НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ "ПОЛУПРОСТРАНСТВО-МЕМБРАНА" Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. 2022. № 123 Trudy MAI, 2022, no. 123

Научная статья УДК 539.3

DOI: 10.34759/trd-2022-123-05

НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ «ПОЛУПРОСТРАНСТВО-МЕМБРАНА»

Елена Юрьевна Михайлова1®, Григорий Валерьевич, Федотенков2

1,2Московский авиационный институт (национальный исследовательский

университет),

Москва, Россия

2НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, Москва, Россия ^^ 16@yandex.ru® 2greghome@mail.ru

Аннотация. Исследуется напряженно-деформированное состояние системы «полупространство-мембрана» под действием нестационарной нагрузки. Разрешающее уравнение, базирующееся на принципе суперпозиции, вытекает из условий свободного проскальзывания между мембраной и упругим полупространством. Для решения задачи используется численно-аналитический алгоритм, основанный на методе квадратур. Найдены контактные напряжения, возникающие между мембраной и полупространством, а также нормальные перемещения поверхности системы в зависимости от времени и координаты. Проведен параметрический анализ результатов решения.

Результаты решения могут найти применение в различных отраслях промышленности, где используются покрытия для защиты поверхностей от нестационарных механических воздействий.

Ключевые слова: нестационарные контактные задачи, упругое полупространство, мембрана, нестационарная нагрузка, сингулярные интегралы, принцип суперпозиции, функция влияния, интегральные преобразования Финансирование: работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ, проекты 20-08-01099А и 19-08-00438A

Для цитирования. Михайлова Е.Ю., Федотенков Г.В. Нестационарное деформирование системы «полупространство-мембрана» // Труды МАИ. 2022. № 123. DOI: 10.34759/trd-2022-123-05

TRANSIENT DEFORMATION OF THE HALF-SPACE-MEMBRANE

SYSTEM

Elena Yu. Mikhaylova1e, Grigory V. Fedotenkov2

1,2Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, Russia

2Institute of Mechanics Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia 1mihe 16@yandex.rue 2greghome@mail.ru

Abstract. The stress-strain state of a half-space (base) with a membrane-type coating under the action of normal transient pressure is investigated. The half-space is filled with a

homogeneous isotropic elastic medium. It is assumed that the problem is flat, that is, all the sought and given functions depend only on two spatial coordinates, and time.

The mathematical model of the problem includes the equations of motion of the halfspace and the membrane, relations connecting the potentials of elastic displacements with displacements, components of the stress tensor with displacements in the half-space, initial conditions; conditions at infinity, which consist in the absence of perturbations at an infinitely distant point. The formulation of the problem is closed by the boundary conditions describing the case of free slippage between the base and the covering. All equations and relations are written in a rectangular Cartesian coordinate system.

The resolving equation follows from the boundary conditions between the half-space and the membrane, which are characterized by the equality of normal displacements on the base surface and deflections of the coating. In this case, the displacements and deflections are the convolution of the transient functions for the half-space and the membrane with the contact normal stress, respectively. The transient functions represent the normal displacements of the base boundary and the deflections of the coating and are solutions of the corresponding initial boundary value problems for the half-space and the membrane under uniform initial conditions and when the normal force action is set at the boundary in the form of the Dirac delta function.

As a solution to this problem, a numerical-analytical algorithm based on the quadrature method is proposed, with the help of which the integrals are replaced by their discrete analogs. In this case, the coefficients of the quadrature formulas for integrals of a continuous function are calculated using the Gauss method; for singular integrals, canonical regularization is used, where the coefficients of the quadrature formulas can be determined

exactly. The coefficients for integrals of functions with an integrable singularity are calculated analytically using the Laplace transform.

As a result of solving the problem, graphs of the dependence of the functions of contact stresses and membrane deflections on time and coordinates were obtained. A parametric analysis of the stress-strain state of the "half-space-membrane" system for different types of coating and base materials is carried out.

Keywords: transient contact problems, elastic half-space, membrane; transient load, singular integrals, superposition principle, transient function, integral transformations Funding: this work was supported by a grant from the Russian Foundation for Basic Research, projects 20-08-01099A and 19-08-00438A

For citation: Mikhailova E.Yu., Fedotenkov G.V. Transient deformation of the half-space-membrane system. Trudy MAI, 2022, no. 123. DOI: 10.34759/trd-2022-123-05

1. Постановка задачи

Рассматривается воздействие нестационарной нагрузки p( x, т) на полупространство (основание) с покрытием типа мембраны (Рис. 1). Полагаем, что задача является плоской: все искомые и заданные функции зависят только от двух пространственных координат x, z и времени t.

