МОМЕНТНО УПРУГАЯ ПОЛУПЛОСКОСТЬ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОВЕРХНОСТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НОРМАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 102

http://trudymai.ru/

УДК 539.3

Моментно упругая полуплоскость под действием поверхностных нестационарных нормальных перемещений

1а 1 i**

Чан Ле Тхай , Тарлаковский Д.В. '

1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский

университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

1 2

, НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, Мичуринский проспект, 1, Москва,

119192, Россия e-mail: tranlethaivvk@gmail.com e-mail: tdvhome@mail.ru

Аннотация

Рассматривается упругая однородная изотропная полуплоскость, заполненная средой Коссера. В начальный момент времени и на бесконечности возмущения отсутствуют. На границе полуплоскости заданы нестационарные нормальные перемещения. Все компоненты напряженно-деформированного состояния полагаются ограниченными. Разрешающая система уравнений включает в себя три гиперболических уравнений относительно скалярного потенциала, ненулевой компоненты векторного потенциала и вектора поворота. Решение задачи ищется в виде сверток заданного нормального перемещения с соответствующими поверхностными функциями Грина. Для построения последних применяются преобразования Фурье по координате и Лапласа по времени. Оригиналы изображений находятся с помощью совместного обращения преобразований Фурье

и Лапласа. Приведены примеры действия различных нестационарных нагрузок на границу полуплоскости.

Ключевые слова: среда Коссера, полуплоскость, поверхностные функции влияния, интегральные преобразования Лапласа и Фурье, совместное обращение преобразований.

Введение

В последнее время отмечается возрастающий интерес к моделям сред, позволяющим учитывать микростроение вещества [1 - 4]. Это вызвано необходимостью детального исследования напряженно-деформированного состояния при проектировании элементов различных современных конструкций, и, в том числе, новых изделий авиационной и ракетной техники.

Одна из моделей, описывающая механическое поведение тел с учетом их микроструктуры - среда Коссера. Общая теория моментной упругости впервые была разработана братьями Коссера (Э. и Ф. Коссера) в 1910 г [5]. В ней в отличие от классической теории упругости, например в [6 - 9], кроме перемещений также учитывается и вектор поворота. Краткие обзоры публикаций по тематике упругих сред с микроструктурой представлены, например, в работах [10 - 17]. Линейная теория среды Коссера рассмотрена в статье [18], а дополнительный учет температурного поля приведен в книге [19]. В статье [20] введена функция напряжений и потенциалы для изотропной центрально-симметричной среды.

Ниже дается решение одной из неисследованных плоских нестационарных задач для полупространства, заполненного средой Коссера. Оно представлено в виде сверток возмущения с ядром - поверхностной функцией влияния. Такая форма позволяет определять напряженно-деформированное состояние полуплоскости при любом поверхностном возмущении. Разработан и реализован алгоритм аналитического построения ядра, основанный на применении метода малого параметра в сочетании с совместным обращением интегральных преобразований Фурье и Лапласа [21].

Рассматривается задачу полуплоскость, заполненная упругой однородной изотропной средой Коссера, при отсутствии массовых сил и моментов. В прямоугольной декартовой системе координат 0x2 (ось О2 направлена вглубь полуплоскости, а Ох

- вдоль ее границы 2 = 0) движение среды описывается следующими соотношениями [19]:

- уравнения относительно скалярного потенциала ф, ненулевой компоненты у векторного потенциала перемещений и угла поворота ю (точками обозначены производные по времени т)

1. Постановка задачи

(1)

со = у22Аоо - 2арЛ\|/ - 4а|Зоо, А = —^ +

дх2 522 '

связи касательного и и нормального w перемещений с потенциалами

дф дш 5ф

и = -1---— 5 w = -!- + —!-

дх 52 52 дх

- связи нетривиальных физических компонент тензоров напряжений и моментов ц^. с;} = {г, г}) с перемещениями

ды ^

а =--+ к—, а = к

д! д2 ^

(ды дw ^ дw ды

— + —I, а = — + к— дх д2 ) д2 дх

аХ2 = (у-2 + а)^ + (у-2 - а)^ + 2аю'

ды / о \дw

(3)

а2Х = (уг2 + а)ды + (уг2 - а)~ - 2а®.

