CC BY
46
Доказательство. Пусть А - произвольный полумодуль над полутелом 5. Его подполумодуль ср(А) сократим и служит классом нуля конгруэнции т. Покажем, что фактор-полумодуль А/т идемпотентен. Для этого нужно показать, что (2х)тх при любом х е А. Всегда а+х = Ь+х ^ а+2х = Ь+2х. Обратно, если а+2х = Ь+2х, то 2а+2х = а+Ь+2х = 2Ь+2х. Умножая последнее равенство слева на 2-1, получаем а+х = Ь+х.
Ср-радикальные полумодули - это в точности сократимые полумодули, а класс ср-полупрос-тых полумодулей совпадает с классом идемпо-тентных полумодулей.
Полумодуль назовем конгруэнц-простым, если он имеет ровно две конгруэнции - отношение равенства и одноклассовую конгруэнцию.
Следствие. Любой конгруэнц-простой полумодуль над полутелом либо сократим, либо идемпотентен.
4. О радикальных и полупростых полумодулях. Из определения идемпотентного радикала г в классе 5-полумодулей следует, что любой полумодуль является расширением г-радикального полумодуля с помощью г-полупростого полумодуля. Поэтому свойства г-радикальных и г-полупростых полумодулей в случае произвольного идемпотентного радикала г имеют определенный интерес (хотя и не в такой степени, как в теории колец и модулей).
Теорема 4. Пусть радикал г в классе всех 5-полумодулей совпадает с одним из радикалов гр, тр или ср (в последнем случае предполагается, что 5 - полутело). Тогда справедливы следующие утверждения:
1) г(ПА.) =Пг(А.) и г(® А)) = ® г(А.) для любого непустого семейства 5-полумодулей А. (I е I); '
2) прямое произведение (прямая сумма) произвольного непустого семейства 5-полумодулей есть г-радикальный полумодуль тогда и только тогда, когда все сомножители (слагаемые) г-радикальны;
3) прямое произведение (прямая сумма) произвольного непустого семейства 5-полумодулей является г-полупростым полумодулем тогда и только тогда, когда все сомножители (слагаемые) г-полупросты;
4) если г = гр или г = тр, то гомоморфные образы г-радикальных полумодулей являются г-радикальными полумодулями (для радикала ср это неверно - см. пример 4).
Доказательство. Пусть (а1), (Ь1), (с1) е П А.. Для этих «строк» имеем
(а1)+(Ь1) = (Ь1) ] а1+Ь1 = Ь1 при всех I е I, (а1)+(Ь1) = (0) ] а1+Ь1 = 0 для любого I е I, а импликация (а1)+(Ь1) = (а1)+(с1) ^ (Ь1) = (с1) равносильна семейству импликаций а1+Ь1 = а1+с1 ^ ^ Ь1 = с1 (I е I), где (а1) - фиксированная строка,
(b) и (с.) - произвольные строки. Это дает 1). Из 1) вытекает 2). Утверждение 3) также следует из приведенных эквивалентностей и определений. Если же r = zp или r = mp, то для любого S-гомоморфизма f полумодуля A на полумодуль B имеем f( r( A)) = r(B), что служит усилением свойства гомоморфности радикала r.
Примечания
1. Golan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science [Text] / J. S. Golan / Longman scientific and technical. Harlow, 1992.
2. Вечтомов, E. M. Две структурные теоремы о полумодулях [Текст] / Е. М. Вечтомов // Абелевы группы и модули (Томск). 2000. Вып. 15. С. 17-23.
3. Аамбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Лам-бек. М.: Мир, 1971.
4. Семенов, А. Н. О строении полутел [Текст] / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 105-107.
В. В. Чермных ПОЛУКОЛЬЦА СЕЧЕНИЙ ПУЧКОВ*
В обзоре рассматриваются и анализируются результаты автора последних лет по полукольцам глобальных сечений пучков полуколец. Работа является продолжением обзорной статьи [36].
Введение
В алгебре, топологии, функциональном анализе, дискретной математике важную роль играют различные алгебры функций. В абстрактной алгебре эта роль (помимо прочего) связана с функциональным методом, состоящим в представлении той или иной алгебры (группы, кольца, решетки) в виде соответствующей алгебры функций. В частности, кольца и полукольца допускают хорошие пучковые представления [2, 14].
Общая теория полуколец изучается с 50-х гг. прошлого века; большая библиография имеется в книге Голана [32]. Полукольца применяются в дискретной математики, в идемпотентном анализе [7]; укажем также работы [5, 6].
Представления колец в пучках колец изучались Гротендиком [33], Пирсом [38], Ламбеком [35], Гофманом [34], Малви [37], Симмонсом [39] и другими. Различные функциональные представления колец рассматривались в монографии [2] и обзоре [41]. Представлениям модулей посвя-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 03-01-07005)
ЧЕРМНЫХ Василий Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент по кафедре алгебры и геометрии ВятГГУ © Чермных В. В., 2005
щены статьи [26, 35]. С 70-х гг. прошлого столетия пучковые методы стали применяться в теории дистрибутивных решеток [3, 4, 29, 31], по-чти-колец, универсальных алгебр [30]. Пучковые представления полуколец и полумодулей начали исследоваться сравнительно недавно [9-25, 36].