Рис. 1. Система «полупространство-мембрана» Считаем, что полупространство заполнено однородной изотропной линейно упругой средой, тогда уравнения движения в потенциалах упругих смещений ф и у имеют вид [1-5, 21]

2 ж д2ф 2 ж д2у л д2 д2 2 X + 2и 2 Д С2Аф = —^, е2Ау = —^, А = —т + —т, с2 =--, С =

д^ 2 ' дг2' дх2 ' дг2' 1 рр р^

(1)

Здесь с, С - скорости волн растяжения-сжатия и сдвига, X, д - параметры Ламе, р - плотность основания, г - время.

Компоненты вектора перемещений щ (в направлении оси Ох) и и3 (в направлении оси Ог) определяются так [1-3]

дф ду дф ду

щ = —1----, щ = —— +—-, и2 = 0.

дх дг дг дх

(2)

Из соотношений Коши для компонент тензора деформаций и вектора перемещений и закона Гука [2, 3] вытекают выражения, связывающие физические компоненты тензора напряжений с перемещениями

а11 = х

г дих ди

+ ■ дх дz

+ 2ц

ди дх

Ооо = X

г ди ди

'33

а13 = Ц

ди ди —1 + —3

дz дх

а 22 = X

^ дх дz г ди диъ

+ 2ц

ди

+ ■

дх дz

Под мембраной, используемой в качестве покрытия, понимается упругая свободно изгибающаяся пленка. Будучи выведенной из состояния покоя она приходит в движение, при котором все ее точки совершают поперечные перемещения у(х, t), в направлении оси 2, зависящие от времени t и координаты х.

Уравнение колебаний мембраны с учетом влияния на нее полупространства имеет вид [5-7]

д 2 у=а2 аззо

д*2 дх2 р. р„

а =

М

р „

', аззо = азз \2=0 ,

(4)

где а - скорость распространения волн в мембране, Т - натяжение, приложенное к контуру единичной длины, рт - поверхностная плотность покрытия.

Так как контакт между покрытием и основанием происходит в условиях свободного проскальзывания, то граничные условия записываются так [1]

V = и.

2=о' "13 ^=0

= 0.

(5)

Полагаем, что упругие потенциалы являются ограниченными в бесконечно удаленной точке

Ф = 0(1), у = 0(1), г

(6)

Замыкают постановку задачи начальные условия (в начальный момент времени мембрана и полупространство находятся в невозмущенном состоянии)

/=0 ■ ч=и ■ |/=и ■ |/=и

1/=и Ц=и

(7)

Здесь точкой обозначена производная функции по времени.

Для решения задачи все переменные и параметры приводятся к безразмерному виду (штрих соответствует безразмерным величинам)

X , _С/ _Щ , _ V , _ ф

ь' 7 " ь' х_ ь ' и= ь' ™= ь' v " ь' ф " 1}

V' = т2' Ъ = ?!' Р = ^' У- = С2(т - ), Л = ^ (8)

ь 1 Х + 2ц С1Р - с- С2

! а X ) ^зззо ь рр f С

а , к , азз0 , (X , с ^ ,

с1 X + 2ц X + 2ц р т с

где ь - характерный линейный размер, с^ - скорость волны Релея, т - безразмерное

время.

Подставляя формулы (8) в (1-7) и опуская далее штрихи в обозначении безразмерных величин, получаем уравнения движения полупространства и мембраны в безразмерной форме

Аф = тГ . (9)

д2V 2 д2V * * /1АЧ

— = а — + р + аззо, ^ззо = ааззо, (10)

формулы для перемещений и напряжений

дф дш дф дш ^ = ^1 + ^., и = ; (11)

д2 дх дх д2

ди дw дw ди

ап = — + к—, Ъъъ = — + к — дх д2 д2 дх

Ъ 22 =к

ди дw ^ 2 ди дw

— + — , Л а1з = — + —•

дх д7 ) д7 дх

(12)

