ПЛОСКАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ТВЕРДОГО УДАРНИКА С НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ И УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 56

www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Плоская нестационарная задача о взаимодействии твердого ударника с несовершенствами и упругого полупространства

А.Л. Медведский, Д.В. Тарлаковский Аннотация

В работе рассмотрен произвольный этап взаимодействия абсолютно твердого ударника и упругого изотропного однородного полупространства в рамках плоской задачи теории упругости. Нестационарная контактная задача сведена к системе функциональных уравнений (СФУ), содержащей кратное сингулярное интегральное уравнение типа Вольтерра I рода, ядром которого являются поверхностные функции влияния для упругой полуплоскости. Для решения СФУ используется метод сеток для пространственно-временной области контакта [1, 2], модифицированный для многосвязных областей контакта и сплайн-параметризации направляющей ударника. Приведены примеры решения контактных задач для эллиптического ударника с начальными несовершенствами.

Ключевые слова

нестационарные контактные задачи; упругая полуплоскость; абсолютно твердое тело; многосвязная область контакта; пространственно-временная область контакта; эллиптический ударник; В-сплайн; контактные напряжения.

Введение

В настоящее время малоисследованными остаются вопросы нестационарного взаимодействия твердых тел с упругими преградами. Указанные задачи затрагивают широкий спектр вопросов, связанных с посадкой спускаемых космических аппаратов на грунт и водную поверхность.

Для решения соответствующих начально-краевых задач в основном используется классический метод конечного элемента. В качестве альтернативы может быть предложен один из вариантов метода гранично-временных интегральных уравнений, который при соответствующей модификации позволяет строить решения соответствующей контактной

задачи в пространственно-временной области. В качестве ядер интегральных операторов в данном случае используются поверхностные функции влияния для упругой преграды. Указанный подход позволяет снизить размерность решаемой задачи за счет использования интегральных соотношений в области контакта.

1. Постановка задачи.

Рассматривается плоская задача нестационарного взаимодействия гладкого абсолютно твердого ударника и упругой однородной изотропной полуплоскости. В начальный момент времени ^ = 0 ударник касается границы упругой полуплоскости П10 в точке О

прямоугольной декартовой системе координат Ох1х с базисом ег . Граница упругой

полуплоскости совпадает с плоскостью х = 0, ось Ох направлена в глубь полупространства,

а ось Ох2 вдоль свободной поверхности (рис. 1).

Предполагается, что твердое цилиндрическое тело ограничено гладкой поверхностью, причем направляющая цилиндра Г характеризуется немонотонной кривизной, что в первом приближении моделирует несовершенство ударника и приводит к многосвязной области контакта. Для параметризации направляющей цилиндра кривой Г (рис. 1) используется следующее представление:

Гу2=х2(®, ^^сО, (1.1)

где £г - ортонормированный базис связанной с центром масс системы главных центральных осей Охуху2 твердого тела.

Задача решается в линейной постановке, вследствие чего граничные условия ставятся на невозмущенной поверхность полупространства П . В первом приближении не учитывается влияние деформации свободной поверхности полупространства на процесс внедрения поэтому граница области контакта 50(т) определяется из геометрического пересечения двух недеформированных поверхностей: неподвижной П10 и подвижной поверхности твердого ударника П2Т [1]. И представляет собой объединение отрезков оси Ох2 (см. рис. 1.1). В общем случае область контакта О(т) может быть многосвязной.

ЪЬ) х\ Ь\(х) Рис. 1. Геометрия задачи

Задача решается в безразмерном виде, поэтому вводим следующие безразмерные параметры (далее тильда везде опущена):

х.

с^

Ф

= -г'У = ' т = -г» ф = 77 > V = Ь2

Ь о,

и. X

и,. = —, к =

ь и

а

(1.2)

о,, =

у

V Х + 2\х' 11 Х + 2\х т

, (ими}.

т = ■

И

р/.2' р/.4 И

Ь сх сх

К„

к„

м =

м

где X, ^ и р - упругие постоянные Ламе и плотность упругой среды; Ь - характерный размер ударника; щ - компоненты вектора перемещений точек полупространства; ог;/ - компоненты тензора напряжений; ф, с и у, с2 - потенциалы и скорости волн расширения-сжатия и формоизменения упругой среды; т , - погонные масса и главный момент инерции ударника относительно оси Охъ; и и 0 - вектор перемещения центра масс и угол поворота ударника вокруг центра масс; Ке, Ме, и Я , М - соответственно погонные внешние и контактные силы и моменты, действующие на тело.

