CC BY
10Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 16.2012
УДК 512.556
ПИРСОВСКИЕ ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ Р. В, Марков, В. В, Чермных
В статье вводится понятие пирсовской цепи конгруэнции полуколец — аналог пирсовской цепи идеалов колец. Приводятся основные свойства и некоторые приложения этой конструкции: характеризация абелевых, заменяемых справа полуколец, правых полуколец Безу.
Ключевые слова: полукольцо, пирсовский пучок, пирсовский слой, пирсовская цепь, функциональное представление полукольца, характеризация полуколец.
В фундаментальной работе Пирса [8] построена конструкция пучка колец, названного впоследствии пирсовским пучком, и доказана изоморфное! ь представления произвольного кольца с единицей сечениями этого пучка. В дальнейшем появилась серия работ, в которых пирсовский пучок применялся для изучения различных классов колец. Бе-джесом и Стефенсоном [5] [6] [7] введено полезное понятие пирсовской цепи идеалов кольца. Идея этой конструкции следующая: центральным идемпотентам кольца при пирсовском представлении соответствуют глобальные сечения, принимающие в каждом слой либо ноль, либо единицу. Однако, в слоях могут быть нетривиальные наборы центральных идемпотентов, и следовательно, возможно содержательное пирсов-ское представление слоев. Эта процедура "построения пирсовских слоев для ранее построенных пирсовских слоев" и приводит к пирсовской цепи идеалов. Авторами даются некоторые приложения конструкции. На русском языке элементы теория пирсовских цепей представлены в монографии А.А.Туганбаева [2].
Конструкция пирсовского пучка была перенесена и на некоторые другие алгебраические объекты — ограниченные дистрибутивные решетки, почти-кольца, полукольца. Так, для полуколец, являющихся основными объектами настоящей статьи ? пирсовское представление ПО-
(с) Марков Р. В., Чер мных В. В., 2012.
Основной целью ДЕННОИ работы является определение пирсовской цепи копгруэнций полукольца. Также получены результаты, описывающие некоторые полукольца в терминах пирсовских слоев и пирсовских цепей коигруэнций.
С терминологией и основными методами теории пучковых представлений можно познакомиться в монографиях Е.М.Вечтомова [1] и В.В.Чермных [4].
1. Основные определения
Определение 1,1, Непустое множество Б с бинарными операциями + и • называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (5, +) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
2. (¿>, •) — полугруппа с нейтральным элементом, 1;
3. Умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон;
4- 0а = 0 = а0 для любого а <Е 5.
Определение 1,2, Мультипликативный идемпотент е полукольца Б называется центральным дополняемым идемпотентом, если:
1, е — центральный: (Ух <Е Б)(ех = хе);
2. е — дополняемый: (Зе1- б5)(е + е1-1Д ее1- — 0).
Легко видеть, что дополнение е1- к центральному дополняемому идемпотенту е является центральным дополняемым идемпотентом и за-,дэ.втся однознечно.
В дальнейшем, если специально не оговорено, будем называть центральные дополняемые идемпотенты дополняемыми идемпотента-ми.
Обозначим через ВБ множество всех дополняемых идемпотентов. Множество (Вв, ф, •) с введенной операцией сложения еф/ — efL + eLf и полукольцевым умножением образует булево кольцо.
Пусть МахВЯ МНО/КССТВО ВССХ Д1 йКС И М с1'«7Х I? Н Ы X Т'Т 9 Л О К булева КОЛЬЦЕ ВБ. Напомним, что топология Стоуна-Зарисского вводится на этом множестве, если определить открытые множества как 1)(Л) =
{М Е MaxBS : А М} для любого идеала А кольца BS. Для произвольного дополняемого идемпотента е Е BS обозначим D(e) = D(eBS) = {М Е MaxBS ; е $ Л/}.
Известно (см., например, [4]), что MaxBS является нульмерным компактом с базисом открытых множеств вида !)(<).
Определение 1,3. Пространство MaxBS всех максимальных идеалов булева кольца BS называется пирсовским спектром полукольца S.
Определение 1.4. Идеал А полукольца S назовем регулярным, если он порожден некоторым множеством дополняемых идемпотептов.
Определение 1,5. Пусть А — регулярный идеал. Введем, отношение в а на полукольце S такое, что
а = Ь(0А) -ФФ- aeL = beL
для некоторого дополняемого идемпотента е £ А,
Стандартно проверяется, что 0 а является конгруэнцией.
