CC BY
11
2018, Т. 160, кн. 1 С.183-195
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 539.3
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОЙ ДИФФУЗИИ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СРЕД С ПЛОСКИМИ ГРАНИЦАМИ
А.В. Вестяк1, С.А. Давыдов1, А.В. Земское1,2, Д.В. Тарлаковский2'1
1 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), г. Москва, 125993, Россия 2НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва, 119192, Россия
Аннотация
В работе рассматривается задача об определении напряженно-деформированного состояния термоупругих многокомпонентных сред с плоскими границами (слоя и полупространства) с учетом наличия диффузионных потоков каждого из компонентов среды. Влияние изменения концентрации и температуры на напряженно-деформированное состояние среды учитывается с помощью локально-равновесной модели термоупругой диффузии, включающей в себя связанную систему уравнений движения упругой среды, теплопереноса и массопереноса. Решение ищется с помощью преобразования Лапласа, а также разложения в ряды Фурье для слоя и синус-, косинус-преобразования для полупространства. Выражаются и анализируются поверхностные функции Грина. Выполняется тестовый расчет.
Ключевые слова: механодиффузия, многокомпонентные среды, термоупругая диффузия, интегральные преобразования, ряды Фурье, функции Грина
Введение
При исследовании нестационарных процессов в сплошных средах часто требуется учет различных взаимодействующих между собой полей: механических, тепловых и диффузионных. Среди современных публикаций, посвященных данной проблеме, можно выделить [1—8], при этом важно отметить, что в упомянутых работах задачи термомеханодиффузии в основном решаются в стационарных постановках [3, 4]. Нестационарные задачи, как правило, решаются аналитически в пространстве преобразования Лапласа, однако обращение самого преобразования Лапласа осуществляется численно [6-8]. Публикации, связанные с аналитическим нахождением функций Грина для нестационарных задач и их анализом, в настоящее время отсутствуют.
В настоящей работе рассматривается одномерная нестационарная задача термоупругой диффузии для многокомпонентной среды, а также предлагается метод ее решения, основанный на использовании интегрального преобразования Лапласа и разложения по собственным функциям и позволяющий найти в явном виде функции Грина.
1. Постановка задачи
Рассматривается одномерная нестационарная задача термоупругости с учетом массопереноса для однородной N-компонентной сплошной среды. Математическая
постановка задачи в прямоугольной декартовой системе координат представляет собой связанную систему, включающую в себя уравнение движения, уравнение теп-лопереноса и N уравнений массопереноса для каждой компоненты среды с номером ц (штрихи обозначают производные по координате х, а точки - производные по временит) [1, 9-13]:
N
= й + Ьд' + аЧП'Ч,
4=1
N
кд" = д + Ви' + V Щ
4=1
(1)
О 4 п'4 = щ + К и''' + ыч д''.
Здесь все величины являются безразмерными. Их связь с размерными аналогами определяется следующим образом:
по
Х1
х = -—,
Ь * '
N
Т,п04),
4=1
Шп
сЬ 2 Л* + 2а * —, с2 = -—
Ь *'
Р
и\ Ь
^, д
рсепЬ * с
в4
п04)Е 1п ^
В04) 1п (7п(04) сЬ*
Вп
РСеп О(4)
Ь
Т — То То
Ь* То
П4
сЬ
Л4
л * + 2а*
а°4)В°4)
П(4)
по ' пР4)а°4)
" л* + 2а*
ЕТосЬ* '
В
РСе
где Ь - время; х\ - декартова координата; и - компонента вектора перемещений; Ь* - характерный размер среды (в случае слоя его толщина); п04) = п°4) — по4)
приращение концентрации ц-й компоненты вещества; п04) и п.
М) о
о
актуальная и
начальная молярные концентрации; Л* и а* - упругие постоянные Ламе; р - плотность; Ь* - температурная постоянная; а04) - коэффициенты, характеризующие объемное изменение среды за счет диффузии; - коэффициенты самодиффу-
зии; К - универсальная газовая постоянная; Т и То - актуальная и начальная температуры; к * - коэффициент теплопроводности; 7 - коэффициент активности (для твердых растворов 7 = 1); сеп - удельная теплоемкость при постоянной концентрации и деформации.