а также граничные и начальные условия

°1зЬ = 0 * = Я п, (13)

Ф = 0(1), у = 0(1), г ^ (14)

ф| 0= Ф ' (15)

1т—и ■ IX—и ■ IX—и ■ IX—и IX—и 1Х=и

2. Разрешающее уравнение

При исследовании воздействия нестационарной нагрузки р( х, т) на полупространство с покрытием типа мембраны разрешающее уравнение вытекает из последнего граничного условия в группе (13). При этом нормальные перемещения поверхности полупространства и прогиб мембраны связаны с напряжениями о330 и давлением р (х, т) следующими интегральными соотношениями [1, 8-11]

4=0 = 0Р * ^ ^ = * (Р + а * ^330 ), (16)

где Ор, От - функции влияния для основания и покрытия соответственно [1, 2, 4, 5], символ «*» означает операцию свертки по времени и координате. Полагаем, что нагрузка р(х, т) распределена по отрезку хр, хр ] оси Ох, тогда можно записать

Р(х, т) = Р ( ) (хр -), (17)

где Н (х) - функция Хэвисайда.

Таким образом, разрешающее интегральное уравнение с учетом (13), (16) запишется так

*^зо = ^ *(Р + а*аззо)• (18)

Функции влияния Ор, От представляют собой нормальные перемещения

границы полупространства и прогибы мембраны и являются решениями соответствующих начально-краевых задач для полупространства и мембраны при

однородных начальных условиях и задании на границе нормального силового воздействия в виде 8(т)8(х), где 8(1 - дельта-функция Дирака. Функция От с учетом (8) [12, 14] имеет вид

О (*Т )= 2^Н

( \

х

т - —

V а У

(19)

Функция О есть решение плоской задачи Лэмба [1, 2, 8, 9, 13] , она имеет вид

2

Ор ( х, т ) = Х Ор)( х,т ) Н ( т-Ук|х|)

(20)

к=1

где

п2 (у2 х2 - 2т2)

р = пр (х2 ,т2)

п^ (х2 ,т2)

р ПР

, ор2) = ор3 - о« =

4п2т2(т2 -у2х2)

V! 2 2 т - У 2х :

пр( х2 ,т2)

У^х7, Я (х,т) = (п2х - 2т)2 + 4т^/т - п2х^т - у?х, (21) = у62х3 - 8у4х2т + 8 (2 + к) у2хт2 - 8 (1 + к) т3,

р=т3 р^-кл

Р2($) = - 8^2 + 8(2 + к)£ - 8(1 + к). Многочлен р при всевозможных параметрах упругой среды (0 < к < 1) имеет один действительный корень ^ = с2/с2, а при 0 < к < к, к «0,357003, еще два действительных корня 3 е Я. Эти корни удовлетворяют неравенствам

0 < ^ < 1, ^ > п2, (22)

а безразмерная скорость волны Релея находится в диапазоне

0 < ск <

У 2

Тогда знаменатель функции О (х, т) можно представить в виде

^ х С^ Т 1(х

а2 = 4 - | = 2(1 - к) -1, Р2 = 16^ = 81 + К

п 2 2 пС«

Р (х, т) = у6 (х - сйт) р (х,т), р (х,т) = х2 - 2а2тх + в2т2

Дк) = 4(а4 - в2).

Здесь О(к) - дискриминант многочлена р (2,1), который удовлетворяет следующим условиям: Л(к*)=0, Л(к)>0 при 0 < к < к и при Л(к)<0 при к < к < 1. Функцию р (х, т) с учетом к < к < 1 можно разложить на множители

Рз( х, Т) =

( & Л V Ь2Т с & Л ^з т

х--2 х - о 2

1 У 2 V У 2 )

Но поскольку в силу (22) прямые т = ± у2х/лежат вне носителя Ор (х, т), то

для нее соответствующие особенности отсутствуют.

Таким образом, функция влияния для полупространства имеет степенную особенность порядка (-1) на фронтах волны Релея: т = ±сйх.

3. Алгоритм и метод решения задачи.

Представим уравнение (18) в виде

^р*с5330-а-От*с330=От*1" (25)

Запишем первое слагаемое в левой части уравнения (25) так

I(р) (х, т) = вр * аззо = Ц вр (х - - X) аззо (£ X) ЛО^

5 (х, Т) (26)

5(х,Т) = {(Х&)|Т-X > |х-}, где 5 (х, т) - характеристический конус (Рис.2).