Определение 1.6, Конгруэнцию 9А по регулярному идеалу А назовем А-регулярной. Если идеал А порождается, некоторым М Е MaxBS7 то А-регулярпую конгруэнцию 0а назовем конгруэнцией Пирса и обозначим 8М-
Определение 1.7. Семейство конгруэнций на полукольце S, индексированное точками х топологического пространства X 7 называется открытым семейством, если для любых a,b Е S множество V(a, b) = {х Е X : а = открыто в X.
Предложение 1.1. [4] Семейство всех конгруэнций Пирса на полукольце S, индексированное точкам,и М топологического пространства MaxBS, образует открытое сем,ейство.
Определение 1.8. Тройка (Р,тг,Х) называется пучком полуколец,
если выполняются следующие условия:
1г X и Р — топологические пространства;
2. тг Р —у X — локальный гомеоморфизм;
3. Для, каждой точки х Е X множество Рх = тг^1(х) является полукольцом;
4- Полукольцевые операции непрерывны;
5. Отображения 0 и 1, ставящие каждой точке х Е X соответственно ноль Ох и единицу 1Х полукольца РХ7 непрерывны.
Пространства X и Р называются базисным и накрывающим со-ответственно ; Р,- называется Слоем пучка. Непрерывные функции из X в Р, для которых каждая точка базисного пространства отображается в соответствующий слой пучка, носят название глобальных сечений пучка Р, Непосредственно из определения следует, что множество всех глобальных сечений пучка полуколец с поточечно определенными операциями является полукольцом — полукольцом глобальных сечений.
Предложение 1.2. [4] Пусть Б — полукольцо7 X — топологическое пространство. Тогда эквивалентны следующие условия:
1, (~х),х Е X — открытое семейство конгруэнций на Б;
2. (Р,Х) — пучок полуколец7 где Р = 0(5"/ х Е X}.
Из предложений 1.1 и 1.2 следует, что дизъюнктное объединение Р(5) — 0{Б/6М : М Е МахВБ} над топологическим пространством М <1x115 является пучком полуколец, называемым пирсовским пучком полуколец.
Для каждого М Е Мох И 5 полукольцо Б/6 м называется пирсовским слоем пучка Р(Б) в точке М.
Пусть а — произвольный элемент полукольца Б. Стандартно проверяется, что глобальным сечением пучка Р(Б) над Мох 115 является отображение о : МахВБ —У Р(Б), заданное равенством а(М)
— $ для
каждого М Е МахВБ. (Здесь а>м — класс элемента а в факторполу-кольце Б/6м-)
Определение 1.9. Функциональным (пучковым) представлением полукольца Б называется, полукольцевой гомоморфизм а ; Б —У Г(Р(5),X) полукольца Б в полукольцо всех глобальных сечений пучка Р(Б) над топологическим, пространством X. Представление сх называется точным, полным или изоморфным, если а — соответственно мономорфизм7 эпиморфизм или изоморфизм.
Теорема 1. [3] [4] Для любого полукольца Я функциональное представление а : Б —У Г(Р(Б), МахВБ), а(а) — а является изоморфизмом между 8 и полукольцом всех глобальных сечений его пирсовского пучка.
Предложение 1,3. Для полукольца Б равносильны условия:
1, Каждый идемпотент в Б дополняем и централен;
2. Все пирсовские слои полукольца Б не имеют нетривиальных пдемпотентов;
Доказательство. (1) (2). Покажем, что при иирсовском представлении каждый центральный дополняемый идемпотент отображается или в ноль или в единицу для каждого слоя. Рассмотрим пирсовский слой над точкой Л/, и е — произвольный центральный дополняемый идемпотент. Если е € М, то (.V — ее^ и Г(Л/) — 0(М); если е ^ М7 то 1е = ее и е(М) = 1 (М). Обозначим через к естественный эпиморфизм 5 на слой в точке М. Пусть ё2 = ё € Б/8м у и к(д) = ё для некоторого элемента д Е 5. Тогда /¿(д) = ё = ё2 = к(д2), откуда д/ = д2/ = д2/2 для некоторого / Е Вб' \ М, Поскольку Д(р/) = = ё, а по условию <?/ Е В б1, то /г(<?/) равен либо 0, либо 1,
(2) (1). Пусть с2 — е С ,5. Поскольку сечение е равно в каждом слое идемпотенту, то по условию принимает в каждом слое либо ноль, либо единицу. Кроме того, множества, на которых такое сечение принимает как ноль, так и единицу, открыто-замкнуты. Ясно, что е является центральным дополняемым идемпотентом полукольца всех глобальных сечений. Поэтому с Е Вв. □
2, Пирсовские цепи
Известно, что неразложимость полукольца в нетривиальную прямую сумму идеалов равносильна отсутствию в полукольце центральных дополняемых идемпотентов кроме пуля и единицы.
