НЕСТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

«Труды МАИ». Выпуск № 82 www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Нестационарное движение нормальной сосредоточенной нагрузки вдоль границы упругой полуплоскости

Оконечников А.С.*, Тарлаковский Д.В.**, Федотенков Г.В.***

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, A-80, ГСП-3, 125993, Россия

* e-mail: leon lionheart @mail. ru

** e-mail: tdvhome@mail.ru ***e-mail: greghome@mail.ru

Аннотация

В нестационарной постановке исследуется плоская задача о воздействии сосредоточенной нагрузки, движущейся по поверхности однородного изотропного упругого полупространства. С использованием принципа суперпозиции получено решение в квадратурах. В частном случае равномерного движения проведен расчет и представлены графические результаты для нормальных перемещений поверхности полупространства. Проведен анализ особенностей решения на характерных скоростных этапах движения нагрузки: дорелеевском, дозвуковом, трансзвуковом и сверхзвуковом.

Ключевые слова: подвижная нагрузка, нестационарная задача, принцип суперпозиции, сингулярные интегралы, регуляризация, особенности решений.

Введение

При проектировании современной аэрокосмической техники необходимо

учитывать нестационарный характер локальных нагрузок, воздействующих на ее

1

элементы. Такие задачи возникают, например, при контакте корпусов летательных аппаратов с мелкими частицами, которые могут содержаться в окружающей атмосфере или космическом пространстве. Кроме того, в подобных задачах зачастую приходиться иметь дело с нагрузками, точка приложения которых движется по поверхности конструкции по определённому закону. Также актуальной проблемой является создание высокоскоростных средств передвижения, для которых исследование указанных проблем также может найти применение. В общей постановке построение решений подобных задач является чрезвычайно сложной проблемой. В данной работе рассмотрена модельная задача о воздействии подвижной сосредоточенной нагрузки на упругое однородное изотропное полупространство. Предложен и реализован метод, позволяющий получить решение в замкнутой форме, а также выявить все возможные особенности решения на различных скоростных режимах движения.

1.Постановка задачи

В начальный момент времени по нормали к границе 2 = 0 невозмущенного упругого однородного изотропного полупространства прикладывается нормальная сосредоточенная нагрузка q = Н ^ )б[ х - / ^)], где функция времени / ) описывает

закон ее движения со скоростью V {? ) = , Н (?) - функция Хевисайда, а 8( х) -

дельта-функция Дирака. Используется прямоугольная декартова система координат Ох2, ось Ох которой направлена вдоль свободной границы полупространства, а ось

О2 - в глубь полупространства. Предполагается, что компоненты напряженно-деформированного состояния и перемещений не изменяются в направлении оси Оу. Движение среды описывается уравнениями Ламе [1]

л л .Л- л 32и „ ^

(А + ц)§гаа шу и + цЛи = р—-. (1.1)

д?

Здесь и = {и, щ) - вектор перемещений (и и щ - перемещения вдоль осей Ох и Ог соответственно), А, ц и р - параметры Ламе и плотность среды.

Ненулевые компоненты еу. тензора деформаций связаны с перемещениями соотношениями Коши:

ди 1

е11 = аХ' 813 = 2

^ 3и дщл +

п ол

, езз = . (12)

О!

\дг Ох у

Ненулевые компоненты а тензора напряжений определяются законом Гука:

стп = 2цеп + А0, а13 = 2це13, стзз = 2|ие33 + А0, 0 = еп + е33. (1.3)

Касательные напряжения на границе полуплоскости г = 0 отсутствуют, перемещения предполагаются ограниченными на бесконечности, что приводит к следующим граничным условиям:

*1з| г=0 = 0, азз! г=0 =-Н { ' )§[ х - / (' ^

- (1)

. х2 + г2.

Начальные условия нулевые:

I | ди

и = Щ = —

1,=° 1,=° ал

х=0

дщ

"ОТ

= 0.

г=0

Вектор перемещений удобно представить в виде суммы потенциальной и соленоидальной составляющих:

и = §гаёф + го1;у, (1.5)

где ф - скалярный, а у - векторный потенциалы упругих смещений.