с

Движение ударника описывается в безразмерном виде системой уравнений плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела с соответствующими начальными условиями [1].

Уравнения движения упругой среды представляются волновыми уравнениями относительно потенциалов волн расширения-сжатия и формоизменения с известными зависимостями между потенциалами и компонентами вектора перемещений точек полуплоскости щ и ненулевыми компонентами тензора напряжений агу [2]. В начальный

момент времени т = 0 возмущения в упругой среде отсутствуют, а на бесконечности среда находится в невозмущенном состоянии.

п

О(т) = и Д (т), Ц (т) = [ад,ад] е Ох2,

(1.3)

5П, (т) = {ь/(т) е Ох2\ %(0,Ъ! (т),т) = 0,] = 1,2}.

Здесь подвижная поверхность П2Т в системе координат Охх задается неявным образом:

Пт : %(Х1,х2,т) = 0 « хг = а^(О + ис1 (т), г = 1,2. (1.4)

В области контакта могут реализовываться граничные условия двух типов:

Задача 1 (свободное проскальзывание контактирующих тел):

Щ (Х1, Х2 ' т^0 = Щ10 (Х2 ' т) > (Х2 еЦт)) ,

°11 (Х1' Х2 ' т^0= 0 (Х2 ^0(т)) (1.5) О12 (Х1, Х2, т^0= 0 (Х2 еП). Задача 2 (жесткое сцепление контактирующих тел): Щ (^ Х2 , т^о = Щ0 (Х2 , т) , (Х2 е 0(т)) ,

а1 j (Х1,Х2,т)Ц = 0, (Х2 йП(т)), и = 1,2),

где и.0 - компоненты вектора перемещений и в базисе е. точек поверхности полупространства, находящихся под ударником:

Связь и.0 (Х2, т) с кинематическими параметрами ударника и и 0 определяется матрицей перехода между системами координат Ох^х и ОУ1У2У3 [1,3]:

Результирующие реакции полупространства R и M связаны с контактными напряжениями сту-0(x2,т) интегральными соотношениями по области контакта Q(x) :

r (т)=Ёз W Mo W=¿mо (т),

i=1 i=1

b'2 (т)

R(т)= J ajо(j,т)dj, M(x) = (üc,R,ез)+Mo(т), (j = 1,2), (1.7)

b (т)

b2 (т)

M 0 (т) = - J jai0 т) aj0 (^ т) = а1 j (^ ^

b (т) 1

Нестационарная контактная задача сводится к следующей системе функциональных уравнений (СФУ) [1, 3], которую представим в операторном виде:

V<m> = m- (K(0>(<>) + >))+ Vjm>,

ю(m) = j1 (k( 0) (M(m>) + K( 0) [( U(m), R( m>, e3)] - L(r01> (o( m>)) + ш(;>,

Uj> = m- (k (1> «>) + Zm; L(;o) (j)) + ^ + U^, (1' ^

e( m) = J-1 (k( 1> (M(m>) + K( 1>[( U(m), R( m>, e3 )]-L(11>(ai m>)) + Q (m)T + e (m>,

Um>= Lf >(a (m>), (1'9)

u« (x, x2) = Uim (x) + Xl (£) cos e( 0 (x) -x2 (£) sin 0( "> (X), (x, X2) = U0 (X) + Xi(^)sin 0( 0 (x) + X2(^)cos 0( 0 (x) - X2,

(0, ь1т)(х))т = с (е( т) (х))(хд;), ;) )т+{у{") т))т, (1Л0)

(ис10,ис20 )т =-С (е0т))(хДо), Х2(^о))Т , (1 = 1,2; т = 1,2; I, к = 1^),

где т - номер задачи.

