CC BY
30
УДК 532.5.032
РЕЛАКСАЦИЯ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ВЫСОКОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
С. А. Чивилихин
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия
sergey.chivilikhin@gmail.com
PACS 47.15.G-
Исследована релаксация малого локального возмущения плоской поверхности высоковязкой жидкости бесконечной глубины под действием силы тяжести и поверхностного натяжения. Получено аналитическое решение и выявлены качественные особенности релаксации возмущения.
Ключевые слова: Квазистационарное приближение Стокса, свободная поверхность, линейное приближение, релаксация возмущения.
1. Введение
Квазистационарное приближение Стокса [1] используется при расчете вязких течений с малыми числами Рейнольдса. Я. И. Френкель впервые использовал это приближение для описания течения со свободными границами [2]. Это приближение используется для описания разрушения пузырей [3], формирования каспа на поверхности жидкости [4, 5], коалесценции жидких частиц [6], в некоторых задачах нанофлюидики [7].
Идея использовать это приближение для описания волн на поверхности жидкости впервые была высказана Ламбом [8]. Левич [9] использовал приближение Стокса для описания релаксации малых гармонических возмущений свободной поверхности. В настоящей работе, вслед за [10], исследуется эволюция малых возмущений поверхности жидкости. Получено уравнение для эволюции Фурье-образа возмущения. Предложен метод качественного анализа пространственно-временной картины релаксации возмущений. Выявлены особенности релаксации длинноволновых и коротковолновых возмущений. Полученные закономерности согласуются с результатами точного решения задачи.
2. Уравнение эволюции формы поверхности
Рассмотрим полупространство, заполненное вязкой несжимаемой ньютоновой жидкостью постоянной вязкости. Пусть в начальный момент плоская граница полупространства получила малое локальное возмущение. Будем изучать эволюцию этого возмущения под действием силы тяжести, внешней распределенной силы, заданной на свободной поверхности и распределенного массового потока на этой поверхности.
Введем прямоугольную систему координат с осями (х^х2), расположенными на невозмущенной поверхности и осью х± направленной вдоль внешней нормали к ней. Тогда возмущение поверхности можно задать в виде х^ = Ь (х, £), где х — вектор с компонентами х1, х2, £ — время. Запишем уравнения движения в приближении Стокса, уравнение неразрывности, уравнение для перенормированного давления П = Р — рдх± (где Р — истинное давление), граничные и начальные условия в виде
&±± + две Кь = 1 д±П
д2±±Уа + две V« = дЛ + д« V« = 0
1
- даП, 1
(1)
(-П + 21д±К±)|
жх=о
в Ч
д! ±п + д«в п ,
адде ^ - + У!
0,
1 (даК± + д^)|
жх=о
/а
V,
п
(2)
где Уа, Ух и £а, ^ — составляющие скорости и внешней силы, 1, р и а — динамическая вязкость, плотность и коэффициент поверхностного натяжения жидкости, по дважды повторяющимся индексам предполагается суммирование. Уравнение эволюции свободной границы имеет вид
= ^|ж±=0 + Ш (3)
где Ш описывает влияние внешнего массового потока на скорость движения свободной поверхности.
Применяя к (1) - (3) двумерное преобразование Фурье по продольным координатам
/к = [ / (х) е-*к^2х
имеем
д!- к2^к = 1 д±Щ
д!^ - к2^ = ^Пк, 1
дхКх + гк« = 0,
дПк - к2Пк = 0,
(4)
(-Пк + 21д!К!
1ж±=0
- (ак2 + р#) ^к + /хк, 1 (гкаКхк + д^ак)^=0 = /ак,
к
V
ак
\Пк/
0,
д4^к = У!к|Л| =0 + Шк.
(5)
(6)
Введем теперь продольную Vkl и поперечную VkL по отношению к волновому вектору к составляющую Фурье-образа продольной скорости
к „ и к»
Как = |Кк1 + К!к, VI = |К«к, V! Тогда (4), (5) можно переписать в виде
Л как« , V Ла«--к^ 1 ^ак.
0
д- — к2у-к = - д-Пк,
д- ^ — к2у| = - Пк, -
д! -у- — к2у-к = 0,
д-у- + гку^1 = 0, кд - - П к — к2 Пк = 0,
(—Пк + 2-д±у± к
'ж±=0
— (ак2 + рд) К к + Д к,
- (гкУ-к + д-уЛ = - д±у-| 0 = ¿-к,
V / ж±=0 Х=0
(у- Л
у! у-
\Пк/
Из уравнения неразрывности сразу получаем
0.