дю дю дю дю

—, Цух = , =—, =Л —

дх дх дг дг

Отметим, что при а = 0 второе и третье уравнения в (1) становятся независимыми, т.е. поля перемещений и поворотов не связаны между собой.

В соотношениях (1) - (3) использованы такие безразмерные величины (при одинаковом начертании они обозначены штрихами, которые в них и далее опущены):

. ы . w . х . г сЛ . ф . ш

/ =—, w = —, х =—, г =—, х = —, ф =—г, ш = —т

ь ь V ь ь ь2 Ь

0, = ^, ц',= У2 = % У 2 = Р = ^, (4)

X + 2ц У+ 8 с2 сз У + 8 J

а 2 Х + 2ц 2 Ц 2 У + 8 X ч о -2 а =-, с1 =-—, с2 = —, с3 = --, к =-= 1 - 2у- .

X + 2 ц р р J X + 2ц

Здесь ? - время; Ь - некоторый характерный линейный размер; X, ц - упругие постоянные Ламе; а, Р, у, 8 - физические параметры моментной среды; р - ее плотность; J - мера инерции среды при вращении (плотность момента инерции); с, с2 и с3 - скорости волн растяжения-сжатия, сдвига и кручения соответственно. Считаем, что в начальный момент времени среда находится в покое:

ф|т=0 = ф|х=0 = ш|х=0 = Ш|х=0 = Ю|х=0 = Ю|х=0 = 0. (5)

Все искомые функции предполагаются ограниченными. На границе полуплоскости заданы нормальные перемещения, а касательные перемещения и угол поворота равны нулю:

ик=0 = 0 Мг=0 = (х.т) , Ю| 2=0 = 0 (6)

Искомые компоненты напряженно-деформированного состояния как решения начально-краевой задачи (1) - (3), (5) и (6) записываем в виде сверток по времени и координате х (они обозначаются звездочками):

и (х, 2, т) = (х, т) * *ГУ (х, 2, т). (7)

Здесь под функциями Ц (х, 2, т) понимаются компоненты напряженно-

деформированного состояния и, w, ю, а22, ах2, а2х, , цух, или цу2, а под Г( (х, 2, т)

- соответствующие им поверхностные функции влияния:

Ги = и, Г w = W, Гю=ю, Г 22 =^22 , Гх2 = ,

Г = ст , Г = и , Г = и , Г = и , Г = и ,

2х 2х ' ху "ху? ух ~ух? 2у " 2у ' у2 " у2 '

которые есть ограниченные решения уравнений (1) с начальными условиями (5) и следующими граничными условиями:

и|г=0 = 0, ^=0 =5(X, у )5(т), Ю| 2=0 = 0 , (8)

где 8(£) - дельта-функция Дирака [7].

2. Изображения поверхностных функций влияния

К начально-краевой задаче (1) - (3), (5) и (8) применяем преобразование Лапласа по времени т и Фурье по координате х (значки «Ь» и «Р» указывают на

соответствующие изображения; s и д - параметры этих преобразований) переходят

в следующие соотношения [7]:

2„ жь

д 2ф

д2 2

- к2 (д,5)фЖЬ = 0,к0 (д,5) = ^Jg-+уУ (у0 = 1)Де/ > 0

2.. .жь

(у-2 + - Г(у-2 + а) д2 + 52 ]уЖЬ + 2аюЖЬ = 0.

