РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ В УПРУГО-ПОРИСТОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 76

www.mai. ru/science/trudy/

УДК 539.3

Распространение осесимметричных поверхностных возмущений в

упруго-пористом полупространстве

Тарлаковский Д.В.,* Данг Куанг Занг**

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993,

Россия *e-mail: tdvhome@mai. ru **e-mail: giang_1986_5@yahoo.com

Аннотация

Рассматривается осесиметричная нестационарная задача о распространении поверхностных возмущений от границы полуплоскости, заполненной упруго-пористой средой, состоящей из двух фаз: деформируемый скелет и расположенная в порах сжимаемая жидкость. Используется модель Био. Для решения применяются преобразования Ханкеля по радиусу и Лапласа по времени. Оригиналы находятся с помощью теоремы о связи плоской и осесиметричной задач при использовании известных решения для первой из них. Соответствующие интегралы понимаются в смысле канонической регуляризации и находятся численно.

Ключевые слова: упруго-пористая среда, модель Био, полуплоскость, поверхностные функции влияния, интегральные преобразования Лапласа и Ханкеля, связь плоской и осесимметричной задач.

Введение

Для моделирования динамических процессов в некоторых грунтах достаточно часто используется модель Био упруго-пористой среды [1]. Постановка различных нестационарных задач для этой модели дана в монографии [2], а также приведена в книге [3]. Подобные среды рассматриваются и в ряде других работ (см., например, [4]).

В настоящее время для упруго-пористого полупространства наиболее подробно исследованы плоские нестационарные задачи (см., например, [5]). При этом практически отсутствуют аналитические решения осесимметричных задач, аналитическое решение для изотропной упруго-пористой полуплоскости в данной статье строится с помощью теоремы о связи плоской задачи и осесиметричной задач с использованием известных решений для плоской задачи [3]. Соответствующие интегралы вычисляются численно с использованием их канонической регуляризации. Подобные задачи актуальны в проблемах приземления различных аппаратов авиационной и ракетно-космической техники.

1. Постановка задачи

Предполагается, что движение упруго-пористой среды осесимметричное и в рамках модели Био в цилиндрической системе координат г29 (г > 0, 2 е Я, - л < 9 < л) описывается линейными уравнениями относительно

скалярных потенциалов фД r, т, z ), ф2( r, z, х) и ненулевой компоненты у( r, т, z ) векторного потенциала перемещений [2, 7]:

A* = ±^, * (k=1,2), Ду-4= 1,

С àt рп + р22р r сз ôt

2 N D , олг . д2 1 д д2 '

c\ =-, P = A + 2N, A = —- +--+ —-.

рп + ôr r àr àz

Здесь c и c3 - скорости распространения волн растяжения-сжатия и формоизменения в скелете; c2 - скорость распространения волн в жидкости; A и N - упругие постоянные скелета; Q - величина сцепления между твердыми и жидкими компонентами при деформации; рп, р22 - эффективные массы компонент при их относительном движении; р12 - коэффициент динамической связи между твёрдым и жидким компонентами; Р3=-р12/р22 ; Р, ( j = 1,2) -

безразмерные физические параметры, которые являются корнями уравнения (р^ - ри P ) р2 + (р22 P - рп R ) р + ри P - рnQ = 0.

Тангенциальные u и U, а также нормальные w и W перемещения скелета и жидкости в порах связаны с потенциалами следующими соотношениями:

д(ф1 +Ф2 ) ду д(ф1 +Ф2 ) 1 ô(ry) u = u =---, w = u =--1---,

r ôr ôz z àz r ôr ^

U-U - д(р1ф1 + Р 2Ф2 ) Рз ду w_ w _ д(р1ф1 + р2ф2 ) | Рз ду^ '

r ôr ôz r ôz r ôr

Кинематические соотношения для такой среды записываются так (е и

еар, { а, Р }={ г, 0 } - компоненты тензоров деформаций в скелете и в жидкости)

через перемещения

ди

1

дг' бгг 2

ди дм

+

дг дг

и

е00=~, е, г

дг '

г =

ди

дг

1

г =

2

'ди дЖ +

дг дг

и

-, г =

у гг

дж

дг

(1.3)

Физические компоненты тензора напряжений аар в скелете и напряжения

а в жидкости связаны с тензорами деформаций физическими соотношениями [2, 7]:

а. =2N^ + (Ае + &), ав =2N^ + (Ае + &), а00 =2Ми + (Ае + &),

дг дг г

а = N

д^ ди

дг дг

„ ди д^ и ди дЖ и

а = Ое + Яг, е =--I---1- —, г =--1---1—.