Приведем исходные для нас определения и обозначения.
Полукольцом называется алгебра (5, +, ■ , 0, 1) такая, что (5, +, 0) - коммутативный моноид, (5, ■, 1) - моноид, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и тождественно х0=0х=0. Полукольцами являются ассоциативные кольца с 1 и ограниченные дистрибутивные решетки. Полукольцо с делением с ненулевой единицей 1, не являющееся кольцом, называется полутелом.
Пусть X - топологическое пространство. Предпучком Р полуколец над X называется функция, сопоставляющая каждому открытому множеству ЦсХ полукольцо Р(и) и каждой паре открытых множеств и^У гомоморфизм
г(У,и):Р(У) бР(и таким образом, что г(и,и) — тождественный гомоморфизм и г(У,и)°т(Ш,У)=т(Ш,и), если UfУfW. Элементы из Р(и) называются локальными сечениями предпучка Р, а если и=Х, то глобальными сечениями предпучка.
Рассмотрим два условия Р1 и Р2 на предпуч-ке (Р,Х).
Р1. Пусть 5/еР(и) и пусть существует такое открытое покрытие {иа } множества и, что
т(и,иа ){5)=т{и,иа т
для всех а . Тогда 5=(.
Р2. Пусть {иа }, а е I, - открытое покрытие множества и и пусть элементы 5а еР(иа ) удовлетворяют условию
г(иа ,иа пи$)(5а Ж^а 1 0$)(з$) для всех а , $ е I. Тогда существует такой элемент зеР(и), что г(и,иа )(•)=• для всех .
Предпучок (Р,Х) полуколец, удовлетворяющий условиям Р1 и Р2, называется пучком полуколец.
Смысл введенного определения заключается в том, что при выполнении условий Р1 и Р2, и только в этом случае, предпучок (Р,Х) канонически изоморфен предпучку своего пучка ростков.
Аналогичное определение можно дать для алгебры произвольной сигнатуры, в частности, мы будем использовать пучок полумодулей над фиксированным полукольцом.
Коммутативный моноид (Л,+ ) называется правым полумодулем над полукольцом 5, если задано внешнее умножение справа элементов аеЛ на элементы зе5, обзначаемое азе5, и при этом для любых а,ЬеЛ, з^еЗ выполняются условия: а(з^)=(аз)^, (а+Ь)з=аз+Ьз,
а(з+()=аз+а(, а1=а, 0з=0=а0.
Равносильное определение пучка в терминах расслоенного пространства можно найти в любой литературе по пучкам, а также в [2,14]. В дальнейшем через Г = Г (Р,Х) будем обозначать алгебру всех глобальных сечений пучка. Функциональное, или пучковое, представление полукольца 5 - это гомоморфизм а : 5 6 Г (Р,Х); аналогично для полумодулей над полукольцом.
§ 1. Общие пучковые конструкции и их применения
Наибольший интерес представляют изоморфные представления полуколец. При построении конкретных пучковых представлений наибольшую трудность вызывает обоснование его полноты (эпиморфности). Отметим некоторые работы, в которых исследовались условия полноты представлений: для колец [39] и полуколец [11, 23, 36]. Поэтому актуальной является задача нахождения общих пучковых конструкций и выяснение достаточных условий полноты представления сечениями этих пучков. Автором в [11] (см. также [36]) были рассмотрены две общие теоремы о полноте и найдены некоторые их применения. Продолжением указанной статьи являются результаты, анонсированные в [23]. Основным из них является
Теорема 1.1. Пусть (- представление полукольца 5 сечениями пучка (Р,Х), индуцированное открытым семейством конгруэнций {а х: х е X}. Если X компактно и отображение
Ф :т(X) М(5) , заданное правилом ф(и) = П{Кегах : X е X \ и} для всякого Цет(Х), сохраняет покрытия, то представление ( полно.
Через т(Х) и 1^(5) обозначены решетка открытых множеств из Х и решетка идеалов полукольца 5 соответственно. Скажем, что отображение Ф :т(X) Ы(5) сохраняет покрытия, если
и^,- = ^ влечет ^ф(и,1) = Б . Наконец, семейство
конгруэнций {а х: х е Х} на полукольце 5, индексированных точками топологического пространства Х, называется открытым, если множество и(а,Ь) = {х е Х : аа хЬ} открыто для любой пары элементов а,Ь е 5.
Сейчас приведем результат, также связанный с полнотой представления. Введем необходимые понятия.
Пучок Р=иРх, х е Х, полуколец назовем компактным, если пространство Х компактно, через каждую точку накрывающего пространства Р проходит некоторое глобальное сечение (фак-торность пучка) и
/+/гГ (*)
для различных х,у е X, где ]х={а е Г: о(х)=0еРх}. Аналогично 0х={*е5: *(х)=0} для любого подпо-лукольца 5сГ. Подполукольцо 5 полукольца Г называется факторным, если естественный гомоморфизм 5 в каждый слой пучка Р сюръекти-вен. Заметим, что условие (*) влечет отделимость различных точек базисного пространства компактного пучка, следовательно, X является компактом.