В соотношениях (1.8) - (1.10) введены следующие интегральные операторы:

(£>)-►□ (П+), К0):П (□+)-►□ (□+), ¿т )(ф) = Ц Fm¡(xч, х-Г )ф£, Г) а ц,

и

х . (1.11)

К(1)(/ ) = /(х- *)'/(*) *, (т, ] ) = 1,2; к = 0,1;

0

и

Здесь ^(х2, х) - поверхностные функции влияния второго рода для упругого полупространства [1, 3]:

тсО(2) (X, т) % (X, т) =

у4X2 (у2X2 - 2т2 )2л/т2 - X2,1 < Л < у;

X

у4XVт2 -X2 (у2X2 -2т2)2 + 4тVт2 -X2,!т2 -у2X2

0,п < 1;

X

,п>у; (1.12)

X

к°2?(x, т) % (X т)=

-4у4X2т2 (у2X2 - т2 )л/т2 - X2,1 < Л < у;

4 2 2 2 2 у X ут -у X

0,Л< 1

X

(у2X2 -2т2)2 + 4т2 л/т2 -X2у1 т2-у2X2

,п>у; (113)

X

К01(22)(X, т) =

2у4x2т (у2X2 - 2т2 )^/у2X2 - т2 л/т2 - X2 ^то/^ (X, т) ,1 < Л < у;

куС (уС - 2)

2(мс„1)) 8(с^)^

т

п >у;

X

(1.14)

0,^< 1, X

% (X,т) = (у2X2 -2т2)4-16т4 (т2-у2X2)(т2 -X2).

(1.15)

¥]к (X,, т) = О2) (X,, т) (1.16)

Анализ ядер интегральных операторов ) показывает [1, 3], они имеют интегрируемую особенность в точке X = т = 0 и сингулярности первого порядка, сосредоточенные на фронтах волн Релея 1x1 = сд т ( сд - скорость волны Релея).

2. Численный алгоритм решения СФУ.

Численная процедура решения СФУ (1.8) - (1.10) строится на базе конечно-разностной аппроксимации пространственно-временной области контакта (рис. 2).

о=ио, о={(¿,уе □ 2| г > о, ьт(г) <^ >ьт(г)},

т=1

(2.1)

где М - количество пространственно-временных подобластей.

Для аппроксимации области В на полуплоскость □ (7 > 0) наносится ортогональная сетка с равномерным шагом к :

<

<

<

□ | =Шкц, кц = {(г,фп 2|гм <г<,^; }.

(2.2)

1

А

¡*(0 X = 6,(т)

Рис. 2. Пространственно-временная область контакта О

х = Ь,(х)

Рис. 3. Пространственно-временная область контакта И

Каждая из подобластей (т) в момент времени т = ги заменяется многоугольником Г)™, который описывается следующим образом (рис. 3)

¡т 1

Р: (0=Р: (О+ИГ то<12 (|р: (о|+1), Р: «=^г (о

|р: (г )|

к

(2.3)

где значком [•] обозначена целая часть действительного числа.

Носителями функций влияния (X, г) и ^р (X, г), (а ^ Р) являются следующие

множества:

Бирр^а (тк - ик - г) = {(г, у| 0 < г < ик, |тк - < ик - г}. (2.4)

8иРР^а,р(*'т) = и (с и^),

]=1

= {(г, £)еп 2| г е[0, т], ^ = (-1) ]СКг}, С] = {( г, £)<=□ 2| г е[0, т], <(-1) Ч< г}.

(2.5)

Поэтому интегрирование в операторах Ь("а) с учетом (2.3) и (2.4) проводится по области Апт (рис. 3, номер подобласти 1)т для упрощения записи опущен):

( п—1 ки-\ Л

=

и и К юВпт, кь= тах{/1г,да-и + /}, к2г = тт{12г,т + п-1},

^}=Ки (2.6)

Впт =Кп п вирр/^ (тИ-^пИ-!).

Для операторов Ь(™,р) (а, Р = 1,2) в точке (*п, с учетом (2.5) используется

и нпт,

следующая аппроксимация области интегрирования:

Г 2 / ~ ~ \ ®ирр (тк - ий - « £м = и (С ■ и Ь )

1=

= {(', у е □ 21 * е [о, (Л.- 1)Л] X = шЛ + (-1); сд (пЬ - *)}, (2.7)

п—1

^пт,] ~ и ^ ' Н пт ~Впт,

г=1 к =Х( п,т,г, у)

X (п, т, г,1) = т - п + г, X (п, т, г, 2) = т + п - г,

Л (п, т, г, 1) = [т -1-1 (п - г +1)],

/ • [т +(п - г +1), т + А1 (п - г + 1)ег 1т + у (п - г +1), т + ] (п - г +

Функциям одного и нескольких переменных ЦУса (*) , Кса (*) , е (*) , ш (*) , ста0 *)

(а = 1,2) ставятся в соответствие сеточные функции ы'а, у'а, ег, шг , о']а :

а

иа= ЦаСг ), ^ = ^ ), ег = е ) , ш' = Ш ) ,

аА =

(2.8)

^а0 (^(1) > *г ) > 2 (1) = 1 + (|А).

