О трех радикалах для полумодулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

Е. М. Вечтомов О ТРЕХ РАДИКАЛАХ ДЛЯ ПОЛУМОДУЛЕЙ

Рассматривается понятие радикала для полумодулей над полукольцом. Вводятся три радикала -зероидная часть, модульная часть и сократимая часть полумодулей. Исследуются условия инъектив-ности модульной части полукольца. Показано, что любой полумодуль над полутелом является расширением сократимого полумодуля с помощью идем-потентного полумодуля.

1. Понятие радикала для полумодулей. Дадим общее определение радикала в классе всех полумодулей над фиксированным полукольцом 5. Сначала напомним определения полукольца и полумодуля.

Полукольцом (с единицей) называется алгебра +5, +, , 0, 1) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения и выделенными элементами нуль 0 и единица 1, удовлетворяющими следующим условиям:

1) +5, +, 0) - коммутативный моноид;

2) +5, ■, 1) - моноид;

3) 0 - мультипликативный нуль, т. е. тождественно 0-х = х-0 = 0;

4) умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, т. е. в 5 справедливы тождества (x+y)z = хг+уг и x(y+z) = ху+хг.

Полумодулем (унитарным левым 5-полумоду-лем) над полукольцом 5 называется коммутативный моноид +А, +, 0) вместе с отображением 5хА 6 А, (5, а) 6 $а, обладающим следующими свойствами (для любых 5, t е 5 и а, Ь е А):

(1) (5+^а = sa+ta;

(2) 5(а+Ь) = 5а+5Ь;

(3) (^)а = 5^а);

(4) 0 а = 0 = 5-0;

(5) 1а = а.

Будем рассматривать полумодули над некоторым полукольцом 5. Гомоморфизмом (5-гомо-морфизмом) полумодуля А в полумодуль В называется произвольное отображение /: А 6 В, для которого /(х+у) = /(х)+/(у) и /(5х) = /(х) при всех х, у е А и 5 е 5. Ясно, что /(0) = 0. Непустое подмножество В полумодуля А называется

ВЕЧТОМОВ Евгений Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий ка-

^едрой алгебры и геометрии ВятГГУ, академик РАЕН Вечтомов Е. М., 2005

подполумодулем в А, если х+у, $х е В для любых х, у е В. Всегда 0 е В. Далее, отношение эквивалентности р на 5-полумодуле А называется конгруэнцией на А, если арЬ и ср( влекут (а+с)р(Ь+() и (^а)р(^Ь) при любых а, Ь, с, ( е А и 5 е 5 (можно считать, что с = ().

Радикалом в классе всех 5-полумодулей называется отображение г, ставящее в соответствие каждому полумодулю А его вполне определенный полустрогий подполумодуль г(А) так, чтобы радикал фактор-полумодуля А/г(А) был нулевым: г(А/г(А)) = {0}.

Определение предполагает наличие универсальной конгруэнции р, отвечающей радикалу г, для которой г(А) служит классом нуля [0] = [0]р и А/р как раз и обозначается через А/ г(А). Для того чтобы подполумодуль В полумодуля А был классом нуля некоторой конгруэнции на А, необходимо и достаточно, чтобы В был полустрогим подполумодулем в А, т. е. для любых х, у е А из х, х+у е В следует у е В. В качестве универсальной конгруэнции в пунктах 1 и 2 мы берем известное отношение Берна, именно: для всякого полустрогого подполумодуля В полумодуля А соотношение хру (х, у е А) означает, что х+а = у+Ь для подходящих элементов а, Ь е В. Легко видеть, что [0]р = В.

Полумодуль А называется г-радикальным, если А = г(А), и г-полупростым, если г(А) = {0}. Радикал полумодулей может обладать различными дополнительными свойствами.

Радикал г называется гомоморфным, когда /(г(А)) с г(/(А)) для любого 5-гомоморфизма /: А 6 В; идемпотентным, если

г(г(А)) = г(А) для всех 5-полумодулей А; монотонным, когда

г(А) с г(В) для всякого подполумодуля А любого полумодуля В; наследственным, если

г(А) = Апг(В) для любых полумодуля В

и его подполумодуля А. Заметим, что свойство наследственности радикала полумодулей влечет идемпотентность и монотонность этого радикала.

