НЕСТАЦИОНАРНЫЙ КОНТАКТ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ И УПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 78 www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Нестационарный контакт сферической оболочки и упругого

полупространства Михайлова Е.Ю.,* Тарлаковский Д.В.,** Федотенков Г.В.***

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

*e-mail: mihel6@yandex.ru **e-mail: tdvhome@mail.ru ***e-mail: greghome@mail.ru

Аннотация

Исследуется произвольный этап взаимодействия сферической оболочки типа Тимошенко (ударник) и упругого изотропного полупространства (основание). Получена система разрешающих уравнений. Разработан и реализован численно-аналитический алгоритм ее решения. Приведены результаты расчетов в виде графиков распределений контактного давления, нормальных перемещений, а также зависимости от времени контактного давления и нормальных перемещений в лобовой точке оболочки. Полученные результаты могут быть использованы в аэрокосмической отрасли при расчете случаев жесткой посадки спускаемых аппаратов на грунт.

Ключевые слова: нестационарные контактные задачи, сферическая оболочка типа Тимошенко, упругое полупространство, функция влияния, интегральные уравнения, квадратурные формулы, сингулярные интегралы, каноническая регуляризация.

Введение

Задачи механики контактных взаимодействий являются одними из основных проблем, подлежащих решению на этапах проектирования и создания самых различных объектов современной техники. В авиационной и космической отраслях промышленности актуальными и важными являются контактные задачи для тонкостенных элементов конструкций, в том числе, для оболочек. Оболочки являются основными конструктивными элементами корпусов, оперений, обтекателей и многих других элементов летательных аппаратов. В настоящее время наименее исследованными являются нестационарные контактные задачи. И среди них наиболее сложными являются нестационарные задачи с подвижной границей области контакта. Можно привести множество работ посвященных контактным задачам. Однако работ касающихся нестационарных задач с подвижными границами среди них найдется немного. К ним относятся следующие публикации [1, 2, 3]. В тоже время задачи данного класса являются исключительно важными и особенно актуальны для областей авиастроения, ракетостроения, судостроения, а также других отраслей промышленности, где широко применяются тонкостенные оболочечные элементы конструкций, работающие в условиях нестационарных контактных взаимодействий. В настоящей работе решена одна из этих важных задач.

Постановка задачи Рассматривается осесимметричная нестационарная контактная задача с подвижными границами области взаимодействия для тонкой упругой сферической оболочки и упругого полупространства. Оболочка, двигаясь с некоторой начальной скоростью У0, вектор которой направлен по нормали к невозмущенной поверхности

полупространства, в момент времени т = 0 достигает этой поверхности. Контакт происходит в условиях свободного проскальзывания. С оболочкой связана подвижная сферическая система координат О0,г0,0,0 с началом, совпадающим с центром оболочки. Для полупространства используется неподвижная цилиндрическая система координат О1, г, 0,2 с центром в точке первоначального контакта О1 (Рис. 1).

Все переменные и параметры приводятся к безразмерному виду (штрих соответствует безразмерным величинам; величины с индексом к = 1 относятся к полупространству, а с к = 0 - к оболочке):

к

Рис. 1.

к

г

Х к + 2^к с 2 _

' °2к _

ЯИ(к0 + 2ц0)' аа к(Х0 + 2ц0)' аа

-аа-(а _ 0,0).

к(х 0 + 0)

Здесь ^ - радиус оболочки; с1к и с2к - скорости распространения волн растяжения-сжатия и сдвига; ф, у - скалярный и векторный потенциалы упругих смещений полупространства; аар - компоненты тензора напряжений полупространства; рк -

плотность; Ь(т)- радиус области контакта; ? - время; к - толщина оболочки; Xк, цк -упругие постоянные Ламе; wk, пк - нормальное и тангенциальное перемещения; ис -перемещение центра масс оболочки, р - нормальное контактное напряжение; т0 -масса оболочки; Яа - результирующая контактная сила; Таа ,Таа, М аа, каа - ненулевые компоненты тензоров тангенциальных усилий, симметрического тензора составляющих тангенциальных усилий, изгибающих моментов, изменения кривизны; Q - перерезывающая сила. Далее везде штрихи опущены.