Теорема 1.2 [15]. Пусть (Р,Х) — компактный пучок полуколец, 5 - факторное подполукольцо полукольца Г и 0х+0у=5 для любых различных ху е X. Тогда 5= Г.
Сформулированный результат является некоторым аналогом классической теоремы Стоуна-Вейерштрасса о подалгебре банаховой алгебры непрерывных функций. Он позволяет получать конкретные изоморфные пучковые представления, когда исходное полукольцо 5 вкладывается в полукольцо глобальных сечений компактного пучка и образ 5 удовлетворяет условиям теоремы 1.2. Для полумодулей аналог теоремы Сто-уна-Вейерштрасса принимает следующий вид.
Теорема 1.3 [18]. Пусть Р=оРх, хеХ, — пучок правых 5-полумодулей над компактным пространством X, Ы5 — факторный подполумодуль полумодуля Г=Г (P,X) и (]х) — семейство идеалов полукольца 5, индексированных точками пространства X, и при этом выполняются условия:
а) ]х+]у=5 для любых различных x,yеX;
б) для любого ге]х найдется такая открытая окрестность их точки х, что для любой точки уеи выполняется Р г=0(у).
Тогда М=Г. У
Покажем некоторые применения этих теорем. Пусть Л5 — полумодуль над полукольцом 5. Для первичного идеала Рс5 рассмотрим подполумо-дуль
z(P)={aеЛ:(ЭсеS\P)(aSc=0)} и конгруэнции на полумодуле Л:
ав (Р)Ь ] (Зи, V е z(P))(a+u=b+v) аврЬ ] (>с е 5 \ Р) (V* е 5){азс=Ьс).
Предложение 1.4 [18]. Пусть^Ь^) и (L',X) — пучки полумодулей, где
Ь=сЛ5 /в(Р), Ь'=сЛ5 /вр и Мах SfXfSpec 5. Тогда естественные гомоморфизмы
П : As 6 r(L), n'A ^ r(L')
инъективны.
Полукольцо S называется строго гармоническим [10], если для различных максимальных идеалов M и N из S найдутся элементы aeS\M, beS\N такие, что aSb=0.
По предложению 1.4 AS можно считать под-полумодулем полумодулей Г (L, Max S), Г (L', Max S), а если S строго гармонично, то выполняется условие 1 теоремы 3.2. Семейство идеалов,
упоминавшихся в формулировке теоремы 1.3, -{0M: MeMax S}, где 0M={aeS : (3ceS\M) (aSc=0)}. Стандартно проверяется выполнение условия 2 и поэтому верно
Предложение 1.5 [18]. Полумодуль AS над строго гармоническим полукольцом S изоморфен полумодулям всех глобальных сечений пучков (L,Max S) и (L', Max S).
Если A - группа, то конгруэнции 2(Р) и 6р совпадают, в частности, это справедливо для модулей над кольцами. Конечно, в общем случае конгруэнции различны.
Пример 1.6. Пусть C - более чем двухэлементная цепь, рассматриваемая как полумодуль над собой. Для P={0} имеем в(Р) - отношение равенства, а вр «склеивает» все ненулевые элементы.
§ 2. Риккартовы полукольца
Полукольцо S называется редуцированным [10, 14], если a2+b2=ab+ba влечет a=b. Редуцированные полукольца являются симметрическими (с квазитождеством abc=abd^acb=adb), полупервичным (пересечение всех первичных идеалов равно нулю), без ненулевых нильпотентов.
Полукольцо S называется риккартовым, если для любого aeS идеал Ann aS={ueS : aSu= 0} порождается дополняемым идемпотентом. Идемпо-тент e(=e2) называется дополняемым, если он перестановочен с любым элементом полукольца и обладает дополнением e' таким, что e+e'=1 и ee'=0. При этом элемент e' определяется однозначно и также является дополняемым идемпотентом. Множество BS всех дополняемых идемпотентов полукольца S с обычным умножением и сложением erg=eg'+e'g
становится булевым кольцом.
Применение теоремы 1.3 дает
Предложение 2.1 [18]. Полумодуль AS над редуцированным риккартовым полукольцом изоморфен полумодулю всех глобальных сечений пучка
(uAs /Dm , Min S), где apM b ] a+u=b+v для подходящих u, v из множества всевозможных конечных сумм вида as, aeAs, se0M.
Риккартовы кольца имеют тесную связь с кольцами непрерывных функций [1, 2]. Важным подклассом редуцированных риккартовых полуколец являются стоуновы решетки; стоуновой является, в частности, каждая булева решетка. Отметим, что пучковым представлениям и характе-ризациям дистрибутивных решеток посвящены статьи [3, 4]; на arp-полукольца соответствующие результаты перенесены в [6, 36].