Наибольшее значение имеют и вызывают интерес идемпотентные и наследственные радикалы полуколец и полумодулей. Они играют важную роль в построении структурной теории. Заметим, что классические радикалы полуколец

Е. М. Вечтомов. О трех радикалах для полумодулей

(Джекобсона, Маккоя, нильрадикал) изучались ранее (см. библиографию в [1]). Однако далеко не все полезные радикалы обладают свойствами идемпотентности или наследственности. Укажем один такой радикал.

Для любого З-полумодуля А определяется его зероидная часть:

гр(А) = {а е А: Эх е А (а+х = х)}.

Очевидно, что zp(A) - подполумодуль в А, причем полустрогий. В самом деле, возьмем такие элементы а е А и Ь е zp(A), что а+Ь е zp(A). Имеем Ь+х = х и а+Ь+у = у для некоторых х, у е А. Тогда а+х+у = а+Ь+х+у = х+у, т. е. а е гр(А).

При этом [0] = zp(A): для любого х е А имеем х е [0] ] хр0 ] За, Ь е zp(A) (а+х = Ь) ] х е zp(A).

Фактор-полумодуль А/zp(A) имеет нулевую зероидную часть. Действительно, пусть [а]+[х] = [х], т. е. а+х+Ь = х+с, где Ь, с е zp(A). Тогда Ь+и = и и е+у = V для некоторых и, V е А, откуда Ь+и + у = и+V = е + и+V. Поэтому а+(х+и+у) = х+и+у, т. е. а е zp(A), стало быть, [а] = [0].

Получаем гомоморфный монотонный радикал zp полумодулей, не являющийся идемпотентным.

Пример 1. Возьмем полукольцо N всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения и присоединим к нему множество = {ы, 2ы, 3ы, ...}. Как

^-полумодуль Й0ыи{0} изоморфен Получаем ^-полумодуль N = N^N,0^ с подполумоду-лем в котором т+пы = пт+т = пы для любых т е N и натуральных п. Тогда zp(N) = N и zp(No) = {0}.

Заметим, что зероидная часть полукольца является двусторонним идеалом в нем. В следующих пунктах будут рассмотрены два других естественных идемпотентных радикала для полумодулей.

2. Модульная часть полумодулей. Пусть 5 -произвольное полукольцо. Полумодуль А над 5 называется модулем, если +А, +, 0) - группа, и антимодулем, если он удовлетворяет квазитождеству х+у = 0 ^ х = 0. Аналогично определяется понятие антикольца. Для любого З-полумодуля А определим его модульную часть: mp(A) = {а е А: Эх е А (а+х = 0)}.

Это множество всех аддитивно обратимых элементов полумодуля А, являющееся его строгим подполумодулем и модулем. Подполумодуль В полумодуля А называется строгим, если х+у е В ^ х е В для всех х, у е А. Получаем гомоморфный идемпотентный монотонный радикал mp, не являющийся наследственным. М^-ради-кальными полумодулями являются все модули, а mp-полупростые полумодули совпадают с антимодулями. Заметим, что mp(A) оказывается наи-

большим подполумодулем в А, являющимся модулем. Последнее свойство характеризует радикал mp как «настоящий» радикал в классе З-полумодулей.

Пример 2. Полукольцо N служит подполумодулем ^-модуля Ъ всех целых чисел. Имеем mp(N0) = {0} и mp(Ъ) = Ъ. Значит, mp(N0) не совпадает с N0nmp(Ъ) = N

Полумодуль А над полукольцом 5 называется расширением полумодуля В с помощью полумодуля С, если существует такая конгруэнция о на А, что полумодуль [0]а З-изоморфен В, а фактор-полумодуль А/о З-изоморфен С. Справедлива следующая

Теорема 1 [2, теорема 1]. Любой З-полумодуль является расширением однозначно определенного (с точностью до изоморфизма) З-модуля с помощью З-антимодуля.

Исследуем теперь модульную часть самого полукольца З, рассматриваемого в качестве (левого) З-полумодуля. Ясно, что mp(З) - это строгий двусторонний идеал полукольца З, являющийся кольцом (возможно, без единицы). Известно [2, предложение 1], что идеал mp(З) выделяется прямым слагаемым в З тогда и только тогда, когда кольцо mp(З) обладает единицей е, коммутирующей со всеми элементами из З (такой элемент е называется центральным). Выясним, когда З-полумодуль mp(З) будет инъективным полумодулем.

