Периодически режим движения кольца вязкой капиллярной несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539

Е.А. Г ербер, В.Н. Кутрунов

ПЕРИОДИЧЕСКИЙ РЕЖИМ ДВИЖЕНИЯ КОЛЬЦА ВЯЗКОЙ КАПИЛЛЯРНОЙ

НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

В работе рассматривается плоское вращательно-симметричное движение кольца вязкой капиллярной несжимаемой жидкости со свободными границами в рамках классической и не классической моделях гидродинамики. В результате численного моделирования обнаружены периодические режимы движения кольца жидкости.

Жидкое кольцо, уравнения Навье-Стокса, периодический режим движения.

E.A. Gerber , V.N. Kutrunov

PERIODIC MOVEMENT MODE OF A RING OF A VISCOUS INCOMPRESSIBLE

CAPILLARY LIQUID

This work covered planar rotationally symmetric movement of incompressible ring of viscous capillary liquid with a free boundaries in the classical and the non classical models of hydrodynamics. The numerical simulation revealed the periodic regimes of motion of the liquid ring.

Liquid ring, the Navier-Stokes equations, periodic motion mode.

В статье представлена постановка задачи о движении кольца вязкой капиллярной несжимаемой жидкости в рамках классической и неклассической моделей гидродинамики [2]. Примером такого кольца может служить аккреционный диск.

Однозначная разрешимость такой задачи для классической системы уравнений Навье-Стокса была доказана в [3]. В работе [4] изучено поведение такого объекта при наличии сил поверхностного натяжения и газа внутри полости.

Особенностью задачи является то, что изучаемый объект обладает двумя свободными границами. Основой всего подхода к изучению задач со свободными границами является работа [6]. Запишем исходные модифицированные уравнения Навье-Стокса:

~\

— + (й, V) — МАй + Vp = G; dt

div й = G,

где й = (йг,йр) -

(

вектор скорости, p - гидростатическое давление, м =

м

■Mg

Mg

m

(1)

в котором

/л - обычная диссипативная вязкость, л0 - недиссипативная вязкость знак которой может быть любым. Вопрос о необходимости введения недиссипативной вязкости изучался Быте-вым В. О.[1]. Нужно заметить, что классическая модель гидродинамики является частным случаем неклассической (л0 = 0).

Записав (1) в полярной системе координат (г, в) и предполагая наличие осевой симметрии, получим систему уравнений всей задачи:

ф(г)

1 dф ф2

д

1

—л~ — ~-= ;Гі p —vo~~

r dt r r dr I r

^J]

dr

(2)

дй/ + ф д _фй/ _

dt

- + ------------------

dr

f d 2V 1 дй/ дй/

vi —— +— —

r

Введем следующие обозначения: Sx = 2R20к77 l(pv2) — коэффициент для слагаемого,

связанного с наличием сил поверхностного натяжения, который, следуя Пухначеву В.В. [5], назовем параметром квазистационарности, к7 - множитель, учитывающий наличие сил поверхностного натяжения (может иметь значение либо 0, либо 1); 7 - коэффициент поверхностного натяжения; р - плотность жидкости; v - кинематическая вязкость жидкости;

д2 = 2R20 l(pv2) - коэффициент, связанный с существованием давления газа внутри и вне полости жидкого кольца; 8pgaz = p2gaz — p1gaz - разность давлений, в котором, p1gaz - давление газа вне кольца, p2gaz - давление газа внутри кольца. Везде далее полагаем, что p1gaz = const, поскольку состояние газа вне кольца не отслеживается; т = vt l R20 - безразмерное стоксово время; £(т) = R2 (т)1 R20 - переменная, связанная с описанием временного положения внутренней границы кольца; п = r 21R220 —% - переменная, связанная с пространственной координатой точки кольца; a = (R120 — R20) l R20 - относительная толщина кольца или верхняя граница изменения переменной п, а R10 и R20 - радиусы внешней и внутренней границ кольца в начальный момент времени; £ = v0lv - коэффициент, связанный с описанием меры неклас-сичности жидкости.