дг дг г дг дг г

(1.4)

где Я - давление, которое должно быть приложено к жидкости, чтобы заполнить пористый объем (при этом общий объем остается неизменным).

На бесконечности возмущения отсутствуют, а на границе полупространства г > 0 заданы напряжения:

а

гг\г= 0

р (г,т), а^=_0 = (1 -Ро)рз (г,т),а=0 =РоР (г,т), г = 4777, (1.5)

где Р - пористость среды Охуг - прямоугольная декартова система координат.

Предполагаем, что в начальный момент времени среда находится в невозмущенном состоянии, что соответствует однородным начальным

условиям:

е

ф,

г=0

Ч г=0 = 0

аФ.

а г

аг

о (] = 1,2).

(1.6)

г=0

Далее будем использовать безразмерные величины (при одинаковом начертании обозначены штрихами, которые в последующем изложении опущены) - некоторый линейный размер.В безразмерном виде уравнения (1.1) и начальные условия (1.6) принимают следующий вид (точками обозначено дифференцирование по т; ] = 1,2):

Лф, =у5ф, > Ач/--^- = Уз<|>;

(1.9)

ф,

Ч|т=0 ф] т=о Ч1т=0 0 .

(1.10)

Соотношения (1.2), (1.3) и граничные условия (1.5) сохраняют свой вид, а физический закон (1.4) преобразовывается так:

а ^ а^^ ^

стгг = 2— + (Л^ + Л2е), гг = 2— + (л^ + Л2е), °ее = 2- + + Л2^),

Зг 32 г

а— а-

стг2 + , а = л2е + Лз

аг а2

(111)

г=о

г

2. Интегральное представление решения на границе

Искомые перемещения на границе 2 = 0 полупространства как решения начально-краевой задачи (1.2), (1.3), (1.5), (1.9) - (1.10) можно представить в квадратурах (звездочками обозначены свертки по времени и координатам х, у):

(2.1)

и(г,т,ж) = р (г,т)***Ооиг (г,т) +

+Рз ( г, т) ***[ (1 - Ро)Соигг ( г, т) + ^ ( г, т)],

V (г, т,0 ) = р1 (г, т)*** во _ ( ^ т) + + Рз ( г, т)***[ (1 -Ро)во _ ( г, т)+РоОо „( г , т)],

и ( г, т,0 ) = р ( г, т)*** вт„ ( г, т) + +Рз ( г , т)***[ (1 -Ро)воигг ( г , т) + РоОои а( г , т)],

Ж (г, т,0 ) = р (г, т)*** вжтгг (г, т) + +Рз ( г, т) ***[ (1 - Ро)вожгг ( г, т) + Ровожа ( г, т)] .

Использованные здесь функции определяются так: в0иге (г, т) = виге (г, 0, т),

..., воШ.( г, т) = вШа (г, 0, т), где Оиг2 (г, г, т), ..., вШа( г, г, т) - поверхностные

функции влияния, которые имеют следующий смысл (8(х,у,т) - дельта-

функция Дирака): - первая группа

виг2 (г, т, г) = и (г, т, г), в^ (г, т, г) = V (г, т, г),

виг ( Г, ^ г ) = и ( г, T, г ) , = Ж ( г, T, г )

(2.2)

для задачи (1.2), (1.3), (1.9) - (1.10)с граничными условиями

а I =8(х, у,т), а I =а\ =0; (2.3)

гг I г=0 V /' гг 1г=0 1г=0 ' у '

- вторая группа

(г, т, г) = и (г, т, г), в^ (г, т, г ) = V (г, т, г),

виг (г, T, г)= и (Г, ^ т) , вШг =Ж (^ T, г)

(2.4)

для той же задачи с граничными условиями

а I =0, а I =8(х, у,т), а| =0; (2.5)

гг 1г=0 ' гг1г=0 V /' 1г=0 ' у '

третья группа

Г, X, 2 ) = и ( Г, X, 2 ), Г, X, 2 ) = W ( Г, X, 2 ),

(Г, X, 2) = и (Г, X, 2), = Ж (Г, X, 2)