Полукольцо S называется слабо риккартовым, если для любого aeS и любого элемента beAnn a выполняется Ann aS+Ann b=S. Аннулятор элемента aeS определим как множество Ann a={seS : as=0}, являющееся в симметрическом полуколь-
це двусторонним идеалом. Также не сложно понять, что в симметрическом полукольце для идеала 0p совпадают понятия первичности, вполне первичности, псевдопростоты.
Предложение 2.2 [17]. Для произвольного редуцированного полукольца S равносильны условия:
1. S - слабо риккартово.
2. Все идеалы 0p, PeSpec S, первичны (эквивалентно вполне первичны, псевдопросты).
3. Все идеалы 0M, MeMax S, первичны (эквивалентно вполне первичны, псевдопросты), и PfM влечет 0p=0M для любых PeSpec S, MeMax S.
4. Каждый первичный идеал из S содержит единственный минимальный первичный идеал.
5. (Va,beS)(ab=0 yAnn a+Ann b=S).
6. (Va,beS)(Ann a+Ann b=Ann ab).
7. (Va,beS)(D(a)n D(b)=0y d(D(a))n d(D(b))=0.
Через cl(U) обозначено замыкание множества
U, а через Min S - минимальный спектр полукольца S - пространство всех его минимальных первичных идеалов, рассматриваемое как подпространство Spec S.
Предложение 2.3 [17]. Для произвольного редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S - риккартово полукольцо.
2. Для любого aeS множество D(a) открыто-замкнуто в Spec S.
3. S - слабо риккартово и Min S компактно.
4. Min S - ретракт Spec S.
Напомним [10], что каждое симметрическое полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений пучка Ламбека (иS/6p,Spec S), слои которого являются факторполукольцами по конгруэнциям вр, PeSpec S, определяемыми следующим образом:
a2P b ] (>ceS\P)(ac=bc).
Этот факт и предложение 2.2 позволяют дать следующую пучковую характеризацию.
Предложение 2.4 [17]. Редуцированное полукольцо слабо риккартово тогда и только тогда, когда все слои его ламбековского пучка являются полукольцами без делителей нуля.
Более интересным для полуколец этого класса являются представления сечениями пучков, построенных с помощью отношения Берна. Для первичного идеала P положим
ad (P)b] (>u,ve0p)(a+u=b+v). При этом получается пучок (KS, X)=(uS/2 (P), Spec S). Для ограниченной дистрибутивной решетки L такой пучок введен Корнишем [29]. Им же доказан изоморфизм между L и решеткой всех глобальных сечений построенного пучка.
Если сейчас S - редуцированное риккартово полукольцо, то пучок (KS, Spec S) будет локально постоянным - для каждой точки базисного пространства найдется ее окрестность U такая,
что ограничение пучка на U является постоянным пучком.
Теорема 2.6 [17]. Редуцированное риккартово полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений пучка (KS, X) в каждом из следующих случаев:
1) X=Min S;
2) X=Max S.
Пусть сейчас AS - полумодуль над произвольным полукольцом. Введем два вида конгруэнций на AS, индексированных максимальными идеалами булева кольца BS дополняемых идемпотентов полукольца S.
a=M b ] (>eeBS\M)(ae=be), a/M b ] (>u,veAMS)(a+u=b+v), где AMS - полумодуль над S всевозможных конечных сумм элементов вида ces, сeAS, eeM, seS.
Стандартно проверяется, что (uAS /=M, Max S) и (uAS //M, Max S) - пучки полумодулей над S.
Предложение 2.7 [18]. Полумодуль AS над произвольным полукольцом S изоморфен полумодулям глобальных сечений пучков (uAS/=M, Max S) и (uAS //M, Max S).
Отметим, что из представлений рассмотренных в параграфе полумодулей как следствия вытекают представления соответствующих полуколец [9,10,14].
§ 3. Гельфандовы полукольца
Кольцо R называется гельфандовым, если для любых различных максимальных правых идеалов M и N из R найдутся такие элементы aeR\M, beR\N, что aRb=0 [37]. Гельфандово кольцо является строго гармоническим и допускает хорошее описание в терминах пучковых представлений. Так, гельфандово кольцо характеризуется как кольцо глобальных сечений компактного пучка локальных колец [2].
Встает вопрос о разумном обобщении гельфан-довости в классе полуколец. Первая такая попытка была предпринята в [10], где рассматривались строго гармонические полукольца, в которых каждый односторонний максимальный идеал является идеалом. Отметим, что дословное перенесение кольцевого определения гельфандовости на полукольца, видимо, непродуктивно.
Пусть S - полукольцо и M - произвольный его максимальный правый идеал. Назовем S r-полукольцом, если для любого элемента aeS либо afM, либо a+1fM.
Предложение 3.1 [19]. Для r-полукольца S равносильны условия:
1) в S существует наибольший собственный правый идеал;
1') в S существует наибольший собственный левый идеал;
2) в S существует наибольший собственный идеал, и он является наибольшим правым или наибольшим левым идеалом;
3) в 5 существует наибольший собственный идеал, и он является наибольшим правым и наибольшим левым идеалом;
4) множество всех необратимых элементов из 5 образуют идеал;
5) если а+Ь=1, то либо а, либо Ь обратим;
6) если а+Ь=1, то либо а, либо Ь обратим справа;
6') если а+Ь=1, то либо а, либо Ь обратим слева.