Подстановка (1.5) в (1.1) приводит к двум волновым уравнениям относительно скалярного ф и ненулевой компоненты у векторного потенциала упругих смещений:

2 . а2ф 2 Л д V Л д2 д2 2 ^ + 2 Ц

С1Лф = ^Ь С2ЛУ = ^Г' Л = ТТ + ТГ, С =--, с2 =-.

д1 д1 дх дг р р

Здесь с и с2 скорости волн растяжения-сжатия и сдвига, а -ускорение движения

нагрузки.

Будем использовать систему безразмерных величин (штрихи обозначают

безразмерные параметры, которые далее опущены).

, х , г сЛ , и , w , ф х = —, г = —, х = —, и = —, w = —, ф = -V,

ь ь ь ь ь ь2

' У „ f „ С1 лг, V _, Ъу

У = 72, / = у, Л = ^, V = -, ^ =

ь2' ь' с2' сх" 1] \ + 2ц ' где ь - характерный линейный размер.

Постановка задачи в безразмерном виде включает в себя следующие соотношения (здесь и далее производные по безразмерному времени обозначены точками):

- уравнения движения

Лср = ф, А\|/ = т|2х!|/; (1-6)

- вытекающую из (1.2), (1.3) и (1.6) связь компонент перемещений, напряжений и деформаций с потенциалами:

дф ду дф ду д ф д у

и =---, щ =---, е11 = —---

дх дг дг дх дх дхдг

, езз

д 2ф д 2у

е1з

д у ^ д ф д у —Г + 2—— + —г ч дх дхдг дг у

Г

, ап = Дф - 2л

-2

дг 2дхдг 2

д2ф д2у Нг + —

дг 2 дхдг

а1з =аз1

Л

- 2

д2ф + 2 д2ф д2у

дх2

дхдг дг 2

2

, а33 = Дф - 2л

-2

2

д2ф д2у дх 2 дхдг

(1.7)

- начальные условия:

ф|т=0 = Со = 0> 4=0 = 4=0 = 0-

(1.8)

- а также граничные условия (1.4), в которых г нужно заменить безразмерным

временем т.

2.Метод решения

Используем принцип суперпозиции [2], согласно которому нормальные перемещения границы полуплоскости связаны с поверхностными напряжениями интегральным соотношением типа свертки:

т X

Щ {х,т) = 1 в, {х - т - г)ст{£,г)d£)dt. (2.1)

0 -X

Здесь щ {х, т) = щ{ х,0, т), а{ х, т) = а33{ х ,0, т), а ядро G/ { х, т) является

поверхностной функцией влияния для упругой однородной изотропной полуплоскости и представляет собой нормальные перемещения границы полуплоскости как решение задачи (1.6) - (1.8) со следующими граничными условиями:

а1з| г=0 = 0 азз| г=0 = §{ х )6М, ф = О {1), у = О {1), при г ^ х.

Эта функция найдена в [3] и имеет вид:

2

Ог (х, т) = ^Оп (х, т)Н (х - л

I|Х

I=1

0/1 (^ ^ЯТ^ ( ХТ2 ^ ^ ( ХТ2 ^, в/2 ( X, ^^^^^^ ( Х ^ ^ ) ^ ( Х ^ Т2 ),

§1 (х= (л2* - 2х)2, §2 (х,т) =4т(т - х), ^ ( х, т) = >/т-х, &2 ( X, т)^^/т-л2 X,

р (х, т) = р (х, т) р (х, т), р (х, т) = х - с2т, р (х, т) = х2 - 2а2хт + р2т2,

2 4 с2 2 16(л2 -1) а = — , Р = 8 2 , Л1 = 1Л2 =л-Л 2 Л сй

Отметим, что многочлен р (2,1) не имеет действительных корней, т.к. а4 -Р2 < 0 [4,5].