Постановка задачи включает следующие группы соотношений.

Уравнения движения полупространства, записанные относительно упругих потенциалов (точками здесь и далее обозначены производные по времени) [2,4, 5]

дт2 т дт т д 2ф д 2ф 1 дф

дт2 дх2 т дт

_ ф.

Cвязи перемещений с упругими потенциалами

Эф ду

Эф 1 + —

и1 = —----, ж1

дг дг дг г

у + г

V

дг

(2)

у

Связи ненулевых компонент тензора напряжений и вектора перемещений

ст.

Р1

дж ди ■ + • 1

дг дг

, СТгг

ди1 дг

+ а,

дж и —1 + —

дг

\ г;

дж

ст 77 =—1 +

22 1

дг

ди и —1 + —

дг г

и,

, ст00 = + а1

дж ди. —1 + —1

дг дг

(3)

Уравнения движения оболочки в форме С.П. Тимошенко [2, 5, 6]

дТ

у Ч =-дт+(Т00- т»»)с^80 + б,

у2 ж0 =-Т00- Тоо+|0 + + П,

д0 п

2- 1

У — = -а

дМ 0, д0

оо- М 00)- б

(4)

Геометрические соотношения оболочки С.П. Тимошенко

ди0

"де"

+ Жo, Б00 = и0С^0 + w0, р = — - ^

д д0

и

0

д— ди

к00="дё-"де1 -Жo, коо = °^0(х)-ж0.

(5)

Здесь б00 и б00 - ненулевые компоненты тензора деформаций; — - угол поворота нормального к срединной поверхности оболочки волокна за счет сдвига в поперечном сечении.

Физические соотношения оболочки С.П. Тимошенко

Тоо = Боо + а0Б00, Тее = Бее + а0Б00, М00 = а(кее + а0кoo), М00 = а(коо + а0к00),

Т00 = Тее - Мее, Т00 = 4 - М.00, б = Рк2Р, к2 = 5.

Уравнение движения оболочки как абсолютно твердого тела

Ь(т)

тА _ К, К(т)_ ЗД | р(т,^У^. (7)

Соотношение, связывающее радиус границы области взаимодействия с глубиной погружения оболочки, вытекающее из условия пересечения недеформированных поверхностей оболочки и полупространства

Ь (т)_^ ис (2 - ис). (8)

Начальные условия

ис |т_0 _ 0, ис |т_0 _ ^ и0 |т_0 _ 0, ^0 |т_0 _ 0 и0 |т_0 _ ^ ^ 0, ^0 1т=0

Ж.1 . _ ^ C0S 0, ф|т=0 _ 0, ф| т_0 _ 0, У|т_0 _ 0, т_0 _ 0.

(9)

Граничные условия

^и _УР (IН*Ь(т)), _ 0 (Iт| >Ь(т)),

^г»|2=0 _ 0 (т е (-да,да)), ^ _ ^0 cos0 « ^0 \т\ < Ь(т).

(10)

Условия на бесконечности, заключающиеся в отсутствии возмущений в бесконечно удаленной точке полупространства

ф_ од, од, т ^ да. (11)

Функция влияния для оболочки

Для приведения постановки задачи к системе разрешающих уравнений используются функции влияния для полупространства и сферической оболочки. Нестационарная поверхностная функция влияния для полупространства найдена и исследована в [4, 6]. Поставим задачу об определении функции влияния для сферической оболочки.

Функции влияния сферической оболочки представляют собой перемещения и угол поворота сечения при воздействии сосредоточенного мгновенного давления

p = 8(т)8(е-£).

(12)

где 8( т), 8(е - £,) - дельта-функции Дирака.

