АНТИПЛОСКОЕ НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С УЧЕТОМ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Антиплоское нестационарное движение электромагнитоупругого полупространства с учетом пьезоэлектрических эффектов

1* 12** Нгуен Тхань Тунг , Тарлаковский Д.В. '

1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский

университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, Мичуринский проспект, 1, Москва,

119192, Россия

e-mail: thanhtungJ 106@gmail.com

e-mail: tdvhome@mail.ru

Статья поступила 08.04.2019

Аннотация

Рассматривается однородное анизотропное электромагнитоупругое полупространство, отнесенное к прямоугольной декартовой системе координат. Замкнутая система уравнений включает уравнения движения, соотношения Коши для деформаций, уравнения Максвелла, а также линеаризованные обобщенный закон Ома и учитывающие пьезоффекты физические соотношения. Начальные условия полагаются нулевыми и на бесконечности возмущения отсутствуют.

Рассмотрены различные виды симметрии входящих в физические соотношения тензоров. Показано, что антиплоское движение возможно для трансверсально изотропной среды в условиях отсутствия магнитных пьезоэффектов. На границе полупространства заданы нестационарные перемещение и электрическая индукция.

Для решения применяются преобразования Лапласа по времени и Фурье по

пространственной координате, а также метод малого параметра, в качестве которого

используется коэффициент, связывающий механическое и электромагнитное поля.

Построена разрешающая рекуррентная система для коэффициентов

соответствующих степенных рядов. Ее решение записывается в интегральном виде с

ядрами в виде функций Грина. Найден явный вид последних.

Ключевые слова: антиплоский процесс, пьезоэлектрический эффект, поверхностные функции влияния, интегральные преобразования Лапласа и Фурье, совместное обращение преобразований.

Введение

В настоящее время достаточно подробно изучены статические и стационарные задачи электромагнитоупругости. Имеются также исследования некоторых нестационарных процессов в изотропных электромагнитоупругих телах. Аналитические же решения соответствующих связанных нестационарных задач для анизотропных сред практически отсутствуют.

Некоторые шаговые по времени схемы метода конечных элементов для задач с классическими краевыми условиями в рамках линейной теории пьезоэлектричества в квазистатическом приближении проанализированы в статье Наседкина А.В. [1]. В работах Бардзокаса Д.И., Сеника Н.А. [2], а так же Бардзокаса

Д.И., Кудрявцева Б.А., Сеника Н.А. [3] приведены основные соотношения

электродинамики и описание пьезоэлектрических и магнитоупругих эффектов.

Представлены постановки основных задач о возбуждении и распространении волн в

различных средах. Приведены результаты исследований распространения

гармонических волн в неограниченных электромагнитоупругих средах.

Исследование объёмных волн в пьезоэлектриках и магнитоупругих средах строится

с учётом электродинамических эффектов и проводимости материалов.

Рассматриваются задачи, связанные с возбуждением поверхностных волн Рэлея,

сдвиговых поверхностных волн и волн Лэмба. Метод решения этих задач основан на

сведении их к системам сингулярных интегральных уравнений с последующим их

решением методом Бубнова. В статьях [4-6] Кирилюк В.С. и Левчук О.И.

рассмотрели связь между статическими задачами упругости и электроупругости,

причём результат электроупругой задачи для пьезоэлектрика удалось получить без

непосредственного решения, но с использованием соответствующей упругой задачи.

Решение связанной задачи о перемещении жёсткого эллиптического диска в

пьезоэлектрическом пространстве под действием приложенной силы вдоль оси

поляризации удалось получить в аналитическом виде в [5].

Статьи Ватульяна А.О. [7-9] посвящены нестационарным задачам электротермоупругости. В [7] на основе обобщённого преобразования Фурье строятся фундаментальные решения в электроупругости, в [8] для уравнений термоэлектроупругости в квазистатической постановке для пьезоэлектрических тел

исследованы свойства решений по времени. Доказано их экспоненциальное убывание. В одномерном случае построена операторная связь наведённого потенциала тока и теплового потока. В [9] исследованы некоторые закономерности нестационарного движения для уравнений термоэлектроупругости на основе асимптотического анализа квадратичной формы операторного уравнения, порождённого краевой задачей.