Начальные условия полагаются нулевыми:
(1т=о = и\т=о =0, П4\т=о =0, д\т=о =°-
(2)
Задача рассматривается для двух видов сред с плоскими границами: одномерный слой х € [0,1] и одномерное полупространство х € [0, те). На границах задаются перемещения, тепловой и диффузионные потоки:
и\х=о = /и (т), д'\х=о = /21 (т), (Л4и'' — В4п4 + М4д') |х=о = ¡4+2,1 (т), и\х=1 = /12 (т) , д'\х=1 = /22 (т) , (Л4и'' — В,п4 + М4д')1х=1 = /4+2,2 (т) ,
(3)
/** (Ь)
Ь*/* (Ь)
¡4+2,1 (Ь)
/11 (т ) = , /21 (т ) = , /4+21 (т )= '4+2'1
То
п{4)с
I = 1, 2.
Здесь /* (Ь), к = 1, 2,..., N + 2, I = 1, 2, - размерные аналоги поверхностных возмущений. В задаче для полупространства условие на поверхности х =1 заменяется условием ограниченности искомых величин в рассматриваемой области
[9, 13].
и
и
к
к
а
4
Ь
2. Алгоритм решения задачи для слоя
Нахождение искомых функций в изображениях. Введем в рассмотрение поверхностные функции Грина О к (х,т) задачи для слоя (1)-(3) (г, к = = 1, 2,N + 2). Они являются решениями задач, включающих в себя уравнения (1), начальные условия (2) и следующие граничные условия: [9]:
О1к |ж=0 = 51к5 (т) , О'2к |ж=о = д2к5 (т) ,
(Л,О'{к - Б,О'ч+2,к + М,О2к)|ж=0 = дч+2,кд (т), (4)
О1к 1х=1 = о, о'2кх=1 = о, (л,о'{к - б,о'д+21к + м,о'2к)|х= =0,
где д (т) - дельта-функция Дирака, д^к - символ Кронекера.
Тогда решение задачи (1)-(3) представляется в виде (звездочка обозначает свертку по времени) [9]:
N+2
и (х, т) = [О1к (х, т) * /к1 (т) + О1к (1 - х,т) * /к2 (т)],
к = 1
N+2
д (х, т)=^2 [О2к (х, т) * /к1 (т) - О2к (1 - Х,т) * /к2 (т)], (5)
к=1
N+2
п, (х, т) = [О,+2,к (х, т) * /к1 (т) - О,+2,к (1 - х,т) * /к2 (т)] . к = 1
Для нахождения функций Грина применяем к (1)-(3) преобразование Лапласа по времени (в - параметр преобразования, индекс Ь обозначает трансформанту):
N N
иь" = в2ии + Ьдь' + а,, кдь" = вди + Бвиь' + ^ в,^,
,= 1 ,=1
б, пГ = + л, иь"' + М, ди ";
и|
I х=0
/и (в) ,дЬ' = /21 (в), (л,иь" - Б,пГ + м,ди') = /^+2,1 (в),
х=0 х=0
и1 = /21 (в), = & (в), (Л,ии - Б,+ М,ди') = /и+2,2 (в).
х=1 V / х=1
Далее используем разложения искомых функций в тригонометрические ряды:
ии (х, в) = ^^2 (Ап, в) эт Ап
п=1
(6)
ди (х,в)\ = ^ (дЬс (Хп,вУ
Ед- \Ап, в1 . .
[п^ (Ап,в)Г°8 Хпх, Хп =
пи (х, в)! п=0 I пис (Ап, в) ^ ^ Лп
В результате приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений относительно иЬв, дЬс и п^с [9, 11-13]: при п = 0:
N
в,вп, в) = Бв/11 (в) - К/21 (в) , вп, (0, в) = /,+2,1
вдис (0, в) + ^ в,впис (0, в) = Бв/и (в) - К/и (в), впис (0, в) = /+2,1 (в); (7)
(8)
при п > 1:
N
к1 (Лп, в) и1 (Лп, в) — ЬЛпдь° (Лп, в) — Лп^2 а4п! (Лп, в) = Л (Лп, в),
4=1 N
ВвЛпиЬв (Лп, в) + к2 (Лп, в) д1с (Лп, в) + в^вч п! (Лп, в) = Л (в),
4=1
Л4 № (Лп, в) + М4 Л2Г1дЬс (Лп, в) — кч+2 (Лп, в) пЬчс (Лп, в) = Ьч+2 (Лп, в) ,
где
Л (Лп, в) = 2Лп/1 (в), Ь2 (в) = 2 [Вв/11 (в) — / (в)] ,
Ь4+2 (Лп, в) = 2 [Л4Л2п/1Ь1 (в) — /4+2,1 (в)] ,
к1 (г, в) = х2 + в2, к2 (х, в) = кх2 + в, к4+2 (х, в) = В4х2 + в. (9)
Решая системы (7) и (8), подставляя полученный результат в (6) и используя свойства преобразования Лапласа для свертки из формул (5), получаем
N+2
! / „\ _ V"4
(х, в)=^2 Ок (х, в) /к1 (в) + °1к (1 — х, в) /к2 (в)]
к = 1
N+2
д1 (х, в) =¿2 [Сь2к (х, в) /к1 (в) — а2к (1 — х, в) к (в)]
к=1 N+2
пк (х, в)=^2 °1+2,к (х, в) /к (в) — аЬч+2,к (1 — х, в) /к2 (в)] .