Рис. 2. Аппроксимация области £ и сетка интегрирования Для численно-аналитического вычисления интеграла (26) нанесем сетку на

область Я2 с шагом 8

гг = ад = ,8, к, = {(г,£) | ^ < г < гг, , < $ < }. (27)

Поставим функциям одного, двух переменных их дискретные аналоги (выбор шага 28 по координате £ вызван спецификой квадратурных формул, которые будут рассмотрены ниже).

/,=(г), ©у=©( ), ф,=ф (, г). (28)

Интеграл (26) с учетом (27), (28) запишем так

I(Р) ( £ 2т , Хя ) = Ц Ор ( £ 2т - £, Хя - X ) Оззо ( £, X ) йХй^

5(£2„ л) (29)

5(£2т,Xn) = {(X,£) IX + 5(2т - я) < £ < -X + 5(2т + я)}. Аппроксимацию границы 5(£2т,^) представим в виде кусочно-постоянной ломанной. В качестве элементарных областей выберем квадраты к • Так как функция О (£ъгп - £, К - X) имеет интегрируемую особенность в вершине £=£2т, X = ^ характеристического конуса, то 5 (£2т, ^ ) заменяем на объединение многоугольника 5ти на участке 0 < X < и равнобедренного треугольника Атп

5 (£, , X )« 5 и А , (я, т=0,1,2,...),

\=2т' я/ тя тя> V ? ' ' ' 7'

5тя = и-1 Н1 , Н[к = , /1г = г + 2т - я -1, /2< = -г + 2т + n, (30)

г=1 11 ]=1

Атя = Нг,-00 П 5(£2т,^ ).

Здесь Н\к - полоса, ограниченная прямыми X = X = X и горизонтальными £ = к5, £ = /5 прямыми.

Ядро интеграла (29) c учетом (20), (21) представим в виде суммы регулярной Орг (х, т) и сингулярной О (х, т) составляющих, так как, как было показано в

параграфе 2, О (х, т ) имеет особенность (-1)

Ор (^ Т ) = Орг ( х,Т) + ОpS ( х,Т ) Н ( Т - |х|),

Орг ( X, Т ) = Орг1 ( х,Т ) Н ( Л|х - Т ) + Орг з ( х,Т ) Н ( Т - л| х|),

Оргк (х, т) = Орк (х,т)-Оps (х,т) (к = 1,3), (31)

( сй ,1)У1

г ( \ т К(Сй,1N1 - С1

ОpS(хТ)= * ^ , а-

2 _ 2 ' я

х с^ т

гсл4рз (С«,1)

Тогда дискретный аналог интеграла I(р) (29) имеет вид

I(р} «I(Р} = I(рг) +1(Р5) +1(Р0) (32)

яш я-1,т я-1,т ят ' V '

Здесь 1(п1р^т, -интегралы соответственно с ядрами О , О по области 8тп,

интеграл 1(р ^ с ядром О - по треугольнику Л

(р0)

с ядром О

Для вычисления 1[ ^ \, 1[ , используем метод весовых коэффициентов с учетом особенностей, соответствующих ядрам О , О , О , при этом

,2, ^ к1,2,+1 . Для интеграла ^ запишем

Я~1 1ц

рг) - Пп к / ^ /им^яУУ^рг)

4-11 = Ц Орг ($2т - $, ^ - г) а330 ($, г) d$dt - 8^ £ аЯ^Т.^т-,

£ят 1=1 - =11'

1 1 1

к, = [, / 2], аЯтг) = -//О,. (2т +1 - у,2и +1 - и) dudv.

(33)

2 -1 -1

Для нахождения коэффициентов а(рг) квадратурных формул используем отображение квадрата к на квадрат к [18]

к1, ^ к0 :

2г = (и + 21 -1)8, \и\ < 1; 2$ = (V + 2, -1) 8, V < 1.

Так как получить значения двойных интегралов по квадрату к , определяющих а(рг) (33), аналитически крайне сложно, то они вычисляются с любой заданной

точностью е с помощью метода Гаусса [19].

Используя каноническую регуляризацию [20], можно представить интегралы

т( ря)

1„-1ш в следующем виде

41 = ЯОр, (£2. - £,X, - X)СШ (£,X)М£ « ая^т-р,

5ят 1=1 7=/П

(р) а Г Г (2я +1 - и) dudv

а

а я.

