Двумерные нестационарные волны в электромагнитоупругом шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2017, Т. 159, кн. 3 С. 306-317

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 539.3

ДВУМЕРНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОМ ШАРЕ

2

В.А. Вестяк1, Д.В. Тарлаковский1,2

1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, 125993, Россия

'НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва, 119192, Россия

1

Аннотация

В изотропном шаре изучается процесс распространения заданных на его поверхности нестационарных кинематических или электромагнитных возмущений. Наряду с уравнениями Максвелла и линеаризованным законом Ома рассматриваются линейные уравнения движения упругого шара, в правую часть которых в качестве массовой силы входит сила Лоренца. Радиальные и тангенциальные составляющие искомых величин раскладываются в ряды по полиномам Лежандра и Гегенбауэра соответственно. Поставленная начально-краевая задача решается посредством интегрального преобразования Лапласа по времени и разложения коэффициентов рядов в степенные ряды по малому параметру, связывающему механические и электромагнитные характеристики среды. Разложение в степенной ряд позволяет построить рекуррентную последовательность краевых задач относительно искомых компонент механического и электромагнитного полей. Каждая отдельная задача решается с помощью обобщенных сверток искомых функций, соответствующих предыдущим членам рекуррентной последовательности, с функциями Грина. В качестве последних для электромагнитного поля используются квазистатические аналоги, а для механического поля применяется явный вид объёмных функций Грина, найденных с помощью методов компьютерной алгебры и комплексного анализа.

Ключевые слова: нестационарные волны, электромагнитоупругий шар, осевая симметрия, связанные электромагнитные и механические поля, метод малого параметра, преобразование Лапласа, функции Грина

В настоящее время в различных технических задачах несомненную актуальность приобретают вопросы учета взаимодействия сопряжённых полей механической и другой, в том числе электромагнитной, природы.

Помимо температурных связанных задач наиболее исследованными являются вопросы о взаимодействии электрического и упругого полей. Методы решения такого рода задач не ограничиваются численными решениями, для которых (см., например, [1]) даже строго доказаны теоремы существования и единственности. Так в [2] представление решения в виде ряда Лорана по параметру преобразования Лапласа в окрестности бесконечно удаленной точки позволило получить фундаментальное решение для пространства на начальном промежутке времени для одномерной задачи. В [3] достаточно полно изложены основные принципы построения фундаментальных решений применительно к задачам нестационарной линейной электроупругости. Подход, основанный на построении аналитических решений применительно к пьезоэлектрической сфере, изложен, например, в работе [4].

Введение

Постановки нестационарных задач электромагнитоупругости даны в [5]. Естественными необходимыми составляющими при этом являются решения соответствующих несвязанных задач. В статье [6] исследованы двумерные нестационарные электромагнитные поля, возбуждаемые заданным полем перемещений в шаре. В работе [7] изучен нестационарный процесс осесимметричного деформирования упругого шара под действием объёмных сил. Развитие результатов последних двух работ применительно уже к электромагнитоупругому шару предложено в настоящей статье, когда механические и электромагнитные поля связаны посредством силы Лоренца, выступающей в качестве объёмной силы в уравнениях движения, и обобщённого закона Ома [8]. Эта задача имеет также и практические приложения при исследовании электромагнитных и механических полей, например, в задачах дефектоскопии, а также при разработке электронных устройств с использованием проводников и проводящих покрытий, находящихся в экстремальных условиях эксплуатации.

1. Постановка задачи

Рассматривается однородный изотропный проводящий шар радиуса т^ с центром в точке О, на границе которого заданы кинематические или электромагнитные условия (т, в, $ - сферическая система координат, где т > 0, 0 < в < п, —п <$ < п):

= и т

'\т=т1 = VI (т

Ев |г=п = е01(т

(1)

К ним добавляется условие ограниченности компонентов напряженно-деформированного состояния среды и электромагнитного поля. Предполагается, что начальное электромагнитное поле является стационарным, радиальным и удовлетворяет условиям Еог = Ео (т), Еов = 0, Но = 0 (здесь и далее нулевыми индексами обозначается начальное состояние). Считаем, что шар в начальный момент времени находится в невозмущенном состоянии, а значит (точками обозначены производные по времени):

Ет \т =0 — Ет

и\т =0 = и\т=0 = Лт=0 , = Ев\т=0 = Ев

■V\т=0

= Н\т=0

0,

Н

0,

где и и V, Ег и Ед - радиальные и тангенциальные перемещения и компоненты векторов напряженности электрического поля; Н - ненулевая компонента вектора напряженности магнитного поля.