В формулах (2.8) для упрощения записи номер задачи опущен.

Интегральным операторам задачи (1.11) ставятся в соответствие разностные операторы, для которых в качестве областей интегрирования используются введенные выше аппроксимационные множества Г)п, Апт и Епт.

1) Оператор К(1). В качестве разностного аналога используется квадратура Л^) , соответствующая формуле прямоугольников на отрезке [0, *п ] [4]

Л1: Им ^ Им, Л?) (У) = н±у%, ЛК (у) = £ (п - г)У (2.9)

г=1 г=1

У = У (*г), У е Иы, ш„ = {* е[0, х]|* = (г - 1)А,г е!^},

где Нм - пространство функций, заданных на сетке ю„.

2) Регулярный оператор лЛ^). Поставим ему в соответствие разностный оператор формулы прямоугольников Л^), определенный на пространстве сеточных функций Нж

<чи)=к2+7±1•)и, /)=^7211 -)2{к,

'=1 к'=1 к

Юкк = ((г , £ , )еП ^ 7 = /с , /2: - 1, ' = 1, Ж, N £□} ,

(2.10)

где /ы и 2(к) определены в (2.3) и (2.8).

3) Сингулярные операторы Ь("а). Сингулярному оператору Ь("а) (а = 1,2) ставится в соответствие разностный аналог Л(аа), определенный на пространстве сеточных функций

НЖМ, :

Л^КЬ кГ± ± ¿^оа-уааат 1, аа еНт. (2.11)

V '=1 7=ка У

Здесь коэффициенты кубатур определяются так:

¿(аа) = г(аа) , 5(аа) т-7,и-' т-7,и-' т-7,и-' ?

ф (2.12)

7 = Ц ^ (ткик - г) ф, = Ц

(тк - ^)2 - с2 (ик - г)2

Коэффициенты квадратур сингулярной части вычисляются аналитически и

имеют вид [5]:

^^ ± (-1)7+/ ^кТт! 1п ^ |, Ук! = к - 7 + (-1)г+1 сй (т + /). (2.13)

2ск 1,7,/=0

В формуле (2.13) в силу свойств функции /(X) = X 1п XI при у;^ = 0 соответствующее

слагаемое становится в пределе равно нулю. Коэффициенты кубатур г^ находятся численно с заданной точностью с помощью четырех точечных кубатур Гаусса [ 4].

4) Сингулярные операторы Ь("Р),(:^Р) . Разностный оператор Л(: Р) ,

аппроксимирующий Ь("Р), имеет вид [1,3]:

и-1 к2- -1

Л5 (ор) = к± ± ^.ор, ор е Нм • (2.14)

г'=1 7=Кг

Здесь коэффициенты квадратур ¿^/„^ определяются так:

чг+1

й(:Р) .=< т-з,и-г

г (:Р)

т-],и-г

к=1

> 7 е и г' ' 'П (п>г' *)];

¿^¿-^ё11 0я ~ Л 1 е У [ф (и' г' ' ^ (и'г' *)]'

¿=1

(2.15)

а в остальных случаях й^„^ = 0.

Коэффициенты квадратур г(:р и_г вычисляются численно с помощью четырех точечных квадратурных формул Гаусса:

7 = к-Ц^:рД(тк Ч,ик -г)й;йг, (2.16)

кч

а коэффициенты рОр*^ имеют вид [3]:

РЙи-' = >/1 + ^2 (сл ,1) ^,2-,. (2.17)

В соотношениях (2.16) и (2.17) используются следующие представления поверхностных функций влияния:

Р:р (X т) = Р:рД (X, т)(Н (т - |^) - Н (т - у |^)) +

+К:р,2 ( СК ,1)5( СК т-| X ) ^2,1 (X т) = -ЛF2(,( (X т)= (218)

= 2у4x2т (у2X2 - 2т2 )л]у2X2 -т2л/т2 - x2signx / ^ (X, т),

у4с2 (у2с2 - 2)

Р12,2 (x, т) = -Р21,2 (^ т) = * , ', (:, р =1,2;: ^ р).