к=1
Здесь О^к (х, в) - изображения Лапласа функций Грина, которые также представляем в виде рядов (г, к = 1, 2,..., N + 2):
0^ (х, в) = ^2 О11к (Лп, в) Бт Лпх,
п=1
01к (х, в) 1Г Ой (0,в) 1 ^ I 01 + 1 Л <10)
где
в4
°2с (0,в) = В, (0,в) = — -, 024+2 (0,в) = — в, 2^+2 м = -; (и)
(Лп, в)\ = 1 ГР1к (Лп, в)
°!С (Лп,в) Р (Лп,в)\Р2к (лк, в) '
(12)
°1с (л А= Р4+2,к (Лп,в) 2$к1 ЛпЛ4 „^ л °4+2,к (Лп, в) = -р. 77 N ТТ Г, п > 1
Ч4+2 (Лп,в) к4+2 (Лп,в)
N N
Р (Лп, в) = (кк + ЬВвЛ2п) П — влп Л4^2 МРП4Р+
4=1 р=1
N
+Л2п^2 (в вМ4к1 + ВачМ4лп + в4Л4ЬЛ2п\ — а4Л4к2Л^ П4,
4=1
N N
Pii = 2Хп (к^ + Bbs) П + 2s\lJ2 MqJ2 КрПчр+
q=i p=l N
+2X3nJ2 [s (aq Mq B + fjq Mq + bpq Aq) - к2 aq Лч ] П,
q=i
N
Pl2 = -2к\п[ ЬП + \nJ2 aq MqП
q=i
N
Pi,q+2 = 2K (k2aq - sbfiq) Щ + 2в\П^2 Mpnqp,
N
'n / - ШР*
p=1
NN
P21 = 2s3ВП + 2s3\nJ2 PqКnq-2s\6nJ2 AqJ2
q=1 q=i p=1
P22 = 2n(\4n ^ aq Aq nq - ^П ) ,
q=i
P
2,q+2
= 2s
N
{kipq + Baq\2n) nq + Л^ ^ ЛрЩр
p=i
Р,+2,г = Ап (Л,АпРи + М,Р2г) , Яг = кР, г =1, 2, . . . , N +2.
Функции кг = кг (Ап, в) в (12) находятся по формулам (9), величины П = П (Ап, в), П, = П, (Ап, в) и П,р = П,р (Ап, в) определяются следующим образом:
N N
П(г, в) = П кг+2 (г, в), П, = кг+2 (г, в),
Г=1 т=1,т = ,
N
nqp (z,s) = (aqвр - appq) kr+2 (z,s).
r=i,r=q,p
при этом если N = 1, то nq = 1, nqp = 0, если N = 2, то nqp = (aq f3p - apeq).
Анализ особенностей функций Грина. Из формул (10)-(12) следует, что для функции Грина G2£ (Лп, s) имеет место следующее представление:
G2£ (х, s) = В + cos Лпх, s ^ <х>.
