CC BY
13Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 7. 2007
УДК 512.556
ОБОБЩЕННЫЕ АБЕЛЕВО-РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУКОЛЬЦА
Е. М. Вечтомов, О. В. Старостина
Вводятся понятия обобщенного абелево-регулярного положительного полукольца (arp-полукольца) и обобщенного булева полукольца. Показано, что их изучение сводится к а rp-полу кольцам. Получены функциональные представления обобщенных arp-полуколец и обобщенных булевых полуколец. Теорема Даунса-Гофмана о представлении бирегу-лярных колец распространена на бирегулярные полукольца.
Основные понятия
Полукольцом называется алгебра (£,+,-,0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения -, если выполняются условия: (5, +, 0) коммутативный моноид, (5, •) полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и тождественно 0-х = Х'О = 0. Если существует нейтральный элемент по умножению, то полукольцо S называется полукольцом с единицей 1 [1]. Полукольцо с 1, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полутелом.
Определение 1. Полукольцо S с единицей называется абелево-регулярным положительным полукольцом (агр-полукольцом), если для любого a G S найдется такой элемент х G 5, что axa — а (регулярность 5), для любого элемента a G S элемент а + 1 обратим в S (S положительное полукольцо) и каждый идемпотент е G S централен, т. е. перестановочен со всеми элементами из S [2].
Пусть L(S) множество всех идемпотентов агр-полукольца 5, а U(S) множество всех обратимых элементов в S.
В абелево-регулярном полукольце S каждый главный идеал порождается однозначно определенным идемпотентом. Действительно, для любого a G S найдется такой элемент х G что axa = а, тогда ах G L(S) и (а) = axS.Если fS = gS, /, g G L(S), то / = gt, g = fs для
© Вечтомов E. M., Старостина О. В., 2007.
некоторых t^s е Би / = д . = д/ = /д = / • /в = д. Через еа будем обозначать идемпотент соответствующий элементу а. В агр-полукольце 5 каждый элемент а представляется в виде произведения а = еа • и однозначно определенного идемпотента еа Е 1^(3) и обратимого элемента и Е и (Б).
Изучение агр-полуколец сводится к изучению троек (1/(5), £/(5), ^5) [2], или ?7(5), ^5). ({/(£),+,-) полутело без нуля относитель-
но операций сложения и умножения в 5. (Ь(5), V, •) дистрибутивная решетка с 0 и 1 относительно операции умножения • полукольца 5 и сложения V: /Уд — Отображения ср$• £(£) ~~^ Соп{7(£), е —>> <£>(е) и т/^: 1/(5) —)► СопС/(5), е —>> ^(е) являются соответственно решеточными антигомоморфизмом и гомоморфизмом, где
шр(е)у ^ ей — еу, г¿, V Е £/(5),
ш/^(е)г; и + ех — V + еу для некоторых х, у Е £/(5).
При этом для каждого идемпотента е Е конгруэнции </?(е) и /0(е)
дополняют друг друга: (р(е) о *0(е) = 1 и <р(е) П ф(е) = 0 [3].
В данной статье рассматривается некоторое обобщение агр-полуко-лец. В абелево-регулярных полукольцах, не обязательно содержащих единицу, положительность полукольца заменяется условием: положительными являются все главные идеалы е Е
Определение 2. Полукольцо 5 называется обобщенным агр-полу-кольцом, если каждое уравнение аха — а, а Е разрешимо в для любых идемпотента е Е 5 и элемента а Е 5 найдется такой элемент £ Е что (еа + е) • = • (еа + е) = е, и все идемпотенты полукольца 5 центральны.
Множество всех идемпотентов обобщенного агр-полукольца 5 также будем обозначать через Ь(Б). Ь(Б) является дистрибутивной решеткой с нулем относительно операции умножения полукольца 5 и сложения /Уд = Ясно, что каждый главный идеал е Е 1^(3), обобщенного агр-полукольца 5 является агр-полукольцом. Если 5 содержит единицу, то оно само является а гр-полу кольцом. Каждый идеал обобщенного агр-полукольца является обобщенным а гр-полу кольцом.