для той же задачи с граничными условиями

а| = 0, а| = 0, а| = 5(х,у,X). (2.7)

Г2\2 = 0 ' 22 12 =0 ' 12=0 V / У '

3. Решение в пространстве изображений

К начально-краевой задаче (1.2), (1.3), (1.9) - (1.10) применяем преобразование Лапласа по времени и Ханкеля (порядка V = 0 для функций ф^, w, Ж, е, в, агг, а и порядка V = 1 для у,и ,и, агг) по радиусу г (индексы «Ь » и «Н» указывают на соответствующие изображения; в случаях, не допускающих двоякого толкования порядок преобразования Ханкеля не указывается; 5 и q - параметры этих преобразований) [6]:

-2 ф Я2 нь

-ф-- к2 (q\52)фНЬ = 0 (] = 1,2), —К (q2,52)уНЬ = 0,

& 2 Л* ' ^ ^ ' д2 2 з\ч , , (2.1)

к (q,5) = + (I = 1,2,3), Яе/ > 0;

/я, нь \ -уНЬ ж д(фНЬ +фНЬ)

= ^(фНЬ + фНЬ ) - , WHЬ = У 1 2 7 + qуН

-2 -2

-У НЬ -(РфН +^фНЬ ) иНЬ = —q(йфГ +Р2фНЬ )-Рз ^, ЖНЬ = (Р1ф1 я Рф1 ) +РзqуНЬ, (2.2)

-2 -2

дтНЬ -Ж

НЬ НЬ УУГУ НЬ т тНТ *Ууу

е = quHL +-, в = qUH +-;

-2 -2

РЬлНь РщНЬ

НЬ о ^ / НЬ , ^ НЬ\ НЬ НЬ , и и НЬ „ НЬ , „ НЬ /Л 1\

О* = + (Л1е +Л2в ), а2 , а =Л2е +Лзв ; (23)

02 02

Граничные условия (2.3), (2.5) и (2.7) при этом переходят в следующие

равенства:

а

иь

г=0

а

иь

2л = 0, а

а

иь

иь

г 0

= 0, аиь = 0

г 0

2л

а

иь

0

(2.4)

(2.5)

а

0, аи

0, аи

2л

(2.6)

Общие решение уравнений в (2.1) с учетом их ограниченности имеют вид:

(д,5) = С ,Е,(д,5,г) (, =1,2), уиь(д,5) = С3Е3(д,s,г), Е,(д,5,г) = е

- к, (д2,52)г

(2.7)

где С , С и С - постоянные интегрирования.

Подстановка их в (2.2) и (2.3) приводит к следующим равенствам для изображений перемещений и напряжений:

ииь (д, 5

(д, 5, г) = -д£ С,E] s, 2) + Cзkз (q2, s2)Eз (q, s, 2),

]=1 2

( д, 5, г) = С.k] (q2, s2)Е, s, г) + qСзЕ3 (q, s, 2),

]=1

2

ии (д, 5, г) = -д£ Р, С, Е, (q, s, 2) + Р3С3^2, s2)Еъ (q, ^ г),

wИL (д, 5

,=1

2

Жиь (д, 5, г) = -£ Р,С, ^ (q2, s2)Е, (^ s, 2) + Р3qСъЕъ (q, s, г);

(2.8)

,=1

1

г=0

1

г=0

г=0

г=0

2

аН (д, 5, г) = £ С, к, (q2, s2)Е, (q, s, 2) - 2qСъkъ (q2, s2)Еъ (q, s, 2),

,=1

2

аН (д, 5, г) = 2д£ С,k] (q2, s2)Е, (^ s, 2) - С3 К3 (q2, s2)Е3 (q, s, 2),

2

аИЬ ( д, s, г ) = 5 2 £ СЛ 23}Ч2 Е ^ s, 2), ^ = Л: ^ Р, Л2 , ^ 23, =Л2

,=1

К (д,5) = 2д + (2 + \2]) у25 = 1,2), кз (д, 5) = 2д + у

Используя теперь граничные условия (2.4) - (2.6) , находим постоянные интегрирования. В результате изображения перемещений и напряжений записываются так:

ииь (д, 5, г) = £ иИь (д, 5, г), wИL (д, 5, г) = £ wí^L (д, 5, г),

7=; 7=13 (2.10)

ииь (д, 5, г) = £ и, (д, 5, г), ЖИь (д, 5, г) = £ Ж,И (д, 5, г).