З-полумодуль М называется инъективным, если для любых полумодуля В и его подполумодуля А всякий З-гомоморфизм А ^ М продолжается до З-гомоморфизма В ^ М. Если вместо А и В брать соответственно левые идеалы полукольца З и само З, то получим определение инъективного по Бэру полумодуля М. Полукольцо называется самоинъ-ективным слева, если оно является инъективным левым полумодулем над собой.

Теорема 2. Для произвольного полукольца З, все идемпотенты которого центральны, эквивалентны следующие условия:

1) З-полумодуль mp(З) инъективен;

2) З-полумодуль mp(З) инъективен по Бэру;

3) mp(З) выделяется прямым слагаемым в З и является самоинъективным слева кольцом.

Доказательство. 1) ^ 2) очевидно.

2) ^ 3). Предположим, что З-полумодуль mp(З) инъективен по Бэру. Тождественное отображение полумодуля mp(З) продолжается до З-гомоморфизма /: З ^ mp(S). Положим е = /(1). Имеем е2 = е/(1) = /(е) = е. По условию идем-потент е централен. Покажем, что mp(З) = Зе. Ясно, что Зе с mp(S). Если же 5 е mp(S), то ^ = /(з) = 5/(1) = зе е Зе.

Далее рассмотрим элемент е mp(S), противоположный к е: е+е: = 0. Обозначим е' = 1+е^ Получаем

е+ее1 = 0 = е+е^е, ее1 = г^г = г1, е+е' = 1, е' е = ее' = е+ее1 = е+е1 = 0. е1+е1е1 = ее1+е1е1= 0, е1е1 = е и е' е' = 1+е1+е1+е1е1 = 1+е1 = е'.

Имеем прямое разложение 5 = 5е®5е' в сумму идеалов полукольца 5, причем каждый элемент 5 е 5 однозначно представим в виде суммы элементов из 5е и 5е'. Действительно, 5 = 5е+5е ', и если 5 = ае+Ье', то ае = 5е и Ье' = 5е'.

Остается доказать, что кольцо тр(5) с единицей е является инъективным левым модулем над собой. Воспользуемся известным критерием Бэра для модулей над кольцом (см. [3, с. 142]). Возьмем любой левый идеал ] кольца тр(5) и произвольный тр(5)-гомоморфизм /: ] 6 тр(5) = Зе. Множество ] является и левым идеалом полукольца 5, а / будет 5-гомоморфизмом: если 5 е 5 и а е ], то а = еа, 5а = (5е)а е ] и /(¿а) = /(5еа) = 5е/(а) = 5/(а). По условию / продолжается до 5-гомоморфизма 5 6 тр(5), сужение которого на кольцо тр(5) и дает искомое продолжение / до модульного гомоморфизма тр(5) 6 тр(5).

3) ^ 1). Пусть для тр(5) выполнено условие 3). Имеем 5 = тр(5)®1 для некоторого левого идеала I полукольца 5. Поэтому 1 = е+е' для подходящих е е тр(5) и е' е I. Значит, е = ее+ее ' = е+0, откуда е2 = е и е' е = ее' = 0, а также е'2 = е'. Тогда тр(5) = 5е и I = 5е'. Действительно, если 5 е тр(5), то 5 = 5е+5е' = 5+0, откуда 5 = $е (аналогично, I с 5е').

Далее, пусть даны подполумодуль А 5-полумодуля В и 5-гомоморфизм /: А 6 тр(5). Нужно продолжить / до некоторого 5-гомомор-физма g: В 6 тр(5). Для полумодулей А и В, как и выше, получаем прямые разложения А = еАге'А и В = еВге'В. Слагаемые еА и еВ являются левыми модулями над кольцом 5е = тр(5), а /1 = / |еА служит 5е-гомоморфиз-мом модулей еА 6 тр(5). Заметим, что / = 0 на е' А: /(е 'а) = е '/(а) = ее'/(а) = 0/(а) = 0. По условию 5е-гомоморфизм /1 продолжается до 5е-гомоморфизма модулей g1: еВ 6 тр(5). Получаем 5е-гомоморфизм g: В 6 тр(5), равный g1 на еВ и 0 на е В и продолжающий /. Остается проверить, что g есть 5-гомоморфизм. Если 5 е 5 и Ь е В, то g(sЬ) = g(seЬ+se'Ь) = g(seЬ) = seg1(eЬ) = = 5g1(eb) = sg(eЬ) = sg(eЬ+e' Ь) = sg(Ь). Теорема доказана.