Прямой предел
Пусть {5г}ге/ система полуколец, где / предупорядоченное направленное множество, и для каждой пары индексов г^ (г < ]) задан гомоморфизм тГц'. Si Sj, причем выполняются условия
7Гц = 1 ° Кц = Щк для всех г < 3 < к.
Система (S^7^)/ называется прямым спектром полуколец.
Прямым пределом 7г^-) прямого спектра полуколец
называется полукольцо S* такое, что существует семейство гомоморфизмов т[{! S{ —У ¿S*, i G удовлетворяющих условиям:
1) 7Tj о лij — 7Ti для всех i < j;
2) для любого полукольца G и каждого семейства гомоморфизмов оi! —У Gr, z G таких, что сг^ о = для любых i < j, существует единственный гомоморфизм a: S* —>> G, удовлетворяющий для всех г G / равенству а о — аi.
Для любого прямого спектра полуколец (S^^zj)/ существует пря-
мой предел. Действительно, на дизъюнктном объединении S — |J Si
iei
бинарное отношение р:
арЪ (3 i,j,k G I,iJ < к) а G G Sj,7rik(a) =
является конгруэнцией. Фактор-полукольцо S^ — S/ р является прямым пределом спектра (£¿,71"^-)/, где 7г^: s G ^ G [1, глава 9].
Предложение 1. Прямой предел прямого спектра (S^7^)/ обобщенных arp-полуколец Si является обобщенным агр-полукольцом.
Доказательство. Пусть S = lin^S^,7r^-) = S^j /р, где apb
^ik(a) — Kjkip), а G Si,b G для некоторых G /, k > Для
любого идемпотента e G 5 найдется такой номер г G / и идемпотент e^ G что е = Действительно, для некоторого j G / е =
тогда [е,]р = е = е2 = [е2]р <=> (Зг > j) е» = = тг^(е2) = ег2.
Рассмотрим произвольные а G S и е G L(S). Для некоторого г G / а — е = [ei]pi ai £ ег £ L(Si). В обобщенном агр-полукольце
Si найдется такой элемент что (е^ + е^) • е^ = е^ • (е^ + е^) = е^. Если t = G 5, то в 5 выполняется равенство (еа + е) • et — et • (еа + е) = е. Перестановочность идемпотента е = G 5, e^ G ¿(5^), с произвольным элементом а G 5 следует из центральности идемпотента е^ в а регулярность S вытекает из регулярности S{. Таким образом, S является обобщенным агр-полукольцом.
Предложение 2. Каждое обобщенное arp-полукольцо является прямым пределом прямого спектра агр-полуколец.
Доказательство. Для каждого обобщенного а rp-полу кольца S множество всех главных идеалов {eS}eeL(s) и вложений 7ге/: eS С /5, е < /, образует прямой спектр (е5, ^ef)b(s)i прямым пределом которого является полукольцо S: (eS, 1ref) = S.
Обратный предел
Пусть / предупорядоченное направленное множество. Обратным спектром полуколец называется система (S¿,7r¿j)/ полуколец i G /, и гомоморфизмов : —>> для всех G /, г < j, таких, что
7T¿¿ = b-, О 7Tjk = щк для любых i < j < к.
Обратным пределом обратного спектра полуколец
7r¿j)/ называется полукольцо 5*, для которого существует семейство гомоморфизмов 7í¿: ¿S* —удовлетворяющих условиям
1) 7í¿ = 7í¿j о 7Tj для всех г < j;
2) для любых полукольца G и семейства гомоморфизмов : G Si, i G /, удовлетворяющих для любых г < j равенству = 7r¿j о cr¿, существует единственный гомоморфизм сг: G ^ S* такой, что = 7í¿oct для всех г G /.
Обратный предел существует для любого обратного спектра полуколец (Si,7Tij)i. Подмножество ¿S* прямого произведения состо-
iei
ящее из всех таких элементов s = G П ^ чт0 ^'(^i) = Для
iei
любых j > i, является обратным пределом спектра при этом
7r¿: 5 = (s¿) G 5* И G [1, глава 9].