ят 2 ^^ (2т +1 - V)2 - 4 (2я +1 - и)2 (34)

1

а / л\г+к+1 , 1 1 7

У (-1)г+к+1 ^ 1п\VJ

¿^ ( 1) V т+к,я+г 1П %

/-ч 2 / ' ' ' т+к ,я+г т+к ,я+г '

2СК г,7,к=0

<т = т +(-1)7 яС«•

Здесь коэффициенты квадратурных формул а^) определяются точно.

Дискретный аналог для интеграла по области Атп запишем так

1ят0) = ЦОр(£2т Xn -X)аззо(£,X)dxd£ « 5ая.0ЗЗО^^,

я5 -X+(2т+я )5

(35)

5аят0)= | dx | Ор (2т5 - £, я5- X) d£.

(я-1)5 X+( 2т-я)5

Делая замену переменных в последнем интеграле (35) £ = я5 - X, п = 2т5 - £, получаем

5 С 5 о

5аят0) = | dZ | Ор () dц = | dZ | Ор () dц =

о ч о (36)

= }Орр (0,£)dZ = О;(0,5)* Н(5),

0

где значок ; - трансформанта преобразования Фурье, Н (5) - функция Хевисайда. Применяя преобразование Лапласа по 5 [14], найдем 5а<р0)

~5аГ>]1 =1 О? (0,.V) = -±, 5аяр0» = -5, аЩ = -1. (37)

-1 V V

Таким образом, коэффициент квадратурных формул (35) вычисляется

аналитически.

Второе слагаемое аОт * а330 в левой части уравнения (25) запишем так

1(т)(х,т) = *а330 = а ||

где

- характеристический конус (Рис.3).

Рис. 3. Аппроксимация области и сетка интегрирования

Область интегрирования включает в себя многоугольник <1 на участке О <t<tn_l и треугольник . Шаг разбиения равен 5 по времени и координате

1 2 )

,-г-ц,» н1к - У'кч' = -п) + 2т~1> 4 =а{п- /) + 2т, (39)

/ ~тп ' тп'> V

I

Используя (27), (28) запишем интеграл (38) в виде

41 = Я Оя (£2а - и - 0а330

1 я~1 3

Та 52, к7 =[7 /2].

2а 1=1 7 =/*

Значение интеграла I определяется аналитически

а

ят 2 а J J " 2

(я-1)5 2 т5-а( я5-X)

= {(?,£) | я? + 5(2ш -ап)<£< -Ш + Ь(2т + ап)}. Интеграл (40) заменим его дискретным аналогом

1т * 1т = а( 1(т) + 1И)). (41)

ят \ я-1,т ят I V /

Здесь Ат), 1{'"] - интегралы по областям И и соответственно. Квадратурная формула для имеет вид

(42)

я5 2т5+а( n5-x) „2

(43)

(т0) = -1 | dx | d£ = 52

Правую часть равенства (25) можно вычислить точно

1 и5 2тя5+а(и5-/) ..... ^ | (44)

0 2m5-а(n5-x)

Таким образом, подставляя (43), (42) в (41), (33)-(36) в (32) с учетом (38), (26), (44) окончательно получим следующую квадратурную формулу для уравнения (25)

I +/ =~ =1{р) -а 1{т)

п—\,т пт ^ пт' п—1,т п—\,т п—\,т'

I = I(р )-а/(т) I =-а

ят ят ят ' ят зз0ят

§2 Я

а--+ о

Как следует из (45), контактные напряжения на границе полуплоскости определяются так

^n—1,m

330nm (2—1 а52 +5)'

(46)

Выражение для нахождения прогиба мембраны вытекает из второго равенства формулы (16) с учетом (41)-(44)

v =.

пт пт у n—l,m ran

1 + i») (4V)

4. Результаты расчетов

В качестве первого примера рассмотрим полупространство и систему «полупространство-мембрана», находящиеся под действием вертикальной нагрузки p = 5т cos (20x)H (0.04 — |x|). Материал полупространства и мембраны - сталь,

скорость распространения волн в мембране a = 0.4247, шаг разбиения 5 = 0.002.