Сведем начальные условия (9) к однородным. Представим тангенциальные и нормальные перемещения оболочки так

u0 = u0 - V0г sin е, w0 = w0 + V01 cos е

(13)

При этом новые функции и0 и Ж0 удовлетворяют однородным начальным условиям. Подстановка (13) в (4) - (6) не изменяет последние и приводит к системе уравнений относительно неизвестных и0, Ж0, —, которые с учетом (12) и являются

функциями влияния для оболочки. Для них введем специальные обозначения:

СО1(0, ^ т) = ^ ^02 ^ т) = Ж0, С03 (0, ^ т) = — .

(14)

Граничные условия в задаче об определении функций влияния состоят в требовании ограниченности решения в полюсах оболочки е = 0 и 0 = л .

Для решения поставленной задачи используем разложения функций О01, О02,

G03 и 8(е-£) в ряды по полиномам Лежандра Pn(cosе) и их производным:

G (е, г)' G03 (е, г)

I

n=1

G01n (г,^ dPn (cosе)

G03n (г, S)J d е ,

G02 (е, г) , 8(е-^) ,

=1

n=0

G02n (г, S) . §nф ,

Pn (cos е),

где Sn(£) = ^|8(е - (cosе)т еdе = ^Pn (cos^)sin ^

Подставляя (15) с учетом (14) в (6), (5), а затем в (3), используя соотношения

для полиномов Лежандра [7]

d2 Pn (cos 9) d 92

' ctg9 dP (cos 9) + n(n +1) Pn (cos 9)" ^ d 9

и учитывая малость параметра а по сравнению с единицей (а << 1) получаем систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложений, зависящих от времени т и угловой координаты :

У

^^ = ЬПпО0Ы (т, S) + AAn (т, S) + LUnG03n (т, S),

У2 ^G02n(T,S) т G (т?) + Т G (т?) + Т G (т?)+5(т)§п(S)

У -02^-= L21nG01n (T,S) + L22nG02n (T,S) + L23nG03n (T,S) + "

ат2

У2 а^аф^) = L31nG01n (т,S) + L32nG02n (т,S) + L^ (т,S). ат

Л

(16)

Здесь

L = (L.)

n V / /3x3

d - £ - m c + £ £ m(b + c) -2c - mb -mb b/a - b/a - b/a

ч -

d = 1 - a0, b = P0к, c = 1 + a0, m = n(n +1).

В пространстве преобразований Лапласа уравнения (16) с учетом нулевых начальных условий запишутся следующим образом (значок " Ь" означает трансформанту):

у2s 2G01n (s, S) = LUmG0;ln (s, S) + A2mG02 n (s, S) + h^L (s, S), У2s2G02n (s, S) = L21mGL1n (s, S) + L22mG0L2n (s, S) + L23mGQL3n (s, S) + Сn (S), У 2s2GL3n (s, S) = L31mGL1n (s, S) + L32mGL2n (s, S) + L33mGh,n (s, S),

С Pn (cos S)sin(S) (2n +1) где С n (S) = ——-——— ---, s - параметр преобразования.

h

2

Отметим, что для решения исходной задачи достаточно определить только

одну функцию влияния - 0(

02

Решая систему уравнений (17), находим изображение коэффициентов разложения функции влияния ^^ п (т, £,):

^ (*, *) = С „ (О

К( 52, т)

-.1,„Л-I

р(s, т) = 2 Р(^ m), Рк (^ т) = 2 щ ^ т

к=0 I=0

3 к

к( ^ т) = 2 кк(^ m), кк(^ т) = 2 ач ,к-/тк -=

к=0

/=0

(18)

А = (а,) =

V У >3x3

ьа -ь о

у2(аа - аЬ - Ь) -у2а 0 -у4а 0 0

А* = (а*,) =

V У > 4x4

-2у2

2Ьсй с(Ь - аа + аЬ) -

Ьс(с - 2)

0 0

у 2(а(с(-2 + 2Ь + с) + Ьа) - Ь) у 2аЬ 0

-у4(а(Ь - а + 2с) + Ь) -ау6

-ау4(Ь +1) 0

0 0 0

Поскольку изображение G02п представляет собой правильную рациональную дробь относительно параметра 5, то соответствующий оригинал при каждом п определяем аналитически с помощью второй теоремы разложения для преобразования Лапласа [8]

^2п (т,£) = 2 ге<2п (^Кт, Я(гпк ,п) = 0, 2пк =

пк'

(19)

Подставляя найденные коэффициенты G02 п (т, £) в соответствующее

разложение (15), получаем функцию влияния для оболочки G02 (е, т) в виде ряда.