Пусть 5 обобщенное а rp-полу кольцо. Множество всех обратимых элементов U(eS) arp-полукольца е£, е G L(S), будем обозначать через [Уе, решеточные антигомоморфизм и гомоморфизм фе$ через (ре и фе соответственно, при этом будем считать, что Uq = {0}.
Предложение 3. Для любого обобщенного агр-полукольца S полутела Ue, е G L(S), вместе с гомоморфизмами тгеу: и G U¡ i—)► ей G Ue для всех е, / G е < /, образуют обратный спектр ([Уе, Kef)b(s)'
Предел этого спектра U* = ^m (f/e, тге/) является полутелом, при
этом U* подпрямое произведение семейства полутел Ue, е G
Доказательство. Пусть U* = ^m (f/e, тге/), при этом 7ге:
WeeL(S') е С/* t¿e G С/е. Элемент 1* = (1е)еДО) € U*, состоящий из единиц 1е = е полутел [Уе, е G является единичным элемен-
том [/*. С каждым элементом t¿* = (ие)еец$) G £/* в [/* содержится элемент = (п"1)^^), так как если ттef{uf) — euf — ие? т0 7rej(t¿j1) = ег^1 = Таким образом, С/* является полутелом.
Гомоморфизмы 7ге/: U¡ —>> Ue для всех е < f являются эпиморфизмами, при этом (ff(e) является ядерной конгруэнцией гомоморфизма
7ге/: — 7ге/(г;/) euf = evf для всех Е С/Поэтому для
любых е < / имеем и//<£/(е) = £/е.
Покажем, что и* является иодирямым произведением в П ^е-
Пусть ие £ IIе. Найдем такой элемент и* ^ !7*, что 7ге(п*) = гле. Для произвольного / > е имеем
17, - [/,/ <у?/(е) х 17,/^ (е) - ие х ^/(е).
Элемент полутела £//, соответствующий при этом изоморфизме паре (гле, 1) Е £/е х обозначим через п/ для любого / > е. Ясно,
что 7тef(uf) = гле. Для произвольных /, б/ Е в < / < д имеем
^ = С^М(е) х 17РМ,(е) *
- ^М(в) х о х £/5ЛШ) =
* ([/5М(е) х ид/(фд(е) о (р(/))) х11д/фд(/) * ид/ч>д(/) х 17,М,(/)
Элементу ид Е ид при этих изоморфизмах соответственно сопоставляются элементы ид = 1) = (1, 1)) = ((г¿e, 1), 1) = (г^, 1). Поэтому 7ге/(7т/д(ид)) = — ие — 7тед(ид). Тогда элемент г¿* Е С/*, для которого 7для всех / > е, будет искомым.
Лгр-полукольцо 5 называется локальным, если 5 обладает единственным максимальным идеалом.
Предложение 4. Любое обобщенное агр-полукольцо Б можно вложить в локальное агр-полукольцо, при этом его максимальным идеалом является полукольцо Б.
Доказательство. Пусть 5 обобщенное агр-полукольцо, тогда 5 = и еБ. Так как каждый элемент а Е 5 принадлежит полутелу [Уеа, то
ееь(б')
5= и ие.
Обозначим через в* = ( и ие) 0 = ^ 0 ^ гДе
= Цт(С/в,тгв/)
ЦБ)
из предложения 3. Операции сложения и умножения на полукольце 5 и полутеле и* определены. Зададим операции между элементами 5 и и*. Для любых ие Е £/е и г;* Е и* положим
V* • ие = 7Ге(г;*) -ие = уе- ие, ие-у* = ие- тте(г;*) = • г;е, г;* + ие = г£е + г;* = г^*, где 7Г/(г(;*) = 7г/(г;*) + для любого / > е.