2А,X (т)

Коэффициенты Ст_]п_1 в (2.17) определяются вариантами пересечения прямых Lnmj и элементов к пространственно-временной сетки.

Введенные операторы Л^) (2.9), Л(™]) (2.10), л(::) (2.11) и Л(.:р) (2.14) позволяют

построить явную разностную схему первого порядка точности по пространственной и временной координатам для системы функциональных уравнений (1.8) - (1.10).

и; = и"-1 + ку;-1, в2 = и"+с;у" ,

тфПт = + с"у"т - хт, (2.19)

^т = - к^ит V" = V"-1 + км (т2 + Т")

Здесь введены следующие обозначения:

ип / п п Г\п\Т ТТП / п п\ п ( п п\

п = (и ,и2,0 ) , и2 = (и и , и = (и ,и2 ),

вп = (ип,...,ъ,п)т, ьп =(0,ь?к,0,ьпк),

=( Х1,...Х т ), X п =(Х1(^1 к ), к ), X 1 (^2к ), Х2(^ к ) ) ,

т

т

= I и , Оти

у; =(у:,У2п,шп) , ипт = (<,5Х), ¥пт = (Х1 (^пт),Х1 (^пт)) , Wпт = (w22m, 52гу- Чпт )Т, Хт = (0,О21 тк )т,

X"4пт / ^пт „шшпт\Т оп-1,т / £п-1,т „ -1 £п-1,т \Т

^ = (0 , °2 ) , » =( , У ) ,

м п-1

-Г = Ц Е ^<, тп = (щц,щп2,мп),

т=1 г =1 ] =кЦ

тп = (щ, щп, ищ -и;щ -мп )Т,

Ьп -1 '2п-1

щ=кее <, мп=к (к)<, (220)

с; =

" ^ с соб 0п -БШ 0п

_

С 2 =

Ч-О2I ^ 0п 52I СО8 0 У

к-1ы к~кп

С(0п), ... 0 ч 0, ... С(0п) . 4

V ' у 4тх4т

М = (т ), т = т22 = тт33 = J~1, где 5 у - символы Кронекера, I - номер задачи, М - количество подобластей пространственно-временной области контакта, коэффициенты кубатур ёопределяются

соотношениями (2.12), (2.13) и (2.15) - (2.17).

При расчете контактных задач положительные нормальные напряжения в окрестности границы области контакта, найденной из геометрических условий (1.3), полагались равными нулю, и, тем самым определялась площадка контакта из физических условий о10 < 0.

Исследование вопросов аппроксимации, сходимости и устойчивости разностной схемы (2.19) осуществлялось на примере решения нестационарной контактной задачи для гладкого штампа с фиксированной площадкой контакта. Указанная задача решена в монографии [6]. Результаты расчетов указанной задачи показывают, что разработанная конечно -разностная схема обладает практической сходимостью.

3. Пример расчета.

Рассмотрим скользящее внедрение (0О =90°) в стальное полупространство (у = 1,871) абсолютно твердого тела со следующей направляющей:

хД) =

1 +

и

1 - е2

cos ^ Хг© =

Vi

- е2 +

Ш

и.

sin

5(£) = 50sinw£, wg{0}Uü, g [О,27г], (3.1)

N2 = (1 - e 2)cos2 ^ + sin2 где 50 - амплитуда возмущений, e - эксцентриситет ударника.

Геометрическая форма ударника при е = 0,99; 80 = 0,005; п = 10 показана на рисунке 4.

Re

i // / п i

о

• тип

ТП) I I 1 I I' I II

Рис. 4. Положение ударника в момент времени т = 0

Массово-инерционные параметры ударника принимались следующими: m = 0,314; J = 0,079. Начальные условия для ударника: V10 = V20 = 0,001; ш0 = 0. На ударник

действует внешняя нагрузка Äel = ^ = 0,01; Ме = 0 .

Решение задачи строится с использованием конечно-разностной схемы (2.19) (шаг интегрирования h = 5 • 105, конечное время счета хк = 0,5 ). Задача решалась при двух видах

контактных граничных условий (сплошные линии на рисунках соответствуют жесткому сцеплению контактирующих поверхностей, штриховая - свободному проскальзыванию).