В работах [10-16] приведены основные соотношения для связанных механического и электромагнитного полей. Использована линеаризованная модель, включающая уравнения Максвелла и обобщенный закон Ома. Для решения задач применены разложения в ряды, преобразование Лапласа по времени и интегральные представления с ядрами в виде функций Грина. Последние найдены в квазистатическом приближении. Построено аналитическое решение.

1. Постановка задачи и интегральное представление решения

Замкнутая система уравнений, описывающая связанные нестационарные процессы в анизотропной однородной электромагнитоупругой среде с учетом пьезоэффектов при отсутствии внешних массовых сил, в прямоугольной декартовой системе координат Оx1x2Xз имеет следующий вид [10,11]:

- уравнения движения:

д2ы1 дгк! дБк дБк

= + Рг' Рг = + Яук-Г1- . С1)

д? дх. дх. дх]

- физические соотношения:

Ъу = Сук18к! + РукДк +

Е = 4л (уД] + Ркегв*), Н = 4Л . + ^Вке).

(3)

- соотношения Коши:

8У= 2

ди. ди

V у

(4)

- уравнения Максвелла:

1 дВ 4я . 1 дБ

гс^Е =---, гоШ = — ] +--, ё1уБ = 4лре

с д1 с с д1

(5)

- линеаризованная форма обобщенного закона Ома:

] = а

Е + -

с

ду и

¥'Во

ду +р«» ¥

(6)

Здесь и = и^ - вектор перемещения; о = ст^е ■ и е = £уеру - тензоры напряжений и деформаций; ^ - время; р - массовая плотность; Е = Е. е. и И = Н. е. -векторы напряженностей электрического и магнитного полей; Б = Де. и В = В.е, -векторы электрической и магнитной индукций; ] = jiе. - плотность тока; с -

скорость света; С1]к1 - тензор упругих постоянных; и Ьг; - тензоры

диэлектрической и магнитной податливости; Р

и

%к

тензоры

пьезоэлектрической и пьезомагнитной податливости; ре - плотность зарядов; а -проводимость среды; е, е2, е3 - базисные орты; нижним индексом «0» обозначены величины соответствующие начальному состоянию; по повторяющимся латинским

индексам проводится суммирование от 1 до 3.

1

Далее ограничимся рассмотрением антиплоского движения (антиплоской деформации), которому соответствуют следующие перемещения:

щ = щ = 0, щ = V (х, ?), х = х, 2 = х3. (7) При этом для удовлетворения уравнений движения в (1) при I = 1,3

необходимо выполнение следующих равенств для тензоров физических постоянных:

С = С = С = С = С = С =0

С2111 С2113 С2133 С2311 С2313 С2333 0,

Р111 = Р112 = Р113 = Р132 = Р133 = Р332 = Р333 = 0, (8)

Я111 = Я-112 = Я-113 = Я-132 = Я133 = Я332 = Я333 =

Отметим, что этим требованиям удовлетворяют кристаллы, обладающие гексагональной сингонией примитивного и планального классов [10,11], которые соответствуют трансверсально-изотропной среде.

Далее пренебрегаем пьезомагнитными эффектами, т.е. полагаем:

^ =0. (9)

Кроме того, аналогично (7) полагаем, что компоненты электромагнитного рассматривать электромагнитное поле поля не зависят координаты х и имеют место равенства:

£ = £ -0, £>10 = £>30 = 0, Б2 =0, Б01 = Б20= Б03 =0. (10)

из которых согласно (5) и (6) получаем:

^2=0, Л = Л=0, ре =Ре 0=0 . (11)

При изложенных допущениях система уравнений (1) - (6) принимает следующий вид:

д^-г — Г — К К - дР2

Р д^ = 212 £^2 + 323 2 + F2' F2 = ^23 ^ '

Ъ12 = 2^12812, Ъ23 = 2C232зS2з + Р223А, °11 = Ъ22 = Ъзз = ^ = О, Ег = 4л(^22Д2 + 2Р223823 ), H1 = 4^Ь11B1, H3 = 4лЬ33В3

22 2 223 23 1 11 1 3 33 3

_ 1 ду _ 1 ду _ _ _ _

812 = ТТ-, 823 = ТТ-, 811 = 833 = 813 = 822 = 0, 2 дХ 2 д2

дЕ2 _ 1 дВ дЕ _ 1 дВ3 дН _ дН3 _ 4л . 1 дД

"Л + '

(12)

дг с д? дх с д? д2 дх с с д?