(7)
(8)
К1 = т ^у±к.
(9)
к
Тогда, с учетом уравнения для давления, граничное условие по касательному напряжению принимает вид
(2-к2 у- к + д- П к )|Ж±=0 = — гkf¿. Представляя Фурье-образ нормальной составляющей скорости в виде
у-к = у-к + х- П к, 2-
запишем (7), (8) в расщепленной форме
2-д-У-
ж±=0
д- - у- к — к2 у-к = 0,
— (ак2 + рд) Нк + Д к, У
_1_к
д±± у- — к2 у- = 0,
д--Пк — к2 Пк = 0, д-Пк|хх=0 = —гк^ — 2-к2 у-к Интегрируя (12) - (14) и используя (9), (11), получаем 1
0,
Жх=0
У
ак
у±к = —
[К
-к \ 2к
2-к
{(1 — кх -) [ (ак2 + рд) Кк — Дк] + гквх±/дк} екжх,
кв
гкх - ((ак2 + рд) Кк — Дк) + (1 — кх-) — /в к
+ АЛ е
=кж±
(10) (11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
0
Пк
к
(ак2 + р#) ^к - f±к - ^/вк
екх±. (17)
к
Видно, что возмущения скорости и давления убывают с глубиной, причем гармоника с волновым числом к возмущает жидкость в слое с характерной глубиной к-1. На поверхности жидкости, при х_|_ = 0, имеем
ко = -[И2 + Р0) кк - /±к] , Как = ^к (^^Т/вк + ^
П
ко
(ак2 + р#) кк - Дк - г— /вк
Из (18) видно, что продольная составляющая внешней силы не оказывает влияния на перпендикулярную составляющую скорости, но определяет продольную скорость на поверхности. При отсутствии продольной составляющей внешней силы, продольная скорость на свободной поверхности обращается в нуль.
На основании (6), (18) уравнение движения свободной поверхности можно записать
в виде
д^к + И2 + Р0) кк = /±к + ^к. (19)
3. Релаксация начального возмущения поверхности жидкости 3.1. Точное решение
Рассмотрим эволюцию начального возмущения поверхности при отсутствии внешней силы и массового потока на границе. В этом случае уравнение (19) принимает вид
д^к + (ак2 + Р2) кк = 0. (20)
Интегрируя (20) с начальным условием кк|4=0 = получаем
кк = Л£е-4/гТ(к) = -2^. (21)
ак2 + рд
При к ^ 0 и к ^ то характерное время затухания Т(к) гармоники с волновым числом к стремится к нулю за счет силы тяжести и поверхностного натяжения соответственно. При к = к* = (рд/а)1/2 время затухания приобретает максимальное значение Т* = р,/ (рда)1/2. Малое время затухания высокочастотных гармоник означает, что силы поверхностного натяжения приводят к быстрому сглаживанию резких неоднородностей возмущения. С другой стороны, Т|к=0 = 0. Учитывая, что
кк|к=0 = У к (х,г) ^2х (22)
представляет собой «объем возмущения», видим, что эта величина, вообще говоря, отличная от нуля для произвольного начального возмущения, мгновенно становится (и в дальнейшем поддерживается) равной нулю за счет действия силы тяжести. Мгновенность этого процесса определяется использованием в расчетах квазистационарного приближения Сток-са. Подробное обсуждение этого вопроса смотри в [10].
Возвращаясь к случаю произвольных волновых чисел, проведем анализ эволюции формы возмущения К (х, £). Для удобства рассмотрения введем безразмерные переменные
где
т = t/T*, 0 = T/T*, | = k*x, к = k/k*. Тогда (21) приобретает вид
К = hKe-r/ö(K), 0(к)
2к
к2 + 1
hK
Обращая (24) по Фурье, имеем
h (£,т) d2£.
(23)
(24)
h &т) = / g - £',т) h0 (£') d2^
где
g (1,т)
г/в(к)
d2
к
(25)
(26)
(2п)2'
Выражения (25), (26) позволяют рассчитать форму возмущения в произвольный момент времени по начальной форме возмущения. Для качественного описания релаксации начального возмущения удобно вернуться к исходному выражению (24). Тогда имеем
h &т)
e^ h0 e-r/ö(K)
d2K
0 (к)
2к
(27)
(2п)2' к2 + 1
Из (27) видно, что конфигурация возмущения в момент времени т определяется Фурье-образом начального возмущения К°к и множителем е—. Максимальное значение этого множителя равно е—т и соответствует к =1. Пусть к1,2 (т) — значения к, при которых функция е—принимает значение, в е раз меньшее максимального — см. Рис. 1.