Этот ряд сходится в обобщенном смысле к дельта-функции Дирака от пространственной переменной х. Представляем функцию О^ (Ап, в) в (12) следующим образом:
О£ (Ап, в) = Р21 (Ап, в) = 2Бв2 + Р2*1 (Ап, в), 21 п' Р (Ап, в) к1 (Ап, в) (Ап, в) '
где
P2i (Лп, s) = P2i (Лп, s) ki (Лп, s) - 2Вs2P (Лп, s) . Тогда с учетом равенства [14]
Ето cosnx 1 n cosh((n - x) a)
2 ■ 2 = - „ 2 +
(13)
^ n2 + a2 2a2 2a sinh (na)
n=i 4 /
получаем [10]:
О^ (х, в) = Вв
ссэИ ((1 — х) в) этИ в
^ Р21 (Ап,в) п=1 (Ап,в)
+
ссе Ап
(14)
Аналогично, из (10)-(12) следует, что функции О22 , ^2%+2, 2 1 имеют порядок 1/в при в ^ ж. Так как оригиналом 1/в по Лапласу является функция Хе-висайда, это означает, что оригиналы функций О^ , ,+2 , О^+2 1 по Лапласу при т ^ 0 в соответствии с (10) будут представляться в виде рядов, которые так же, как и в предыдущем случае, сходятся в обобщенном смысле к дельта-функции Дирака от пространственной переменной х. Для практического вычисления сверток в (5) представляем указанные функции в виде
= —«( 1 + 2Е
ссэ Апх к2 (Ап, в)
+ Е РлА^сс* Апх, Я2 (Ап,в)
Оь
О2,,+2
—в, 1 + 2Е
ссэ Ап
п=1 к,+2 (Ап,в)
+ у-^ Р2,,+2 (Ап, в)
п=1 Я,+2 (Ап,в)
ссэ Апх,
(15)
О^+2,1 = 2 (М,В — Л,) £ ^^ + £ ^(Ап,в} сс* Апх,
=1 к,+2 (Ап,в) Я,+2 (Ап,в)
п=1
где
Р%2 (Ап, в) = Р22 (Ап, в) к2 (Ап, в) + 2кР (Ап, в), Р2,,+2 (Ап, в) = Р2,,+2 (Ап, в) к,+2 (Ап, в) + 2в,Р (Ап, в),
Рц+2,1 (Ап, в) = Р,+2,1 (Ап, в) — 2М,ВА2пР (Ап, в). Таким образом, для функций 01% (Ап,в) и О^ (Ап,в) остаются справедливы-
ми представления (10). При этом вместо формул (12) будем использовать (I = 2, + 2, к =1, 2,..., N + 2):
О1к (Аn, в) =
Ф1 к (Ап, в) Ф1 к (Ап, в),
О1к (Аn, в) =
Фщ (Ап, в) Фк (Ап, в),
(16)
где
Ф1к (Ап, в) = Р1к (Ап, в), Ф1% (Ап, в)= Р (Ап, в), Ф2к (Ап, в) = Р2к (Ап, в) , Ф2к (Ап, в) = Як (Ап, в), Ф,+2,1 (Ап, в) = Рд+2,1 (Ап, в) , Ф ,+2,1 (Ап, в) = Я,+2 (Ап, в) ,
Ф,+2,1 (Ап, в) = Р,+2,1 (Ап, в) , Ф,+2,1 (Ап, в) = Я,+2 (Ап, в) .
Нахождение оригиналов функций Грина. Обозначим через в1 (Ап), в2 (Ап) комплексно-сопряженные, а через в^+2 (Ап) действительные корни многочлена Р (Ап, в) ; £ (Ап) = Ие[в1 (Ап)] < 0, С (Ап) = 1т [в1 (Ап)] , в2 (Ап) = в1 (Ап) , в]+2 (Ап) < 0. Тогда, оригиналы функций Грина в (10) с учетом представлений (13)-(16) имеют вид (1 - обратный оператор Лапласа, к = 1, 2,... N + 2) [9]:
О1к (х, т) = Е О\к (Ап, т) эт Апх,
х
G2k (x, т) = SlkС*21 (x, т) - S2kк#з(X, е-кп2т) - Sk,q+2ßq(|, e-Dqп'т) +
tt
XI G2k (An,T)cOS Xnx
n=1
Cq+2,k (xx, T) = SkiAq MqB X, е-°4п2т) + Sk,q+2^s(X, е-°чп2т) +
tt
+ Gq+2,k (Xn,T)cos XnX, (17)
tt
где x, = 1 + qn cos An x - тета-функция Якоби [15], а остальные функ-
n=1
ции имеют вид (l = 2, 3,...,N + 2, k = 1, 2,..., N + 2):
N +1
G\k (К, T) = ¿т (Alk cos Zt - Alk sin + £ eSj+2T,
j=i
N +1
GCk (к,т) = e^T A1 cos zt - Af2 sin £т) + ¿ A(¡+2) eSj+2T+
j=1