аВ03 ду . . аВ01 ду

= —03—, У2 = аЕ, и =--01—.

1 с д? 2 3 с Ы

Далее будем использовать следующие безразмерные параметры (при

одинаковом начертании величин они обозначены штрихом, который в

последующем изложении опускается):

х , 2 сЛ , и , у , ^ , 16л2 ^ 1Р Ь

х =—, 2 = —, Т = —, и = —, у = —, w = —, р =-1 е ,

Ь Ь Ь Ь Ь Ь е Е„

Нкс1 Вкс1 , ак! ^ 4л^11Дк Ук

Яг к 1 о' к 1 ' ^ к! Т7' к т^г • .^ц^ к г

к = ^—^, Вк = —, ак! = ——, Ек =—, Д =—-—, Л

4лЬ сЕ сЕ ! С Е Е аЕ

^ , _ ЕЬ г' - п' - Ок А' -Ьк± И' -

Ек = ^ , С1}к! = ^ , рук = ^ , Ьк! = , ,

' ^ ' ± УК к! ^ к! ^

С1111 С1111 Е* Ь11 ^11

Е, СШ1 с уеЬ 16л ¿паЬ а =---, с = ——, ^ = —, у = —^ =-11—.

16л ^11С2з2з \ р се с1 с1

С С

2 * и _Лг21 _ 2_ С1111 2_ С1212

с; = 16л2с2^11^11, уе = 16л2¿па, л2 = -г11, у2 =

С С

С2323 С2323

где Ь и Е - некоторые характерные линейный размер и напряженность электрического поля.

В этих величинах система уравнений (12) имеет такой вид (точками здесь и

далее обозначены производные по безразмерному времени т):

2.. 2d2v d2v

ох oz oz

дЕ2 • . дЕ2 • 8Н, дН, 2/ . • ч oz ox oz ox v 7

j2 = ^ = + ^, H = Hз = ¿33(14) oz

0v _ ^

CT12 C1212 Л , ^23 C2323

ox

Ov

V°z y

—+ oz

Полагаем, что среда занимает полуплоскость, на границе которой 2 > 0, на границе которой заданы перемещение и ненулевая компонента вектора электрической индукции:

А=0= V (X, Х) °2 Iг=0 = ^20 (x, х) . (15)

На бесконечности возмущения отсутствуют, а в начальный момент времени х = 0 имеют место невозмущенное состояние:

V х=0 И х=0 = Н.| х=0 =Н>\х=0= А| х=0=0 . (16)

Решение начально-краевой задачи (13) - (16) записываем в виде сверток (они обозначаются звездочками) по времени и координате х :

V ( x, z, х) = Gvv (x, 7 х) * (х х) + Gvd (X Z, х) * 20 (x, х), ^

£2 (X, X Х) = ^ (X, X Х)**^> (X, Х) + ^ (X X Х)*^20 (X х).

Здесь ^, ^сь и ^, Gdy - поверхностные функций Грина, которые есть ограниченные решения начально-краевых задач, включающих уравнения (13) - (14) начальные условия (16) и соответственно граничные условия:

И- =5( X. У )8(х), А| 2=0 VI 0=0 Ч=0 = 5( х> У )8(х).

где 8(Ь) - дельта-функция Дирака.

Остальные параметры электромагнитного поля и напряжения могут быть найдены с помощью соотношений (14).

2.Изображения функций Грина

К задачам для функций Грина применяем экспоненциальное преобразования Фурье по координате х и преобразование Лапласа по времени (индексы « Е » и « Ь » указывают на изображения; у и * - соответствующие параметры). В результате система уравнений (13) - (14) принимает вид:

л2 р\Г)РЬ I_

— - (у,*)Vе1 + = 0, к2 (у,*) = фУ +Л2*2, Яе^2 > 0, (19)

сг сг

^ = , щьъъВ? = , ^ + ЩН? = Ле2 № + ),

д2 д2 (20)

дкрЬ

■ЕЬ _ ^Ь ^Ь у пеь с д!_

У2 = В2 , В2 = и22£2 + Ь ~ .