Решая уравнение
т
0 (k)
т + 1, получаем
РИС. 1. График функции е т/б(к)при т =1 и ее аппроксимация ступенчатой функцией
К1,2 = 1 (г +1 ± /2т + ^ . (28)
т 2 /2
При т ^ 0, к1 = -, к2 = —. При т ^ то, к1 2 = 1 ^ у —.
2 т V т
3.2. Качественное описание процесса релаксации возмущения
Для качественной оценки эволюции возмущения заменим функцию е-т/б(к) на ступенчатую функцию f (т, к), равную нулю при к < к1 (т) и при к > к2 (т). В интервале к1 (т) ^ к ^ к2 (т) эта функция равна е-т — см. Рис. 1.
f (к, т) = е-т0 (к - К1 (т)) 0 (К2 (т) - к),
где 0 (х) — 0-функция Хевисайда.
Возвращаясь к выражению (28) видим, что эволюцию возмущения можно рассматривать как результат обрезания Фурье-образа начального возмущения. Рассматриваемая система ведет себя как своеобразный фильтр, «вырезая»из спектра волновых чисел начального возмущения кольцевую область с характерными размерами к1 (т) ^ |к| ^ к2 (т). Одновременно амплитуда Фурье-образа возмущения падает как е-т. Видно, что ширина кольцевой области с течением вращения падает, сначала быстро — в основном за счет уменьшения внешнего радиуса кольца к2, затем медленно — за счет симметричного возрастания к1 и убывания к2. При больших временах кольцо локализуется в окрестности
л /2
окружности радиуса к =1 и имеет характерную ширину Дк = 2у —. Указанный процесс
фильтрации определяет качественные особенности релаксации начального возмущения.
Пространственная фильтрация Фурье-образа начального возмущения со стороны малых волновых чисел эквивалентна добавлению к нему, с обратным знаком, части, локализованной в круге радиуса к1. Это приводит к вычитанию из начального возмущения соответствующего прообраза по Фурье, локализованного в координатном представлении,
в круге радиуса = —. При т ^ 0, = — ^ то. Такое дальнодействующее вли-
к1 т
яние исходного возмущения определяется действием силы тяжести. Это наглядно видно при переходе и размерным перемещениям: радиус дальнодействующего возмущения
£1
г1 = — = -. Образно говоря, возмущение тонет в окружающей жидкости, искажая
к*
форму ее поверхности на большом расстоянии.
Локализация Фурье-образа возмущения в круге радиуса к2 приводит к расширению
его внешней границы, в координатном представлении, до окружности радиуса £2 = —.
к2
ТЭ £2 „ ,,
В размерных переменных г2 = — = -, т.е. указанный эффект связан с действием сил
к* ^
поверхностного натяжения.
Для оценки значения возмущения в начале координат воспользуемся тем фактом,
что
к (0, т) = / кК (т) .
Тогда
к (0, т) - [ к°
(2п)2'
К1(т )<|ге|<К2(т)
Сформулированные выше приближенные утверждения основаны на замене реальной функции е-т/б(к) на ступенчатую. Поэтому можно ожидать лишь приближенного соответствия между описанием, основанном на этих утверждениях, и ходом реального процесса релаксации возмущения.
Рассмотрим подробнее релаксацию возмущений, имеющих различный пространственный масштаб и форму. Для иллюстрации выявляемых качественных закономерностей будем использовать графики, получаемые на основании точного решения (25), (27).
3.3. Релаксация длинноволнового возмущения под действием силы тяжести
Если характерный безразмерный масштаб области, занятой возмущением Ь ^ 1, то
2п
Фурье-образ этого возмущения сосредоточен в области с характерным размером — ^ 1.
Ь
Релаксация такого возмущения на начальном этапе определяется, в основном, фильтрацией его Фурье-образа со стороны малых волновых чисел, т.е. действием силы тяжести. При этом, как было показано выше, к начальному возмущению добавляется, взятый с обратным знаком, прообраз части Фурье-образа начального возмущения, лежащей в круге радиуса к (т). В координатном представлении эта добавка сосредоточена в круге радиуса = 2п/к1 (т) и имеет амплитуду
Дк (0, т) - [ .