Результаты расчетов указанной задачи представлены на рисунках 5 - 12. На рисунке 5 изображена многосвязная пространственно-временная область контакта. Как следует из рисунка, на конечный момент времени тк в задаче имеется шесть подобластей с монотонно возрастающими по времени границами. На рисунке 6 изображена временная зависимость минимальной скорости расширения границы области контакта ЬЫп = min h'" . Из рисунка

m,i,k

следует, что взаимодеиствие ударника с полупространством происходит на дозвуковом этапе взаимодействия Ь - < 1.

2

0.05 0

-0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25

<

^___

<

-—

т2 X4 т5 т6

0.1 0.2 0.3

А

А

А

А, А

А

0.4

Рис. 5. Многосвязная область контакта Д (т2 = 0,087; т4 = 0,19; т5 = 0,28; х% = 0,42)

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

0 0.1 0.2

Рис. 6. Временная зависимость минимальной скорости расширения

границы области контакта (т)

Рисунки 7 и 8 отражают кинематику движения ударника. Как следует из рисунка 7, учет жесткого сцепления ударника и полупространства увеличивает «жесткость» последнего, что приводит к снижению абсолютных значений компонент вектора скорости, причем наиболее существенное влияние оказывается на нормальное к поверхности полупространства движение ударника. Жесткое сцепление приводит также к существенному увеличению абсолютных значений угловых скоростей ударника (рис. 8).

Распределения нормальных и касательных напряжений под ударником для подобластей Д и Д представлены на рисунках 9 - 12.

Рис. 7. Временная зависимость Рис. 8. Временная зависимость угловой

компонент вектора скорости ударника скорости ударника ш

VI и К2

Вертикальные штриховые прямые соответствуют границе области контакта в указанные моменты времени, причем номера кривых соответствуют номерам прямых.

Рис. 9. Распределение нормальных Рис. 10. Распределение касательных

контактных напряжений ст10 (х, т) в области Д контактных напряжений а20 (х, т) в области

А

Из рисунков 11 - 12 следует, что в случае скользящего удара в условиях жесткого сцепления происходит существенное увеличение касательных напряжений в окрестности границ областей контакта Ъ™ . Аналогичный эффект наблюдается и для нормальных напряжений для областей контакта Д , образующихся в процессе взаимодействия ударника и

полупространства. Расчеты задач о вертикальном внедрении ударника показывают, что в этом случае касательные напряжения под ударником на порядок меньше контактных нормальных напряжений.

0.4 0.6 0.8 х2 0.4 0.6 0.8

Рис. 11. Распределение нормальных Рис. 12. Распределение касательных

контактных напряжений ст10 (х, т) в области контактных напряжений а20 (х, т) в

Д области Д

Работа выполнена при финансовой поддержке: РФФИ (коды проектов №

09-01-00731-а, № 12-08-00934), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры

инновационной России» на 2009-2013 годы по лоту «Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области нанотехнологий и наноматериалов» (госконтракт № 02.740.11.0790 «24» апреля 2010 г.), Совета по грантам Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых и по государственной поддержке ведущих научных школ (код проекта НШ-64683.2010.8).

Библиографический список

1. Тарлаковский Д.В. Двумерные контактные задачи с подвижными границами/ А.Г. Горшков, Д.В. Тарлаковский. - М.: Изд-во, 1990. - 48 с.

2. Новацкий В. Теория упругости/ В. Новацкий. - М: Мир, 1975. - 872 с.

3. Медведский А. Л. Наклонный удар абсолютно твердого цилиндра по упругому полупространству / А. Л. Медведский, А. Г. Горшков, Д. В. Тарлаковский// Изв. РАН. МТТ._ 1994._ № 1.- С. 27-37.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы/ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 3, перераб. и доп. изд. - М: Бином, 2003. - 632 с.

5. Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М: Наука. Глав. ред. физ.- мат. лит., 1971. - 1108 с.

6. Сеймов В. М. Динамические контактные задачи/ В. М. Сеймов. - Киев: Наук.думка, 1976. - 283 с.

Сведения об авторах

Медведский Александр Леонидович, доцент Московского авиационного института (национального исследовательского университета), к.ф.-м.н., доцент,

МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993; тел.: (499) 158-44-99, 8-903-712-77-16; e-mail: mdv66@mail.ru

Тарлаковский Дмитрий Валентинович, заведующий кафедрой Московского авиационного института (национального исследовательского университета), д.ф.-м.н., профессор. МАИ, Волоколамское ш., 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993; тел.: (499) 158-43-06; e-mail: tdv902@mai.ru