Определение 2,10. Если Б/р — неразложимое факторполукольцо полукольца Б, и для любой конгруэнции р' < р факторполукольцо Б/рг не является неразложимым;7 то Б/р называется максимальным неразложимым фактором (гиг-фактором) полукольца Б.
Определение 2,11. Пусть а — ординал, и ра — конгруэнция на полукольце Бг определяемая следующим образом:
1. Если а = 07 то ра = 0;
2. Если а — непредельный ординал,7 то Б/ра — некоторый пирсовский слой полукольца Б/ра-ь
3. Если а — предельный ординал7 то ра = Ур<арр;
Для некоторой конгруэнции р7 верно равенство р7 — р7+1. Множество P(S) = {ра : 0 < а < 7} назовем пирсовской цепью полукольца S. Конгруэнция, р7 — наибольшая конгруэнция пирсовской цепи.
Отметим, что полукольцо S может иметь более одной пирсовской
Предложение 2,4, Если {S/Si ; г Е 1} — такое множество неразложимых факторполуколец, что для любых г, j Е I конгруэнции и Sj сравнимы? то S/S — неразложимое полукольцо, где S — /\ieI
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что Д Si
— нулевая конгруэнция, множество I линейно упорядочено и если г < j, то 6{ > Sj.
Пусть е — ненулевой дополняемый идемпотент в 5, и hj. : S —У S/Sj
— естественные эпиморфизмы. Если 1ц(е) = О Е S/Si, то е = 0(5), откуда е — 0. Поэтому hj(e) ф 0 Е S/Sj для некоторого j. Тогда hk(e) — ненулевой дополняемый идемпотент полукольца S/S^ для любого к > j. А поскольку S/Sk неразложимые, то hk(e) — 1 Е S/S^, к > j. Поскольку Ак>з ^к = S, то е1- = 0(5) и е1 = 0, е = 1 и S неразложимо. □
Ниже нам потребуется утверждение, двойственно лемме Цорна, а именно, если всякая цепь в частично упорядоченном множестве имеет точную нижнюю грань, то множество содержит минимальный элемент.
Пусть S/p — неразложимое факторполукольцо ц Л — множество всех конгруэнций Si, таких что Sj < р и S/Si — неразложимый фактор. Тогда по предложениям 2.4 и аналогу леммы Цорна справедливо
Предложение 2,5, Для любого неразложимого факторполукольца S/p существует такой mi-фактор S/ST что S < р. В частности, каждое неразложимое факторполукольцо полукольца S — гомоморфный образ некоторого mi-фактора полукольца S.
Предложение 2,6. Пусть S/p — ненулевое неразложимое факторполукольцо полукольца S; и 0ß — класс пуля в S/ß.
L Если {е{}, ¿El— множество всех дополняем,ы,х идемпотентов в Sr лежащих в 0р, то S/8 — пирсовский, слой полукольца Sr где а = b(5) -Ф^ ае1- = be^ для некоторого е Е 0^;
2. Конгруэнция р содержит наибольшую конгруэнцию некоторой пирсовской цепи.
Доказательство. 1. Достаточно показать, что множество M всех до-полняемых идемпотентов из (),< является максимальным идеалом из BS.
Пусть е G BS\M. Тогда е ^ i в силу неразложимости S/р идем-потент е Обязан Л6/KcVTь в 0„ и следовательно, G M. Получаем 1 = с I с ' G eBS ф M и M G M а.г ILS.
2, Пользуясь определением, построим пирсовскую цепь {ра}> все конгруэнции которой содержатся в р. Пусть а — непредельный ординал, тогда на факторполукольце S/pa-i — конгруэнция р/ра-1 такова, что Sa-i/(p/pa-i) — неразложимое факторполукольцо.
По (1) существует пирсовский слой Sa и конгруэнция ра < р на полукольце S, связанная с естественным эпиморфизмом S > Sa-i. Если а — предельный ординал, то ра = Vр<а Р$ очевидно удовлетворяет условию ра < р- Тогда и наибольшая конгруэнция этой цепи будет содержаться в р. □
Предложение 2.7. Пусть ра, ра+1 — соседние конгруэнции нирсовской цепи. Тогда 0Ра С 0Pû+1.