Вытекающая из уравнений движения, уравнений Максвелла и обобщённого закона Ома в предположении осесимметричного движения замкнутая связанная система уравнений имеет вид [5]

.. . 1 1 \ д11 1 Г 2

и = 1--2 + < Ди--2

П2 / дт п2 I т

1 д

эт в дв

(V эт в) + -

+ Ег,

у = 1Л-4

д!± дв

1

+ -ч

1 ( ди V

Д + т2 (2дТв - ^ПТв

+ Ев;

п2 (Н +1Н)=ДН -

н

т2 эт2 в т

+ \д (г'Рв0;и) д (ре0и)

дт

1 д (тН)

= Пе 13в + Ев) ,

1 д (Н эт в)

т дт е V / т эт в дв

Зт = Ег + Щу + рми/7, Зв = Ед - Щи + ре0'Ь/7;

1 д(т2ре0и) 1 д(ре0-и эт в)

дв

= Пе 13 т + Ег

(2)

Ре + 1Рв = —

2

дт

т эт в

дв

т

т

т

т

п

п

Здесь и далее использованы следующие безразмерные величины (их размерные аналоги в необходимых случаях обозначены штрихами):

с\Ь т' К и' V1 Н' ¡ес1 4пр'еЬ

т = Т> т = 2 т1 = 2 и = 2 v = 2 Н = ре = -7ЁГ>

П = к = т,в, Ег = §-, Ее = §-, зг = 4г' 3е =

рс1' Е^ Е*' аЕ^ аЕ,

е ¡еес\ 4паЬ с1 еЕ1

Пе =—п-' 7 =—' П =

ес^ се' 4п (Л + 2р)'

где 4 - время; и ]е - радиальные и тангенциальные плотности тока; ре плотность поверхностных зарядов; Ек - ненулевые радиальные и тангенциальные компоненты силы Лоренца; с, с1 и с2 - скорости света, распространения волн растяжения-сжатия и сдвига; Л и ¡л - упругие постоянные Ламе; е и ¡е -коэффициенты диэлектрической и магнитной проницаемостей; а - коэффициент электропроводимости; Ь и Е* - характерные линейный размер и напряженность электрического поля.

2. Разложение в ряды по углу

Искомые функции представляем в виде рядов по полиномам Лежандра Рп (х) и Гегенбауэра С(х) [9, 10]:

и и (V\ ( Vn\

Ег Ж Е Ее ж Ее

Ре = Рп Рп (сое в), Н = 8Ш в ^^ Нп

Ег п=0 Е ± гп Ее п =1 Ееп

\3г) \3тп / \3е) \30п)

сП/21 (сое в). (3)

Принимая в качестве основных неизвестных функций перемещения и напряженность магнитного поля, после использования преобразования Лапласа по времени т (в - его параметр; индекс " Ь" указывает на изображение) получаем следующую систему разрешающих уравнений относительно ограниченных изображений коэффициентов рядов (3):

где

в^1НП = Д„НП + п1в1н ' п > 1, ве = у/в (в +1)

в ип 111п (ип) + ¡11п + а9п {ЕПи' Рп)

в^п = ¡еы Ю + 1ееп Ю + аду (Епп, Н^

п > О, п > 1,

дп (Е, р) = ре0Е + Е0р (п > 0)' ду (Е, Н) = ре0Е - 1Е0Н, (п > 1)

1 д

Дп = ~ те;~ -

ге дт

д N п (п + 1)

дт

¡н (и, V) = -

д (тре&и)

дт

+ Реои

¡11п (и) = Тё{ д (т1 ди) - [п-2п (п + 1) + 2] и}

¡11п (и) = -1

(1 - п-е) (1+ п-1)'

(4)