д22

(9)

2__жь

у

- 2

д2 ю

2,. .жь

2

- 2ар—^ - (у-2д2 + 52 + 4ар)юРЬ + 2аРдVЖЬ = 0

д2 2

д2

Изображения необходимых для отыскания функций Грина перемещений и напряжений, а также граничных условий (8) записываются так:

ЖЬ ■ ЖЬ ду иЖЬ = -дф - ■ ^

жь

д2

wя = дф

жь

д2

гдуЖЬ;

(10)

жь дwfь . рь а ,„ =--щди ,

д2

а

.жь

(у-

2 а)ди--(у-2 + а) + 2аю

жь

д2

а Ж=(у-2+- (у-2 - а) - 2аю

жь

ц РЬ = -дюЖЬ, црЬ

ух

РЬ РЬ дюРЬ РЬ дюРЬ щкюРЬ, црЬ =-т-, црЬ = к-

д2

у2

д2

(11)

и

жь

г=0

= 0, w

жь

г=0

= 1, юЖЬ1=0 = 0.

(12)

Общее решение первого уравнения в (9) с учетом его ограниченности имеет вид:

фЖЬ (g, 2,5 ) = С0 (g, 5) Е0 (g, 2,5), уЖЬ (g, 2 5 ) = £ С1 (g, s) Е1 (g, z, s) 3

/=1

ю

-жь

1 2

(g, 2,5 (g, 5)С/ (g, s)Е/ (g, z, **),

2а /=1

В] (д,2,5) = ^(д5)2,Т/(д,5) = (у-2 +а)Гд2 - к2(д,5)] + 52,

где С (Ч, я) - постоянные интегрирования; а к12 (д, *) - корни биквадратного уравнения, приведенного в [22].

Подстановка (13) в (11) и использование условий (12) позволяет определить постоянные интегрирования:

С0(^ь-М, С1 м=- 1Щд4> с2м=Щд4- (14)

' Ъ (д, *) ' Ъ (д, *) 7 Ъ (д, *) ' '

где

(g, *) = д2 Ъ2 (д, *)+К (д, *) К (д, *), я2 (g, *)=Т1 (g, *)- т2 (g, *), К (g, *)=к1 (g, * )7 (g, *)- К (g, * )7 (g, *).

Поскольку вид корней к12 (д, *) не позволяет находить оригиналы аналитически, то

аналогично [22] используем разложения в степенные ряды по малому параметру а, а именно, ограничиваясь линейным приближением, перемещения и угол поворота записываем так:

Гу (х, г, х) = Гу0 (х, г, х) + Гу1 (х, г, х) а (15)

Соответствующие (15) равенства для к12 (д, *) получены в [22]:

к1 (д,*) = кы (д,*) + акп (д,*) (/ = 1,2),кы (д,*) = ^д2 + у/*2,

к"(д * }=- 2кус^'к'2 (д * }= мЬ)'71 (д * }=712 (д *)а 2

7 (g, *) = т20 (g, *)+аТ21 (g, *) Т (g, *) = - 4р У1У 1

У2 -У2

(16)

т10 (д, *) = у-2 (у1 - у2) *2, 7ц (д, *) = -у-2у2 (4р + у2*2),

Использование (10), (11), (13), (14) и (16) позволяет найти изображения искомых коэффициентов в (15). Например, для нормального напряжения они имеют вид:

уЖЬ( Ч у-2кз2 ( g, 5 ) к01 ( q, 5 ) -к0 (д, 5 )^ЖЬ / Ч_ у2 5 2д 2кз2 ( g, 5 ) -^(д, >

1 22 00 ( g, ^ 5 )= к ( д, 5 ) * , 1 2201 ( g, ^ 5 )= 2^ ( д, 5 ) Я 2 ( д, 5 ) ^ ,

Г ЖЬ0 (д, 2,5 ) = - 2 у-2 ддк01 , 5) *"к01(д 5 )2, Г ЖЬ2 (д, 2,5 ) = 0,

Я(д, 5) (17)

2 2 2

Г Жп (д,2,5 )-у2'д

Я (д, 5)

д2

к01 (д, 5) Я(д, 5)

е~ к01( д^

Я(д,5) = д2 - к0 (д,5)к01 (д,5), к32 (д,5) = 2д2 + у^2.