Доказательство. Обозначим через ha ; S —У S/pa,ha-^i ; S —У S/pa+]_ естественные эпиморфизмы. Пирсовский слой ha+i(S) изоморфен фак-торполукольцу (S/pa)/SM для некоторого M G MaxB(S/ра). Заметим, что идеал M ненулевой, так как S/pa разложимо и имеет нетривиальные дополняемые идемпотенты. Пусть ip : S/pa —>■ (S/ра)/6м — естественный эпиморфизм. Имеем: ha+i = ha о <р. Тогда Kerip ф , поскольку ядро содержит ненулевые дополняемые идемпотенты из М. Так как ha — эпиморфизм, то для подходящих а € S и ё G М\0Ра получаем ha (а) = ё.
Тогда a G Kerha+i\Kerha, то есть 0ра С 0Ра+1. □
Предложение 2,8. Если р-не единичная конгруэнция па полукольце S7 то S/p — mi-фактор ^ р — наибольшая конгруэнция, некоторой пирсовской цепи.
Доказательство.
По предложению 2.6(2), р содержит наибольшую конгруэнцию а некоторой пирсовской цепи. Поскольку S/a неразложимое факторполукольцо, а < р и S/p — тг-фактор, то а — р.
-<=. Пусть р7 — наибольшая конгруэнция некоторой пирсовской цепи. Предположим, что S/p7 не является mi-фактором. Тогда такая конгруэнция 7, что 7 < р7 и S/у — неразложимое полукольцо. Рассмотрим два случая:
1. 07 С Ор7. Поскольку классы нуля пирсовской цепи образуют строго возрастающую цепь, найдется ординал а такой, что 0Ра С 07 и ОРа+1 % 07. Пусть h : S —S/ра — естественный эпиморфизм. В силу регулярности идеала h(0Pa+1) б S/pa найдется дополняемый идемпотент ё £ h(0Pa+1)\h(0j. Рассмотрим конгруэнцию у — у\ра на полукольце S = S\pa. Полукольцо lS\y неразложимо, поэтому ё = 1(т). Тогда ё^= 0(т) и eL € h(07). Отсюда Т = ё+ eL £ h{0Ра+1) + h{07) С h{QPi) и 1 = 0(р7\ра). Получаем 1 = 0(р7), противоречие с тем, что по любой конгруэнции пирсовской цепи, в частности по наибольшей, ноль и единица не сравнимы.
2, 07 = 0р7. Пусть у < р7, S/y — неразложимое факторполуколь-цо и 07 = 0Р/3. Тогда 07_i С 07 и h : S —У 5/p7_i — естественный эпиморфизм. Конгруэнции 7/р7_1 < р7/р7_i на полукольце 5/р7_i различны, а классы нуля этих конгруэнции совпадают: 07/Рт_1 — h(07) — h(0р7) — j. Поскольку факторполукольца (5/p7_i)/(p7/p7_i) и (5/p7_i)/(7/p7_i) неразложимые, то все ненулевые дополняемые идем-потенты полукольца ¿>/р7_i попадают в классы единицы как первого, так и второго факторполукольца. Пусть а = Ь(р7/р7_i) для произвольных a.J> Е S/py-1- Тогда «с = бе1- для некоторого е 6 0Р и ае1- = Ье±(у/p7-i). Получаем а = а -1 = ае^ = be1- = b • 1 = b(y/p7^i) и. p1/p1-i < 7/p7_i, противоречие.
□
Предложение 2,9, Пусть А — собственный регулярный идеал,7 р — А-регулярная конгруэнция,, h : S -Л S/p — естественный эпиморфизм.
1. Если S/p не является пирсовским слоем, полукольца S? то существует, такой дополняемый идемпотент <. € что A + eS и А + e^S — собственные регулярные идеалы, в Sr строго содержащие идеал А,
S=(A + eS) + (A + e±S)7 A = {A + eS)(A + e±S) - (A + eLS)(A + eS) - (A + eS)n(A + e±S)r
h(S)^h(eS)mh(e±S).
2. Для, любого идемпотента ё е S/p существует такой идемпотент V t .V. что h(e) = ё.
3. Если S/p — пирсовский, слой полукольца Sue— дополняемый идемпотент в S; то либо е Е0р либо е1 € 0р.