¡11п (V) = -п (п + 1) ¡е1п (V) + (3 + п е) —

2

т

l22n (v) = -1

д ( 2 dv\

п дТ-УдТ-) - n (n +1)'

Использование разложений

оо оо

Ul = J2 UlnPn (cos в), V = sin eJ2 Víricn!-1 (cos в),

n=0 n=1

о

eoi (т, в) = sin в eoinCn!-i (cos в)

n=1

правых частей равенств (1) приводит к следующим граничным условиям для каждой из систем уравнений (4):

vk\r=r, = ViLn (s),

r=r i

1 д (rHL)

r дг

uL \r=ri = Uln (s), n > 0.

= -n>L [VLn (s) ,eLin (s)] _ , n > 1; (6)

r=r

r=r

Соответствующие изображения коэффициентов рядов (3) для остальных компонент электромагнитного поля в соответствии с (2) определяются по формулам:

2 , ^ Т 1 д (тН%) 2 г

п1 (э + 1) Еьвп = - т дгп' - П^Р^, П > 1,

п2 (э + 7) ЕП = НЬ - п2р0иьп; (7)

т

( + ) Ь , ( Ь Ь) , ( ) 1 д (т2Ре0и) + п (п + ^

(э + V Рп = -э1пр (и„ ,vn), 1пр (u, у) = ^2 -дт--'--т- Ре0у.

Как показано в [11], даже в одномерном случае решение краевой задачи (4), (6) содержит функции Бесселя, индекс которых зависит от параметра преобразования Лапласа, поэтому, очевидно, найти аналитически оригиналы невозможно. В связи с этим представляем искомые функции в виде степенных рядов по малому параметру а:

ип =^2 ипт (т,т) ат, Уп =^2 Упт (т, т) ат, Нп =^2 Нпт (т,т) ат,

т=0 т=0 т=0 / ^ч

ж ж ж ^ >

Рп =Е Рпт (т,т) ат, Етп =^2 Етпт (т,т) ат, Евп =^2 Евпт (т,т) ат.

т=0 т=0 т=0

Подстановка этих рядов в (4), (6), (7) приводит к рекуррентной по т последовательности систем уравнений относительно ограниченных функций

э^и(Ь0 = 1110 (и(Ь0^ ; (9)

= l110 (uL) + Яп (E^m-l, pL,m-l) , n = 0, m >

2VL 2 L ( , ) L s д (r'2Pe0uLm! ( seEr0m = -s Pe0U0m; (s + Y) p0m = —2---, n = 0, m > 0

s д (r'2Pe0U^„í)

e0u0m; (s i I) P0m = 2 ñ j n = 0j m > 0;

r2 дг

= An Hnm + nlslH (uLm , vLm ; (10)

= 1Пп №0) + li2n (v^o) , S2V1Lo = l21n Ш + l22n ; (И)

s unm = l11n (unj + l12n (vnm) + 9u {Ern,m-1, Pn,m-l) ,

S2VL s vnm

nm )

l21n (u^m) + l22n (^m) + 9v (^щт-Ъ Нщт-l) , n > 1 m >

2 / , \ ttiL 1 д {rHnm) 2 L

Пе (s + Y) Eenm = - Г -дГ--Пе sPe.0vnm,

(s + Y) Ernm =

- (n +1)

Hnm VePeO unm;

(s + Y) Pnm = -slnp (и^т^т) , n > 1 m > 1

со следующими граничными условиями:

L

n I

nm

ir=ri L II

= U1n (s), n > 0,

r=ri ..L

= vn (s), n > 1;

u^mL .. = vZmAr=r, = 0 n > 0 m > 1, vnm1 r=ri = 0, n > 1, m >

1 д (гИПо)

r dr

1 д (rH^m)

= -П>п Vn (s), e01n (s)] Ir=r1 , n > 1;

(12)

(13)

(14)

(15)

r

= 0, n > 1, m > 1, hn (v,e) = speov + (s + y) e. (16)