,=1 1=1

аИЬ (д, 5, г) = £ аИ (д, 5, г), аИь (д, 5, г) = £ а ИЬ (д, 5, г),

Т '" (2.11)

аиь (д, 5, г ) = £ аИь (д, 5, г).

]=1

Коэффициенты этих сумм для различных групп функций влияния имеют следующий вид:

- первая группа

,.2 /„ /„2 „2

НЬ / 1\1+1 л . 2

иНЬ = (—1)'+1 ^23(3—I)Уз—/ 3;Г ^ Е (q, 5,2),

q2 kз(q2,52) я^2,52)

wнь=(—1)'+1 ^) у 2—': '^Л:5 ) е ^ 5,2), (2.11)

кз(^,52)Ез&5,2), WзHЬ =

аНЬ = 2(—1)2—1X 2з(з—') У 2з—' к, (q2,52) Е (q, 5,2),

-НЬ О/ 1\2—М .,2 q2 kз(q2,5 22

') лЯ^2,52

qkз(q% 5 2)

2,52)

ань=(—1)2—1 х 2з(з—,) у 2з—,) к (q2,52) е (q, 5,2),

(2.12)

а _2), аНЬ = — qkз(q2,52)^2,52)Е { 2),

Г2 з ~ 2 2\ 3\Л5 ' /' гг з 2 2\ ' /'

, 5 ) лЯ^ , 5 )

НЬ / 1\2—гл 2л 2 ДО k3(q ,5 ) 77 _ аг = (—1) х 23 г У Л 23(3—г) У (3—г)-р/ 2 2Л Е (q, ^ 2 );

вторая группа

и'НЬ = (—1)3^г> У ^ г Е*2)'

w^Ь = (—1)3—гх23(3 л2 п к(q ,5 )Кз<^,5)е(q,5,2), (2.13)

г ( ) 23(3—г)У(3—г) 2пЯ^\52) г( , ), ( )

^,5 ^,5 2) Е й, 5,2), WHЬ=Ж£1)

Л/ 2 2\ 3\Л' ' 3 2 2 \

, 5 ) пЯ^ , 5 )

аИЬ =(-1)123(3-,)у2з- 1) ^(^Т^к(д2,52)Е,(д,5,г),

аИЬ =-дКз(д2,5 Ез(д, 5, г),

S1(д2,52) лЯ(д2,52)

.иь / 14/ 123(3-г)у23-1)Кз(д ,5 ^ ^ „2-

2лЯ(д2,52)

а£ =(-1)г ^(Т)2 ^ К(д2,52)Е1 (д,5,г), (2.14)

а- =-2д2кз(д2,52) ДЕъ(д,5,г),

лЯ(д , 5 )

аиь = (-1)г \2Ъ1у] 1 у2 52Кз(д/ Е (д, 5, г);

г V У гЪ1Ь 23(3-г^(3-г)2лЯ(д2,52) '

третья группа

иГ =(-1)г.дТз£д;Ч Е (д, 5, г),

2л52 Я(д2,52)

< Е1 (д, 5, г), (2.15)

2л5 Я(д , 5 )

дкз(д ,5 ,5 )Е дг), < = д 5з(д ,5 )

2 п/ 2 2\ 3\Л5 ' /' 3 2 п/ 2 2 \

л5 Я(д , 5 ) л5 Я(д , 5 )

нь ( 1\3-/ дТ3-1 (д ,5 ) 77 _

агг1 =(-1) 2 2ч Е (д, S, г),

ля Я(д , 5 )

2 2 2 2

аИЬ = НГ Е1 (д,5,г),

К/ (д 2,5 2)Тз-г (д 2,5 2) 2л52 Я(д2,52)

2 2 2 2 2 (216)

а2ЗД2,52) ^

Ог3 =--2П/ 2 2ч К3(д , 5 ) S, гЛ а гг3 =2 23 2 2ч Е3 ^ S, г),

-иь- д5з(д ,5 ) к(д2,52)Е-(д,5,г), аи\ = 2 д ^ ,5 ) л52Я(д2,52) з(Я , ) з(Я , ), гг3 л52Я(д2,52)