+ Si2S2k A(N+4)e-KXnT + Sq+2,lA(N+5)e-D^T+ + S¡2Sk,q+2 A(N+5)e-°qхПт + S,2Sik AN+6) cos Кт - a(N+7) sin AnT) , (18) cosh ((1 - x) s)
G2i (x,T) = BL
1 ■"> a> = bJ2 [S' (t - (2n + x))+ S' (t - (2 + 2n - x))]
L „ n=0
Последний оригинал в (18) найден с учетом следующего представления:
СОвЬ((1 — х) в) = е х + е ( 2+х^в = у, /( 2п+х)8 + е_( 2+2п_х)з
бшЬ в 1 — е_2я ^ V
п=о
Коэффициенты А02 = А0к (Лп) находятся по формулам (штрих означает производную по параметру в (г, к = 1, 2,... N + 2, ] = 1, 2,... N + 1):
А(1) = 2РеФ»к (Лп,в1) .(2) = 2,фгк (Лп,в1) .(з + 2) = Фгк (Лn,вj+2)
Агк = %к (Лп,в1), Агк =21Ш%к (Лп,в1), Агк =%к (Лn,Bj+2),
(N+5) = ^2,q+2 (An, -DqАп) a(N+5) = &q+2,k j^n, -DqAn) 2'q+2 = %,q+2 (An, -Dq A2n) ' q+2'k = %+22 (An, -Dq %) ¡
¿(N+4) = Ф22 (Лп, —кЛ?п) &(М+6) = 2РеФ21 (Лп,Лп) &(М+7) = 21тФ21 (Лп,Лп) А22 =%2 (Лп, —Лп) , А21 =Же%1 (Лп,Лп) , А21 =2Ш%1 (Лп,Лп) .
Подставляя найденные здесь функции Грина °гк (х,т) в свертки (5), получаем решение задачи термоупругой диффузии (1)-(3) для слоя.
3. Алгоритм решения задачи для полупространства
Рассуждая аналогичным образом, введем в рассмотрение функции Грина О^к (х, т) задачи (1)-(3) (г, к = 1, 2,..., N + 2) для полупространства, являющиеся решениями задач, включающих в себя уравнения (1), начальные условия (2) и граничные условия (4), где условия на поверхности х = 1 заменяется условием ограниченности искомых величин в рассматриваемой области.
В этом случае решение исходной задачи (1)-(3) представляется в виде сверток (5), при ]к2 (т) = 0. Для построения функций Грина к исходной системе (1) применяем преобразование Лапласа по времени, синус-преобразование для функции и и косинус-преобразование для функций $ и п, по координате. В результате исходная система уравнений приводится к системе вида (8). Таким образом, трансформанты функций Грина для полупространства и слоя связаны с помощью следующих соотношений (А - параметр тригонометрического преобразования Фурье, верхний индекс $ - трансформанта синус-преобразования, верхний индекс С -трансформанта косинус-преобразования):
О^3 (А, в) = О% (А, в), О%с (А, в) = (А, в), О%С,к (А,в) = 2,к (А, в). (19)
Аналогами формул (14) и (15) здесь будут следующие равенства:
СЮ СЮ
2В в2 1
G2L = — í -T^i—г cos XxdX +1 í G2LC (A, s) cos Xx dX, 21 n ) ki (A,s) nj 21
0 0
G2l = - ^ í ^S-^dA + 1 í G2LC (A, s) cos Ax dA,
22 n J k2 (A,s) п J 22
0
(20)
Gh2Lq+2 = - 2Л í k ^AX ) dA + - í G2L+2 (A,s)cos Ax dA, П J kq+2 (A, S) П J ,q + 00
СС СЮ
GhLw = [ p^AXdA + - f G^Ci (A,s)cos AxdA,
q+ ' П J kq+2 (A, S) П J q+ '
00
где функции GhLC (A, s), GhLC (A, s), GhLq+2 (A, s) и G^LC^ (A, s) находятся по формулам (16).
Для остальных функций Грина справедливы представления (k = 1,2,..., N+2, l = 2, 3,...,N + 2):
С СС
GIL (x, s) = U GhLS (A, s) sin Ax dA, G^i (x, s) = Ц G^i (A, s) cos Ax dA.