4- Если полукольцо Я/р неразложимо, то Я/р — пирсовский слой для Я.
5. Найдется хотя бы один такой пирсовский слой Я/уг что р < 7.
6. Пусть (I не является, левым (правым) уравнителем, в полукольце Я. Тогда к{в) не является левым, (правым) уравнителем в полукольце Я/ р.
7- Если (1 — элемент в Я с нулевым правым (левым) аннулятором,, то в полукольце Я/р элемент к{й) имеет нулевой правый (левый) аннулятор.
Доказательство. 1. Идеал А строго содержится в некотором максимальном идеале М Е МахВЯ7 поэтому существует идемпотент е Е М\А. Поскольку А + ев' С М, то .1 I <•$ — собственный идеал. Если А + еЛЯ — Я? то е Е е(А + е±Я) С А, поэтому А + еЛЯ — собственный идеал. Идеал А + еЛЯ строго содержит А, так как в противном случае 1 = ех + е € А + еЯ С М, Оставшиеся утверждения очевидны.
2. Пусть ё = /¿(а). Поскольку ¡г{а2) = ё2 = ё = /¿(а), то а2 = а(р). Следовательно, <.с(. — ох для некоторого е Е А. Идемпотент е± централен, поэтому (ае±)2 = ае±. Наконец, ё = /¿(а) = Н{а{е + е^)) = /г(а)Л,(е) + /г(ае±) = ^(ае^).
3. Пусть е ^ 0р. Идеал 0р П ВЯ является максимальным идеалом булева кольца ВЯ. Так как ее^ — 0 £ П ВЯ7 то £ Г) ВЯ в силу простоты максимального идеала.
4. Следует из 1.
5. Идеал А П ВЯ содержится в некотором максимальном идеале М кольца ВЯ. Для Д/.Ъ'-регулярнон конгруэнции 7 выполняется р < 7 и Я/7 — пирсовский слой.
6. Предположим, /г(с£)Д(а) — к{(1)к(Ь). Тогда до, = д,Ь(р), откуда йае1- = дЬе1- для некоторого е <Е 0р. Поскольку й не является левым уравнителем, то ае^ = Ьех, что означает Н{а) = к{Ь).
7- Следует из 6.
□
3. Применение пирсовских цепей
Определение 3,12. Полукольцо Я называется абелевым, если каждый его идемпотент централен.
Теорема 2, Для полукольца Я равносильны, условия:
1. Б — абелево полукольцо;
2. Для каждого собственного регулярного идеала А полукольцо Б/рл абелево; где рл — А-регулярная конгруэнция;
3. Все пирсовские слои полукольца Б — абелевы полукольца.
Доказательство. (2) (3). Очевидно.
(3) (1). Пусть с — с2 С Б, Б/рм — пирсовский слой для любого М Е МахВБ и /йда I 3 У рм естественные эпиморфизмы. Так как Л-м(е) — идемпотент абелева полукольца НМ(Б), то —
км{а)Ьм{е) для любого а из 5. Получаем, что еа = ае(рм) для любого М Е МахВБ. Другими словами, образы элементов еа и ае совпадают в каждом слое пирсовского пучка. Поскольку пирсовское представление изоморфно для любого полукольца, то еа = ае.
(1) =>- (2). Пусть И : Б —Б/р — естественный эпиморфизм и ё = ё2 Е 1г(Б). По предложению 2.9(2), ё = Д(е) для некоторого идемпотента е Е 5. Так как Б абелево, то е централен. Тогда ё — /г(е) централен в
МБ). □
Определение 3,13. Пусть ах,,,,, ат Е 5 и д^ (г = 1,.,., к) — фиксированные многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от некоммутирующих переменных х1у..., хт, ух,..., уп? свободные члены которых равны 0. Отображение : Б —У Б/р — естественным эпиморфизм,. Конгруэнцию р назовем специальной, если для, некоторых Ь1у...Ъп Е Б/р верны равенства
О'гп / > "1 ? • • • > "п ) > "1 > • > • 7 "п/
для всех г = 1
Обозначим через 8 множество всех неспециальных конгруэнции (относительно элементов и многочленов, указанных в предыдущем определении), через £* — подмножество в £, состоящее из всех регулярных неспециальных конгруэнции.
Лемма 3,1. Если нулевая конгруэнция лежит в £*7 то и £7 и В* содержат максимальные элементы.