Замечание. В условии теоремы 2 достаточно требовать, чтобы центральными были только идемпотенты из модульной части тр(5) полукольца 5. Элемент е1, противоположный е, и элемент е' = 1+е1 тоже будут центральными: 5е = е5 и 5е+5е1 =0 = е5+е15 влекут 5е1 = е15 и 5е = е'5 при 5 е 5.

Пример 3. Пусть 5 = БхТ - прямое произведение произвольных поля Б и антикольца Т. Тогда кольцо тр(5) = _Рх{0} изоморфно Б и самоинъ-

ективно. По теореме 2 оно является левым и правым инъективным 5-модулем.

3. Сократимая часть полумодулей над полутелом. Пусть теперь 5 есть полутело, т. е. 5 -антикольцо с ненулевой единицей 1, в котором все ненулевые элементы обратимы. Коммутативное полутело называется полуполем. Рассмотрим категорию всех полумодулей над полутелом 5. Это определенное обобщение векторных пространств над телами. Элемент а полумодуля А называется сократимым, если а+Ь = а+с влечет Ь = с для любых Ь, с е А.

Определим сократимую часть ср(А) произвольного 5-полумодуля как множество всех его сократимых элементов. Покажем, что ср(А) является строгим подполумодулем полумодуля А. Из определения сократимого элемента сразу следует, что а+Ь сократим тогда и только тогда, когда сократимы а и Ь (а, Ье А). Сократимость а е А влечет и сократимость 5а (5 е А): нулевой элемент 0а сократим; если 5 - ненулевой и 5а+Ь = 5а+с, то а+5-1Ь = а+5-1с, откуда 5-1Ь = 5-1с, т. е. Ь = с. Следовательно, ср(А) - строгий под-полумодуль в А. Введем на полумодуле А отношение т:

хту означает, что а+х = Ь+х ] а+у = Ь+у для всех а, Ь е А. Ясно, что т есть отношение эквивалентности на А. Пусть хту, г е А и 0 * 5 е 5. Тогда

а+(х+г) = Ь+(х+г) ] (а+г)+х = (Ь+г)+х ] ](а+г)+у = (Ь+г)+у ] а+(у+г) = Ь+(у+г), т. е. (х+г)т(у+г), и

а+5х = Ь+5х ] 5-1а+х = 5-1Ь+х ] ] 5-1а+у = 5-1Ь+у ] а+5у = Ь+5у, т. е. (5х)т(5у). Значит, т является конгруэнцией на полумодуле А и [0]т = ср(А). Отметим, что аналог конгруэнции т для полутел без нуля впервые рассмотрел А. Н. Семенов в [4].

Очевидно, что радикал ср является идемпо-тентным и обладает тем свойством, что Апср(В)сср(А) для любых полумодулей АсВ.

Пример 4. Радикал ср не гомоморфен и не монотонен. Возьмем полуполе Q+ неотрицательных рациональных чисел с обычными операциями и Q+-гомоморфизм Q+ на двухэлементную цепь Б, переводящий ненулевые числа в ненулевой элемент. Рассмотрим также подполумодуль Q+ Q+-полумодуля М = Q+u{с}, где с + с = с, с + д = q + с = д и дс = с при д >0, с + 0 = е = 0 + е и 0 с = 0. Имеем ср^+) = Q+, но ср(Б) = {0} и ср(М) = {0}.

Напомним, что полумодуль называется сократимым, если сократим каждый его элемент, и идемпотентным, если в нем выполняется тождество х+х = х.

Теорема 3. Всякий полумодуль над полутелом является расширением сократимого полумодуля с помощью идемпотентного полумодуля.

В. В. Чермных. Полукольца сечений пучков

Доказательство. Пусть А - произвольный полумодуль над полутелом З. Его подполумодуль cp(A) сократим и служит классом нуля конгруэнции т. Покажем, что фактор-полумодуль А/т идемпотентен. Для этого нужно показать, что (2х)тх при любом х е А. Всегда а+х = Ь+х ^ а+2х = Ь+2х. Обратно, если а+2х = Ь+2х, то 2а+2х = а+Ь+2х = 2Ь+2х. Умножая последнее равенство слева на 2-1, получаем а+х = Ь+х.