пк

к

Система разрешающих уравнений

При исследовании контактного взаимодействия оболочки и полупространства на произвольном этапе основное уравнение системы разрешающих уравнений вытекает из последнего граничного условия в (10), которое при учете (13) преобразуется к виду

w1 = W0 + У0т cos 9, |r| < b (т). (20)

Нормальные перемещения оболочки и полупространства связаны с контактным давлением интегральными соотношениями, базирующимися на принципе суперпозиции [5, 9, 10, 11]:

w0 = J0 (9т), w1 = J0 (9,т),

т b(t)

J0(9,т) = jdt j G02(9,S,т-1)p(S,t)dS,

0 0

т *)_ (21)

^(9, т) = У| dt j Л(9, S, т-1)p(S, t)dS,

0 0

____2 л __

Л(9, S, т) = ^Л(9, S, т), Л(9, S, т) = j G1W92 + S2 - 29S cos a, т^а.

0

В (21) принято допущение о малых относительных размерах пятна контакта (r «9).

Из (20) и (21) вытекает основное разрешающее уравнение

J1(9, т,Ь(т)) - J0(9, т, Ь(т)) = ¥0т cos 9. (22)

До замкнутой системы разрешающих уравнений оно дополняется кинематическим соотношением (8) и уравнением движения оболочки как абсолютно твердого тела, записанным в интегральной форме

U = ^т + — Jc (т), (23)

m0

г2 т у

^с (т) = Ру + 4/Р(^т)(т - *)яп(2£),

0 0

а также начальными условиями

ис (0) = 0, Ь(0) = 0.

Ядро Л(0, т) интегрального оператора ^(е, т, у) в (21), найдено в явном виде

в работе [4]:

л(0, т) = 2 [л , (е, т) + л (е, т) н (е + $- ск т)] т-ц,| е-$|) (25)

,=1

а.

л , (е, т) = ^

ц

1 -л2сК Л^ (е, т) е^ 0),

п 4

ж2к т

(е = $, е^ 0),

тц/1 -ц2сК(е2 + ^2 - сКт2)-% (е$ = 0),

л ^ (е, т) = -

$ с1 т2 - (е-^)2

1п сК т2 - (е-^

л , (е, т) = —4 пц

, 2(е, т) + а^ 1 -ц2сК 8, (е, т) н (т)

8,(е,т)=

Л у1(0, т) + -1 + ^1п| щ\ + ^1п(4е^) т 4 4

0

(е$ * 0), (е$ = 0).

Л д(0, т) = 4(е^Х2 л ж т), а1

(2-ц2 сК)), а2 = 4-1 - сК

Р2 (сК,1) 2" Р2 (сК,1) Р2(х, т) = X2 - 2а2тх + Р2т2, а2 = 4/ц2 - 4/2, р2 = 16(ц2 - 1)/(ц8сК).

1

Здесь ся - скорость волны Рэлея, г = 1, г2 = г, Л, (0, 4, т) - сингулярные

составляющие ядра Л, Л,г (0, 4, т) - регулярные составляющие, которые являются

непрерывными функциями, Н (х) - функция Хевисайда.

Функция Л,2 не имеет особенностей и при 04ф 0 определяется так:

Л, 2(0,4, т) = Н (п„) [ Н (-п,) Ь, 2(-1) + Н (п,) Ь 2(7,,);

Ь 2( У ) = 1

1 хД^, т2) лЯ-

Лг, Я = 02 + 52 -204, п

404

(0 + 4)

2 т2

02 + 42 -т2

204

п,1 =1 - п,

404

(е-4)2

',1

-, тУ=т/гг

(26)

А при 04 = 0 имеем

Л ,2(0,4, т) = лх,(02 + 42, т2) Н (т - г/Л/02 + 42).

