывает, что радиальная составляющая скорости не зависит от знака е, но абсолютное значение параметра е влияет на интенсивность ее изменения. Например, при щ =0 зависимость радиальной составляющей скорости от времени не имеет максимума и возрастает до нуля. При щ = 0 зависимость радиальной составляющей скорости от времени и (т) изменяет свой характер, а именно она возрастает до своего максимального значения и затем стремится к нулю. Помимо этого, недиссипативная вязкость влияет на интенсивность изменения и значение максимума функции и (т), которая ведет себя четным образом по отношению к знаку недиссипативной вязкости щ. Процессы сжатия и растяжения жидкого кольца при щ = 0 происходят тем интенсивнее, чем больше значение недиссипативной вязкости.

Рис. 5. Зависимость радиальной составляющей скорости элементов кольца от значений параметра е = 0; ±0, 5; ±1

Анализ поведения зависимости угловой составляющей скорости элементов жидкого кольца (рис. 5) показывает, что она зависит от е. При щ = 0 угловая составляющая скорости равна нулю, т. е. отсутствует вращательное движение жидкого кольца. При щ =0 зависимость угловой составляющей скорости от времени V(т)

изменяет свой характер, а именно абсолютная величина недиссипативной вязкости vo влияет на начальное значение и интенсивность изменения угловой составляющей скорости. Функция V(т) ведет себя нечетным образом по отношению к знаку vo. Для vo > 0 функция V(т) возрастает, достигает максимума, а затем начинает убывать, стремясь к нулю. Для vo < 0 функция V(т) убывает, достигает минимума, а затем начинает возрастать, стремясь к нулю. Таким образом, изначально вращающееся жидкое кольцо во время процесса сжатия будет вращаться быстрее, а затем после начала процесса растяжения кольцо будет замедлять свое вращательное движение. При этом знак недиссипативной вязкости влияет на направление вращения жидкого кольца: при vo > 0 кольцо вращается по часовой стрелке и, соответственно, при vo < 0 против часовой стрелки.

Выводы

В работе было проведено изучение свойств решений математической модели, описывающей движение жидкого кольца, в зависимости от соотношения между диссипативной и недиссипативной вязкостями для произвольных начально-краевых условий. Основным инструментом исследования является программа "Ring vl.l".

Анализ результатов численного моделирования выявил характер влияния недиссипативной вязкости на закономерности изменения радиальной и угловой составляющих поля скоростей жидкого кольца. Помимо этого было установлено, что при нулевой недиссипативной вязкости динамика жидкого кольца не противоречит классической модели гидродинамики [2]. Отличием от классической модели является то, что при ненулевой недиссипативной вязкости в жидком кольце появляется вращение, более того, знак недиссипативной вязкости определяет направление вращения жидкости в кольце. Данный эффект расширяет область применения неклассической модели гидродинамики.

Литература

[1] Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука, 2003.

[2] Бытев В.О. Неустановившиеся движения кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами // ПМТФ. 1970. № 3. C. 88-98.

[3] Пухначев В.В. Неклассические задачи теории пограничного слоя. Новосибирск: НГУ, 1980.

[4] Лаврентьева О.М. Предельные режимы движения вращающегося вязкого кольца // Динамика сплошной среды. 1980. Вып. 4. C. 15-34.

[5] Лаврентьева О.М. Неустановившееся движение вращающегося кольца вязкой капиллярной жидкости // Динамика сплошной среды. 1978. Вып. 31. C. 52-60.

[6] Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1967. C. 5-75.

Поступила в редакцию 9/////2010; в окончательном варианте — 9/////2010.

DYNAMIC OF LIQUID RING, WHICH HAVE TWO

VISCOSITIES

© 2010 V.O. Bitev, E.A. Gerber2

This work covers the planar rotationally symmetric movement of the ring of incompressible liquid with free borders in the non classical hydrodynamics model. Also the results of calculational modeling are presented and the analysis of impact of nondissipative viscosity on the dynamic of liquid ring is given.

Key words: Navier — Stokes equations, hydrodynamics, free boundary.

Paper received 9/1/7/2010. Paper accepted 9/777/2010.

2Bitev Vladislav Olegovich (vbytevSutmn.ru), Gerber Evgeny Alexandrovich (e.a.gerberSgmail.com), Dept. of Mathematical Modelling, Tyumen State University, Tyumen, 625003, Russia.