3. Интегральное представление решений

Следуя работе [6], решения краевых задач (10), (15), (16) при известных правых частях, а также функции ELnm и Ennm в (12) записываем так:

ri

Hnm (r, T) = —n'2j Pe0 (S) [GHun (r, S) иnm (£,, T) + GHvn (r, S) vnm (S,t)] dS, (17)

o

Ernm (ri T)

ri

= - n (nr+1) j Pe0 (S) [GHun (r, S) Unms (S, T) + GHvn (r, S) Vnms (S, T)] dS,

Eenm (r, T) = Pe0 (r) Vnms (r, T) +

(18)

ri

+ J Pe0 (S) [rHun (r> S) unms fé, T) + rHvnr (r> S) vnms fé, T)]

Здесь

GcHun (r, S) = S [GHn (r, S) H (S - r) + GHn (S, r) H (r - s) ,

GHvn (r, S) = S [GHvn1 (r, S) H (S - r) + GCHvn2 (r, S) H (r - S)] rHunr (r, S) = rCHun1 (r, S) H (S - r)+ rCHun2 (r, S) H (r - S), rHvnr (r, S) = rCHvn1 (r, S) H (S - r)+ TCHvn2 (r, S) H (r - S),

где

rHun1 (r, S) = -

Pn (r1,S) rn-1

г

(2n + 1) Snr2n+1' lHun2 (r,S) (2n +1) r2n+1rn+2'

nSn+1an (r1, r )

r

n

v

nO

r

r=ri

(c (гГ)_ (r1,Q rc (r рп {гЪг) С"

GHvn1 (r,C) — ~ , -.n 2n+lyn + l, GHvn¡ (r,C)

(2n + 1) r\n+1in+v Hvn2^) (2n +1) rn+1r1n+1'

rc ( C) — _ n (n + ^ rn-1an (ri, 0 rc ( C) — _ n (n + ^ Сn+1an (ri, r)

ÍHvn1 (r,C) (2n +1) r¡n+1cn ' 'Hvn2 (r,C) (2n +1) r\n+1rn+2 '

GHn (r, C) — —

r1

Pn (rU С) n

(n +1)(2n +1) Cn+1r2¡n+1 ' an (x, y) — x¡n+1 - y¡n+1, en (x, y) — (n + 1) x¡n+1 + ny¡n+1.

В формулах (17), (18) и далее H (С) - функция Хевисайда, а дополнительный нижний индекс " s" соответствует результату применения к ней оператора (звездочка обозначает свертку по времени)

fs (Т) — f (т) - je-YT * f (т) .

Отметим, что ядра этих интегральных представлений получены в квазистатическом приближении (Пе — 0).

Поскольку задачи (9), (11), (14) подробно исследованы в работах [6] и [12], то далее в граничных условиях (1) положим, что

U1 (в,т) = 0, V1 (в,т) = 0.

Тогда эти задачи становятся однородными. Следовательно, их решения тривиальные:

Uno (r,T) = 0, Vn0 (r,T) = 0, n > 0.

При этом решение «механической» части задач (9)-(16) при известных правых частях в соответствии с результатами работы [7] также представляем в интегральном виде:

r 1

Unm (r,T )—J Guun (r, С,Т) * fun,m-1 (С, T) dC +J Guvn (r,C,T )*fvn,m-1 (С,Т) dC,

oo

r 1 r 1

Vnm (r,T)—JGvun (r,C,T)*fun,m-1 (C,T) dC +JGvvn (r, C,T)*fvn,m-1 (C,T) dC;

oo

Г1 ri

u nm (r,T )—J nuun (r, C,T) * fun,m-1 (C,T) dC + J П^п (r, C,T )*fvn,m-1 (C,T) dC,

uun

oo

П n (20)

Vnm (r,T)—Jnvun (r,C,T)*fun,m-1 (C,T) dC + J(r,C, T)*fvn,m-1 (C,T) dC, oo

где

fun,m- 1 (C,T) — Pe0 (C) Ern,m-1 (C,T) + Eo (C) 1 (C,T) ,

fv'íi.m — 1 (C,T) — Pe0 (C) Een,m-1 (C,T) - YE0 (C) Hn,m-1 (C,T) ,

nuun (r, C, T) — (Guun (r, C, T) , nuvn (r, C, T) — (Guvn (r, C, T) ,

11vun

(r,C,T) — ^vun (r,C,T), vvn (r,C,T) — vvn (r,C,T) . Явный вид ядер в (19) указан в [7]. Здесь он не приводится в силу громоздкости.