нь ( 1 \3-/л . 2 Тз-1 (д ,5 ) Г ✓ Ч

а, =(-1) 123/У2 0 ^ 2 2ч Е (д, S, г)

2лЯ(д , 5 )

Здесь

=1 2з1у12т2 (д2,5 2) - х232 у 2т (д2,5 2 X

т (д, = к (д, кз(д, - 4д2 к (д, s)k3(д, (i =1,2), ^

3 (д, =1231 у2 к2 (д, -1232 у 2 к1 (д,s), ^2 (д, =123^ К2 (д, -1232 у 2 к (д,s),

33 (д, 5) = К2 (д, 5)к (д, 5) - К! (д, 5)к2 (д, 5).

Во всех вариантах изображения перемещений в жидкости определяются

так:

иН =р.иН, Ж =рwHЬ. (2.18)

4. Определение оригиналов

Поскольку оригиналы всех функций влияния находятся аналогично, то ограничимся только третьей группой. Соответствующие изображения необходимых для представлений (2.1) ядер находим из формул (2.8) и (2.9):

GL (q, s) = 2 j (q, s, 0), GL (q, s) = 2 < (q, s, 0),

j j (3.1)

GU a (q, s) = 2 UHL (q, s, 0), G^ (q, s) = 2 W.HL (q, s, 0),

j j

где в соответствии с (2.15) и (2.18) (l = 1,2)

u^ (q, s, 0) = (- i)1 qT-l (qs2 ) , WHL (q s, 0) = (-1)1 k (q^ *2)Тз--— s2), ' , ) ( ) 2лs2R(q2,s2У ' , ) ( ) 2 ns2R(q2,s2) ,

u3HL(q,s,0) = qk3(q;s2)s2), w3HL(q,s,0) = , (3.2)

ns R(q , s ) ns R(q , s )

UHL (q, s, 0) = P. uHL (q, s, 0), WHL (q, s, 0) = P. wHL (q, s, 0).

Оригинал этих функций удобно находить с использованием доказанного в [6, 8] следствия о связи преобразований Фурье и Ханкеля (индексы « F » и « Hv » указывают на соответствующие изображения). Пусть 1) даны функции f (x) -четная (x е R) и g(r) (r > 0); 2) gH (q) = Cf F (q), q > 0, С = const. Тогда существует ядро K^ (x, r) такое, что справедливо равенство

ад

g(r) = j Kcv (- r )f (x)dx .

0

Причем

Ко(х,г) = -2Сх(х - г2)+ , Кс1(х,г) = -Ко(г,х)

(3.3)

где х™ = ха И (х)

В работе [5] найдены следующие функции влияния для плоской задачи

при Ро = 1

3 / Г^т) = £й<*>(*,х)Я х-Ук

к=1

3 /

(3.4)

Здесь

(*,х) = и(2) (*,х), (*,х) = (*,х),

(*,х) = М(4) (*,х) - М(3) (*,х), М(3) (*,х) = М(3) (*,х) - и(2) (*,х),

',(2)

МГ-' (*,х) = (*,х) - >И3) (*,х), #(3) (*,х) = >И3) (*,х) - (*,х);

и(2) ( х

(х, т) = -Р

Б1впх (Р12 -1)' 11-т+ +-

л + л0(1) (х,т)

-4Кз \02) (х,т)-к1т2е22) (х,т) + х

+ К2 х2^ (х, т)- 4Кз -у 62з2) (х, т)

х

2Р1105 (х,т)-

8к3т3

лб((1) (х, т)

2Р12 т

Р12Й2) (х, т; у1 )

а(2) (х, т; у 2)"

х

+

л01) (х, т) 2т

к1 т2^ (х, т; у1 ) - к2х2Й22) (х, т; у) + 4К3 тг ^ (х, т; у)

х

+

лб((0) (х, т)

Кт2^ (х,т;у2) - К2х^ (х,т;у2) + 4к -7(х,т,у2)

х

4

и (3) ( x

( x, x) = -ß

Slgnx ( ßl2 x+ +

(ßl2 - 1)'

я + яе(2) ( x, x)

-4K3 \Q(3) (x,x) + Klx2ß2(3) (x,x) + x

-K2xQ3) (x, x) + 4K3 ^Qj^ (x,x)

x

+

(K3x3

яе02) ( x, x)

2ßl2 x

ßl2 Qf ( x, x; Yl )-

Ö3(3) ( x, x; y 2 )"

x

яе? ( x, x)

2x

k^Q^ (x,x;Yl)-K2xQ3)(x,x;y) + 4K3 xr0^з3) (x,x;Y1 )

x

яС ( x, x)

k^Q^ (x,x; Y2 )-K2xQ (x,x; y2 ) + 4K3 -7Qj* (x,x, y2 )

x

sin gx

и(4) ( x, x) = -ßr-x

я

w(2) ( x.