1 ^ У К (2п)2
|ге|<«1(т)
На начальной стадии процесса релаксации, когда к1 ^ 2п/Ь, соответственно ^ Ь,
Дк (0, т) - - К? (т) кК|к=° = — I к° (£)
1 т 2 —К2 (т) к01 ° = —
За счет такой длинноволновой добавки исходное возмущение опускается (при положительном объеме возмущения) на Дк (т), практически без искажения формы. Вне области начального возмущения возникает дополнительное возмущение, имеющее амплитуду Дк (т) и радиус затухания (т). При больших временах форма дополнительного возмущения несколько искажается, его радиус уменьшается и становится соизмеримым с размерами начального возмущения. К моменту т1 = 4п/Ь, когда к1 = 2п/Ь, процесс релаксации возмущения в основном заканчивается. Для иллюстрации указанных эффектов на Рис. 2,3 представлена релаксация осесимметричного длинноволнового возмущения.
Если характерные размеры начального возмущения в двух взаимно перпендикулярных направлениях сильно различаются, то эволюция такого возмущения, как и в рассматриваемом выше случае, определяется, в основном, действием силы тяжести, однако процесс релаксации происходит несколько сложнее. Отметим, что для возмущения, вытянутого вдоль оси , (Ь1 ^ Ь2 ^ 1) область локализации Фурье-образа имеет обратное соотноше-
т
ние размеров 2п/Ь1 ^ 2п/Ь2. Удаление из спектра возмущения круга радиусом к1 (т) = — приводит, на начальном этапе, к образованию симметричного длинноволнового возмуще-
т 2 Г
ния радиуса 4п/т и амплитуды Дк =- к° (£) . На этом этапе различие поперечных
1бп ]
масштабов возмущения не сказывается практически на характере его эволюции. Возмущение оседает как целое, причем его амплитуда убывает по закону к (0, т) = к° (0) — Дк (т).
Рис. 2. Релаксация длинноволнового осесимметричного возмущения. Начальная форма возмущения к0 = к0 (0) е-^2/ь2, Ь = 20; 1 — т = 0; 2 —
т = 0,1; 3 — т = 0, 6
Рис. 3. Убывание амплитуды длинноволнового осесимметричного возмущения. Начальная форма возмущения к0 = к0 (0) е-^ , Ь = 20
С момента т = 4п/Ь1, когда к1 (т) = 2п/Ь1, область дальнего влияния возмущения теряет круговую симметрию. В направлении оси ее масштаб ££ становится, и в дальнейшем поддерживается, равным Ь1, а вдоль оси £2 эта область продолжает сжиматься по закону = 4п/т. При этом амплитуда возмущения начинает убывать по линейному
закону к (0, т) = к° (0) — Дк (т), Дк = —^ [ к° (£)
4пЬ1 ]
К моменту т = 4п/Ь2, когда к1 (т) = 2п/Ь1 возмущение практически затухает. На Рис. 4 представлена характерная конфигурация длинноволнового возмущения, масштабы которого по двум осям существенно различаются.
РИС. 4. Конфигурация длинноволнового неосесимметричного возмущения в момент времени т = 0,04. Начальная форма возмущения
к° = к° (0) ехр ^—I1 — , Ь1 = 100, Ь = 20
3.4. Релаксация коротковолнового возмущения под действием капиллярных сил
Иной характер имеет эволюция возмущения с масштабом Ь ^ 1. Фурье-образ этого возмущения сосредоточен в области с характерным размером 2п/Ь ^ 1. В этом случае эволюция возмущения на начальной стадии происходит, как и в случае возмущений с большим масштабом, за счет фильтрации его Фурье-образа со стороны малых волновых чисел. Однако, вклад этой области в суммарную амплитуду возмущения мал, и поэтому эффекты оседания возмущения и образования области дальнего влияния, в данном случае, несущественны. Релаксация коротковолнового возмущения определяется, в основном,
действием сил поверхностного натяжения, т.е. фильтрацией его Фурье-образа со стороны больших волновых чисел. Процесс релаксации начинается с момента т = Ь/п, когда к2 = 2п/Ь. При этом размер области, занятой возмущением, начинает возрастать по закону
1 ~2
£ (т) = 2п/к2 = пт, а его амплитуда убывает, на начальной стадии, как —- I к0 (£) й2£.
пт"
Характерное время затухания возмущения порядка единицы.
На Рис. 5 представлена релаксация коротковолнового осесимметричного возмущения.