Функции gl (х,т) (I = 1,2) представим в виде суммы регулярного ^ (х,т) и сингулярного ^ (х, т) слагаемых:

gl (^ т) = glS (X, т) + glr (X, т),

^ (х' т)= рМ ' ^ (х' т)= ЪМ '

_ 4р2-4

-Г. ( 2 Л ' 1 ~ 1 1' 2 _ 2' Ч -

2 ( 4Л)

4

Тогда функции ^ записываются так:

{х т) = {х т) + Ог1 {х т),

в {х, т) = Л gsl {х2, т2 {х2, т2), (2.2)

лл

вг1 {x, т) = ^г 8г1 {хт2) {хт2).

лл

С учетом граничных условий (1.4) и свойств дельта-функции [1] представление (2.1) принимает вид:

щ0 {х т)=-£ щ {x, т). (2.3)

I=1

щ I х

{х,т) = |в/ [х - /{г),т - г]Н {т - г -л^х - /{г)|)dt

В соответствии со структурой (2.2) функции для дальнейшего

исследования нам понадобятся значения интеграла вида

У2 /1 _ 2

I{аН^-^у, У1,у2 е [-1,1]. (2.4)

у - а

У1

При этом параметр а может быть как действительным а е Я, так и комплексным а е С. В случае а е Я возможны варианты: а ^ [у,у2], а е{у,у2). В

последнем случае интеграл (2.4) - сингулярный и понимается в смысле главного значения по Коши.

3. Свойства интеграла I {а)

т

0

При а е Я, а у, у2 ] его подынтегральная является непрерывной действительной, следовательно, для (2.4) применима формула Ньютона-Лейбница:

I { а ) = J { у2; а)- J { у; а),

(3.1)

где

j { у; а)=

^1 - у2 + а агсБт {у ) + л/1 - а21п (а, у)| у/1 - у2 + а агсБт {у) + 2>/а2 - 1агС^ {^ (а, у)) Fз(а, у) - 2агс1в {Fз(a, у))

при а < 1;

при а > 1; при а = 1.

^(а, у) =-УЕ^Е+1 ^^, ^(а, у) = , ^(а, у) = ^

- а у 1 + у +V1 + а у 1 - у V а + 1у1 - у у/1 - у

При а е C имеет место равенство:

I {а) = Л {у2,а)- ^ {Уl,а),

(3.2)

где

Jс {у; а) =>Д - у2 + а агсБт у + •>/ 1 - а21п {^ (а, у)). Здесь под 1п г понимается главная ветвь комплексного логарифма. При а е Я, а е {у, у2) интеграл сингулярный.

Утверждение 1. Главное значение интеграла (2.4) определяется формулой

(3.1).

Доказательство При у < а < у2

у2

I (а) dy =/

J у - а

у, ^

у2УГ7 ^л/1

а

у-а

dy ^лЯ'-а2

у1

у-а

J(у; а) - л/ 1 - а21п|у - а| +V1 - а21п

у1

у 2 - а а - у1

(у2;а) - (у;а).

Что и требовалось доказать. ■

<

Отметим, что утверждение 1 дает основание проводить вычисление регулярных и сингулярных интегралов с помощью одних и тех же формул (3.1).

Утверждение 2. Пусть а е Я. Тогда при а ^ у2 + 0 интеграл (2.4) стремится к +да по логарифмическому закону, а при а ^ у + 0 он стремится к -да по логарифмическому закону.

Доказательство. Пусть а = у2 + е, где е>0 - малый параметр, тогда учитывая утверждение 1 и используя формулы (3.1) получаем:

Й[(^У2 ± е) - (У;У ± е)] = С21 + /, 1 2 К™1" \_C22f (еУ)],

У2

где

C21 ^ л/1

C =

C22

У2

- y2 + У2 (arcsin У2 - arcsin y ),

1 Ф - У^1 + У +41+У^1 - У

2>/1 - у2 41 - У^1 + У1 ->/1 + У^1 - У1

f (s,у2)= v1 -(у2 ±sw1 + у2 ->/1 + (у2 ±sw1 -у2 Определяя асимптотически эквивалентную функцию для f (s, у2 )

/(s,y)