На рис. 4, 5 показаны зависимости от координаты в различные моменты времени нормальных перемещений в полупространстве и системе «полупространство-мембрана» соответственно.

На рис. 6, 7 представлены зависимости нормальных перемещений в полупространстве и системе «полупространство-мембрана» от времени при заданных координатах.

-0.05

т^О

05

т^405

т=205

т^О —3 05

т^35 1^405

^165

—205

Рис.4. Зависимость от координаты

Рис. 5. Зависимость от координаты

нормальных перемещений в

нормальных перемещений в системе

полупространстве

«полупространство-мембрана»

0.016

w

0.0004

0.0003 ■

0.0002 ■

0.0001

......... 10 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

| I —I—■—I—■—I—|—I 1 I

0 001 002 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 Т

■ х=0 ' ■х=355

■х=10б ■х=405

■ х=205 -х=305

Рис.6. Зависимость нормальных

■ х=0

■х=355

■х=105■ х=405

■ х=205 -х=305

Рис.7. Зависимость нормальных

перемещений в полупространстве от

перемещений в системе

времени

полупространство-мембрана»

от времени .

Из рис. 4-7 видно, что в полупространстве нормальные перемещения растут значительно быстрее, чем в основании с покрытием при одном и том же нагружении.

Зависимость контактных напряжений в системе «полупространство-мембрана» от координаты и от времени представлена соответственно на рис. 8, 9.

уо.ою-

Рис. 8. Зависимость контактных

Рис. 9. Зависимость контактных

напряжений в системе

напряжений в системе

«полупространство-мембрана» от

«полупространство-мембрана» от

координаты

времени

Далее рассмотрено напряженно-деформированное состояние полупространства с покрытием при различных типах материалов основания и мембраны, имеющих

следующие характеристики: сталь (модуль Юнга Е = 2,1 • Ю11^-, коэффициент

Н

м

кг Н

Пуассона ц = 0,25, плотность р = 7800 —), олово (модуль Юнга Е = 0,54з • 1011 —.

мз м2 '

кг

коэффициент Пуассонац = 0,33, плотность р = 7300 —), медь (модуль Юнга

м

Н кг

Е = 1,3 • 1011 ——, коэффициент Пуассона ^ = 0,34, плотность р = 8900 —).

м2 м3

На рис. 10-12 представлены зависимость нормальных перемещений от координат в различные моменты времени. Зависимость нормальных перемещений от времени изображена на Рис. 13- 15. При этом материал полупространства - сталь, а мембраны - сталь, олово, медь соответственно.

0.05 0.10

X

■ т=0-т=35-1=165-1=205 - 1=305 - 1=405

№

}

к к к-

-0.10

-0.05

О

0.05 0.10

X

т^О т=3 0й

т=405

=165

т^205

Рис.10. Зависимость нормальных

Рис.11. Зависимость нормальных

перемещений от координат (материал перемещений от координат (материал полупространства - сталь, мембраны - полупространства - сталь, мембраны -

сталь)

олово)

х

-1=0 -Т=35 -1-166-^205

-1=305-1=405

Рис.12. Зависимость нормальных перемещений от координат (материал полупространства - сталь, мембраны -медь)

т

х=0 -х=10Б-х=205 -х=305

х=35Е-х=405

т

х=0 -х= 10Б-х=205-х=305-х=355

х=405

Рис.13. Зависимость нормальных

перемещений от времени (материал

полупространства - сталь, мембраны -

сталь)

т

х=0 -х=105-х=20Й -х=305

х=35й -х=405

Рис.14. Зависимость нормальных Рис.15. Зависимость нормальных

перемещений от времени (материал перемещений от времени (материал

полупространства - сталь, мембраны - полупространства - сталь, мембраны -

олово) медь)

На рис. 16-18 представлены графики зависимости контактных напряжений от координаты (материал полупространства - сталь, а мембраны - сталь, олово, медь соответственно).

т^О ' т=405

т^35- ^166-^205 -т^305

X

-0 30 0 % 0. ю

о 330

т=0 =305

=405

=165

1^205

Рис.16. Зависимость контактных

Рис.17. Зависимость контактных

напряжений от координаты (материал напряжений от координаты (материал полупространства - сталь, мембраны - полупространства - сталь, мембраны -

сталь)

олово)

-0 10 0 р. 0 10

^3 30 /

15 5 15 =165 =205 X

г—0 т^З 1— й 1. I.