Несложно проверить, что ¿S* является полукольцом с нулем 0* = 1q G Uq и единицей 1* G U*. Множество обратимых элементов U(S*) = £/*, множество идемпотентов L(S*) = {1е G £/е, е G 1/(5)}и{1*}. Из определений операций следует, что S* является абелево-положительным полукольцом и любой элемент ¿S* можно представить в виде произведения однозначно определенного идемпотента и некоторого обратимого элемента: v* = I* . v* и Ue = le . Где n* G U* такой, что тге(и*) = ue. Таким образом, S* является а rp-полу кольцом. Так как множество всех необратимых элементов S arp-полукольца S* образует (наибольший) идеал в 5*, то 5* локальное а rp-полу кольцо.
Заметим, что S является главным идеалом а rp-полу кольца ¿S* тогда и только тогда, когда S содержит единицу, т. е. является arp-полукольцом. Для arp-полукольца S имеет место изоморфизм U* = U(S).
Функциональное представление обобщенных агр-полуколец
Нам понадобятся следующие утверждения [4]:
Теорема А. Любое arp-полукольцо S изоморфно вкладывается в булево полукольцо Т так, что булева решетка ЦТ) порождается дистрибутивной решеткой L(S), U(T) = U(S) и (р$ — <рt\l{s)•
Такое полукольцо Т называется булевым полукольцом, порожденным arp-полукольцом S.
Теорема В. Полукольцо S является arp-полукольцом тогда и только тогда, когда оно изоморфно подполукольцу полукольца всех глобальных сечений некоторого пучка полутел (над нульмерным компактом) и содержит все обратимые сечения пучка.
Отметим, что понятие пучка можно найти в книге [5].
Носителем сечения a G Г(П, X) называется множество supper = {х G X: а(х) ф 0}.
Предложение 5. Полукольцо S является обобщенным атр-полу-кольцом тогда и только тогда, когда S изоморфно подполукольцу Т полукольца всех глобальных сечений некоторого пучка полутел над нульмерным компактом X, при этом если открыто-замкнутое множество U С X является носителем некоторого глобального сечения под-полукольца Т, то и все сечения с носителем U входят в подполукольцо Т.
Доказательство. Необходимость следует из предложения 4 и теоремы В.
Достаточность. Покажем, что полукольцо Т является обобщенным а rp-полу кольцом. Пусть е = е2 G Т, тогда в каждой точке х G X значение е(х) равно 0 или 1. Ясно, что все идемпотенты полукольца Т центральны. Для любого элемента a G Т и идемпотента е G Т подмножество supp(e • а) — suppe П suppa является открыто-замкнутым, поэтому функция t{x) — (е(х)а(х) + е(х)) , если х G supp(e -a), и t(x) = 0, если х £ supp(e • a), является непрерывной и í G Т, при этом eí • (ea + е) = е = (еа + е) • eí. Полукольцо Т регулярно. Действительно, для произвольного a G Т положим t{x) — а(х)-1, если х G suppa, и t(x) = 0, если х ^ suppa. Получаем, í G Т и aía = а.
Из рассмотренных предложений вытекает
Теорема 1. Для произвольного полукольца S эквивалентны следующие условия:
1) S обобщенное атр-полукольцо;
2) S прямой предел прямого спектра агр-полуколец;
3) S - прямой предел прямого спектра обобщенных агр-полуколец;
4) S - идеал некоторого атр-полукольца;
5) S наибольший идеал локального атр-полукольца;
6) S изоморфно подполукольцу Т полукольца всех глобальных сечений некоторого пучка полу тел над нульмерным компактом X, при этом если открыто-замкнутое множество U С X является носителем некоторого глобального сечения подполукольца Т, то и все сечения с носителем U входят в подполукольцо Т.
Обобщенные булевы полукольца и бирегулярные полукольца
Определение 3. Обобщенное arp-полукольцо S называется обобщенным булевым полукольцом, если решетка идемпотентов L(S) является обобщенной булевой решеткой, т. е. дистрибутивной решеткой с О с относительными дополнениями.
Предложение 6. Любое обобщенное arp-полукольцо S можно вложить в обобщенное булево полукольцо.
Действительно, пусть Ве булево полукольцо, порожденное агр-полукольцом е G L(S), (теорема А). Для любых е, / G L(S), е < /, Ве С Bf. Система (£?е, 7ге/)^(5') булевых полуколец Ве и вложений 7Tef\ Ве С В^ е < /, образует прямой спектр. Пусть
В = (Втге/). Так как для любого е Е С Ве, то
С И^ь(5)(Бе,тге/), т. е. 5 С Б.