РИС. 5. Релаксация коротковолнового осесимметричного возмущения. Начальная форма возмущения к0 = к0 (0) е- /ь , Ь = 0,1; 1 — т = 0; 2 — т = 0,1,3 — т = 0, 2
Остановимся, наконец, на описании релаксации мелкомасштабного возмущения с существенно различными масштабами вдоль осей £1 и £2: Ь2 ^ Ь1 ^ 1. Эволюция такого возмущения начинается с момента т = Ь2/п, при этом его масштаб в направлении оси £2 начинает возрастать, как пт, а в направлении оси £1 меняется слабо. При этом амплитуда
возмущения убывает по закону к (0, т) = —-— к0 (£) й2£. С момента т = Ь1/п масшта-
пЬ1т
бы возмущения по направлению обеих осей становятся соизмеримыми. С этого момента возмущение становится осесимметричным, а его радиус растет как пт. Амплитуда возмущения при этом падает быстрее, чем на первом этапе: к (0, т) = I к0 (£) й2£. Процесс
пт
релаксации заканчивается, в основном, к моменту т = 1. На Рис. 6 представлена картина релаксации коротковолнового неосесимметричного возмущения. Видно, что с течением времени возмущение приобретает осевую симметрию.
РИС. 6. Конфигурация коротковолнового нео се симметричного возмущения.
Начальная
Ь2 = 0, 02;
форма
а — т
возмущения 0, 02; б — т =
к0 = 0, 2
к0 (0) ехр (-|| - Ц), Ьг = 0, 2;
4. Заключение
Теоретически исследован процесс релаксации малого возмущения плоской поверхности вязкой несжимаемой жидкости под действием капиллярных и гравитационных сил. Предложен метод качественного анализа конфигурации возмущения, основанный на пространственной фильтрации Фурье-образа исходного возмущения. Показано, что под действием силы тяжести вокруг исходного возмущения возникает дополнительное длинноволновое возмущение, которое обеспечивает нулевой суммарный объем суммарного возмущения. Капиллярные силы приводят к возрастанию размера области, занятой возмущением.
Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (контракты N£-526?, 14.740.11.0879, 16.740.11.0030) и грантом 11-08-00267 РФФИ.
Литература
[1] Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса — М.: Мир, 1979. — 630 с.
[2] Френкель Я.И. Вязкое течение в кристаллических телах // ЖЭТФ. — 1946. — Т. 16, № 1. — С. 29-38.
[3] Tanveer S., Vasconcelos G.L. Bubble Breakup in two-dimensional Stokes flow // Phys. Rev. Lett. — 1994. — V. 73, No. 21. — P. 2845-2848.
[4] Jeong J.-T., Moffatt H.K. Free-surface cusps associated with flow at low Reynolds number // J. Fluid Mech. — 1992. —V. 241. — P. 1-22.
[5] Pozrikidis C. Numerical studies of singularity formation at free surfaces and fluid interfaces in two-dimensional Stokes flow // J. Fluid Mech. — 1997. — V. 331. — P. 145-167.
[6] Hopper R.W. Coalescence of two equal cylinders: exact results for creeping viscous plane flow driven by capillarity // J. Am. Ceram. Soc. — 1984. — V. 67, No. 12. — P. 262-264.
[7] Чивилихин С.А., Гусаров В.В., Попов И.Ю. Течения в наноструктурах: классические и квантовые модели // Наносистемы: физика, химия, математика. — 2012. — Т. 3, № 1. — C. 7-26.
[8] Ламб Г. Гидродинамика — ОГИЗ, Москва, 1947. — 929 с.
[9] Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика — Физматгиз, Москва, 1959. — 700 с.
[10] Чивилихин С.А. Релаксация малого локального возмущения поверхности вязкой жидкости в приближении Стокса // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1983. — Т. 3. — С. 133-137.
RELAXATION OF SMALL PERTURBATIONS OF HIGHVISCOUS LIQUIDS PLANAR SURFACE
S.A. Chivilikhin
The relaxation of small local perturbation of highviscous liquids of infinite depth planar surface due to gravitation and capillary forces. The analytical solution was obtained and qualitative features were discovered.
Keywords: quasisteady-state Stokes approximation, free surface, linear approximation, relaxation of perturbation.
Sergey Chivilikhin - Saint Petersburg National Research University of Information Technologies Mechanics and Optics, Saint Petersburg, Russia, associate professor, PhD, senior scientist, sergey.chivilikhin@gmail.com