Далее ограничимся рассмотрением функций влияния на поверхности = 0 . При этом, вводя обозначения

2

ГЖЬ (д, 5) = Г ЖЬ (д,0,5) = £ г£ (д, 5),Г- (д, 5 )=Г ЖЬ (дА 5),

7=0

из (17) получаем:

ГрЬ, (д, 5 ) = *2ГРЬ (д, 5), (, = 0,1), (18)

где

Гр30 (д, 5 ) = , ГЖЬ (д, 5 ) =--/45ч2д* ч. (19)

33Ц } Я (д, 5) 331 7 2^! (д, 5) Я2 (д, 5) V У

Тогда оригиналы функций влияния определяются следующий образом (штрих соответствует производной по координате х ):

Отметим, что знание оригиналов функций ГрЬ (д, 5) в соответствии с (7), (15) и (18)

при учете свойств преобразования Лапласа и свертки позволяет записать нормальное напряжение на границе полупространства так:

= Ч * *Гзз Гзз = Г330 + осГ331 (*,т). (20)

3. Оригиналы функций влияния

Чтобы найти оригиналы функций влияния используем алгоритм совместного обращения преобразований Фурье и Лапласа [7, 21, 23]. По этому алгоритму, выполняя замену аргументов д = Xs, из (19) получаем:

Г3Ь (д,*) =1 ¿33, (X) (, = 0,1),

¿330 М= к°1 ^у1, ¿331 (X) = -

4л 2

y14X

2к01 (X 2,1) 52 (X2)

5 (X) = X - к0 (X,!) к01 (X,1);

X = -х

У + х1 / ч IX —-г, 11Ш X = Xo ( х, х) =--,

х + У У^±0 х

Тогда искомые функции определяются так:

Г33, ( х, х)

2тх

Нт ^ М^Нт К, (X) (] = 0,1).

(21)

Выделение однозначных ветвей функций к0(X2,1) и к01 (X1,l) проводится с помощью разрезов комплексной плоскости X вдоль мнимой оси:

11Ш к0 (X 1'1)

у ^±0

У11Ш0 к01 (X 2,1) =

-х21 х2 ±/б1§П (х)^2/х2 -1

4

У1 -х7 х2

±/$1§п (х

■х1 - у1

(VI х <1) •

(VI х| * 1),

(VI х1 < У11 > (VIх| ЙУ1).

(22)

Выполняя предельные переходы (21), с учетом (22) получаем следующие выражения для оригиналов: - при х/| х| < 1

Г330 (х, х) = Г331 (х,х) = 0,

(23)

1

- при 1 < х/ х < У1

(х2-у1 х2, л _ у1

Г330 (х,х)= л 2\ 2 ( 2 2 2\ =Г3300 (х,х), = I-т <1,

я(1 + У2)х2 (х2 х2) + у2

г ^ ч_ У1 х у х -х , V

1331 (Х, х) Л 2\2 2/ 2 2 2\2 13310 (Х, х),

л(1 + У1 ) х (х - V1 х )

- при х/| х| > У1

д (х2, х2 ^д/х^ттцх1

Г330 ( Х, х) = д( ,2 4 2/ 2 - 12 ^ = Г3302 ( Х, х) , д ( Х х) = х + Vх-Х ^х - У2 х,

л (1 + у ^ ) х (х Vх )

4 2 и г г\ (25)

Г (хх) =_У (Х ,х1)_= Г (хх)

ГВ1 (Х'х) 1л(1 + у,1 )2 х2 (х2 -V1 х2 ^ТТ-^Х1 3,11 (Х'х)'

Учитывая, что для известных моментно упругих материалов [11] имеет место неравенство у> 1, формулы (23) - (25) представляем так (Н- единичная функция Хевисайда [7]):