д2

Соотношение (20) сводится к одному уравнению:

(d22 - а^2- d22к2 (у,*)О? + Ьк (Я,*) — = 0. (21)

где

ке (^ Я) = Ке (Я) + Л2Я7К (^ Я) = Ле2Уs + Ч^33 , ке > 0

Ку ( q, Я ) = к2 (q, Я ) Ке (Ч, Я ) = (у 2 - Ь33) Ч2 + л2Я 2 "Л2 УЯ.

Изображения граничных условий (18) записываются так:

°Руу\=0 = 1 =0 =

суН_п = 0, оЕЬ\ = 1.

(22)

=0

2=0

Общие ограниченные решения системы уравнений (19), (21) имеют вид:

Ьуу

V иау у

= С1у у^2 + С2у у 2е~К 2,

С

/~<ЕЬ

V у

= Са у^2 + С2 а V 2е-К>2, у и =

VУ2и У

(У = 1,2 ). (23)

Здесь ^, - постоянные интегрирования, К и К2 - обладающие

положительной действительной частью корни характеристического уравнения:

А = (а22 - а£,2) К4 - [^ (к22 + к2)- а^2К

К2 + а22к1к2е = 0.

(24)

а у - решения следующих однородных систем линейных алгебраических

уравнений:

А

Vу2У У

0, А

(К2 - к2) а^К

" 2 (а22 - а^2 ) - а22ке

(25)

Отсюда следует, что компоненты векторов у можно выбрать следующим

образом:

У1 у = а^К у, у 2 у = к2 -КУ .

(26)

Определяя с помощью граничных условий постоянные интегрирования и

подставляя их в (23), получаем изображения функций Грина:

ОУ(д,*) = !(д,*), (д,2,*) = £(д,*)е

¿=1 ¿=1

(д, 2, * ) = £ я** (д, *) , (д, *, * ) = £ (д, *)

к=1 ¿=1

(27)

где

-, (к2 — -2) -9 (-2 — кк ) ^(д, *) = ^ 2(д, *) = . ^ 2(д, *) = ^(д, *) = -^-к

(к22 — - 2)(к22—-2)

(д, * ) = — ^ 2 (д, * ) =

а

£Р (д, *)

Кл (д, *) = — Кс 2 (д, *) = —О^-у,в (д, *) = (-1 — - 2)(к2+-1-2).

Очевидно, аналитически построить оригиналы функций в (27) затруднительно. Поэтому далее аналогично [12 - 14] будем использовать метод малого параметра, в качестве которого примем £ в (13). Отметим, что при £ = 0 уравнения в системе (19), (21) становятся независимыми, т.е. в этом варианте независимы механическое и электромагнитное поля.

Функции Грина представляем в виде степенных рядов по параметру £:

да

О (х, 2, т) = X Ош (х 2, т)£т, Ч = сСУ, УС, сС}. (28)

т=0

При этом ограничиваемся двучленным приближением по этому параметру, и приближенные равенства заменяем точными. Коэффициенты разложений:

- = - 0 + а£2-/1 (Ч = 1,2). (29)

корней характеристического уравнения (24) находим, подставляя в него (29) и

приравнивая коэффициенты при нулевой и второй степенях параметра £ с неравенств Яе X. > 0:

ХШ = ке> 4) = ^ , Х10 = Ке , Х20 = ^ Х71 = _ Г1 \-/,/П (1 = 1,2 )• (30)

(Х20 -Хе )Х}

2^ [2X20 -(+ К2 )]

Используя эти результаты, получаем следующие представления изображений функций Грина с точностью до линейного по £ слагаемого:

О,V (д, ', *) = е-К', (д,",*) = 2£Хи (д,*)(е^' - е-"" ),

С (д,',*) = -т(- е-*2""), О2 (д,",*) = • ^

*е *2

З.Оригиналы функций Грина и решения задачи

Структура изображений функций Грина такова, что даже в линейном приближении по малому параметру аналитически найти оригинал невозможно. И, прежде всего, это связано с неоднородностью функции * (д, *) в (21). Поэтому подобно [13, 14] будем использовать квазистатический аналог функций Грина, полагая це = 0. Тогда формулы (31) такой вид:

О, (д,', * ) = /Г1 (д,', *), о% (д,', * ) = А[ /^ (д,', *)- /? (д,', *)]

й,

22

(32)

О, (д,', * ) = аРз£[ /5РЬ (д,', *)-/? (д,', *)], О% (д,', * ) = (д,'),

где

Г (д,2,*) = , /? (д,2,*) = к^е"2, /^ (д,2,*) = к

/? (д,2) = ,(д,2,*) = ,(д,2,*) = к2 (д,*), (33)