Назовем г-полукольцо, удовлетворяющее эквивалентным условиям предложения 3.1, локальным. Напомним об известной конструкции локализации произвольного коммутативного полукольца по простому идеалу, которые используются при построении пучка Гротендика [10, 33]. Отметим, что локализация в общем случае будет полукольцом с единственным максимальным идеалом, но не обязательно г-полукольцом. Например, локализация полукольца N неотрицательных целых чисел по максимальному идеалу М=^{1} изоморфна полукольцу N которое не является г-полукольцом.
Гельфандовым полукольцом назовем г-полукольцо, в котором для любых различных максимальных правых идеалов М и N найдутся такие элементы а$М и Ь$N, что а5Ь= 0.
Проблема 3.2. Равносильны ли условия предложения 3.1 для произвольного полукольца? (Предположительно: нет).
Тесно с предыдущей проблемой связана следующая
Проблема 3.3. Дать наиболее естественное определение гельфандова полукольца, чтобы не нарушалась связь с локальными полукольцами, именно, чтобы ламбековские слои этого полукольца были локальными. В связи с этим вопросом исследовать полукольца, все максимальные правые идеалы которого полустрогие; конечные по Дедекинду полукольца (полукольцо называется конечным по Дедекинду, если каждый его обратимый справа элемент обратим).
Примеры
1. Локальное полукольцо гельфандово.
2. Простое г-полукольцо (полукольцо, в котором в точности два идеала), не являющееся полутелом, строго гармонично, но не гельфан-дово.
3. Любое локальное полукольцо, в частности полутело, гельфандово.
4. Полукольцо С(Х,И+) всех непрерывных неотрицательных действительнозначных функций на топологическом пространстве Х гельфандово.
5. Полукольцо всех глобальных сечений компактного пучка локальных полуколец гельфан-дово.
Предложение 3.4 [14]. Для произвольного полукольца 5 эквивалентны утверждения:
1) S - строго гармоническое;
2) для каждого максимального идеала M идеал 0M содержится в однозначно определенном максимальном идеале полукольца S (именно, в M);
3) 0M+0N=S для любых двух различных максимальных идеалов M, N полукольца S.
Определение гельфандова полукольца было дано нами, строго говоря, как полукольца гельфандова справа. Следующим шагом будет устранение этой асимметрии.
Полукольцо S назовем pm-полукольцом (pmr-полукольцом, pml-полукольцом), если каждый первичный идеал из S содержится в однозначно определенном максимальном (соотв. максимальном правом, максимальном левом) идеале.
Предложение 3.5 [19]. Для гельфандова полукольца S равносильны условия:
1) S - pmr-полукольцо;
2) S - pml-полукольцо;
3) S - pm-полукольцо, каждый максимальный одностороний идеал которого является максимальным.
Отметим, что условия предыдущего утверждения эквивалентны для произвольного кольца с 1.
Таким образом, из предложения 3.5 вытекает, что множества максимальных, максимальных правых и максимальных левых идеалов гельфан-дова полукольца совпадают.
Предложение 3.6 [19]. Для строго гармонического r-полукольца S и его пучка Аамбека (L(S), Max S) справедливы утверждения:
1) для любого замкнутого множества TfMax S и любой точки MeMax S\T найдутся сечения s,teT(L) такие, что s(M)=1, s|r=0 и t(M)=0, i\T=1;
2) для любого MeMax Г (L) fM(M) - максимальный идеал слоя S/2M где fM - естественный гомоморфизм полукольца Г в слой над точкой M;
3) для любого MeMax S гельфандова полукольца S 0M= 0 M, где 0 M={aeS : (3cfM) (cSa=0)};
4) для любого MeMax S гельфандова полукольца S конгруэнции 2M и 2(M) совпадают.
Идеал A полукольца S называется чистым (равномерно чистым), если для любого элемента aeA выполняется A+Ann a=S (A+Ann aS=S).
Очевидно, каждый равномерно чистый идеал чист.
Предложение 3.7 [19]. В гельфандовом полукольце каждый чистый идеал равномерно чист.
Предложение 3.8 [19]. Для произвольного полукольца S справедливы утверждения:
1) если A - чистый идеал полукольца S и aeA, то ae=a для некоторого eeA;
2) для произвольных чистых идеалов A,B,C полукольца S выполняется (A+B)n C=AnC+BnC;
3) пересечение двух чистых идеалов является чистым идеалом;
4) сумма произвольного числа чистых идеалов есть чистый идеал.
Аналогичное утверждение справедливо и для равномерно чистых идеалов.
Наибольший чистый идеал, лежащий в идеале I, назовем чистой частью идеала I и обозначим Vir I. Подобным образом определяется равномерно чистая часть идеала.
Для идеала I и множества UfMax S положим: z(I)=Max S \D(I)={Me Max S: IfM}
0U=n{0MeU}={a e S: (VMeU)(Ann aS^M)};
Как и для максимального спектра, определим максимальный правый спектр MaxS - пространство максимальных правых идеалов со стоунов-ской топологией. Через zr(I)={MeMaxrS: IfM} обозначим замкнутое подмножество в максимальном правом спектре полукольца S.