1

Г33, (х, х) = ХГ33,/ (х,х)Н(х - У/ |х|) (] = 0,1), (26)

/=0

где

Г3301 (х, х) = Г3302 (х,х) — Г3300 (х,х) _

Г3311 (х,х) = Г3312 (х,х) Г3310 (х,х)

л(1 + у2)х2(х2 -V2х2)' У4х2[х4 +(х2 -х2)(х2-у12)]

„ Г-,-—/ о о оЧ2

2л(1 + у2)2хУх2 -У2х2 (х2 - VIх2)2 Отсюда следует, что функция Г330 ( х, х) непрерывна всюду, а Г331( х, х) непрерывна

везде за исключением точек х = у |х|. При этом имеют место соотношения:

г» ; *хт)=0 (у=0Д), Л'ш» (х т)=

1 , Нш Г331( х, т) = +го.

Л X х1+»

Нш Г„,(х,т)

4. Примеры расчетов функции влияния

Полагаем, что материалом, заполняющим полупространство, является зернистый композит из алюминиевой дроби в эпоксидной матрице, со следующими физическими характеристиками [11]:

X = 7,59 ГПа; ц=1,89ГПа; а=7,45МПа; у+е=2,64кН; 3=0,429 • 1»-3 кг/м. В качестве характерного линейного размера принимаем Ь = 1 м. При этом безразмерные параметры в (4) таковы:

у = 2,45; у2 = 0,92; а = 0,66 • 10-3; р = 5,1 • 106 На рис. 1 и 2 представлены построенные с помощью формулы (26) зависимости функций влияния Г330 ( х, т) и Г331( х, т) от времени т при различных значений координаты: сплошная кривая соответствует х = 0,2, пунктирная - х = 0,4, а штрихпунктирная - х = 0,6.

Гззо

0.5

-0.5

-I

■1.5

.............. > у у / у

~ / 1/0 А 5 \ „ ----1 5 т 2

/1 /

Гзл

15

10

1 1 1 / ¡

.................1 1 ...... /......1 / ! ! .................>

1 — ! \ |

^— \ г"............... ¡4.

Г 1 |

0.5

1.5

Рис. 1

Рис. 2

На рис. 3 и 4 изображены зависимости тех функций от координаты х при различных значений времени: сплошная кривая соответствует т = 0,15, пунктирная - т = 0,3, а штрихпунктирная - т = 0,45.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 х 0.5

Рис. 3 Рис. 4

Отметим, что поскольку порядки функций Г330 ( х, т) и Г331( х, т) одинаковые, то в

соответствии с формулой (23) влияние учета моментных свойств среды имеет порядок коэффициента а.

5. Примеры действия нормальных перемещений

В качестве первого примера рассмотрим действие на полуплоскость сосредоточенного в начале координат возмущения вида (х, т) = т^ 8(х)/2.

Учитывая, что при этом щ) (х,т) = /У (т)б(л') из формулы (20) получаем

^ (X т) = ^о (X т) + (X т) (27)

Здесь

1 т

(x,т) = XН (т - У/ |х|) | Г33л (хг)Л (л = 0,1)_

/=° Т/|х|

Входящие сюда интегралы находим численно. Результаты расчетов зависимости функции нормальных напряжений ст^0(х,т) и ст^(х,т) от времени т при

различных значений координаты х представлены на рис. 5 и 6 (где сплошная кривая соответствует х = 0,2, пунктирная - х = 0,4, а штрихпунктирная - х = 0,6).

Рис. 5 Рис. 6

Второй вариант возмущения - распределенное по оси Ox перемещение вида W (x, т) = т+f (x) H (a - |x|), где f (x) = (a2 - x2) , a > 0. Учитывая, что в этом случае w0 (х,т) = /(х)б(т), из формулы (20) получаем равенство (27), в котором нужно положить (j = 0,1)

i

CTzz/ (x, X)=Sa j (x, T)

l=0

где

Gzzji (x,т) = |h(a - |x - ^ f (x - у H(т - уi ß ($,т)d$,

bi

Ь = min (x - a, -т/у;), c = min (x + a, т/у,),

Входящие сюда интегралы находим численно. Результаты расчетов зависимости функции нормальных напряжений ст^0(х,т) и ст^(х,т) от координаты х для различных значений времени т при а = 0,5 представлены на рис. 7 и 8 (где сплошная кривая соответствует т = 0,2, пунктирная - т = 0,4, а штрихпунктирная -т = 0,6).