Затем, после перехода от переменных (t,r) к новым переменным (т,п), получим модифицированную систему уравнений Эйлера для определения поля скоростей, с точностью до обозначений, совпадающую с системой, описанной в работе [4]. Выпишем ее в окончательном виде с использованием безразмерных функций CQ и ^ , которые связаны с вектором скорости следу-

r

2

й

2

r

ющими соотношениями = (й(т,ц)гу / Я220 и иг = \Х(т)/ г. Зависимость радиальной скорости в таком виде обращает в тождество второе уравнение системы (1) при любых Х(т).

Первое уравнение для описания закономерностей изменения безразмерной радиальной составляющей скорости х(т) , является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка:

( Л л \

+ S2 • fygaz \ . (3)

йх 1 I Ш х Ах/ С 2 т л ГдШ 7 с 1 1

— = —т---------г ^ —т---г—+I ш йп + Ае I — йп — 3. —]= +—.

йт 1п(1 + а/д)| д(а + д) 1 о дП [д/? Vа + ?

Начальным условием для этого уравнения является значение искомой функции в нулевой момент времени, то есть х(о) = Х0.

Второе уравнение является параболическим уравнением второго порядка в частных производных и позволяет найти закономерности изменения безразмерной функции ш(т, п), имеющей смысл угловой скорости вращения и связанной с касательной составляющей вектора скорости точек кольца жидкости. В новых переменных оно имеет следующий вид:

дш 2Х е .д2Ш адш

^ + -г----ш = А(? + п)—^ + 8—. . (А)

дт д + п дп дп

Граничные условия являются условиями типа Неймана и имеют вид: —Ш + е———^ = 0 . Начальное распределение функции сЩг,п) с учетом закономерно-

дп (д+п)1

' ч~ '' п=0 п=а

сти изменения обусловленного граничным условием, в самом общем виде, может иметь вид: ш(0,п) = Ае/(1 + п) + С0. Такое распределение угловой скорости, даже в начальный момент времени, удовлетворяет граничным условиям. Если рассматривать только классический вариант ньютоновской жидкости, то есть е = 0, то начальное условие в виде ш(0,п) = С0 означает, что жидкое кольцо в начальный момент времени вращается как твердое тело, причем знак С0 определяет направление вращения. В случае е Ф 0, начальное распределение угловой

скорости вращения соответствует закономерности иф = кг_1. Начальный уровень завихрен-

ности rot (и ) = (0,0,2C0v l R20) зависит только от С0 , для любого типа жидкости

9

>2 '

0 — ^0,0,2^0 v l R20 ) зависит только от .

Последним уравнением, необходимым для отыскания поля скоростей, будет уравнение, связывающее скорость внутренней границы кольца и радиальной составляющей скоро-d£(r)

сти, а именно: -= 2^ с начальным условием <^(0) = 1. Отдельно остановимся на законо-

dr

мерности изменения давления газа внутри полости кольца.

Предполагается, полость замкнута и газ, находящийся внутри полости, теплоизолирован, поэтому закономерности изменения давления можно описать формулой:

p20V20 = p2(r)V2(r) , (4)

где у - показатель адиабаты и, например, для воздуха как газа из двухатомных молекул равен

Yv = 1.45 . В силу этого давление газа внутри полости в любой момент времени т дается формулой:

p, (т) = = pM f Пж. f—(5)

Vl(r) I R (т))

В результате численного моделирования с помощью авторского пакета «Ring v1.2» были обнаружены колебательные движения кольца вязкой капиллярной несжимаемой жидкости (рис. 1) в рамках классической модели гидродинамики. Расчет проводился при физических характеристиках воды, но давление газа на внутренней границе равно 1 Па. Началь-

43

ный внутренний радиус - 8 см, начальный внешний радиус - 10 см. Начальная радиальная скорость равна 0. Начальное распределение угловой скорости равно 0.

На основании фазового портрета (рис. 1) можно сделать вывод о наличии в динамике кольца вязкой несжимаемой жидкости затухающих периодических колебаний.