4kx2

(x,x) = -ßllQFL (q,S)--^K^[ßKQi23 (x,x; Yl ) + Q6(2) (x,x, Y2 )]

^ Q0 (x,x)

[ßl2Q72)( x, x; Yl ) + Qf ( x, x, Y 2 )] +

+

яе(1) ( x, x)1

K2 x

яе0(1) ( x, x)

4k x4

[ßl2Q( 2)( x, x; Yl )- Q(2) ( x, x, y 2 )]

+

яx'

4KKri7-r[ßl2Q92,( x, x; Yl ) + Q92) ( x, x, Y 2 )],

Q0 (x,x)

2

11

2

w(3) ( x, x) = -ßnQl0 ( x, x)+^ 2g xM [ßl2Q((3) ( x, x; Yl ) + Q((3) ( x, X, Y 2 )]-

kx2

4-[ßl2Q73) ( x, x; Yl ) + Q(3) ( x, x, Y 2 )]-яе0() ( x, x)[ j

[ßl2QS3) ( x, x; Yl ) + Q((3) ( x, x, Y 2 )] +

яе02) ( x, x)

4к x4

яx 2Q02) ( x, x)

[ßl2Q93) ( x, x; Yl )- Q(3) ( x, x, y 2 )],

w(4) (x, x) = -ßnQl0 (x, x),

где

= 2Л1 + Лз + Лз^ ^3 = 2Л1 + Лз + Лз^ ^3 = Лз + Л4^ ^4 = Лз + Л4ß3;

1 О а 2 у2 .

Kl = 2

+у3Л1 )], K2 = -у3^lYl2, K3 = Лl, ßll =-^ ß

2 ' "12 2 «lïl «1Ï1

ix,т) = -4^у3т24у3x2 -т^у3x2 -т3,

öS) i x, т) = 4Л1^4 у 3 т3 Т^^^у^7.

Q3o3) i x, т) = 4л^з у3 signxт37 т3 -у 3 x ^ у 3 x2 -т3

0з(03) i x, т) = -4ЛА у 3 т^ т3 -у3 x U т3 -у з x2, Q4o i x, т) = (у 3 x2 - 2т3 ) [£з у( (^ у 3 x3 - 2Л1т3 ) - Ç 4 у 3 (^iyi3 x3 - З^т3 )], Qo(l) i x, т) = [Q£) i x, т) + Q4o i x, т)]3 + Q i x, т)]3, Q03) i x, т) = [Q3(o3) i x, т) + Q4o i x, т)]3 + [Q3o3) i x, т)]3 ;

Q(2) i x, т)= [ Q«( x, т) + Q40 (x, т)], Q¡3)( x, т) = - Q(3( x, т),

Q 4Л^у2т2 [°2oV , J , , Ql V , J 4^4у2т2 Q3oV , J,

Q210 i x, т) = Qll (^т) , Q(3) i x, т) = Q2() i x, т) ;

\ Q(( (x, т) = (x, т), Qlf (x, т) = Q37 (x, т) ;

OS (x, т) = Q31 (x, т), Q(33) (x, т) = Q(o2) (x, т) ;

,((), X (у(x2 -т3)(у2x2 -т3

Q3) ( x, т; у1 ) = -—(уз>_2тз)—Q3o) ( xт),

rPU Л (у(x2 -т3 )(у2x2 -т3^ Q3)( x, т; у1 ) = --(узхз_2х3)- Q3o7 ^ т) ;

V2 2 2 I 2 2 ~í 2 2 2\ x -Y( x VY2x -x (Y2x -x )rWl), V , V-. Q3 (X X; Y2 ) = -(Y2JC2_2t2J - [X, X) + Q40 (X, X)]^