Полукольцо 5 называется бирегулярным, если каждый главный (двусторонний) идеал в нем порождается центральным идемпотентом и выделяется прямым слагаемым в 5.
Говорят, что идеал А полукольца 5 выделяется прямым слагаемым в 5, если существует такой идеал В С 5, что каждый элемент полукольца 5 однозначно представим в виде суммы элементов из А и В.
Пусть LZ{S) множество всех центральных идемпотентов полукольца 5. Относительно естественного отношения порядка <: е < / е/ = е, е, / Е LZ{S\ LZ{S) является нижней полурешеткой. Пусть е Е [0, /], тогда относительным дополнением элемента е в интервале [0,/], называется такой элемент д Е LZ(S), что д • е = 0 и д + е = /. Для любых е, / Е LZ(S) обозначим через /\е относительное дополнение элемента е/ в [0,/]. Если каждый элемент из LZ{S) имеет относительное дополнение в любом содержащем его интервале, то LZ{S) является обобщенной булевой решеткой относительно операции умножения • полукольца 5 и сложения и, определяемого формулой е и / = е\/ + /\е + е/. Заметим, что е и / = е\/ + /\е + е/ = /\е + е и /\е • е = 0, поэтому (е и /)\е = /\е для любых е, / Е LZ{S).
Предложение 7. Ео/ш каждый главный идеал полукольца Б порождается центральным идемпотентом, то Б бирегулярно тогда и только тогда, когда LZ(S) обобщенная булева решетка.
Доказательство. Необходимость. Пусть е < / произвольные центральные идемпотенты бирегулярного полукольца 5. Покажем, что идеал еБ выделяется прямым слагаемым в /Б. Полукольцо 5 раскладывается в прямую сумму 5 = еБ 0 А идеалов еБ и А С Б. Поэтому каждый элемент £ Е /Б С 5 однозначно представим в виде суммы £ = ез+а, а Е А. Тогда £ = /£ = /(ез + а) = ез + /а, и в силу однозначности разложения £ получаем а = /а Е /5. Таким образом, /5 = еБ 0 (А П /Б). В полукольце /Б с единицей / идеал еБ выделяется прямым слагаемым тогда и только тогда, когда е является дополняемым идемпотентом в /5, т. е. е имеет относительное дополнение в [0,/]. Значит, LZ{S) обобщенная булева решетка.
Достаточность. Пусть LZ(S) обобщенная булева решетка и еБ произвольный главный идеал полукольца 5. Для любого / Е LZ(S) в полукольце (еЫ/)Б идемпотенты е и /\е дополняют друг друга, поэтому (ей/)5 = е5©(/\е)£, а значит, 5 = ^ (/\е)Б. Каждый элемент
однозначно представим в виде суммы элементов из eS и ^ (f\e)S.
feL(S)
n m
Действительно, пусть es + Y^Ui\e)xi = et + s,t,xuyi G S,
г=1 г=1
/г,дг G LZ(S). Умножив обе части равенства на е, получим es = ei, а
n m n m
умножив на h = (|J (/¿\e))l_l(|J (#Де)), £)(/Де)ж» = Е(#Де)?/г- Следо-
г=1 г=1 г=1 г=1
вательно, 5 = eS 0 ^ (f\e)S.
eeb(S)
Следствие 1. Любое обобщенное булево полукольцо бирегулярно.
Следствие 2. В классе обобщенных arp-полуколец понятия обобщенно булевого и бирегулярного полуколец равносильны.
Множество всех первичных (максимальных) идеалов SpecS (MaxS) полукольца S с топологией Стоуна-Зарисского называется первичным (,максимальным) спектром полукольца S. Открытыми множествами в топологии Стоуна-Зарисского пространства SpecS являются множества
D(Ä) = {Р G Spec^i А £ Р},
где А произвольный идеал полукольца S. Будем обозначать через D(a) открытое множество, соответствующее главному идеалу (а), т. е. D(a) = {Р G SpecS: а £ Р}.