Рис. 1. Фазовый портрет для внутреннего радиуса Л2 > для выявления характера затухания колебаний было взято значение вязкости, равное 0,1 Пас

$

Время гх ю2 в секундах

Рис. 2. Зависимость внутреннего радиуса от времени, для выявления характера затухания колебаний было взято значение вязкости, равное 1 Пас

Говорить о наличии стационарных состояний изучаемого объекта можно на основе результатов численного моделирования. Так для наглядности был проведен расчет со значением вязкости равной 1 Па с (рис. 2), при котором хорошо заметен процесс перехода к стационарному состоянию.

Подобные колебания возникли из-за того, что силы поверхностного натяжения направлены внутрь кольца и пытаются его сжать, а давление газа внутри кольца пытается кольцо расширить, т.е. на кольцо действуют две неуравновешенные силы. Таким образом, кольцо начинает свое движение в направлении преобладающей силы. С увеличением внутреннего и внешнего радиусов силы поверхностного натяжения возрастают, а силы давления газа внутри полости кольца убывают и наоборот. Наличие разности этих сил приводит к тому, что появляется радиальная составляющая скорости, из-за наличия которой кольцо по инерции продолжает движение после смены знака равнодействующей силы. Кроме того, следует заметить, что из-за вязкости кольцо прекращает колебательные движения и выходит на стационарный режим. Помимо этого, возникновение колебаний возможно и из-за наличия центробежной силы, возникающей в результате вращения кольца жидкости. При этом можно не учитывать газ внутри полости. Его роль в возникновении колебательного процесса в некотором смысле берет на себя центробежная сила.

Выпишем в явном виде уравнение для описания периодических движений механической системы. В качестве примера рассмотрим вывод уравнения колебания для неизвестной функции йд(т) на основе уравнений Эйлера.

йд(т)

Возьмем уравнение й2д(т) _ ,

Получим

2Х и продифференцируем его по времени еще раз.

йт2 йт

Используя первое уравнение системы, перепишем его в следующем виде:

Г

2

(

1п

1 +

Л

а(*¥2 - 4^) а 2, „ “еда, *

+-7------^ + \ а йп + 4є\— йц-81

ї(а + #) 0 0 дП

(

1

1

Л

л/# л/а + #

+ 52 -Ф8аг Г = 0- С6)

В самом общем случае можно считать, что получено нелинейное уравнение:

?+/ (д,?)=0,

где

2 ГаМ -4^) г “гда^ _

* =- та иа+ї)+ + І - 5і

ї

1

- +

1

&аг

(7)

(8)

Анализ этой функции - аналога функции возвращающей силы, позволит сделать заключение о возможности существования периодических решений. Если предположить, что

эта функция может быть представлена в виде /(?,?') ~ к2?, то можно утверждать, что будут существовать периодические решения с круговой частотой 2п/ к1. Численные расчеты, для случая наличия начальной раскрутки и наличия давления внутри полости, дают для этой функцию следующий набор точек, изображенных на рис. 3.

Видно, что эта функция практически линейна относительно ?, причем с положительным тангенсом угла наклона, что гарантирует существование периодических решений. Аналогичные графики справедливы и для других характеристик движения (радиальной скорости, угловой скорости). Таким образом, для данного набора параметров модели мы имеем дело с обычным линейным осциллятором.

Картина заметно изменилась (рис. 4) при моделировании состояния системы без начальной раскрутки для кольца вдвое меньших размеров (Л10 = 5 см, Я20 = 3 см) при наличии начальной радиальной скорости.

■4-1

10”

Рис. 4. Зависимость f (£,£') от д для второго случая

Рис. 3. Зависимость f (£,£') от д для первого случая

Видно, что эта функция нелинейна относительно д, что означает отсутствие гармонических колебаний.