Доказательство. Рассмотрим произвольную возрастающую цепь кон-груэнций {ра : а Е 1} С £ и покажем, что р — Уа ра Е £.
Для любого а Е I обозначим через ра{а) = {а Е 5 : 5 = а(ра)} и а = Уае1 ра(о)- Если аГ)Ь Э з, то 5 = а{ра1),8 = Ь(ра2) для некоторых
Е I- Тогда a — Ь, откуда получаем разбиение полукольца S на классы вида a и соответствующее бинарное отношение р. Стандартно проверяется, что ~р — конгруэнция на S, очевидно являющаяся верхней гранью конгруэнции pa, a £ I.
Если р является специальной, то выполняются равенства
Заметим, что тогда
fi(a ь • ..,am,bi,...,bn)= gi(au ..., am, bu ..., bn) E S/p и по определению ~p
fi(hPj. (ai),..., hPj, (am), hPj. (h),..., hPj. (6n)) -
= gi(hPj. (ai),..., hPH (am), hPj. (6i), —, hPj. {bn))
для некоторых p-Ji, j¿ E /. Выбрав максимум j из ji, i — 1 ,.,,,/c, получим, что pj E С является специальной, противоречие. Тогда точная верхняя грань р не является специальной, поскольку Sjр является с|эак— торполукольцом полукольца S/р. (Рассуждения фактически показывают совпадение ржр).
Рассмотрим ситуацию с 6*. Заметим, что регулярная конгруэнция однозначно определяет и определяется регулярным идеалом — своим классом нуля. Поскольку объединение любой возрастающей цепи регулярных идеалов является регулярным идеалом, то точная верхняя грань возрастающей цепи конгруэнции из £* лежит в £*. По лемме Цорпа В*
содержит ^iйксимьны и зле ivi ен т»
□
Теорема 3. Пусть S — полукольцо, ai, „ „ „, am Е S, /¿, gi(i = 1,..., к) — многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от неком-мутирующих переменных xÍ7..., хт, у\,..., уп и свободные члены многочленов равны, 0. Через hp ; S —^ Sfр обозначим естественный эпиморфизм. Равносильны условия:
L /¿(ai,..., ат, bi,...,bn) = &(аь .,., ат, Ьь ..., Ъп), i = 1 для
некоторых Ь\,... ,bn Е S;
2. Для каждого фактор/полукольца S/р найдутся такие Ь\,..., bn Е Sfр, что справедливы, равенства:
fi(hp(ai),,.,, hp(
0"ITl) ) "l > • > • t ) >
3. Для каждого пирсовского слоя S/р найдутся такие bi,...,bn 6 S/р, что справедливы равенства:
p\am)i °Ъ > > > ) Q"m)i "l » • • • 5 "n / >
i — 1,..., k;
4■ Для каждого неразложимого факторполукольца S/p найдутся такие bif...,bnES/p, что справедливы равенства:
fi(hp{ai),...,h
) = 9i(hp(al)t...,hp(
Q"m)i "l » ' ' ' 5 "n / >
i = 1,,.,, k;
5. Для, каждого mi-фактора S/p найдутся такие bi,...,bn £ S/p, что справедливы равенства:
Q"m)i "l » > > > 5 "n / >
i — 1, . . . , fc.
Доказательство. Очевидны импликации (1) =>■ (2) => (3), (2) => (4) =>■ (5). Импликация (5) => (4) верна потому, что каждое неразложимое факторполукольцо изоморфно факторполукольцу некоторого mi-фактора.
(3) =>- (1). Допустим, (1) не верно. Тогда нулевая конгруэнция лежит в £* и, по лемме 3.1, в £* сутцествует максимальный элемент р. Покажем, что S/p является пирсовским слоем. Предположим, что это не так. Тогда, по предложению 2.9(1), существует такой дополняемый
ИД6МПОТ6НТ с ^
Sy что А — Ор + eS и
■ 1 0р ~| а $ ооботвен ные регулярные идеалы в S, строго содержащие и S/p = S/pA х S/рв-Через рА и рв обозначены А-регулярная и Б-регулярная конгруэнции соответственно. Конгруэнции рА и рв строго больше р, поэтому не лежат в £*. Тогда конгруэнции рд и рв являются специальными, поэтому и р специальна. Противоречие показывает, что S/p — пирсовский слой. Таким образом, если не верно (1), то не выполняется (3).
(4) =>- (1). Допустим, (1)
но верно.