Cp-рaдикaльные полумодули - это в точности сократимые полумодули, а класс cp-полупрос-тых полумодулей совпадает с классом идемпо-тентных полумодулей.

Полумодуль назовем конгруэнц-простым, если он имеет ровно две конгруэнции - отношение равенства и одноклассовую конгруэнцию.

Следствие. Любой конгруэнц-простой полумодуль над полутелом либо сократим, либо идем-потентен.

4. О радикальных и полупростых полумодулях. Из определения идемпотентного радикала г в классе З-полумодулей следует, что любой полумодуль является расширением г-радикального полумодуля с помощью г-полупростого полумодуля. Поэтому свойства г-радикальных и г-полупростых полумодулей в случае произвольного идемпотентного радикала г имеют определенный интерес (хотя и не в такой степени, как в теории колец и модулей).

Теорема 4. Пусть радикал г в классе всех З-полумодулей совпадает с одним из радикалов zp, mp или еp (в последнем случае предполагается, что З - полутело). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) г(ПА.) =Пг(А.) и г(® А.) = ® г(А.) для любого непустого семейства З-полумодулей А. (г е I); '

2) прямое произведение (прямая сумма) произвольного непустого семейства З-полумодулей есть г-радикальный полумодуль тогда и только тогда, когда все сомножители (слагаемые) г-радикальны;

3) прямое произведение (прямая сумма) произвольного непустого семейства З-полумодулей является г-полупростым полумодулем тогда и только тогда, когда все сомножители (слагаемые) г-полупросты;

4) если г = zp или г = mp, то гомоморфные образы г-радикальных полумодулей являются г-радикальными полумодулями (для радикала еp это неверно - см. пример 4).

Доказательство. Пусть (а1), (Ь1), (е1) е П А.. Для этих «строк» имеем

(а1)+(Ь1) = (Ь1) ] а1+Ь1 = Ь1 при всех г е I, (а1)+(Ь1) = (0) ] а1+Ь1 = 0 для любого г е I, а импликация (а1)+(Ь1) = (а1)+(е1) ^ (Ь1) = (е1) равносильна семейству импликаций а1+Ь1 = а1+е1 ^ ^ Ь1 = е1 (г е I), где (а1) - фиксированная строка,

(b) и (с.) - произвольные строки. Это дает 1). Из 1) вытекает 2). Утверждение 3) также следует из приведенных эквивалентностей и определений. Если же r = zp или r = mp, то для любого S-гомоморфизма f полумодуля A на полумодуль B имеем f( r( A)) = r(B), что служит усилением свойства гомоморфности радикала r.

Примечания

1. Golan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science [Text] / J. S. Golan / Longman scientific and technical. Harlow, 1992.

2. Вечтомов, E. M. Две структурные теоремы о полумодулях [Текст] / Е. М. Вечтомов // Абелевы группы и модули (Томск). 2000. Вып. 15. С. 17-23.

3. Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Лам-бек. М.: Мир, 1971.

4. Семенов, А. Н. О строении полутел [Текст] / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 105-107.

В. В. Чермных ПОЛУКОЛЬЦА СЕЧЕНИЙ ПУЧКОВ*

В обзоре рассматриваются и анализируются результаты автора последних лет по полукольцам глобальных сечений пучков полуколец. Работа является продолжением обзорной статьи [36].

Введение

В алгебре, топологии, функциональном анализе, дискретной математике важную роль играют различные алгебры функций. В абстрактной алгебре эта роль (помимо прочего) связана с функциональным методом, состоящим в представлении той или иной алгебры (группы, кольца, решетки) в виде соответствующей алгебры функций. В частности, кольца и полукольца допускают хорошие пучковые представления [2, 14].

Общая теория полуколец изучается с 50-х гг. прошлого века; большая библиография имеется в книге Голана [32]. Полукольца применяются в дискретной математики, в идемпотентном анализе [7]; укажем также работы [5, 6].

Представления колец в пучках колец изучались Гротендиком [33], Пирсом [38], Ламбеком [35], Гофманом [34], Малви [37], Симмонсом [39] и другими. Различные функциональные представления колец рассматривались в монографии [2] и обзоре [41]. Представлениям модулей посвя-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 03-01-07005)

ЧЕРМНЫХ Василий Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент по кафедре алгебры и геометрии ВятГГУ © Чермных В. В., 2005