М

Р (д, *)

Р (д, * ) = к2 (д, *)—ьззЧ 7

Оригинал первой функции в (23) находится последовательным обращением преобразований Фурье и Лапласа с помощью таблиц и свойств преобразований:

/1 ( х, 2, т) =—^ (у 2 т2 —л2 г2 )"3/2, г2 = (34)

лу / /+ У

Вторую функцию представляем в виде:

/? (д,2,*) = ф^ (д)/%> (д,2,*), ф^ (д) = |д|, /^ (д,2,*) = к22. (35)

К изображениям /21ь и применяем алгоритм совместного обращения

преобразований Фурье и Лапласа [17]. В результате получаем

/210,т) = Н{т - л2г) * /20 (х, 2, т), /3 (*, т) = /30(*, 2, т - л2Х>, (36)

где

^5 (X 2 т) , 2 2 2 2 \—12 /20(х, 2 т) = —^-(у2Т — Л2 Г )+ ,

лУ (х, 2, Т) +

/зо(х, 2, т) = к_ [у4т222 (у2Т2 —Л2Г22 )—12 — х2 (у2Т2 — л2Г22 ^

4

лг2

У (х, 2, т) = б2 (х, 2, т) + 4 (у 2 — Ьзз )2 х2 22 т2 (у 2 т2 — л2 ), 5 (х, 2, т) = у 2б (х, 2, т) + 2 (у 2 — Ьзз) х2 (у 2 т2 — л2 г22),

б(х,2,т) = (у2 — Ьзз )[т2 (у222 — х2 ) — л22

Здесь т+ = тН (т), где Н (т) - функция Хевисайда.

24

+ Л2 г2.

Для вычисления оригинала функции fPL (q, z, s) сначала обращаем

преобразование Фурье с использованием таблиц [19] и его свойств (C - постоянная Эйлера):

ф(Л ) = |q|F 1 = q¡ = - (ln| x| + C) = --Ц-. (37)

/ Л^ - 5 2

q

M,

n dx 7 nx2

Тогда, учитывая формулы (35) и (36), приходим к равенству:

/2(- т) = -^ НЛ2") * А * /20 (^ ", т) (38)

Л X

Для вычисления оригиналов остальных функций в (33) записываем их так:

/? (д,*) = у- (д,'), (д,',*) = (д,0,*)у" (д,'), /[1 (д,",*)= /?■ (д,0,(д,"), у-(д,") = е'»*•

Оригиналы первых сомножителей во втором и третьем равенствах получаем из с помощью (35) и (36):

f (x, 0, х) = - -L * H(x) * f (x, 0, X) = 0, nx

f (x, 0,x) = f30(x,0,x), f30(x, 0, x) =---j(y2x2 - Л2x" )f

nx 4 /+

(40)

Отсюда с помощью (40) приходим к такому выводу:

/з( X,', т) = 0. (41)

Оригинал функции у- (д,") находим с помощью таблиц:

у(X,') = -"т, г3 = ^ X2 + р32'2 . (42)

nr3

Тогда оригиналы функций (д, 2, *) и /^ (д, 2, *) записываются

следующим образом:

2, % " 1 /4 {х, г, х) = 8 (х), /6 {х, г, х) = - /30 {х, 0,х)* —= (х, г, х)

л гз

л

у2Л2 т

^ у 2 112

J (х, 2, т) =--[

тт »

7у 2 т2—л2£2 с £

(43)

л —1

-у2Л2 т

£2 (х — £)2 + Р2 22

Последний интеграл с помощью разложения подынтегральной функции на элементарные дроби и соответствующей замены переменной [19, 20] находится в явном виде:

J (х, 2, т) =

2Ь ( х, г, х) С (х, г, х)

gо (х,2,т)ко (х,2,+

(44)

где

9 9 л 2 2 2 2/22, 2 2 \

с

а =

7 1 /""2 й 2 2 2 Г 2 2 , 2п2 2,22 п í .

о 2 , Ь = —Vе — 4Л2 у 2т х , с = у 2т +Л2Рз 2 +Л2х , Яо =Р2 (а + Ь) ,

2л2х 2л2 х

Я2

А

Рр (а Ь), ко (х 2, т) = Л/у2т2—л2 (а +Ь^ к2 =

Р2 ( а + Ь ) у

л2 (а—Ь )2 — у2 т2

у2 т2 —Л2 ( а + Ь )

Р2 (£) = ( х — £)2 + Р2 22.