Каждый главный идеал бирегулярного полукольца, порожденный элементом а, порождается некоторым центральным идемпотентом е: (а) = (е). Ясно, что а G Р ^ е G Р для любого Р G SpecS, поэтому £>(а) = 0(e).
Предложение 8. Ддл любого бирегулярного полукольца S выполняются следующие условия:
1) для любых идеалов I £ J полукольца S существует центральный идемпотент е G I\J;
2) SpecS - локально компактное нульмерное хаусдорфово пространство;
3) SpecS = MaxS;
4) S строго гармоническое полукольцо, т. е. для любых его различных максимальных идеалов М и N найдутся такие элементы a G S\M и b G S\N, что aSb = 0;
5) р| MaxS = 0 нулевой идеал.
Доказательство. 1) Так как / ^ J, то найдется элемент a G I\J. Пусть е такой центральный идемпотент, что (а) = (е). Тогда е G I\J.
2) Пусть Р Q, тогда найдется центральный идемпотент е Е P\Q-Пусть / Е LZ(S)\P, тогда в силу предложения 7 центральный идемпотент / имеет относительное дополнение /\е ^ Р, /\е Е Имеем Q Е D(e), Р Е D(f\e) и £>(е) П £)(/\е) = D{e • /\е) = 0, т. е. в SpecS существуют открытые множества, отделяющие Р и Q.
Семейство множеств вида D(e) образует открытую базу пространства SpecS*. Для любого е Е LZ(S) полукольцо S раскладывается в прямую сумму S = eS 0 А идеалов eS и А С 5, поэтому D(e) U = Р>(е£+,4) = SpecS и Р>(е)ПР>(А) = D(eS-A) = 0. Следовательно, Р>(е) открыто-замкнутое множество и SpecS* нульмерное пространство.
Покажем, что открытое множество D(e), е Е LZ{S\ компактно. Если произвольное семейство открытых множеств {D(Ai), г Е 1} покрыва-
к
ет множество D{e) С (J D(^) = Ai), то е G XIД - Тогда е Е ^ Д
ге/ ¿G/ ¿G/ г=1
/с /с
и D(e) С Р>(Х^г)= U ^(^г)- Значит, D(e) компактно.
г=1 г=1
3) Из условия 2) следует, что каждый первичный идеал является максимальным. Докажем, что MaxS С SpecS*. Предположим, что существует максимальный идеал М, не являющийся первичным, т. е. АВ С М для некоторых идеалов А, В М. По условию 1) найдутся центральные идемпотенты е Е А\М и / Е В\М. Тогда е/ Е АВ С М и в силу максимальности идеала М имеем М + (е) = М + (/) = S. Откуда е = е2 Е (М + (е))(М + (/)) С М + (е/) С М, что противоречит выбору элемента е. Таким образом, SpecS* = MaxS\
4) Пусть М, TV два различных максимальных идеала полукольца S. Согласно условию 1) найдутся центральные идемпотенты е Е M\N и / Е N\M. Тогда (/\е) Е N\M и (/\е)5е = 0.
5) Так как произвольный центральный идемпотент е ф 0 полукольца S образует мультипликативо замкнутую систему, то существует первичный идеал в 5, не содержащий е. Поэтому в силу 3) пересечение всех максимальных идеалов полукольца S не содержит ненулевых элементов.
Полукольцо с 1 называется простым, если оно не имеет собственных ненулевых идеалов.
В [6] доказано, что каждое бирегулярное кольцо (с единицей или без нее) изоморфно кольцу всех глобальных сечений с компактными носителями некоторого пучка простых колец (с единицей) над максимальным спектром данного кольца, и кольцо всех глобальных сечений с компактными носителями произвольного пучка простых колец с еди-
ницей над локально компактным нульмерным пространством является бирегулярным кольцом. Доказательство аналогичного утверждения для бирегулярных полуколец с единицей проведено в [7].
Теорема 2. Полукольцо S является бирегулярным полукольцом тогда и только тогда, когда оно изоморфно полукольцу всех глобальных сечений Гоо(Д) с компактными носителями некоторого пучка простых полуколец П над локально компактным нульмерным хаусдорфо-вым пространством.