Теперь проведем анализ наличия стационарных состояний этой системы с использованием энергетического подхода, использованного в [4] Лаврентьевой О.М и в [3] Быте-вым В.О. Выпишем выражение для изменения полной энергии с использованием тензора вязкости самого общего вида:

dE

dT

8aW 2 д(а + д)

- 8{ (д + п)

( да\

дп

dn

(9)

где E(t) = ¥2ln 1 + а\ + [(g + n)a>2dn + 281(V^ + Vа + д)- p20lg—.

I д) 0 1-Y

д) 0"..................... ’ 1-Y

При этом последнее слагаемое связано с наличием теплоизолированного объема газа внутри полости.

Оказалось, что недиссипативная часть вязкости не входит в окончательное выражение для энергии, а слагаемое под знаком производной по времени можно трактовать как безразмерный аналог полной энергии движения кольца. Действительно, первое слагаемое пропорционально кинетической энергии радиального движения, второе - кинетической энергии вращательного движения, третье - величине поверхностной энергии обусловленной существованием сил поверхностного натяжения и последнее - связано потенциальной энергией газа внутри полости.

Признаком стационарного режима движения является то, что кольцо вращается как твердое тело (отсутствует силы вязкого трения) и не изменяется в размерах. Следовательно, т.к. д ^

---= 0, то й = const. Поскольку д = const, то ^ = 0 - радиальная скорость обратилась в нуль.

дп

Так как система находится в стационарном состоянии с минимумом энергии, то спра-

dE п

ведливо равенство, — = 0, или в другом виде: dT

2

а

0

Учтем стационарные

= const .

значения

неизвестных

и

получим:

E{т) = с»1}{i + n)dV + 2S1{V? + 40+%)- S2p20%—

О 1-Y

О

= const, где cok - стационарное значение

угловой скорости. Очевидно, что стационарные значения д = const являются решениями

значения конкретных параметров 31,82, р20, а определяющихся плотностью жидкости, коэффициентом динамической вязкости, коэффициентом поверхностного натяжения, начальным давлением, начальными размерами кольца. Поэтому, существование экстремумов этой функции зависит от многих параметров.

Таким образом, в данной работе приведена постановка задачи для движения кольца вязкой капиллярной несжимаемой жидкости в рамках классической и неклассической моделях гидродинамики. Подтверждено наличие стационарных режимов движения кольца. Обнаружены периодические движения кольца. Сделана попытка описания механизма их появления. Проведен анализ полной энергии системы и показано, что недиссипативная часть вязкости не влияет на процессы перераспределения энергии.

1. Bytev, V.O.: 2009, «The Simple Nonpolar Continuum Media”. Part II. The constitutive equations. Linear structures» (archived article, www.arxiv.org)

2. Андреев В.К. Симметрии неклассических моделей гидродинамики / В.К. Андреев, В.В. Бублик, В.О. Бытев. Новосибирск: Наука. 2003.

3. Бытев В.О. Неустановившиеся движения кольца вязкой несжимаемой жидкости со свободными границами / В.О. Бытев // Прикладная механика и техническая физика. №3, 1970. С. 88-98.

4. Лаврентьева О.М. Движение вращающегося кольца капиллярной жидкости / О.М. Лаврентьева. М.: 1984. 51 с. Деп в ИГ СО АН СССР 19.11.84. №7562.

5. Пухначев В.В. Квазистационарное приближение в задаче о вращающемся кольце / В.В. Пухначев // Сибирский математический журнал. 2002. Т.43, № 3. С.652-677

6. Овсянников Л.В. Общие уравнения и примеры / Л.В. Овсянников // Сб. работ теор. Отдела ИГ СО АН СССР. Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск. Наука. 1967. С. 5-75.

Гербер Евгений Александрович -

аспирант кафедры «Математическое моделирование» института математики и компьютерных наук, г. Тюмень

Кутрунов Владимир Николаевич -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедры «Алгебра и математическая логика» института математики и компьютерных наук, г. Тюмень

уравнения, определяющими точки экстремумов функции Е (г). Данная функция зависит от

ЛИТЕРАТУРА

Статья поступила в редакцию 7.07.11, принята к опубликованию 10.10.11