Суммируя все результаты этого пункта, оригиналы функций Грина в (32)

записываем так:

От (х,I, т) = Кгг (х,I, т), (х,I, т) = К,г (х,I, т), д2

(^ 2, т) = КуС (^ 2, т), (^ 2 т) = КССС (^ 2Жт).

где

К, (X,', т) = ■(у2т2 - л2г22 )-12, Км (х,'):

ЛУ2Г22 ^ '+ ' ' ЛГз2'

(x,т) = (X т) + /30(x,т- л 2") ] (46)

Кй (X,', т) = Н (т) *( 1п | X + С)* /20 (X,', т).

При этом интегральные соотношения (17) с использованием свойств свертки приобретают такой вид:

д 2й20 (X, т)

дx2 (47)

О2(х,=,т) = К<ь(х,=,т)**¥0(х,т) + Км(х,=)*с1п(х,т).

4.Примеры расчетов

В качестве примера материал рассмотрим кварц, который имеет следующие физические характеристики [21, 22]:

СШ1 = 1.072.105 МПа, С1212 = 0.579.105 МПа, С2323 = 0.399.105 МПа,

йп = 5.11.10-10м/ф, й22 = 5.10-10м/ф, Ьп = -8.2.10-6а/(тл • м), Ь33 = -8.10-6а/(тл • м),^223 = 2.3.10-12 в/м.

Принимая Е = 1В / м и Ь = 1 м, получаем безразмерные параметры: л2 = 2.68, у2 = 1.45,Ь'зъ = 0.98,р'223 = 2.3.10-12,с1'22 = 12.3.

На рис. 1 - 3 приведены графики изменения вычисленных по формулам (46) ядер Ку (х, 2,т),(х, 2,т),Ку (х, 2, т) сверток по координате х при 2 = 0.05 для различных значений моментов времени: т = о,2 (сплошные кривые), т = о,4 (пунктирные кривые) и т = о, 6 (штриховые кривые), а на рис.4 изображены графики изменения по координате х при т = о, 2 в разные координате: 2 = 1 (штриховые кривые), 2 2 (штриховые кривые) и 2 з (сплошные кривые).

Далее для примера рассматриваем следующий вариант правых частей

граничных условий (15):

d20 (x, х) = H (х) x+, V (x, х) = x+S (x). Им соответствует следующий вид равенств (47):

(x,z,х) = Kvv (x,z,x)* H(x) + Kvd (x,z,x)* H(x), A (x, zx) = Kdv (x, z x) + H(x)Kdd (^z)* x+ •

(48)

Две свертки находятся в явном виде (второй интеграл понимаем в регуляризованном смысле):

z < v __£ ............

y

Kvv(x,z,x)*H(x) = —(y2x2 -л2г>2)+ ,Kdd(x,z)*

nY2r2 + n

xarcctg-^ + ln r

Рз"

Вторую свертку в первом равенстве в (48) преобразовываем следующим образом:

2аР£"

Kvd (x, z,x)* H(x) =--t2i_H(x - Л2z) f £(£ - Л2z)F(£, z)d£ . (49)

n i¿z

где

Y21-Vl2-Л2z2 />2 + v272^

F£Z)= A (C2+y 2 z2) S (C, z, l) d С ' f Y(C, z, qJy 2 (l2 -Л2--2 )-л2С

Интеграл в (49) находим численно. На рис.5 приведены графики изменения вычисленной по формулам (48) электрической индукции Д (X,", т) по координате

X при ' = 0.1 для различных значений моментов времени: т = 0.1 (сплошные кривые), т = 0.2 (пунктирные кривые) и т = 0.3 (штриховые кривые), а на рис.6

приведены графики изменения вычисленных по формулам (48) перемещения

V(х,2,т) по координате х при т = 0,2 в разные координате: 2 = 1( штриховые

кривые), 2 = 2 (штриховые кривые) и 2 = 3 (сплошные кривые).