Доказательство. Необходимость. Пусть S бирегулярное полукольцо. Для любого Р G Мах£ рассмотрим конгруэнцию В(Р) на полукольце S:
ав(Р)Ь (3с G S\P)(Vs G S) ase = bsc.
Покажем, что фактор-полукольцо 5/0 (Р) простое. Будем обозначать через ес такой центральный идемпотент в 5, что (ес) = (с), с G 5. Тогда aB(P)6 ase = bsc для некоторого с ^ Р и любого s G 5 <=> asec = bsec (Vs G S) ecas = ecbs (Vs G S) eca = ec6. Таким образом, aB(P)6 ^ ea — eb для некоторого e G LZ(5)\P. Заметим, что [0]©(p) = Р. Действительно, если aB(P)0, Toe-a = e- 0 = 0GP для некоторого е G LZ(S)\P и в силу первичности идеала Р имеем a G Р. Если a G Р, то для некоторого идемпотента / ^ Р, который существует по предложению 8, f\ea Р и a • (f\ea) = 0 • (f\ea). Для любых е, / G LZ(S)\P имеем е/ </ Р и е • (е/) = / • (е/), или еВ(Р)/. Класс [е]©(р), е G LZ(5)\P, является единицей полукольца 5/0(Р), так как для любого a G 5 выполняется равенство (еа) • е = а • е, или (еа)В(Р)а. Если предположить, что полукольцо 5/0 (Р) содержит собственный ненулевой идеал /, то полный прообраз I при каноническом эпиморфизме 7гр: 5 —5/0(Р) является собственным ненулевым идеалом 5 и содержит идеал Р = [0]е(р), что противоречит максимальности идеала Р в Следовательно, 5/0(Р) простое полукольцо.
Семейство конгруэнций {В(Р) : Р G Мах*?} является открытым, т. е. для любых a, b G 5 множество У (а, 6) = {Р G Мах5 : аВ(Р)6} открыто в Мах5. Действительно, если Р G 6), то еа = еб для некоторого е G LZ(S)\P и Р G Р>(е) ^ V^a, Ь). Известно, что открытое семейство конгруэнций {В(Р) : Р G Мах*?} индуцирует пучок П(Мах5) полуколец 5/0(Р) над пространством Мах5 [8], являющееся по предложению 8 локально компактным нульмерным хаусдорфовым пространством. При этом получаем представление 5 —>> Г(П), s(P) = 7Tp(S)
для всех sgS'hPg Ma х5, т. е. гомоморфизм Л полукольца S в полукольцо Г(П) всех глобальных сечений пучка П. Из свойства р| MaxS* = О (предложение 8) следует, что р| В(Р) есть отношение равенства на
PGMaxS1
S. Поэтому гомоморфизм Л инъективен. В силу предложения 8 для любого s G S носитель сечения supps = D(s) компактен, стало быть, s G Г0о(П) подполукольцу Г(П). Стандартно проверяется, что произвольное сечение из Г0о(П) имеет вид s для подходящего s G S. Тем самым, S = Гоо(П).
Достаточность. Пусть о G Г0о(П) и х G supper. Так как Рх простое полукольцо, то в нем найдутся элементы а^ bi, г — 1,..., п, такие,
п
что Q>i(r(x)bi = 1Х. Пусть Q.i, fii сечения, удовлетворяющие равенствам
i=i
ai(x) = di, /3{(х) = bi, г = 1 Существует открыто-замкнутая
п
окрестность точки х, в которой равны единичное и ^ а^сг(х)/^
г=1
сечения. Ясно, что W С supper, а значит, supper является открыто-замкнутым множеством и его характеристическая функция \ является идемпотентом полукольца Г0о(П). Покажем, что главный идеал, порожденный сг, порождается идемпотентом Пусть е характеристическая функция открыто-замкнутой окрестности W, т. е. s(x) = 1
п
при х G W, s(x) = 0 при х ^ W. Тогда сечение j = яв~
i=i
ляется характеристической функцией окрестности W и 7 G (сг). Для каждой точки х G supper найдется такая окрестность и соответствующая характеристическая функция 7 G (сг). Носитель supper компактен, выберем конечное число открыто-замкнутых множеств W\,..., Wn и соответствующие 7i,... 7П G (сг), при этом можно считать, что множества
п
Wi, г = 1,..., п, не пересекаются. Тогда ^ 7^ G (сг) и является характе-
г=1
ристической функцией \ множества supper. Следовательно, (%) = (сг).