V 2 2 2 Г~2 2 2 2 2 \

Q3 (X,X,Y2) =-^^(Y2X)[X,x) + Q.(X,x)],

V 2 2 2 Г~2 2 2"

x -Y(X VY2x -x rwl \ , ^ / M

Q41 ( X X; Yl ) = -2 2 0 2-[ Q3J(X, X) + Q40 ( X, X)]

Y2 x - 2x [ ]

V 2 2 2 1 2 2 2 X -Y1 X VX -Y 3X W2 )/ \

041 (X X; Yl ) = -22* -Q20J(X, X) ,

Y x - 2 x

V 2 2 2 1 2 2 2 Y3X -X VY 2X -X Wl )/ \ Q41 (X X; Y 2 ) = - 2 2 V ?-ЙоJ(x, x) ,

Y x - 2 x

V 2 2 2 J 2 2 2

Y2X -X VX -Y3X Г Л(2)/ \ , Г^ f \1 Q41 ( X X; Y 2 ) = -2 2 0V2-[ Q3o4 X, X) + Q40 ( X, XH

Y x - 2x

Й() (xx; Yl ) = (x, x; Yl ), Q« (x, x; Yi ) = Й3 (xx; YI ) ;

Q{S (x, x; Y 2 ) = ÜS (x, x; Y 2 ), Ö? (x, x; Y 2 ) = ÚS (x, x; Y 2 ) ;

Q«) (x, x; Yl ) = tí? ( xx; Yl ), Q« ( xx; YI ) = Q« ( xx; YI ) ;

Й() (x, x; Y 2 ) = ( xx; Y 2 ) ; Q«3) (x, x; Y? ) = Ö? (x, x; Y 2 ) ;

Qs (X,X)

V3 2 2 П 3 (

x -Y2x \¡Y2x -x

л „.з„з

2 2 2 'Л 2

яx y2 x - 2x

Q<(2) (x, x; Yl ) = slgnx (Y(x' - x? )>/y(x2 -x(0304x, x) ' Q<(3) (x, x; Yl ) = slgnx(Yl2x2 - x2 [Q3(((x, x) + QAx, x)] ;

Q(24x,x;Y2) = Vx2 -Ylx^y2x2 -x^Y2x2 -x2 [Q204x,x) + Q, (x,x)]:

0(3)(x, x; y 2 )=v"2 - y(x2 vx2 - y32 x2 v y 2 x2 - x2 q2024x, x) ;

0727X, т; Yo Ыт2 - y(X2 [ÖSiX, т) + Qw (x, т)],

ö737X,т;Yo) = л/т2 -y(x2 [03o((x,т) + О4ДX,т)];

°í24 x, т; y 2 )=>/y 2 x2 -т3 °3o4x, т), 073 x, t; y 2 )=Vy ( x2 -т3 Q3o2)( x, т) ;

Qf) (x, t; Yo ) = °(( x, t; Yo ) = q72 ) ( x t; Yo ) ; °f(x, т; Yo ) = q3) (x, т; Yo ) = ) ( x т; Yo ) ;

й2)(x, t; y 2 ) = Q82) ( x, т; y 2 ) = Qí2)(x, t; y 2 ) ; Qf( x t; y 2 ) = q3) (x, t; y 2 ) = ô37 x, t; y 2 ) ;

Qoo ( X, т^^Щ ; 0Л X, t; Yo Q3°4 X, т),

/22 2\ I 2 2 2" nf()f \ ^ -T NT -Y1 x Гп(з1/ ч n f чП

ßvlxt;Yo) = --2 2 o ;-LQ3o4x,T)+Q4^x,т) I ;

Y x - 2 т

12 2 2 12 2 ; 12 2 2

0(7x,t;y 1 )=VT ^ -T;VY(x -T [■ Qio4x,t)+^(x,t)]

Y x - 2 т

22/2 22/22 2

^ VT -Y;x VY;x -T n(2)/ V

-, 2 Q30 (X, T):

22

Y2x2

1 2 2 2

>/t - ' Yox

22 Y2 x2 - 2т2

1 2 2 2

VT - Yo2 x2

07)(x,t;Yo) = v2 2 [Ql0)(x,т)+Q40(x,т)],

07(X,t;Yo)=V2T 2 Y;X2 [Q70)(x,т) + Q40(X,т)];