Рис.5

Рис.6

5.Заключение

Построено аналитическое решение задачи об антиплоском распространении нестационарных поверхностных возмущений в анизотропной однородной электромагнитоупругой среде с учетом пьезоэффектов. С помощью квадратур находим решение в виде ядер функций Грина. Установлено, что поправки, вносимые в решение учетом пьезоэлектрических свойств среды, имеют порядок коэффициента, связывающего механическое и электромагнитное поля.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 18-08-00493).

Библиографический список

1. Наседкин А.В. Исследование шаговых по времени схем метода конечных элементов для нестационарных задач электроупругости с классическими граничными условиями // Механика деформируемых тел: Межвузовский сборник научных трудов. - Ростов на-Дону: Донской государственный технический университет, 1994. С. 78 - 84.

2. Бардзокас Д.И., Сеник Н.А. Контактные задачи электроупругости. - М.: Физматлит, 2001. С. 583 - 606.

3. Бардзокас Д.И., Кудрявцев Б.А., Сеник Н.А. Распространение волн в электромагнитоупругих средах. - М.: Едиториал, 2003. - 336 с.

4. Кирилюк В.С. О взаимосвязи решений статических контактных задач теории упругости электроупругости для полупространства // Прикладная механика. 2006. Т. 42. № 11. С. 69 - 84.

5. Кирилюк В.С. О перемещениях жесткого эллиптического диска в трансверсально-изотропном пьезоэлектрическом пространстве // Теоретическая и прикладная механика. 2007. № 43. C. 16 - 21.

6. Кирилюк В.С., Левчук О.И. Электроупругое напряженное состояние пьезокерамического тела с параболоидальной полостью // Прикладная механика. 2006. Т. 42. № 9. С. 59 - 69.

7. Ватульян А.О. Об анализе движений в термоэлектроупругости // Труды 4-й Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды»

(Ростов-на-Дону, 27-28 октября 1998). - Ростов-на-Дону: Южный федеральный университет, 1998. Т. 1. C. 79 - 83.

8. Ватульян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости // Прикладная математика и механика. 1996. Т. 60. № 2. C. 309 -312.

9. Ватульян А.О., Домброва О.Б. Коэффициентные обратные задачи электроупругости // Труды 5-й Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 12-14 октября 1999). -Ростов на-Дону: Изд-во Южного федерального университета, 2000. Т. 2. - С. 48 - 52.

10. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Линейные уравнения движения термоэлектромагнитоупругой среды // Методи розв'язування прикладних задач мехашки деформiвного твердого тша: Збiрник наукових праць. - Дншропетровськ: ГМА-пресс, 2009. Вып. 10. С. 57 - 62.

11. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic Processes in Thermoelectromagnetoelastic and Thermoelastodiffusive Media // In: Encyclopedia of Thermal Stresses. Dordrecht, Heidelberg, New York, London: Springer, 2014, vol. 2, pp. 1064 - 1071.

12. Вестяк В. А., Лемешев В. А. Одномерные нестационарные волны в толстостенной электромагнитоупругой сфере // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций: Сб. науч. трудов. - Днепропетровск: ДГУ, 2009. Вып. 13. С. 24 - 30.

13.Вестяк В.А., Лемешев В.А. Радиальные нестационарные колебания толстостенной электромагнитоупругой сферы // Материалы XV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики контрукций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 16-20 февраля 2009): Тезисы докладов. - М: Типография «Парадиз», 2009. Т. 1. С. 43.

14. Вестяк В.А., Лемешев В.А. Распространение нестационарных радиальных возмущений от цилиндрической полости в электромагнитоупругой среде // Материалы XIV Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики контрукций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 18-22 февраля 2008): Тезисы докладов. - М: ИД МЕДИАПРАКТИКА-М, 2008. Т. 1. С. 59 - 60.

15. Лай Тхань Туан, Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных осесимметричных возмущений от поверхности шара, заполненного псевдоупругой средой Коссера // Труды МАИ. 2012. № 53. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=29267

16. Чан Ле Тхай, Тарлаковский Д.В. Моментно упругая полуплоскость под действием поверхностных нестационарных нормальных перемещений // Труды МАИ. 2018. № 102. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=99731.

17. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. - Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.

18. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 388 с.

19. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

20. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т.1. Элементарные функции. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 632 с.

21. Григорьев И.С., Мейлихов Е.З. Физические величины. Справочник. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

22. Най Дж. Физические свойства кристаллов. - М.: Мир, 1967. - 386 с.