(27)

В формуле (26) интегралы Ь,2 сводятся к гиперэллиптическим интегралам и

вычисляются с помощью квадратурных формул, учитывающих особенность подынтегральной функции в точках г = ±1.

Функция Л д при 04 ф 0 имеет следующий вид:

Л,1(0,4, т) = —^Т Н (пп) Н (т) [ Н (-^„(0,4, т)+ Н (щ) Л л2(0,4, т) ], (28)

4(04)/2 ь

Л ,11(0,4, т) = -

т1>/т

Н(п,)Е

1

ф,- -

V т у

+ Н (-п,) Е

г ^

V т у

Л,12(0,4, т) = -т

О (т) - Н (п,)

1 п,п „ О (0,,, т) + -

т\ т - п.

}

О (т) = К (т) - — Е (т), О (0,, т) = ^ (0,, т) - — Е (0,, т),

У' 7 у 1'

т1 т1

1

т = + 5)2 " ]' m. =1" m = т2 " (9 " ]•

n, . mn

sin 0. = J^-, sin ф, =-—.

V m V m - n ,

Здесь K (m), F (ф, m)- полные и неполный эллиптические интегралы первого рода, E(m), E(ф, m)- полные и неполный эллиптические интегралы второго рода, m -параметр, ф - амплитуда.

Из (25) видно, что особенности ядра Л(0,5, т) сосредоточены на прямых Cr (т-t) = |0-5.

Алгоритм решения задачи

Для решения системы (22), (23) и (8) с начальными условиями (24) используется численно-аналитический алгоритм, основанный на методе квадратур. С учетом гиперболического типа уравнений движения оболочки и полупространства используется явная схема интегрирования.

На пространственно-временную область R2 наносится сетка с постоянным шагом 8t по времени t и 85 по координате 5 (Рис. 2):

ti = l8t, Т = tm = m8t, 5j = J85, 0 = 5n = П85 , 8t <R8,

Rt5 = y y K, KJ = ftt ,5)|ti-i ^t * t, 5*5* 5+i}. (29)

Искомым функциям b(t), uc (t), p(t, 5) ставятся в соответствие сеточные функции b, uci, p,j:

b = b(ti), uci =uc(ti), p, = p(ti,5j). (30)

При этом граница области контакта b(t) заменяется кусочно-постоянной ломаной.

г, -1 г, +ск(г -

^ *=п К \ т /г „ /

^ ^п V т

Рис. 2.

С учетом носителей область интегрирования в операторе ^(е, т) ограничена

кривой ^ = Ь(г) и прямыми ^ = +ск (гт -г) , £ = £ п + гт - г , £ = £п -(*т -*) ,

которые также приближенно заменяются кусочно-постоянными ломаными.

& искретный аналог разрешающей системы (22), (23), (8) состоит из следующих уравнений:

и.

т

к +п2 2ра

,=1 ,=0

+ ^0т5г,

(31)

а, = //(*т - г)вт(2^аг, к, = [V5,]

К,

Ь = л и (2 - и )

т V ст \ ст/

-1 к,

22 р ,,

,=1 ,=0

// уЛ(п5,,,, т5г - г)а- соб(п5)// G02(n5,,,, т5г - г

К,

К,

+

+ Рт

// уЛ(п5,,,, т5г - г- соб(п5, ) // G02(n5,,,, т5г - г

Кт

Кт

(33)

= к0т5г соб2(п5, ).

Здесь 5,] означает целую часть выражения Ьг/5,.

Начальные условия для данной системы имеют вид:

ис 0 = 0 Ь0 = 0.

(34)

На каждом временном шаге с номером т из формулы (31) определяется значение глубины проникания оболочки в полупространство ист. Подставляя ист в (32), находим радиус области контакта Ьт .