00
Вычисляя первые интегралы в (20) и переходя в пространство оригиналов по Лапласу, получаем:
СЮ
G1h1 (x, т) = 5' (т - x) + - j GhC (A, т) cos Ax dA,
0
/пк р-х2/4кт 1 f
Gh22 (x, т) = -+ i GhC (A, т) cos Ax dA,
2%/т п J
0
Рис. 1. Изменение и во времени т Рис. 2. Изменение $ во времени т и по глубине слоя х и по глубине слоя х
Рис. 3. Изменение ■ц1 во времени т Рис. 4. Изменение П2 во времени т и по глубине слоя х и по глубине слоя х
9 , С
./Л e-x2/4Dq т 1 /■
Ghq+2 (x, т) = -вд 2 /ñ—— + - GhCq+2 (A, т) cos Ax dA,
Gh+2,1 (x,т) = (Aq - MqB)
2yDq
x2/4Dq т
(2Dqт - x2) 1
4(Dq т f2
+— GhC2il (A,т )cos AxdA,
0 С
Ghk (x, s) = — j GhS (A, s) sin Ax dA, Gh+2¡i (x, s) = - j GhC2li (A, s) cos Ax dA,
00
где функции GhS (A,т), GhC (A,т) и Gfh+2 k (A,т) с учетом соотношений (19) находятся с помощью формул (18).
Подставляя найденные функции Грина Ghk (A,т) в равенства (5), находим решение задачи термомеханодиффузии для полупространства.
4. Расчетный пример
Рассмотрим в качестве примера теплоизолированный и зафиксированный на границах однородный двухкомпонентный слой. Положим для расчета все правые части в граничных условиях (3) равными нулю, кроме диффузионного потока на границе х = 0 :
¡31 (т) = 10-16 ■ Н (т). (21)
Материал слоя - дюралюминий 2024 (состав: 95% Al (q = 1), 5% Cu (q = 2)):
Н Н кг Н Л* = 5.55 • 1010 ^, р* = 2.61 • 1010 н, р = 2740 , b* =2.47 • 106 -,
м2 м2 м3 м2 • К
«* = 150 , ^ = 920 , ad) = 5.103 ДЖ, aS2^ =2-104 Дж
м • К кг • К моль моль
о = 700 К, L* = 10-3 м.
22 D(1) =2-10-15 —, В(2) =4-10-16 —, То = 700 К, L* = 10-3
с с
Результаты вычислений сверток (5) показаны на рис. 1-4, где представлены пространственно-временные распределения перемещений, температур и концентраций, демонстрирующие взаимосвязь указанных полей при заданных поверхностных возмущениях (3), (21). Вычисления проводились при 100 членах рядов Фурье (6). Дальнейшее увеличение количества членов этих рядов не приводит к каким-либо видимым изменениям полученных результатов.
Заключение
С помощью предложенного алгоритма решена связанная одномерная нестационарная задача термоупругости с учетом диффузии для многокомпонентного слоя. Основным достоинством данного подхода является возможность аналитически найти оригиналы по Лапласу функций Грина и провести их анализ. Эффективность метода продемонстрирована на конкретном расчетном примере для однородного двухкомпонентного слоя.
Литература
1. Князева А.Г. Введение в термодинамику необратимых процессов. Лекции о моделях. - Томск: Изд-во «Иван Федоров», 2014. - 172 с.
2. Atwa S.Y. Generalized thermoelastic diffusion with effect of fractional parameter on plane waves temperature-dependent elastic medium //J. Mater. Chem. Eng. - 2013. -V. 1, No 2. - P. 55-74.
3. Kumar R., Chawla V. A study of Green's functions for three-dimensional problem in thermoelastic diffusion media // Afr. J. Math. Comput. Sci. Res. - 2014. - V. 7, No 7. -P. 68-78. - doi: 10.5897/AJMCSR2014.0564.
4. Othman M.I.A., Elmaklizi Y.D. 2-D problem of generalized magneto- thermoelastic diffusion, with temperature-dependent elastic moduli // J. Phys. - 2013. - V. 2, No 3. -P. 4-11.
5. Deswal S., Kalkal K.K., Sheoran S.S. Axi-symmetric generalized thermoelastic diffusion problem with two-temperature and initial stress under fractional order heat conduction // Phys. B: Condensed Matter. - 2016. - V. 496. - P. 57-68. - doi: 10.1016/j.physb.2016.05.008.