Рис.18. Зависимость контактных напряжений от координаты (материал полупространства - сталь, мембраны - медь)

Таким образом, наибольшие значения перемещения достигнуты при мембране, изготовленной из олова, соответствующие наименьшие значения получены при мембране из стали. Аналогичные выводы можно сделать при рассмотрении значений контактных напряжений, наибольшие контактные напряжения возникают при мембране, изготовленной из олова, наименьшие при мембране из стали.

Заключение

Приведена постановка задачи о воздействии нестационарного давления на полупространство с покрытием типа мембраны. Получено разрешающее интегральное уравнение, разработан и реализован численно-аналитический метод его решения. Получены графики зависимостей прогибов мембраны и нормальных контактных напряжений от времени и координаты. Также проведен параметрический

анализ напряженно-деформированного состояния системы «полупространство-мембрана» при разных типах материалов покрытия и основания. Список источников

1. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. - М.: Наука. Физматлит, 1995. - 352 с.

2. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. - М.: Физматлит, 2004. - 472 с.

3. Амензаде Ю.А. Теория упругости. - М.: Высшая школа, 1976. - 272 с.

4. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. - М.: Наука, 1973. Т. 1. - 492 с.; Т. 2 - 568 с.

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 736 с.

6. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. - М.: Наука, 1974. - 432 с.

7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. - 512 с.

8. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. - Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.

9. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. - Л.: Судостроение, 1972. - 351 с.

10. Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. Нестационарный контакт сферической оболочки и упругого полупространства // Труды МАИ. 2014. № 78. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53499

11. Robinson A.R., Thompson J.C. Transient disturbances in a half-space during the first stage of frictionless indentation of a smooth rigid die of arbitrary shape // Quarterly of Applied Mathematics, 1975, vol. 33, no. 3. pp. 215-223. D01:10.1090/Q AM/99664

12. Mikhailova E., Tarlakovskii D., Fedotenkov G. Impact of Transient Pressure on a Half-Space with Membrane Type Coating // Structural Integrity. Springer Nature Switzerland AG, 2020, vol.16, pp. 312-315. DOI: 10.1007/978-3-030-47883-4_56

13. Mikhailova E., Tarlakovskii D., Fedotenkov G. The Unsteady Contact Interaction Problem of an Absolutely Rigid Body and a Membrane // Proceedings of the Second International Conference on Theoretical, Applied and Experimental Mechanics, Structural Integrity, Springer Nature Switzerland AG, 2019, pp. 289-293. D0I:10.1007/978-3-030-21894-2_53

14. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному вычислению. -М.: Высшая школа, 1965. - 487 с.

15. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.: Наука, 1987. - 600 с.

16. Delfim Soares. Dynamic analysis of elastoplastic models considering combined formulations of the time-domain boundary element method // Engineering Analysis With Boundary Elements, 2015, vol. 55, pp. 28-39. D0I:10.1016/j.enganabound.2014.11.014

17. Schanz M., Antes H. Application of 'Operational Quadrature Methods' in Time Domain Boundary Element Methods // Meccanica, 1997, vol. 32, pp. 179-186. D0I:10.1023/A:1004258205435

18. Schanz M., Ye W., Xiao J. Comparison of the convolution quadrature method and enhanced inverse FFT with application in elastodynamic boundary element method // Computational Mechanics, 2016, vol. 57, pp. 523-536. D01:10.1007/s00466-015-1237-z

19. Абрамовица М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. - М.: Наука, 1979. - 830 с.

20. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и оизведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

21. Чан Л.Т., Тарлаковский Д.В. Моментно упругая полуплоскость под действием поверхностных нестационарных нормальных перемещений // Труды МАИ. 2018. № 102. URL: http://trudymai.ru/published.php ?ID=99731

References

1. Gorshkov A.G., Tarlakovskii D.V. Dinamicheskie kontaktnye zadachi s podvizhnymi granitsami (Dynamic contact problems with moving boundaries), Moscow, Nauka. Fizmatlit, 1995, 352 p.

2. Gorshkov A.G., Medvedskii A.L., Rabinskii L.N., Tarlakovskii D.V. Volny v sploshnykh sredakh (Waves in continuous media), Moscow, Fizmatlit, 2004, 472 p.