Рассмотрим произвольные идемпотенты е, / G Г0о(П), е < /. В каждой точке х G X значения е(х), /(х) равны 0 или 1, при этом supp/, suppe - открыто-замкнутые множества и suppe С supp/. Так как supp/\suppe открыто-замкнутое множество, то функция t(x), равная 1 при х G supp/\suppe и 0 при остальных х, есть идемпотент полукольца Гоо(П) и является относительным дополнением элемента е в интервале [0; /]. Значит, полукольцо Г0о(П) является бирегулярным.
Теорема 3. Полукольцо S является обобщенным булевым полукольцом тогда и только тогда, когда оно изоморфно полукольцу всех глобальных сечений Гоо(Д) с компактными носителями некоторого
пучка полушел П над локально компактным нульмерным хаусдорфо-вым пространством.
Доказательство. Пусть 5 обобщенное булево полукольцо и [°]е(р) Ф [0]©(Р), т. е. а = eau £ Р, где еа е L(S)\P, u е U6a. Тогда [еа^]е(р) • [^_1]е(р) = [еа]е(р) = 1? где элемент обратный к и в
полутеле Uea. Следовательно, фактор-полукольцо 5/0(Р) является полу те л ом, и необходимость вытекает из следствия 1 и теоремы 2.
Обратно. Любое полутело является простым полукольцом, поэтому по теореме 2 полукольцо Г0о(П) бирегулярно. Можно непосредственно проверить, что это полукольцо является обобщенным а rp-полу кольцом, а значит, в силу следствия 2 будет обобщенным булевым полукольцом.
Любое обобщенное агр-полукольцо 5 вкладывается в обобщенное булево полукольцо (предложение 6), поэтому из теоремы 3 вытекает:
Теорема 4. Обобщенное агр-полукольцо 5 изоморфно подполуколь-цу Т полукольца всех глобальных сечений Р0о {Щ с компактными носителями некоторого пучка полутел П над локально компактным нульмерным хаусдорфовым пространством X, при этом если открыто-замкнутое множество U С X является носителем некоторого глобального сечения подполукольца Т, то и все сечения с носителем U входят в подполукольцо Т.
Литература
1. Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London. 1999. 381 c.
2. Вечтомов E. M., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево-регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. Т. 20. С. 282 309.
3. Вечтомов Е. М., Старостина О. В. Структура абелево-регулярных положительных полуколец // Успехи матем. наук. Т. 62. Вып. 1. 2007. С. 199 200.
4. Старостина О. В. Функциональные представления абелево-регулярных положительных полуколец // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2007. Вып. 9. С. 70 75.
5. Бредон Г. Теория пучков. М.: Наука, 1988. 312 с.
6. Dauns J., Hofmann К. Н. The represention of biregular rings by sheaves // Math. Z. 1966. V. 91. № 2. P. 103 123.
7. Чермных В. В. Полукольца. Киров: Изд-во ВГПУ. 1997. 131 с.
8. Davey В. A. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras // Math. Z. 1973. V. 134. № 4. P. 275 290.
Summary
Vechtomov E.M., Starostina O.V. Generalized Abelian-regular positive semirings
Notions of generalized Abelian-regular positive semirings (arp-semirings) and generalized Boolean semirings are introduced. It is showed that the research of generalized arp-semirings reduces to arp-semirings. Functional representation of generalized arp-semirings and generalized Boolean semirings are obtained. Dauns-Hofmann's theorem about representation of biregular rings is extended on biregular semirings.
Вятский гуманитарный университет
Поступила 10.12.2007