Л

(s ^о),

получаем асимптотическое выражение для интеграла l(a) ~ /е2 при а —> у ± О

' s 2 C21 +

ln

л/1—УТ IVï

C

22

■У2

£

У 2

■ 1п£ (s^-0),

Аналогично получаем асимптотическое выражение для интеграла /(я)~/е1

при a ^ y + 0 :

s

I ei = Ql -

ln

C

l!

ji

—=L=\m (e->0).

v У1

где

Ci i =<Jl~y2 -<Jl-j + У (arcsin y2 - arcsin y),

C

i2

i ф - лла+у 2 + л/i + у^ - у2

wi - у2 vi - +у 2 i+y- у 2

■

4. Равномерный режим движения нагрузки

Полагаем f (х) = Vx, где V = const. Тогда соотношение (2.3) преобразуется

так:

Wl (Xх) = W1 (Xх) + Wrl (Xх),

wi (х

42 42

( x, х)= | Gsl ( x - Vt, х-1) dt, wrl ( x, х)= J Grl ( x - Vt, х-t) dt.

(4.1)

Пределы интегрирования т и т2 в (4.1) определяются из решений системы неравенств:

0 < г <т, т- г -ц \х - Уг\ > 0 (4.2)

при всех возможных значениях параметров т, х, ц, V.

Ее решение удобно получить графоаналитическим способом. При этом рассмотрим 3 характерных режима движения нагрузки: сверхзвуковой V > 1, трансзвуковой 1/ц < V < 1 и дозвуковой V < 1/л.

Графоаналитический способ решения продемонстрируем на примере сверхзвукового режима движения, рис. 1. Сплошные линии соответствуют прямым т-г

л

штриховые - £ = +(х -1), а штрихпунктирная - £ = Vt - х. Границы ха, х/2

области решений неравенств (4.2) являются абсциссами точек пересечения прямой = VI - х с границами областей

В ={(а): 0 < I <х, - — —I = 1,2.

I Л/ Л/ ]

Эти области геометрически представляют собой треугольники с вершинами (т,0), (0,±х/л7) . Фиксируя определенное значение V > 1 и перемещая прямую Ь: £ = VI - х в вертикальном направлении параллельно самой себе получаем 6 характерных случаев относительного расположения областей В и прямой Ь. На рис. 2 круглыми и квадратными маркерами обозначены точки пересечения прямой Ь с границами областей В и В2 соответственно. Абсциссы точек пересечения 1 = ,^/2 в случае неравенства их нулю определяются из следующих соотношений:

х-1 т + Л/ х л х -х „

VI - х = ±-, х > 1/2 =-^ > 1Я= —-> 0.

Л

+1 -1

(4.3)

-х/л

Рис. 1

Аналогично определяются все возможные случаи значения пределов в (4.1) при двух других характерных режимах движения нагрузки. В таблице 1. приведены значения тп и т/2 при всех возможных значениях параметров т, х, ц, V (знак 0

означает пустое множество). Таблица 1.

V х т11 т12 т21 т22

х > Vт или х < -т 0 0 0 0

т < х < Vт ¿11 ¿12 ¿21 ¿22

V > 1 т/ц < х < т 0 ¿12 ¿21 ¿22

|х| < т/ц 0 ¿12 0 ¿22

-т < х < -т/ц 0 ¿12 0 0

|х| > т 0 0 0 0

V т < х < т 0 ¿11 0 0

1/ ц < V < 1 т/ц < х < ^ 0 ¿12 ¿21 ¿22

|х| < т/ц 0 ¿12 0 ¿22

-т < х < -т/ц 0 ¿12 0 0

|х| > т 0 0 0 0

т/ц < х < т 0 ¿11 0 0

V < 1/ ц V т < х < т/ц 0 ¿11 0 ¿21

-т/ц < х < Vт 0 ¿12 0 ¿22

-т < х < -т/ц 0 ¿12 0 0

В случае, когда в таблице 1 значениям пределов интегрирования тп и т/2 соответствуют пустые множества, соответствующее слагаемое в (2.3) равно нулю.

В выражениях (4.1) сделаем замену переменной

х- Vt ..