3. Amenzade Yu.A. Teoriya uprugosti (Theory of elasticity), Moscow, Vysshaya shkola, 1976, 272 p.

4. Sedov L.I. Mekhanika sploshnoi sredy (Continuum mechanics), Moscow, Nauka, 1973, vol. 1. - 492 p.; vol. 2 - 568 p.

5. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya matematicheskoi fiziki (Equations of mathematical physics), Moscow, Nauka, 1977, 736 p.

6. Arsenin V.Ya. Metody matematicheskoi fiziki i spetsial'nye funktsii (Methods of mathematical physics and special functions), Moscow, Nauka, 1974, 432 p.

7. Vladimirov V.S. Uravneniya matematicheskoi fiziki (Equations of mathematical physics), Moscow, Nauka, 1981, 512 p.

8. Slepyan L.I., Yakovlev Yu.S. Integral'nye preobrazovaniya v nestatsionarnykh zadachakh mekhaniki (Integral transformations in non-stationary problems of mechanics.), Leningrad, Sudostroenie, 1980, 344 p.

9. Slepyan L.I. Nestatsionarnye uprugie volny (Non-stationary elastic waves), Leningrad, Sudostroenie, 1972, 351 p.

10. Mikhailova E.Yu., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. Non-stationary contact of a spherical shell and an elastic half-space, Trudy MAI, 2014, no. 78. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=53499

11. Robinson A.R., Thompson J.C. Transient disturbances in a half-space during the first stage of frictionless indentation of a smooth rigid die of arbitrary shape, Quarterly of Applied Mathematics, 1975, vol. 33, no. 3. pp. 215-223. DOI:10.1090/QAM/99664

12. Mikhailova E., Tarlakovskii D., Fedotenkov G. Impact of Transient Pressure on a HalfSpace with Membrane Type Coating, Structural Integrity. Springer Nature Switzerland AG, 2020, vol.16, pp. 312-315. DOI: 10.1007/978-3-030-47883-4_56

13. Mikhailova E., Tarlakovskii D., Fedotenkov G. The Unsteady Contact Interaction Problem of an Absolutely Rigid Body and a Membrane, Proceedings of the Second International Conference on Theoretical, Applied and Experimental Mechanics, Structural Integrity, Springer Nature Switzerland AG, 2019, pp. 289-293. D0I:10.1007/978-3-030-21894-2 53

14. Ditkin V.A., Prudnikov A.P. Spravochnikpo operatsionnomu vychisleniyu (Handbook of Operational Computing), Moscow, Vysshaya shkola, 1965, 487 p.

15. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobel'kov G.M. Chislennye metody (Numerical Methods), Moscow, Nauka, 1987, 600 p.

16. Delfim Soares. Dynamic analysis of elastoplastic models considering combined formulations of the time-domain boundary element method, Engineering Analysis With Boundary Elements, 2015, vol. 55, pp. 28-39. D01:10.1016/j.enganabound.2014.11.014

17. Schanz M., Antes H. Application of 'Operational Quadrature Methods' in Time Domain Boundary Element Methods, Meccanica, 1997, vol. 32, pp. 179-186. D0I:10.1023/A:1004258205435

18. Schanz M., Ye W., Xiao J. Comparison of the convolution quadrature method and enhanced inverse FFT with application in elastodynamic boundary element method, Computational Mechanics, 2016, vol. 57, pp. 523-536. D0I:10.1007/s00466-015-1237-z

19. Abramovitsa M., Stigan I. Spravochnik po spetsial'nym funktsiyam s formulami, grafikami i matematicheskimi tablitsami (Handbook for special functions with formulas, graphs and mathematical tables), Moscow, Nauka, 1979, 830 p.

20. Gradshtein I.S., Ryzhik I.M. Tablitsy integralov, summ, ryadov i proizvedenii (Tables of integrals, sums, series and products.), Moscow, Nauka, 1971, 1108 p.

21. Tran L.T., Tarlakovsky D.V. Trudy MAI, 2018, no. 102. URL: http://trudymai.ru/eng/published.php?ID=99731

Статья поступила в редакцию 27.12.2021; одобрена после рецензирования 20.01.2022; принята к публикации 20.04.2022.

The article was submitted on 27.12.2021; approved after reviewing on 20.01.2022; accepted for publication on 20.04.2022.