6. Aouadi M. A generalized thermoelastic diffusion problem for an infinitely long solid cylinder // Int. J. Math. Math. Sci. - 2006. - V. 2006. - Art. 25976, P. 1-15. - doi: 10.1155/IJMMS/2006/25976.
7. Elhagary M.A. A two-dimensional generalized thermoelastic diffusion problem for a halfspace subjected to harmonically varying heating // Acta Mech. - 2013. - V. 224, No 12. -P. 3057-3069. - doi: 10.1007/s00707-013-0902-6.
8. El-Sayed A.M. A two-dimensional generalized thermoelastic diffusion problem for a half-space // Math. Mech. Solids. - 2016. - V. 21, No 9. - P. 1045-1060. - doi: 10.1177/1081286514549877.
9. Давыдов С.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Поверхностные функции Грина в нестационарных задачах термомеханодиффузии // Проблемы прочности и пластичности. - 2017. - Т. 79, № 1. - С. 38-47.
10. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic Processes in thermoelectromag-netoelastic and thermoelastodiffusive media // Encyclopedia of Thermal Stress. V. 2. -Dordrecht; Heidelberg; N. Y.; London: Springer, 2014. - P. 1064-1071.
11. Давыдов С.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Упругое полупространство под действием одномерных нестационарных диффузионных возмущений // Учен. зап. Казн. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2014. - Т. 156, кн. 1. - С. 70-78.
12. Zemskov A.V., Tarlakovskiy D.V. Two-dimensional nonstationary problem elastic for diffusion an isotropic one-component layer // J. Appl. Mech. Tech. Phys. - 2015. - V. 56, No 6. - P. 1023-1030. - doi: 10.1134/S0021894415060127.
13. Давыдов С.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Двухкомпонентное упруго диффузионное полупространство под действием нестационарных возмущений // Экол. вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2014. - № 2. -С. 31-38.
14. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1: Элементарные функции. - М.: Наука, 1981. - 797 с.
15. Журавский А.,М. Справочник по эллиптическим функциям. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1941. - 236 c.
Поступила в редакцию 14.12.17
Вестяк Анатолий Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладные программные средства и математические методы»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия E-mail: [email protected]
Давыдов Сергей Андреевич, аспирант и ассистент кафедры «Прикладные программные средства и математические методы»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия E-mail: [email protected]
Земсков Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладные программные средства и математические методы»; старший научный сотрудник лаборатории «Динамические испытания»
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия E-mail: [email protected]
Тарлаковский Дмитрий Валентинович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией динамических испытаний; заведующий кафедрой «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» НИИ механики МГУ имени М.В. Ломоносова
Мичуринский проспект, д. 1, г. Москва, 119192, Россия Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва, 125993, Россия E-mail: [email protected]
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2018, vol. 160, no. 1, pp. 183-195
Unsteady One-Dimensional Problem of Thermoelastic Diffusion for Homogeneous Multicomponent Medium with Plane Boundaries
A.V. Vestyak a *, S.A. Davydov a * *, A.V. Zemskov a'b* * *, D.V. Tarlakovskii b'a * * * *
aMoscow Aviation Institute (National Research University), Moscow, 125993 Russia bResearch Institute of Mechanics, Moscow State University, Moscow, 119192 Russia E-mail: *[email protected], **[email protected], ***[email protected],
**** [email protected]
Received December 14, 2017 Abstract
The paper deals with the problem of determining the stress-strain state of a thermoelastic multicomponent medium with plane boundaries (layer and half-space) taking into account the presence of diffusion fluxes in each medium component. The effect of changes in the concentration and temperature on the stress-strain state of the medium has been studied with the help of a locally equilibrium model of thermoelastic diffusion, which includes the coupled system of equations of motion, heat transfer, and mass transfer. The solution has been found using the Laplace transform, as well as using the Fourier expansion for the layer and the sine-cosine transform for the half-space. The surface Green's functions have been expressed and analyzed. Test calculation has been performed.
Keywords: mechanical diffusion, multicomponent media, thermoelastic diffusion, integral transforms, Fourier series, Green's functions
Figure Captions
Fig. 1. Change u in time t and by layer depth x.
Fig. 2. Change ff in time t and by layer depth x.