Y1 x - 2т [ J

I 2 2 ; I 2 2 2"

Qí2) (x, t; Y2) y -T2 (x, т), Qo(33) (x t; Y2 )=YY~h-~r Q2; (x, т) ;

2

0(1 (x t; Yo ) = qÍ42) (x t; Yo ) = 0(7 x т Yo ), (x, т Yo ) = Q4 (x, т Yo ) = Q(7 (x, т Yo ) ;

05> (X, т; у 2) = ^ (X, т; у 2) = $> (х, т; у 2), О* (х, т; у 2) = О* (х, т; у 2) = (х, т; у 2);

Сравнение изображений показывает, что имеют место соответствующие приведенному выше утверждению равенства

1 Л 1 п

Следовательно, искомые изображения могут быть представлены следующими интегралами:

О0 (г,х) = -^ —' }с!х, О0 (г,х) = --^—' }бх. (3.6)

° ^ ) п0(г2 - х2)3'2 , °° (,) пГ (х2 - г 2)3/2 ( 7

В развернутом виде с учетом (3.4) эти представления записываются так:

з

Л/

71 Ш

+ 3[й <*> (х,х); 0,т/у, ]Н (укг - т)}, (3.7)

Л/ л

^ {г, х) = ■^ 2 [й <*>(*, х); 0, г ] Н (х - укг) +

Ойую {г, х) = ■^ I / [й<*> (*, х); г, т/у, ] Н (х - у,г),

где

У [,/(х, т);х„ х, ] = ),{(х'Ск, I [./(х, т); х„х2 ] = ] 2^^^.

х1 ^ г — х ) х1 ( х г )

Если точка х = г принадлежит отрезку интегрирования, то указанные здесь интегралы понимаются в смысле регуляризованного значения [9]. В частности

У [ / ( х, т) ;0, г ] = К ? - /3 * т)Сх ,

° (г - х ) г V г - а

I [ / ( х, т); г, а --/Ш

г (х - г ) уа - г

3. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В качестве заполняющего полуплоскость материала рассмотрим песчаник, поры которого насыщены керосином, со следующими физическими характеристиками [3]:

А = 0,4026 • 104 МПа, N = 0,2493 • 103 МПа, Я = 0,672 • 104 МПа, б = 0,295 • 104 МПа, рп = 0,6087.10 3 кг/м3, р22 = 0,2159.10-3 кг/м3, р12 = -0,19.10 5 кг/м3.

Этим величинам соответствуют следующие значения безразмерных параметров:

Ро = 0,3;^ = 0,8757; Р2 = -10,3287; Р3 = 0,0088; у1 = 1; у2 = 2,1612; у3 = 1,963; ц1 = 0,055099; ц2 = 0,889802; ц3 = 0,651991; л4 = 1,485214.

Результаты расчетов представлены на рис. 1-2. Сплошные кривые

соответствуют моменту времени т = 0,15, штрихпунктирные - т = 0,3, а

пунктирные - т = 0,45. Отметим, что разрывы второго рода на графиках имеют

место в точках х = т/у^ (к = 1,2,3), определяющих фронты волн.

Рис.1

Рис.2

Библиографический список

1. Био М.А. Механика деформирования и распространения акустических волн в пористой среде // Механика: Сб. пер. и обзор иностр. литер. 1963. № 6. С. 103-134.

2. Наримов Ш.Н. Волновые процессы в насыщенных пористых средах. - Ташкент: Мехнат, 1988. 304 с.

3. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 264 с.

4. Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С, Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и пороупругости // Электронный журнал «Труды МАИ», 2010. Вып. № 40, http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=22862.

5. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных поверхностных кинематических возмущений в упруго -пористой полуплоскости // Механика композиционных материалов и конструкций, 2011, Т. 17, № 4. - С. 483 - 492.

6. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. - М.: Физматлит, 2004. 472 с.

7. Данг Куанг Занг, Тарлаковский Д.В. Действие на границы упруго-пористого полупространства с касательной осесиметричной нагрузки // Механика композиционных материалов и конструкций - Механика композиционных материалов и конструкций. 2014. № 1. C. 148 - 158.

8. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными граничными. - М.: Физико-математическая литература. 1995. 350 с.

9. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Физматлит. 1959. 470 с.