г = Л/--. (4.4)

х-1

Тогда приходим к следующим равенствам:

1 3

(х,х) = —гX Аи!/и (х,х), (4.5)

ъ=1

2/ 2 VI- -2

(х х) = I-а11 = Л/V, а/2 = Л/^, а/з = -Л/5

/ 1 - а

^ 1 у

А =А = 1 А

А/1 = тл2 2 ' А/2 ~ /2 Тг2\ ' А3

V2 - 2 с* (4 - V2 V ° 2с„ (4 + V2 )•

При этом все интегралы /^ (Ъ = 1,3) имеют конечные значения, определяемые формулой (3.1).

Регулярные интегралы в силу непрерывности подынтегральных функций являются непрерывными функциями двух переменных. С учетом замены переменной (4.4) они записываются так:

1 212 ._

,(х,х) = —2 I Гг1 (г)7Г

wrl (х,х) = —у I /г1 (г Ы1 - г2dz,

I

№=■ 1 ^^

г - Ь 1 б/2 (г)б/2 (-г)'

где Ьп=ап=т\У, С^С^, 0/2(*) = г2 + у^ + Р/, У/ = Л/^2(а2 +Р7) , Р,=Л?Р:

У2 - 4р/< 0.

Далее представляем б12 (г) и б12 (-г) в виде

Ql2 (*) = (2 - С/ )(2 - С/ )> Ql2 (-2) = (2 + С/ )(2 + С/ ),

С1 =1 (-У/ + -У/"

Тогда приходим к следующим равенствам:

1 5

(х,т) = —1Т.В>'„(х,т), (4.6)

Лц/ 7=1

2/ 2 л/Т-*2

Л 4 / 1 _ *

х, т)=

Ь12 = С/ 5 Ь13 = С/ 5 Ь14 = -С/ 5 Ь15 = -С/ 5 В7 = 11т /г/ (Ь/, )(2 - Ь ).

Таким образом, регулярное слагаемое также сводится к вычислению интегралов вида (2.4). При этом /г/1 имеет действительный параметр Ьй и совпадает с интегралом /м. Для его вычисления используется формула (3.1). Остальные интегралы имеют комплексные параметры Ь1}, 7 = 2,5 и вычисляются по формуле (3.2).

Пределы интегрирования в (4.5) и (4.6) определяются с учетом (4.4), (4.3) и таблицы 1. Значения пределов при всех скоростных режимах приведены в таблице 2.

Таблица 2.

V х 211 212 2 21 2 22

х > Vт или х < -т 0 0 0 0

т < х < V т 1 -1 1 -1

V > 1 т/ц < х < т х/ т -1 1 -1

|х| < т/ц х/ т -1 цх/т -1

-т < х < -т/ц х/ т -1 0 0

|х| > х 0 0 0 0

У х < х < х х/ х 1 0 0

1/ Г|< У < 1 х/| < х < Ух х/ х -1 1 -1

|х| < х/| х/ х -1 |х/х -1

-х < х < -х/| х/ х -1 0 0

|х| > х 0 0 0 0

х/| < х < х х/ х 1 0 0

У < 1/1 У х < х < х/| х/ х 1 |х/х 1

-х/| < х < Ух х х -1 |х/х -1

-х < х < -х/| х/ х -1 0 0

5. Особенности решения

А. Сверхзвуковой режим. При х/|< х < Ух все интегралы, входящие в представление нормальных перемещений являются постоянными величинами, следовательно, нормальные перемещения в диапазоне х < х < Ух не зависят от х и х (являются постоянной величиной). Это говорит о том, что динамические эффекты в точке границы полуплоскости, по которой в момент времени х «прошла» сосредоточенная сила, перемещающаяся со сверхзвуковой скоростью, начинают проявляться не сразу, а после прохождения периода времени Ах = У -1, что соответствует времени прохождения волной растяжения-сжатия расстояния между ее фронтом и фронтом движения нагрузки.