После этого определяется решение ртп уравнения (34)

Рт

т-1 к,

Кт5г С^2 (п5, ) - 22 Р,, у11, - С0Э(п5, )/о, ]

,=1 ,=0

у/1тп - С0§(п5,)1отп

I,, = // Л(п5,,,, т5г - г, /о, = // Go2 (п5,,,, т5( - г,

К,

К,,

/1тп = // Л(п5, , ^ т5г - г,аг, 10тп = // ^2(п5,, ^ т5г - г¥№.

Кт

Кт

(35)

Здесь К, - элементарные прямоугольники (29), а Ктп - область, ограниченная

прямыми , = ,п +гт -г, , = ,п - (гт - г) и г = гт-1 (Рис. 2).

Интегралы /0,, /0тп вычисляются аналитически.

Для вычисления интеграла /1тп сделаем замену переменных

z = t - (m - 1)Sf

и с учетом носителя ядра получим:

5t n5>=+(5t-z)

JJ Л(п5£, m5t -1)d£dt = J dz J £Л(п5£, 5t - z)d£

Kmn 0 n5£-( 5t-z)

wt ^ _ wt _

J dzJ^(n5,, 5t - z) Jo(0)d£ = J ЛH0(n5,, q, 5t - z)

dz.

0 0

q=0

Здесь Л(п5£ , 5t - z) =J G1(J (n5£) +£2 - 2n5££ cos a, 5t - z)d a, J0(.)- функция

Бесселя первого порядка, значок Н0 указывает на преобразование Ханкеля по переменной 4, Ц - параметр этого преобразования.

Применяя к (36) преобразование Лапласа по 5Г, получаем:

JJ Л(п5£ , m5t -1)d£dt

Km

1ЛH 0L (n5,, q, s)

q=0

(37)

Используя связь преобразования Фурье по двум переменным с преобразованием Ханкеля [4], имеем:

ЛH0L (n5,, q, s) = GFL (A, p2, s)

' q=0

= -1

Pi = P2 =0 S

(38)

Здесь значком ^ обозначено преобразование Фурье по двум переменным, р„ р2-параметры преобразования Фурье, О (х1, х2, т)- функция влияния пространственной задачи, выражение изображения ОЕЬ (р1, р2, я) которой получено в работе [4].

Подставляя (38) в (37) и выполняя обратное преобразование Лапласа, находим значение искомого интеграла:

JJ Л(n5£, m5t -1)d£dt = -5t

(40)

Km

0

Теперь рассмотрим интеграл /1г/. Он представляет собой сумму регулярных и

сингулярных интегралов. Первые вычисляются с помощью квадратурных формул

Гаусса [12]. Значения входящих в них полных эллиптических интегралов первого и второго рода вычисляются с применением аппроксимации многочленами [13]:

К (т) = [ |е(т)| < 2 -10"8,

а0 + а1т1 +... + а4т

4 ] + [^0 + Ь1т1 +...+ Ь4 т4 ] 1п(1/ т1) + е(т),

а0 = 1.38629436112, а1 = 0.09666344259, а2 = 0.03590092383, а3 = 0.03742563713, а4 = 0.01451196212, Ь0 = 0.5, Ь1 = 0.12498593597, Ь2 = 0.06880248576, Ь3 = 0.03328355346, Ь4 = 0.00441787012;

Е (т) = [1 + а1т1 +... + а4т14 ] + [Ь1т1 +... + Ь4т14 ] 1П(1/ т1) + е(т), |е(т)\ < 2 • 10-8,

а1 = 0.44325141463, а2 = 0.06260601220, а3 = 0.04757383546, а4 = 0.01736506451, Ь1 = 0.24998368310, Ь2 = 0.09200180037, Ь3 = 0.04069697526, Ь4 = 0.00526449639,

где т = 1 - т

Неполные эллиптические интегралы первого и второго рода вычисляются с помощью метода Симпсона [12] (8эл. , п - шаг в эллиптическом интеграле и число разбиений соответственно):

/ ^

1-1 Л

У0 + Уп + 4Х У21 -1 + 2Е У21

'=1 '=1 У

/

^ (8, т)), где у (а) =

ч/Т

т т а

Е (8, т), где у(а) = л/1 - т б1и2 а

8эл. = 2П, У0 = У^ Уп = У(8), У21 -1 = У [(2 - 1)8эл. У 21 = У(28 эл.).