(21)

Входящая в (21) функция pnm согласно (13) определяется так: Pnm (r, Т) = -p'eo (r) UTíms (r, T) - peQXnms (r, T) ,

где

Г1 ri

Xnm (r, T) = J Xun (r, g, T) * fun,m-l (g, T) dg + J XVn (r, g, T) * fvn,m-1 (g, T) dg,

^ип

0

Хип (г, т) \п (^иип, ^уиП , Хуп (г, т) \п (^иуп, ^ууп^ ,

1 д (т2Пп) п (п + 1) Хп (Пп,Уп) = Г2 -дГ--'--Г-'

Введенная здесь функция хп (и,у) имеет смысл коэффициента разложения в ряды по полиномам Лежандра коэффициента объемного расширения для поля перемещений с компонентами и и V.

Соотношения (17)—(20) являются рекуррентной по т последовательностью соотношений относительно коэффициентов рядов (3) и (8) для перемещений, на-пряженностей магнитного и электрического полей, а также плотности зарядов. Начальными условиями для нее, как следует из работы [6], являются следующие равенства:

ип о (г,т) = 0, Vn 0 (г,т) = 0, п > 0; рп о (г,т) = 0,

Нп0 (г,т) = -П2еа Ип! (г)Ъе01п (т)+ ё01п (т)] ,

где

7-. / \ п (п + 1) < \ < \

Ern о (r, T) =--Gffni (r) eoin (t),

r

Eeno (r,T )=Г Hni (r) eoin (t ), n > 1,

rn

GHn1 (r) = ~ , n-1 , rHn1 (r) — n-1-

(22)

rn-i

n i Hni n

(n + 1) r1 r1

По полученным компонентам поля перемещений и электромагнитного поля могут быть найдены координаты вектора плотности тока с использованием (2).

4. Пример

Рассмотрим шар радиуса r1 = 2, материал которого характеризуется следующими безразмерными параметрами:

П = 2.04; ne =0.111 • 10-4; y = 5.06; а = 0.0806.

Начальные параметры электрического поля следующие: Eo = 1, poe = 2/r. На границе полости напряженность электрического поля имеет вид: eo1 = —т+ sin в, т+ = тН (т), а значит, коэффициенты разложения в ряды (5) вычисляются по формулам eoo1 = -т+, eoon = 0, п > 2. Следовательно, отличными от нуля являются только коэффициенты рядов (3) с номером п = 1, поэтому на рис. 1-4 представлены только они.

Расчеты проводились по соотношениям (17)-(22) с учетом членов рядов (8) порядка а3. Интегралы в рекуррентных соотношениях находились численно. На рис. 1-4 представлены зависимости от радиуса r коэффициентов рядов (3)

Рис. 1. Изменение и1 по радиусу г

Рис. 2. Изменение у1 по радиусу г

1 , 1

/1 / 1

. / I

/7,

/ / .1 '/А

\------ --/ г ]

Рис. 3. Изменение Н1 ■ 1011 по радиусу г

Рис. 4. Изменение Е$1 по радиусу г

/

/

/

/ /

/ /

/ /

'__, - * -

1 0 1 В 2 0 9

[ /

/

/

/

/

Рис. 5. Изменение и1 во времени т

Рис. 6. Изменение у1 во времени т

Рис. 7. Изменение Н1 ■ 1011 во времени т Рис. 8. Изменение Ев1 во времени т

с номером п =1 для перемещений и компонент электромагнитного поля (им соответствуют ординаты): сплошные линии отвечают моменту времени т = 0.2, штриховые - т = 0.3, а штрихпунктирные - т = 0.4. Заметно увеличение индуцирова-

0.03

0.02

0.01

о

0.5

1.5

2

Рис. 9. Сходимость рядов по малому параметру

ние искомых механических и электромагнитных составляющих задачи с течением времени при приближении к внешней поверхности шара, а также индуцирование магнитного поля на самой поверхности шара.