Теорема 3.9 [19]. Для всякого r-полукольца S равносильны условия:
1) S - гельфандово;
2) S - строго гармоническое pm-полукольцо, в котором каждый односторонний максимальный идеал является идеалом;
3) S - гельфандово слева, т. е. для любых различных максимальных левых идеалов M и N найдутся элементы a$M и b$N такие, что aSb=0;
4) для любого максимального правого идеала M идеал 0M содержится только в одном максимальном правом идеале полукольца S;
5) 0M+0N=S для любых различных максимальных правых идеалов M, N;
6) 0A+0M=S для любых замкнутого множества A пространства MaxrS и MeMaxrS\A;
7) 0A+0B=S для любых непересекающихся замкнутых множеств A и B из MaxrS;
8) I+J=S влечет Vir I+Vir J=S для произвольных правых идеалов I и J;
9) Vir Iа = Vir Iа для произвольного семейства {Iа } правых идеалов из S;
10) zr(0zr(/))=zr(I) для любого правого идеала I в S;
11) 0zr(/) cMyIcM для любых правого идеала I и MeMax S.
r
§ 4. Фреймы идеалов полукольца и представление Симмонса
Полукольцо всех эндоморфизмов End A правого S-полумодуля A, в котором поточечное сложение и композиция в качестве умножения, является также и полумодулем над S. Очевидно, что полукольцо End S всех эндоморфизмов полукольца S, рассматриваемое как полумодуль над собой, изоморфно полукольцу S.
Произвольная дистрибутивная решетка идеалов полукольца S, содержащая 0 и S и замкнутая относительно произвольных сумм, называется фреймом идеалов полукольца S. Множества всех
чистых или равномерно чистых идеалов полукольца являются примерами фреймов идеалов.
Покажем, как с помощью произвольного фрейма идеалов полукольца строится предпучок полумодулей.
Пусть F - фрейм идеалов полукольца S. Собственный идеал PeF называется точечным элементом фрейма F, если AnBcP влечет AcP или BfP для любых A,BeF. Обозначим через pF множество всех точечных элементов из F. Для любого идеала AeF положим p*(A)={PepF: A^P}. Семейство множеств {p*(A):AeF} из pF образует базу (стоуновской) топологии, превращая pF в пространство, называемое точечным спектром полукольца S. Если в качестве F возьмем фрейм всех чистых идеалов полукольца S, то получим так называемый чистый спектр полукольца S.
Теорема 4.1 [13]. Пусть S - произвольное полукольцо, F - фрейм всех его чистых идеалов. Соответствие p*(A) ^ End A для каждого идеала A определяет предпучок P полуколец над точечным спектром pF всех чистых идеалов полукольца S. Предпучок (P,pF) удовлетворяет условию P1. Полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений этого предпучка.
Назовем полученный предпучок предпучком Симмонса [39]. В некоторых случаях этот пред-пучок оказывается пучком полуколец. Полукольцо S называется коммутативным в нуле, если равенство ab=0 влечет ba=0 для любых элементов a,beS.
Теорема 4.2. Пусть F - фрейм всех чистых идеалов полукольца S. Тогда предпучок (P,pF) является пучком в каждом из следующих случаев:
1) S - гельфандово полукольцо [19];
2) S - коммутативное в нуле полукольцо [13];
3) S - кольцо [39];
4) фрейм F всех чистых идеалов из S является цепью [13].
Аналогичные представления получаются при рассмотрении фреймов равномерно чистых идеалов. В [25] для слабо регулярных полуколец получено представление, подобное представлению, отмеченному в теореме 4.2 (полукольцо S называется слабо регулярным, если ae(aS)2 для произвольного элемента aeS).
Поставим такой вопрос.
Проблема 4.3. Возможно ли хорошее функциональное представление полуколец, основанное на фрейме конгруэнций? (Предположительно: да).
При ее решении могут быть полезны результаты работ [11], которые обсуждались в обзоре [36], и [23].
§ 5. О регулярном полукольце
Известно, что регулярное кольцо с 1 очень удобно для изучения с помощью пучковых методов. Укажем работы [8, 27, 28, 38]. С этой точки
зрения регулярное полукольцо (определяемое как и для колец) не столь хорошо. Причина заключается в том, что в регулярных полукольцах, к примеру, в ограниченных дистрибутивных решетках, идемпотенты не обязательно дополняемы. В [21] рассматриваются регулярные полукольца с некоторыми дополнительными условиями. Полукольцо с квазитождеством ас=Ьс^са=сЬ называется слабо симметрическим.
Теорема 5.1 [21]. Слабо симметрические регулярные полукольца, в которых каждый идемпотент дополняем, - это с точностью до изоморфизма полукольца глобальных сечений пучков полуколец с делением над нульмерными компактами.