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 х 0.6 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 х о.б

Рис. 7 Рис. 8

5. Заключение

Построено аналитическое решение задачи о распространении нестационарных поверхностных кинематических возмущений в моментно упругой полуплоскости, позволяющее с помощью квадратур находить напряжения для любого закона изменения нагрузки. Установлено, что поправки, вносимые в решение учетом моментных свойств среды, имеют порядок коэффициента, связывающего поля перемещений и поворота. Показано, что поверхностные функции Грина в этом случае имеют интегрируемую особенность на фронте волны сдвига.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 18-08-00471).

Библиографический список

1. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2. № 9. С. 1399 - 1409.

2. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. № 3. С. 401 - 408.

3. ^нин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. - М.: Наука, 1975. - 416 с.

4. Eringen C.A. A unified continuum theory of liquid crystals // ARI - An International Journal for Physical and Engineering Sciences, 1997, vol. 50, pp. 73 - 84.

5. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909, 226 p.

6. Нгуен Нгок Хоа, Тарлаковский Д.В. Нестационарные поверхностные функции влияния для упруго-пористой полуплоскости // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29269

7. Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. - М.: Физматлит, 2004. - 472 c.

8. Старовойтов Э.И., Локтева Н.А., Старовойтова Е.Э. Деформирование трехслойных композитных ортотропных прямоугольных пластин // Труды МАИ. 2014. № 77. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=53018

9. Белов А.А., Игумнов Л.А., Карелин И.С., Литвинчук С.Ю. Применение метода ГИУ для решения краевых задач трехмерных динамических теорий вязко- и

пороупругости // Труды МАИ. 2010. № 42. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=22862

10. Михайлова Е.Ю., Федотенков Г.В. Нестационарная осесимметричная задача об ударе сферической оболочки по упругому полупространству (начальный этап взаимодействия) // Известия РАН. Механика твердого тела. 2011. № 2. С. 98 - 108.

11. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во МГУ, 1999. - 328 с.

12. Кулеш М.А., Шардаков И.Н. Построение и анализ некоторых точных аналитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера // Вестник Пермского государственного технического университета. Математическое моделирование. 2001. № 9. С. 187 - 201.

13. Шкутин И.Л. Обобщенные модели типа Коссера для анализа конечных деформаций тонких тел // Прикладная механика и техническая физика. 1996. № 3. С. 120 - 132.

14. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=29267

15. Eremeyev V.A., Zubov L.M. On constitutive inequalities in nonlinear theory of elastic shells // ZAMM, 2007, vol. 87, no. 2, pp. 94 - 101.

16. Савин Г.Н., Лукашов А.А., Лыско Е.М. Распространение упругих волн в твердом теле с микроструктурой // Прикладная механика. 1970. Т. 6. № 7. С. 48 - 52.

17. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. № 6. С. 1117 - 1120.

18. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметричной упругости. Учет внутреннего вращения // Физика твердого тела. 1964. Т. 6. № 9. С. 2689 - 2699.

19. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 c.

20. Миндлин Р.Д., Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика. 1964. № 4. С. 163 - 176.

21. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. - Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.

22. Чан Ле Тхай, Тарлаковский Д.В. Нестационарное осесимметричное движение упругого моментного полупространства под действием нестационарных нормальных поверхностных перемещений // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физико-математические науки. 2017. Т. 159. Кн. 2. С. 231 - 245.

23. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. - М.: Наука. Физматлит, 1995. - 352 с.