Fig. 3. Change m in time t and by layer depth x
Fig. 4. Change V2 in time t and by layer depth x
References
1. Knyazeva A.G. Vvedenie v termodinamiku neobratimykh protsessov. Lektsii o modelyakh [Introduction to Thermodynamics of Irreversible Processes. Lectures on Models]. Tomsk, Izd. "Ivan Fedorov", 2014. 172 p. (In Russian)
2. Atwa S.Y. Generalized thermoelastic diffusion with effect of fractional parameter on plane waves temperature-dependent elastic medium. J. Mater. Chem. Eng., 2013, vol. 1, no. 2, pp. 55-74.
3. Kumar R., Chawla V. A study of Green's functions for three-dimensional problem in thermoelastic diffusion media. Afr. J. Math. Comput. Sci. Res., 2014, vol. 7, no. 7, pp. 6878. doi: 10.5897/AJMCSR2014.0564.
4. Othman M.I.A., Elmaklizi Y.D. 2-D problem of generalized magneto- thermoelastic diffusion, with temperature-dependent elastic moduli. J. Phys., 2013, vol. 2, no. 3, pp. 4-11.
5. Deswal S., Kalkal K.K., Sheoran S.S. Axi-symmetric generalized thermoelastic diffusion problem with two-temperature and initial stress under fractional order heat conduction. Phys. B, 2016, vol. 496, pp. 57-68. doi: 10.1016/j.physb.2016.05.008.
6. Aouadi M. A generalized thermoelastic diffusion problem for an infinitely long solid cylinder. Int. J. Math. Math. Sci., 2006, vol. 2006, art. 25976, pp. 1-15. doi: 10.1155/IJMMS/2006/25976.
7. Elhagary M.A. A two-dimensional generalized thermoelastic diffusion problem for a halfspace subjected to harmonically varying heating. Acta Mech., 2013, vol. 224, no. 12, pp. 3057-3069. doi: 10.1007/s00707-013-0902-6.
8. El-Sayed A.M. A two-dimensional generalized thermoelastic diffusion problem for a half-space. Math. Mech. Solids., 2016, vol. 21, no. 9, pp. 1045-1060. doi: 10.1177/1081286514549877.
9. Davydov S.A., Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Surface Green's functions in non-stationary problems of thermomechanical diffusion. Probl. Prochn. Plast., 2017, vol. 79, no. 1, pp. 38-47. (In Russian)
10. Tarlakovskii D.V., Vestyak V.A., Zemskov A.V. Dynamic processes in thermoelectromag-netoelastic and thermoelastodiffusive media. In: Encyclopedia of Thermal Stress. Vol. 2. Dordrecht, Heidelberg, New York, London, Springer, 2014, pp. 1064-1071.
11. Davydov S.A., Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. An elastic half-space under the action of one-dimensional time-dependent diffusion perturbations. Lobachevskii J. Math., 2015, vol. 36, no. 4, pp. 503-509. doi: 10.1134/S199508021504023X.
12. Zemskov A.V., Tarlakovskiy D.V. Two-dimensional nonstationary problem elastic for diffusion an isotropic one-component layer. J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2015, vol. 56, no. 6, pp. 1023-1030. doi: 10.1134/S0021894415060127.
13. Davydov S.A., Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Two-component elastic diffusion halfspace under the influence of time-dependent perturbations. Ekol. Vestn. Nauchn. Tsentrov Chernomorsk. Ekon. Sotr., 2014, no. 2, pp. 31-38. (In Russian)
14. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady [Integrals and Series]. Vol. 1: Elementary Functions. Moscow, Nauka, 1981. 797 p. (In Russian)
15. Zhuravskii A.M. Spravochnik po ellipticheskim funktsiyam [Handbook on Elliptic Functions]. Moscow, Leningrad, Izd. Akad. Nauk SSSR, 1941. 236 p. (In Russian)
Для цитирования: Вестяк А.В., Давыдов С.А., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. / Нестационарная одномерная задача термоупругой диффузии для однородных мно-\ гокомпонентных сред с плоскими границами // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2018. - Т. 60, кн. 1. - С. 183-195.
For citation: Vestyak A.V., Davydov S.A., Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Unsteady / one-dimensional problem of thermoelastic diffusion for homogeneous multicomponent \ medium with plane boundaries. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 160, no. 1, pp. 183-195. (In Russian)