Произвольное полукольцо 5 называется положительным [40], если а+1 является обратимым элементом для любого ае5; очевидно, что произвольное положительное полукольцо не является кольцом. Регулярное положительное полукольцо, каждый идемпотент которого дополняем, называется булевым. Поскольку булевы полукольца являются слабо симметрическими, то образуют подкласс слабо симметрических регулярных полуколец с дополняемыми идемпотентами. Слои ламбековского пучка булева полукольца являются положительными полукольцами, следовательно, полутелами. Поэтому справедливо
Следствие 5.2 [6]. Полукольцо булево тогда и только тогда, когда оно изоморфно полукольцу всех глобальных сечений пучка полутел над нульмерным компактом.
Примечания
1. Вечтомов, Е. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы [Текст] / Е. М. Вечтомов. М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1992.
2. Вечтомов, Е. М. Функциональные представления колец [Текст] / Е. М. Вечтомов. М.: Моск. гос. пед. ун-т, 1993.
3. Вечтомов, Е. М. Дистрибутивные решетки, функционально представимые цепями [Текст] / Е. М. Вечтомов // Фундаментальная и прикладная матем. 1996. Т. 2, № 1. С. 93-102.
4. Вечтомов, Е. М. Функциональная характериза-ция стоуновых решеток [Текст] / Е. М. Вечтомов // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. 1999. № 2. С. 9-11.
5. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. Киров: Изд-во ВГПУ, 2000.
6. Вечтомов, Е. М. Абелево-регулярные положительные полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов,
A. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 2000. Т. 20. С. 282-309.
7. Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении [Текст] /
B. П. Маслов, В. Н. Колокольцов. М.: Наука, 1994.
8. Тюкавкин, Д. В. Пирсовские пучки для колец с инволюцией [Текст] / Д. В. Тюкавкин. М.: МГУ, 1982. 64 с. Деп. ВИНИТИ, № 3446-82 Деп.
9. Чермных, В. В. Представления положительных полуколец сечениями [Текст] / В. В. Чермных // Успехи матем. наук. 1992. Т. 47. № 5. С. 193-194.
10. Чермных, В. В. Пучковые представления полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Успехи матем. наук. 1993. Т. 48. № 5. С. 185-186.
11. Чермных, В. В. О полноте пучковых представлений полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Фундаментальная и прикладная матем. 1996. Т. 2. № 1. С. 167-177.
12. Чермных, В. В. Ламбековское представление полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. 1996. Вып. 1. С. 19-21.
13. Чермных, В. В. О предпучке полуколец эндоморфизмов [Текст] / В. В. Чермных // Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. 1997. Вып. 3. С. 33-36.
14. Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Черм-ных. Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та, 1997.
15. Чермных, В. В. Аналог теоремы Стоуна-Вейер-штрасса для полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Науч. вестник Кировского филиала МГЭИ. 1998. Вып. 1. С. 193-196.
16. Чермных, В. В. Ламбековское представление полумодулей [Текст] / В. В. Чермных // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 107-109.
17. Чермных, В. В. Редуцированные риккартовы полукольца и их функциональные представления [Текст] / В. В. Чермных // Фундаментальная и прикладная матем. (в печати).
18. Чермных, В. В. Представления полумодулей сечениями пучков [Текст] / В. В. Чермных // Фундаментальная и прикладная матем. (в печати).
19. Чермных, В. В. Гельфандовы полукольца и их представления сечениями [Текст] / В. В. Чермных // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5. № 2. С. 131-148.
20. Чермных, В. В. Двойственность Малви для гель-фандовых полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Вестник ВятГГУ. 2004. № 10. С. 64-66.
21. Чермных, В. В. О регулярных полукольцах с некоторыми условиями [Текст] / В. В. Чермных // Вестник ВятГГУ. 2004. № 11. С. 147-149.
22. Чермных, В. В. О двойственности Малви для гельфандовых полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Тезисы докладов Междунар. алгебраич. конф. МГУ.
2004. С. 136-137.
23. Чермных, В. В. О полноте пучкового представления полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Тезисы докладов Междунар. алгебраич. конф. Екатеринбург, УрГУ. 2005. С. 114-115.
24. Чермных, В. В. О полном пучковом представлении полуколец [Текст] / В. В. Чермных // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. Вып. 3.
2005.
25. Ahsan, J. Representations of weakly regular semirings by sections in a presheaf [Text] / J. Ahsan, R. Latif, M. Shabir // Comm. Algebra - 1993. V. 21(8). P. 2819-2835.
26. Borceux, F. Van den. A sheaf representation for modules with applications to Gelfand rings [Text] / F. Borceux, H. Simmons, G. Bossche // Proc. London Math. Soc. 1984. V. 48, № 2. P. 230-246.
27. Burgess, W. D. Pierce sheaves of non-commutative rings [Text] / W. D. Burgess, W. Stephenson // Comm. Algebra - 1976. V. 6. P. 51-75.
28. Burgess, W. D. An analogue of the Pierce sheaf for non-commutative rings [Text] / W. D. Burgess, W. Stephenson // Comm. Algebra - 1978. V. 6(9). P. 863-883.
29. Cornish, W. H. 0-ideals, congruences and sheaf representations of distributive lattices [Text] / W. H. Cornish // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1977. 22, № 8. P. 200-215.