Аналогичные зависимости, но уже от времени т, изображены на рис. 5-8: сплошные линии отвечают точке г = 0.5, штриховые - г = 1, а штрихпунктир-ные - г = 1, 5. Здесь также заметен рост искомых величин задачи при подходе к внешней границе шара.

Обоснованием учета только членов рядов (8) порядка а3 является рис. 9, на котором продемонстрированы графики первых трех частичных сумм для функции п\ (г,т) при т = 0, 3: сплошная кривая отвечает за пца, штриховая - за пца + + М12а2, а штрих-пунктирная - за пца + «12а2 + П1за3. Из рисунка видно, что графики компонент, построенные с учетом двух и трех членов ряда, практически не различаются.

Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-08-00788).

1. Мельник В.Н. Теоремы существования и единственности обобщенного решения для одного класса нестационарных задач связанной электроупругости // Изв. вузов. Ма-тем. - 1991. - № 4. - С. 24-32.

2. Aouadi M. Electromagneto-thermoelastic fundamental solutions in a two-dimensional problem for short time // Acta Mech. - 2005. - V. 174, No 3-4. - P. 223-240. - doi: 10.1007/s00707-004-0201-3

3. Ватульян А.О. Фундаментальные решения в нестационарных задачах электроупругости // Прикл. матем. и механика. - 1996. - Т. 60, № 2. - C. 309-312.

4. Бабаев А.Э., Савин В.Г., Джулинский А.В. Аналитический метод решения задачи излучения нестационарных волнсферическим пьезопреобразователем // Теор. и прикл. мех. - 2003. - № 37. - С. 195-199, 213.

5. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic processes in thermo-ectro-magneto-elastic and thermo-elasto-diffusive media // Encyclopedia of Thermal Stresses. V. 2 - Dordrecht, Heidelberg, New York, London: Springer, 2014. - P. 1064-1071.

6. Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Нестационарное осесимметричное электромагнитное поле в движущемся шаре // Докл. РАН. - 2015. - Т. 464, № 5. - С. 544-547.

7. Vestyak V.A., Tarlakovskiy D.V. Elastic ball under non-stationary axially symmetrical volume forces // Z. Angew. Math. Mech. - 2017. - V. 97, No 1. - P. 25-37. - doi: 10.1002/zamm.201500292.

8. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1971. - 248 с.

Литература

9. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. - М.: Наука, 1979. - 832 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука, 1971. - 1108 с.

11. Вестяк В.А., Лемешев В.А., Тарлаковский Д.В. Распространение нестационарных радиальных возмущений от сферической полости в электро-магнитоупругом пространстве // Докл. РАН. - 2010. - Т. 434, № 2. - С. 186-188.

12. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругость тел сферической формы. - М.: Наука, 1990. - 264 с.

Поступила в редакцию 05.06.17

Вестяк Владимир Анатольевич, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой «Прикладные программные средства и математические методы»

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия E-mail: v.a.vestyak@mail.ru

Тарлаковский Дмитрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией динамических испытаний; заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова

Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)

Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия E-mail: tdvhome@mail.ru

ISSN 2541-7746 (Print)

ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2017, vol. 159, no. 3, pp. 306-317

Two-Dimensional Unsteady Waves in an Electromagnetoelastic Sphere

V.A. Vestyaka*, D.V. Tarlakovskiia'b**

aMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, 125993 Russia bResearch Institute of Mechanics, Moscow State University, Moscow, 119192 Russia E-mail: *v.a.vestyak@mail.ru, **tdvhome@mail.ru

Received June 5, 2017 Abstract

The propagation of unsteady kinematic or electromagnetic perturbations in an isotropic ball given on its surface has been studied. Along with the Maxwell equations and the linearized Ohm's law, we have studied the linear equations of motion for an elastic ball, the right side of which includes the Lorentz force as the body force. The radial and tangential

components of the unknown quantities expand into series of the Legendre and Gegenbauer polynomials. The initial-boundary value problem is solved by means of the Laplace transform by time and the expansion of the series coefficients into power series in a small parameter connecting the mechanical and electromagnetic characteristics of the continuum. The expansion in the power series allows to construct a recurrent sequence of boundary value problems with respect to the unknown components of the mechanical and electromagnetic fields. Each individual problem is solved by means of generalized convolutions of Green's functions with the unknown functions corresponding to the preceding terms of the recurrent sequence. The quasi-static analogs have been used as Green's functions for the electromagnetic field. For the mechanical field, the explicit form of Green's bulk functions found using computer algebra and complex analysis methods has been used.