Исследуем поведение решения при х х .Пусть х ^ х + е, тогда с помощью утверждения 2 получаем следующий результат:

-1 _ £ 2 1 1ЛХ^)= J __ ~ I 2 21п^1 (е^е/т^О).

Аналогично соотношение имеет место при х ^ х + е:

---1—=Т1п81 (81^0)'

На рис. 2 изображены распределения нормальных перемещений границы полупространства в момент времени х = 1 для различных значений скорости движения нагрузки. Красная кривая соответствует значению V = 1, зеленая - V = 1.5, синяя - V = 2. Штриховые вертикальные прямые соответствуют положению фронтов волны Рэлея х = х, а штрихпунктирные - положению фронтов волны сдвига х = +х/ц. Здесь и далее в качестве материала полупространства принята сталь с безразмерными параметром: ц = 1.87. При этом скорость волны Рэлея равна ^ = 0.496 [1], а скорость волны сдвига 1/ ц = 0.535.

1 0.01^ |! л

1 1 1 1 1 I7 / ! / ! /

1 1 1 1 1 ----

1 1 о 1 1 | : х

Рис. 2.

На рис. 3 проиллюстрировано поведение решения при V = 2 в окрестности фронтов волн Рэлея.

Рис. 3.

Б. Трансзвуковой режим. Здесь отметим следующий момент. На рис. 4 изображен график зависимости суммы коэффициентов Ап + £п при заданных свойствах материала (сталь) от скорости движения нагрузки. Вертикальная штрихпунктирная прямая соответствует скорости волны сдвига V = 1/ ц. Видно, что

при V = V = 0.567 сумма коэффициентов равна нулю.

Рис. 4.

Это приводит к следующему выводу. При V ф V на фронте движения нагрузки при дозвуковом режиме имеется логарифмическая особенность. При этом в случае V > V перемещения в окрестности фронта положительны, а при V < V -

отрицательны. При V = У0 особенность второго рода на фронте движения нагрузки исчезает, однако при этом на фронте перемещения имеют разрыв первого рода за счет скачкообразного изменения верхнего предела г12 от -1 к 1 (см. таблицу 2).

На рис. 5 изображены распределения нормальных перемещений границы полуплоскости в момент времени т = 1 для трех характерных значений скорости движения нагрузки.

! 0.01^ 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 щи г ! Ь. т — 1 ==——-- 1 1

1 [ 0 1 1 1 1 1 1 —'- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X

Рис. 5.

Красная кривая соответствует значению V = 1/ц, зеленая - V = V = 0.567, синяя - V = 0.7. Красная вертикальная штриховая прямая соответствует положению нагрузки.

В. Дозвуковой режим. На рис. 6. представлены распределения нормальных перемещений границы полупространства при дозвуковом режиме движения в момент времени т = 1. Красная кривая соответствует значению V = 0.2, зеленая -V = 0.4, синяя - V = - 0.001. Красная вертикальная штриховая прямая соответствует положению нагрузки.

1 0.01^ 1 1

1 1 1 1 __, 1 ------ 1 ■!'-- у\ У ----

1 I 0 1 1 1 1 '—'- 1 1 1 1 1 Г x

Рис. 6.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-0801051) и гранта Президента РФ НШ-2029.2014.8.

Библиографический список

1.Горшков А.Г., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. -М.: Физматлит, 2004. - 472 с.

2.Тарлаковский Д.В., Федотенквов Г.В. Пространственное нестационарное движение упругой сферической оболочки // Известия РАН. Механика твердого тела. 2015. № 2. С. 118-128.

3.Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. -М.: Наука. Физматлит, 1995. - 351 с.

4. Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Плоская нестационарная задача о взаимодействии твердого ударника с несовершенствами и упругого полупространства // Электронный журнал «Труды МАИ», 2011, №48: https://www. mai.ru/science/trudy/published.php?ID=27499 (дата публикации 22.11.2011).

5. Медведский А.Л., Тарлаковский Д.В. Нестационарный контакт недеформируемого ударника с несовершенствами и упругой полуплоскости на сверхзвуковом участке внедрения // Вестник Московского авиационного института. № 6. 2011. Т. 18. - С. 125-132.