Для получения конечных значений сингулярных интегралов применяется метод весовых коэффициентов, которые определяются аналитически с использованием канонической регуляризации [5, 14].

Примеры расчетов Пример 1. В качестве первого примера рассмотрим задачу о взаимодействии оболочки и полупространства, выполненных из стали со следующими размерными параметрами: р0 = р1 = 7850 кг/м3, =Х1 = 1.15-1011 Па, =ц1 = 7.69-1010 Па, у0 =у1 = 0.3. Размерная начальная скорость оболочки У0 = 100 м/с, радиус Я = 1 м, толщина к = 0.05 м. Соответствующие безразмерные параметры: У0 = 0.017,

= 1.87, а = 2-10"3, у = у = 1, а 0 = а1 = 0.4286, р0 =р1 =0.2857, т0 = 0.5974.

На рис. 3 представлено распределение контактного давления по координате г в различные моменты времени. Видно, что с течением времени давление понижается в окрестности лобовой точки и возрастает при приближении к границе области контакта.

// /// т =0.56 //■»* / Г

I !!\Ч 1 ! г = 041 /

I

-0.2

0.1

0.2

А\ Ч \ \ II ч л 1 \ Т=2 \ / ( / 1 ч / / V 1 / * 1 / Ч 1 / 1 /

| х=1.15 ( /ИЛ ' А / V 1 1 V 1 / 1/ V

Рис. 3. Распределение контактного давления (пример 1).

Кривые на рис. 4 показывают распределения нормальных перемещений границы полупространства по координате г в различные моменты времени.

На рис. 5 изображены зависимости контактного давления и нормальных перемещений лобовой точки оболочки от времени. Видно, что с течением времени и давление и перемещение сначала резко возрастают, а затем начинают уменьшаться. Причем с течением времени отчетливо проявляется волновой характер этих величин.

Рис. 4. Распределение нормальных перемещений (пример 1).

Рис. 5. Зависимость контактного давления и нормальных перемещений от времени

(пример 1).

Пример 2. В втором примере рассмотрим задачу о взаимодействии оболочки из стали и полупространства заполненного алюминием. Размерные параметры материалов: р0 = 7850 кг/м3, р1 = 2770 кг/м3 Х0 = 1.15 • 1011 Па, Х1 = 5.18-1010 Па,

= 7.69 •Ю10 Па, = 2.67 •Ю10 Па, V 0 = 0.3, v1 = 0.33. Соответствующие безразмерные параметры: = 1.98, у = 1.052, у = 2.56 а1 = 0.4925, Р1 = 0.2537, т0 = 1.693 . Остальные параметры те же что и в примере 1.

Рисунки 6 и 7 иллюстрируют распределение контактных напряжений и нормальных перемещений соответственно по координате г. Из анализа представленных графиков видно качественное соответствие результатов примеров 1 и 2.

На рис. 8 показаны зависимости от времени контактного давления и перемещений в лобовой точке.

Рис. 6. Распределение контактного давления (пример 2).

0.1

0.2

№-10=

/ 1 * / * / У / / / / / * # *

I г / / т=026 / 1 V Л ?\ 1 т=С.5б \ 1=041

/ //

к 1С?

-/ С 1=1.15 / ^ \ \/\ \ // * т=2.9 ' 1 ь /

к ~ II 1=2 41 / **

Рис. 7. Распределение нормальных перемещений (пример 2).

р-1<У

ир-103

Рис. 8. Зависимость контактного давления и нормальных перемещений от времени

(пример 2).