Keywords: unsteady waves, electromagnetoelastic sphere, axial symmetry, coupled electromagnetic and mechanical fields, small parameter method, Laplace transform, Green's functions

Acknowledgments. The study was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 15-08-00788).

Figure Captions

Fig. 1. Variation of u1 by radius r.

Fig. 2. Variation of v\ by radius r.

Fig. 3. Variation of H1 ■ 1011 by radius r.

Fig. 4. Variation of E$1 by radius r.

Fig. 5. Variation of u1 in time t .

Fig. 6. Variation of v1 in time t .

Fig. 7. Variation of H1 ■ 1011 by radius t .

Fig. 8. Variation of Eg1 by radius t .

Fig. 9. Series convergence by the small parameter.

References

1. Mel'nik V.N. Existence and uniqueness theorems for a generalized solution of a class of nonstationary problems of coupled electroelasticity. Sov. Math. (Izv. VUZov), 1991, vol. 35, no. 4, pp. 23-30.

2. Aouadi M. Electromagneto-thermoelastic fundamental solutions in a two-dimensional problem for short time. Acta Mech., 2005, vol. 174, nos. 3-4, pp. 223-240. doi: 10.1007/s00707-004-0201-3.

3. Vatulian A.O. Fundamental solutions of non-stationary problems of electrodynamics. Prikl. Mat. Mekh., 1996, vol. 60, no. 2, pp. 309-312. (In Russian)

4. Babaev A.E., Savin V.G., Dzhulinskii A.V. Analytical method for solving the problem of non-stationary wave radiation spherical piezoelectric transducer. Teor. Prikl. Mekh., 2003, no. 37, pp. 195-199, 213. (In Russian)

5. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Encyclopedia of Thermal Stresses. Dynamic Processes in Thermo-Ectro-Magneto-Elastic and Thermo-Elasto-Diffusive Media. Vol. 2. Dordrecht, Heidelberg, New York, London, Springer, 2014, pp. 1064-1071.

6. Vestyak V.A., Tarlakovskii D.V. A nonstationary axially symmetric electromagnetic field in a moving sphere. Dokl. Phys., 2015, vol. 60, no. 10, pp. 433-436. doi: 10.1134/S1028335815100079.

7. Vestyak V.A., Tarlakovskiy D.V. Elastic ball under non-stationary axially symmetrical volume forces. Z. Angew. Math. Mech., 2017, vol. 97, no. 1, pp. 25-37. doi: 10.1002/zamm.201500292.

8. Il'yushin A.A. Continuum Mechanics. Moscow, Izd. Mosk. Univ., 1971. 248 p. (In Russian)

9. Abramowitz M., Stigan I. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Moscow, Nauka, 1979. 832 p. (In Russian)

10. Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M. Table of Integrals, Series, and Products. Moscow, Nauka, 1971. 1108 p. (In Russian)

11. Vestyak V.A., Lemeshev V.A., Tarlakovsky D.V. The propagation of time-dependent radial perturbations from a spherical cavity in an electromagnetoelastic space. Dokl. Phys., 2010, vol. 55, no. 9, pp. 468-470. doi: 10.1134/S1028335810090119.

12. Gorshkov A.G., Tarlakovskii D.V. Nonstationary Aerohydroelasticity of Spherical Bodies. Moscow, Nauka, 1990. 264 p. (In Russian)

/ Для цитирования: Вестяк В.А., Тарлаковский Д.В. Двумерные нестационарные ( волны в электромагнитоупругом шаре // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. \ науки. - 2017. - Т. 159, кн. 3. - С. 306-317.

/ For citation: Vestyak V.A., Tarlakovskii D.V. Two-dimensional unsteady waves in ( an electromagnetoelastic sphere. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-\ Matematicheskie Nauki, 2017, vol. 159, no. 3, pp. 306-317. (In Russian)