В этом случае нулевая конгруэнция лежит в £ и, по лемме 3.1, в £ существует максимальный элемент р. Достаточно показать, что S/р неразложимое полукольцо. Предположим, что S/p разложимо и S/p = S/pi х S/p2 для некоторых конгруэн-ЦИЙ р\ И Р2 • Поскольку р < pi и р < р2, то pi, р2 ф £■ Непосредственно проверяется, что р — специальная конгруэнция, противоречие. □
Определение 3,14. Полукольцо S назовем заменяемым справа7 если для любых a,b Е S, таких что a + b = 1 найдется дополняемый (не обязательно центральный) идемпотент е7 такой что е Е aS, е-1 Е bS.
Лемма 3,2, Факторполукольцо по регулярной конгруэнции заменяе-
1 V ^ Л V 1 1 V ^
мого справа полукольца заменяемо справаг в частности7 пирсовский слой заменяемого справа полукольца - заменяемое справа, полукольцо.
Доказательство. Пусть S - заменяемо справа, А - регулярный идеал и р - А-регулярная конгруэнция. Допустим, ä+b — 1 в S/p для некоторых а,Ь Е S7 тогда а + b = 1(р), поэтому (а + b)g^ — g^ для подходящего дополняемого идемиотента g Е А. Имеем (ag1- + д) + bg^ — 1 и по условию найдется такой дополняемый (не обязательно центральный) идемпотент е, что е = (ад1- + g)s не1 = ЬдН для некоторых s,t Е S. Получаем: ё — agLs + gs — agLs Е äS/р, ё1- — eL — ЬдН Е bS/р. □
Теорема 4, Для полукольца S равносильны, условия:
1. S — заменяемое справа полукольцо;
2. Все пирсовские слои S — заменяемые справа полукольца;
3. Все rni-факторы для S — заменяемые справа полукольца.
Доказательство. (1) =>- (2) по лемме о.^»
(1) (3). По теореме 2.8 rm'-фактор полукольца S является "последним пирсовским слоем" для некоторой пирсовской цепи. Докажем трансфинитной индукцией, что факторполукольца S/p7 заменяемого справа полукольца S по конгруэнциям {р7} пирсовской цепи заменяемы справа. Учитывая лемму 3.2, требуется показать справедливость утверждения только для предельного ординала: пусть а — предельный ординал, ра — конгруэнция пирсовской цепи. Если ha(a) + ha(b) — ha( 1) (ha : S —У S/pa — естественный эпиморфизм), то а + b = 1 (pß) для некоторой конгруэнции pß Е {р7}, ß < а. В силу заменяемости справа конгруэнции с меньшими индексами, чем а, существуют такие дополняемые идемпотенты hß(e) и hß(e)Ly что hß(e) Е hß(a)S/pß, hß(e)1- Е hß(b)S/pß. Пусть <р : S/pß —г S/pa - естественный гомоморфизм, тогда ё = cp(hß(e)) и ё1- = tp(hß(e)r) - дополняемые (не обязательно центральные) идемпотенты, такие что ё Е ha(a)S/ра, ё1- Е ha(b)S/pa. Таким образом, верна импликация (1) (3).
(2) =>■ (1). Пусть х1,х2,хз,х4,у1,у2,уг,у4 — некоммутируютцие переменные. Выберем многочлены:
/1(2/1) — 2/ъ
/2(1/1,1/2) =2/1 + 1/2, /3(1/1,1/2) =У\У2,
9\{У\) = УЬ g2(xi) =хъ д3(х2) = х2?
/4(1/1) =|/ь /5(2/2) - 2/2,
54(^3, Уз) =^32/3, 55(^4,2/4)
Пусть 5/р — пирсовский слой полукольца Б, Н : 5 —У Б/ р — естественный эпиморфизм. Выберем а,Ь <Е Б, такие что а + Ь = 1, следовательно, к(а) + 1ъ(Ь) = 1. По условию 1г(Б) — заменяемое справа полукольцо, поэтому найдутся такие ё, /, И, 1 Е Ь(Б), что
Д(е) = е = е2 = gi(e) у /2(ё,7) =ё + 7= ад = g2(h(l)), f3(e,J) = ej = h(0) = g3(h(0)), /4(ё) = ё = h(a)s = g^(h(a),s), h(f)=J=h(b)t = gb(h(b),t).
По теореме 3 равенства /¿(1, 0, a, b, e, f, s, t) — <^(1, 0, a, b, e, f, s, t), i —
I.....•">, верны в Б для некоторых e,f,s,t <Е Б, значит Б заменяемо
справа.