30. Davey, B. A. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras [Text] / B. A. Davey // Math. Z. 1973. 134, № 4. P. 275-290.
31. Filipoui, A. Compact sheaves of lattices and normal lattices [Text] / A. Filipoui // Math. Jap. 1991. 36, № 2. P. 381-386.
32. Golan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics [Text] / J. S. Golan. V. 54. 1992.
33. Grothendieck, A. Elements de Geometrie Algebrigue 1 [Text] / A. Grothendieck, J. Dieudonne. I.H.E.S., Publ. Math. 4/ Paris, 1960.
34. Hoffmann, K. H. Representations of algebras by continuous sections [Text] / K. H. Hoffmann // Bull. Amer. Math. Soc. 1972. V. 78. № 3. P. 291-373.
35. Lambek, J. On the representation of modules by sheaves of factor modules [Text] / J. Lambek // Can. Math. Bull. 1971. V. 14. № 3. P. 359-368.
36. Mikhalev, A. V. Semirings: sheaves and continuous functions [Text] / A. V. Mikhalev, E. M. Vechtomov, I. I. Artamonova, V. V. Chermnykh, V. I. Varankina // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg, 1999. P. 23-58.
37. Mulvey, C. J. Representations of rings and modules [Text] / C. J. Mulvey // Lect. Notes Math. 1979. 753. P. 542-585.
38. Pierce, R. S. Modules over commutative regular rings [Text] / R. S. Pierce // Mem. Amer. Math. Soc. 1967. V. 70. P. 1-112.
39. Simmons, H. Sheaf representation of strongly harmonic rings [Text] / H. Simmons // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1985. A99. № 3-4. P. 249-268.
40. Slowikowski, W. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand [Text] / W. Slowikowski, A. Zawadowski // Fund. Math. 1955. V. 42, № 2. P. 215-231.
41. Vechtomov, E. M. Rinds and sheaves [Text] / E. M. Vechtomov // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74. № 1. P. 749-798.
Н. П. Савиных
СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ И АВТОНОМИЗАЦИЯ ВЕГЕТАТИВНОГО ТЕЛА ЦВЕТКОВЫХ РАСТЕНИЙ
С использованием системного подхода и представлений о модульной организации проведен анализ жизненных форм растений. Установлено, что их эволюционные изменения согласуются с известными изменениями систем: количественные и качественные преобразования иерархически соподчиненных элементов, приводящие к образованию нового целого. Получено новое подтверждение первичности древесных жизненных форм по сравнению с травянистыми биоморфами.
САВИНЫХ Наталья Павловна - доктор биологических наук, профессор, зав. кафедрой ботаники ВятГГУ © Савиных Н. П., 2005
Одной из наиболее значительных идей, появившихся в науке в последние десятилетия, стало осознание растения как модульного организма, тело которого формируется в результате закономерного и последовательного накопления однотипных структурных элементов. Их в разное время разные авторы называли по-разному: модули [1], ростовые единицы [2], метамеры [3, 4], единицы модулярного роста [5], блоки. Анализ этих понятий [6] показал, что для целей морфологического анализа растений наиболее приемлемо понятие «модуль». Кроме структурных особенностей, оно в значениях такт, ритм, мелодия отражает ритмологические и временные закономерности формирования модулей - их циклический морфогенез [7]. В соответствии с представлениями Л. Е. Гатцук [8, 9, 10], Л. М. Шафрановой [3, 4], Н. Н. Марфенина [7], И. С. Антоновой и О. В. Азовой [11], И. С. Антоновой и Н. Г. Лагуновой [12], мы определили модуль как однотипную структуру тела растения, закономерно повторяющуюся во времени и в пространстве и возникающую в результате одного цикла формообразования. Совокупность модулей образует новое целое с появлением у последнего своих собственных свойств. Возникшая система способна в дальнейшем стать еще более сложной в результате накопления модулей и войти в новую систему как ее составной элемент.
Основой модульного роста является повторяющийся морфогенез - мультипликация. В результате возникают модули разных размеров, но все они иерархически соподчинены [7]. В связи с этим модули представляют собой в определенном смысле инструмент для морфологического анализа [13, 14].
Т. В. Кузнецова [14] определила требования к выделению модулей в структуре растения: четкое вычленение в теле особи, закономерное повторение их, с одной стороны, с другой - четкое представление автора о целях выделения этих единиц.
Наши исследования биоморфологии видов рода Veronica L. [6, 15, 16] показали, что наиболее значимы для характеристики, сравнения и оценки эволюционных взаимоотношений биоморф, мониторинга и демонстрации морфологической и размерной поливариантности [17, 18] три типа модулей: элементарный, универсальный и основной [16, 19]. Они выполняют разную роль в сложении тела растения. Элементарный модуль - мельчайший простейший (далее неделимый) - метамер s. st. - элементарный метамер [20], состоящий из нижележащего междоузлия, узла, листа и почки или ее производных. Это -элементарная биоморфологическая единица побега, которая закладывается в течение одного пластохрона (период между заложением двух