Пример 3. Здесь рассмотрим задачу о взаимодействии оболочки из стали и полупространства заполненного медью. Размерные параметры материалов:

р0 = 7850 кг/м3, р1 = 8300 кг/м3 = 1.15-1011 Па, ^ = 8.72-1010 Па, = 7.69 • 1010 Па, = 4.1 -1010 Па, у0 = 0.3, у1 = 0.34. Соответствующие безразмерные параметры: ц2 = 2.03, у = 0.77, у = 2.56 а1 = 0.515, р1 = 0.242, т0 = 0.565. Остальные параметры совпадают с аналогичными данными в примерах 1 и 2.

На рис. 9-11 представлены соответственно распределения контактного давления и нормальных перемещений по координате г, а также зависимость контактного давления и нормальных перемещений от времени в лобовой точке.

Наблюдается качественное соответствие результатов этого примера результатам представленным выше.

0.1 0.2

Рис. 9. Распределение контактного давления (пример 3).

0.1 0.2 г

т=о:2й / 1 \ / / 7 1 / /; ~ / / / У / /' 'Л • т = 0.56

/ г \ 1=0.41

1 г

1 1 ' -="5 //Д /// У// // /

/1 ' '//; 1=2

у,

Рис. 10. Распределение нормальных перемещений (пример 3).

НГ

Рис. 11. Зависимость контактного давления и нормальных перемещений от времени

(пример 3). Заключение

В работе предложена методика и приведен алгоритм решения новой нестационарной контактной задачи с подвижными границами области

взаимодействия для тонкой упругой сферической оболочки и упругого полупространства. Построена нестационарная функция влияния для сферической оболочки. С применением принципа суперпозиции задача сведена к системе разрешающих уравнений. Предложенный алгоритм решения реализован на ЭВМ. Приведены примеры расчетов и проанализированы результаты. Разработанные методы и полученные результаты могут быть использованы в практических расчетах нестационарных задач для спускаемых космических аппаратов и зондов при жесткой посадке и взаимодействии с твердым грунтом.

Работа выполнена при поддержке РНФ в рамках конкурса «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными группами», номер проекта 14-49-00091.

Библиографический список

1. Gorshkov A.G., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Plane problem of a vertical cylindrical shell hit on elastic half-space. Mechanics of Solids. 2000. no. 5. pp. 151158.

2. Mikhailova E.Yu., Fedotenkov G.V. Nonstationary Axisymmetric Problem of the Impact of a Spherical Shell on an Elastic Half-Space (Initial Stage of Interaction). Mechanics of Solids. 2011. vol. 46. no. 2. pp. 239-247.

3. Кубенко В.Д., Богданов В.Р. Осесимметричная задача удара оболочки об упругое полупространство // Прикладная механика, 1995. Т. 31. №10. С. 56-63.

4. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. - М.: Физматлит, 1995. - 352 с.

5. Кубенко В. Д., Федотенков Г.В., Михайлова Е.Ю. Решение осесимметричной нестационарной контактной задачи для тонкой сферической оболочки и упругого полупространства. Материалы ХУШ Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова. Москва, Россия, 2012. том 2. С. 130-136.

6. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 472 с.

7. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. - М.: Наука, 1990. - 264 с.

8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. - 749 с.

9. Suvorov Ye.M., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. The plane problem of the impact of a rigid body on a half-space modelled by a Cosserat medium. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012.vol. 76. no. 5. pp. 511-518.

10. Kuznetsova E.L., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Propagation of unsteady waves in an elastic layer. Mechanics of Solids. 2011. vol. 46. no. 5. pp. 779-787.

11. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В., Медведский А.Л. Воздействие нестационарной распределенной нагрузки на поверхность упругого слоя // Электронный журнал «Труды МАИ», 2013, выпуск № 71:

http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=46621 (дата публикации 26.12.2013).

12. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). - М.: Наука, 1975. - 632 с.

13. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. / Под ред. Абрамовица М., Стиган И. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

14. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып. 1: Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматгиз, 1959. - 470 с.