(3) (1). Доказывается аналогично предыдущей импликации с заменой слов "пирсовский слой" на "максимальный неразложимый фактор". □
Определение 3,15. Полукольцо Б называется правым полукольцом Везу, если каждый конечно порожденный правый идеал из Б является главным правым, идеалом.
Лемма 3,3, Для полукольца Б равносильны, условия:
1. Полукольцо Б является полукольцом, Безу;
2. (Vm, п £ Б) (За, b,c,d £ Б) (т — mac + nbc, п — nbd + mad).
Доказательство. (1) =>- (2). Пусть т,п Е Б. Правый идеал тБ + пБ является главным правым идеалом zS для некоторого z Е Б. Тогда z — та + nb для некоторых а, Ъ £ Б. С другой стороны, т — zc,n — zd для некоторых c,d Е Б, откуда следует (2).
(2) > (1). Покажем, что правый идеал шБ I пБ является главным правым идеалом. Рассмотрим произвольный элемент msi + ns2 £ hi Б + пБ. По условию msi + пя2 = macsi + nbcsi + nbds2 + mads2 = (та + nb)(cs 1 + ds2) £ zS, где z = ma + nb. Очевидно, zS С тБ + nS. □
Теорема 5. Для полукольца S равносильны условия: L S — правое полукольцо Безу;
2. Все пирсовские слои полукольца S — правые полукольца Безу;
3. Все неразложимые факторполукольца полукольца S — правые полукольца Безу;
4- Все mi-факторы для S — правые полукольца Безу.
Доказательство. (1) (2), (1) (3) следуют из того, что каждое факторполукольцо правого полукольца Безу — правое полукольцо Безу. (3) =>- (4) очевидно.
По той же причине, с помощью предложения 2.5, следует (4) =>- (3).
(2) (1). Пусть т,п € S и
fi(xl)=xb gl(xl,x2,yl,y2,y3) =xiyiyz + x2y2y3, —
f2(x2) = ./•■,. д2(хъх2,уъу2,у4) = хгугу4 4- х2у2у±
многочлены над полукольцом целых неотрицательных чисел от неком-мутирующих переменных Xi1x2,yi1y2lyz,y.i-
Пусть h(S) = S/p — произвольный пирсовский слой полукольца S, h : S —S/p — естественный эпиморфизм. Поскольку h(S) — правое полукольцо Безу, то существуют такие a, b,c,d£ h(S), что
h(m) = h(m)ac + h(n)bc, h(n) = h(m)ad + h(n)bd.
По теореме 3 существуют такие a, b,c,d Е S, что т = mac + nbc, п = nbd + mad. По лемме 3.3, S — правое полукольцо Безу.
(3) =$>- (1) доказывается аналогично. □
Литература
1. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец. - М.: Изд-во МП ГУ. 1993.
2. Туганбаев А. А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. - М.: МЦНМО7 2009.
3. Чермных В, В, Пучковые представления полуколец // Успехи мат. наук. - 1993. - Т. 48, № 5. - С. 185-186.
4. Чермных В. В. Функциональные представления полуколец. — Киров: Изд-во ВятГГУ7 2010.
5. Burgess W. D., Stephenson W. Pierce sheaves of non-commutative rings // Comm. Algebra. — 1976. — V. 39. — P. 512-526.
6. Burgess W. D.,. Stephenson W. An analogue of the Pierce sheaf for ПОП С О 111 Hill t ci 11У6 ГПЩ'В // Comm. Algebra. - 1978. - V. 6, № 9. - P. 863-886.
7. Burgess W. D., Stephenson W. Rings all of whose Pierce stalks are local // Canad. Math. Bull - V. 22, № 2. - 1979. - P. 159-Щ.
8. Pierce R. S. Modules over commutative regular rings // Mem. Arrier. Math. Soc. - 1967. - V. 70. - P. 1-112.
Summary
Markov R- V., Chermnykh V. V. Pierce chains for semirings
The article introduces the concept of Pierce chains for semirings. This generalizes the ring construction. It presents basic properties and some applications of this с о и struct 1011 ♦ chciraсteiTzct11оn of Abcli^n semirings, right-changed semirings, right Bezout semirings.
Keywords: semiring, Pierce beam; Pierce layer, Pierce chain, functional representation of the semiring, characterization of semirings.
Вятский государственный гуманитарный университет
Поступила 21.02.2012
