Хорновские формулы и пирсовские цепи полуколец Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 4 (2013)

УДК512.556

ХОРНОВСКИЕ ФОРМУЛЫ И ПИРСОВСКИЕ ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ

Р. В. Марков (г. Киров)

Аннотация

В статье описывается построение пирсовской цепи конгруэнций полукольца — аналога пирсовской цепи идеалов кольца, вводятся необходимые определения: кольцо центральных дополняемых идемпотентов, конгруэнция Пирса, пирсовский пучок полуколец, пирсовское представление полуколец, пирсовская цепь конгруэнций, хорновская формула. Из основных результатов статьи можно выделить теорему 1 о равносильности выполнимости хорновской формулы без отрицания на полукольце и его факторах, из дополнительных — применение теоремы 1 для доказательства «переноса» свойств полукольца Безу на его факторы и обратно.

Ключевые слова: полукольцо, пирсовское представление полуколец, центральный дополняемый идемпотент полукольца, пирсовская цепь конгруэнций полукольца, хорновская формула без отрицания, полукольцо Бе-

зу.

HORN FORMULS IN PIERCE CHAINS OF SEMIRINGS

R. V. Markov (c. Kirov)

Abstract

This paper describes construction of a pierce chain of congruences of a semiring - analogue of pierce chains of ideals of a ring, necessary definitions are introduced: a ring of central supplemented idempotents, a congruence of Peirce, a pierce sheaf of semirings, a pierce representation of semirings, a pierce chain of congruences, a horn formula. The basic result of paper is the theorem 1 about equivalence of realizability of horn formulas without negation on a semiring and its factors, additional result is an application of the theorem 1 for the proof of "transposition"of properties of a semiring of a Bezout on its factors and is inverse.

Keywords: a semiring, a pierce representation of semirings, a central supplemented idempotent of a semiring, a pierce chain of congruences of a semiring, a horn formula without negation, a semiring of a Bezout.

В фундаментальной работе Пирса [8] построена конструкция пучка колец, названного впоследствии пирсовским пучком, и доказана изоморфность представления произвольного кольца с единицей сечениями этого пучка. Беджесом и Стефенсоном [7] введено полезное понятие пирсовской цепи идеалов кольца. На русском языке элементы теории пирсовских цепей представлены в монографии А. А. Туганбаева [4].

Конструкция пирсовского пучка была перенесена и на некоторые другие алгебраические объекты — ограниченные дистрибутивные решетки, почти-коль-ца, полукольца. Так, для полуколец, объектов настоящей статьи, пирсовское представление появилось в [5].

В статье автора [3] введено определение пирсовской цепи конгруэнций полукольца. Основной целью данной работы является расширение полученных результатов статьи [3] с помощью применения понятия хорновской формулы. Также получены результаты, описывающие некоторые полукольца в терминах пирсовских цепей конгруэнций.

Более подробно с терминологией теорий пучковых представлений можно познакомиться в монографиях Е. М. Вечтомова [1] и В. В. Чермных [6].

Напомним некоторые определения.

Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и • называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (S, +) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (S, •) — полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон;

4. 0а = 0 = а0 для любого a Е S.

Определение 2. Мультипликативный идемпотент e полукольца S называется центральным дополняемым идемпотентом, если:

1. e — центральный: (Vx Е S)(ex = xe);

2. e — дополняемый: (3e± Е S)(e + e± = 1 Л ee± = 0).

Очевидно, что дополнение e± к центральному дополняемому идемпотенту e является центральным дополняемым идемпотентом и задается однозначно.

Обозначим через BS множество всех центральных дополняемых идемпотен-тов. Множество (BS, ф, •) с введенной операцией сложения e ф f = ef± + e±f и полукольцевым умножением образует булево кольцо.

Множество MaxBS всех максимальных идеалов булева кольца BS называется пирсовским спектром полукольца S.

Пусть M Е MaxBS. Введем отношение 8 м на полукольце S такое, что

а = b(8M) ^ ae± = be±

для некоторого центрального дополняемого идемпотента e Е M. Показано (в

[3]), что 8м является конгруэнцией, названной конгруэнцией Пирса.

Также (в [3]) доказывается, что дизъюнктное объединение P(S) = U{S/8m ■ M Е MaxBS} над MaxBS является пучком полуколец, называемым пирсовским пучком полуколец.

Для каждого M Е MaxBS факторполукольцо S/8m называется пирсовским слоем пучка P(S) в точке M.

Известно, что неразложимость полукольца в нетривиальную прямую сумму идеалов равносильна отсутствию в полукольце центральных дополняемых идемпотентов кроме нуля и единицы.

Определение 3. Если S/p — неразложимое факторполукольцо полукольца S, и для любой конгруэнции p ^ p факторполукольцо S/p не является неразложимым, то S/p называется максимальным неразложимым фактором (mi-факшором) полукольца S.

Определение 4. Пусть а — ординал и ра — конгруэнция на полукольце S, определяемая следующим образом:

1. Если а = 0, то ра = 0;

2. Если а — непредельный ординал, то S/pa — некоторый пирсовский слой полукольца S/pa-l;

3. Если а — предельный ординал, то pa = Ve<apв;

Для некоторой конгруэнции pY верно равенство pY = р7+ь Множество P(S) = {ра ■ 0 ^ а ^ y} назовем пирсовской цепью полукольца S. Конгруэнция pY

— наибольшая конгруэнция пирсовской цепи.

Из определения следует, что полукольцо S может иметь несколько пирсов-ских цепей.

Предложение 1. [3] Для любого неразложимого факторполукольца S/p существует такой тг-фмктор S/8, что 8 ^ p. В частности, каждое неразложимое факторполукольцо полукольца S — гомоморфный образ некоторого mi-фактора полукольца S.

Идеал A полукольца S назовем регулярным, если он порожден некоторым множеством дополняемых идемпотентов.

Предложение 2. [3] Пусть A — собственный регулярный идеал, p — конгруэнция, порожденная A, h ■ S ^ S/p — естественный эпиморфизм. Если S/p не является пирсовским слоем полукольца S, то существует такой центральный дополняемый идемпотент e Е S, что A + eS и A + e±S — собственные регулярные идеалы в S, строго содержащие идеал A,

S = (A + eS) + (A + e± S),

A = (A + eS)(A + exS) = (A + e±S)(A + eS) = (A + eS) П (A + exS),

h(S) ^ h(eS) ф h(e±S).

Определение 5. Хорновской формулой [2] называется предваренная формула, у которой бескванторная часть есть конъюнкция членов, каждый из которых есть или простейшая формула, т. е. атомарная формула вида P(xi,...

...,xs) или f = g, где P — сигнатурный предикатный символ, f,g — термы, или дизъюнкция одной простейшей формулы указанного вида и нескольких отрицаний простейших формул, или дизъюнкция отрицаний простейших формул.

Пусть ai,... ,am Е S, отображение hp ■ S ^ S/p — естественный эпиморфизм,

X = (Vxi,..., xm)(3,!/i,..., »„)(fim+” = g’m+" Л . . . Л

Л(f™+“ = €+n V f,mtn = g'ml'+' V... V fm+n = gm+n))

— хорновская формула. Построим &s/p — интерпретацию формулы X с носителем S/p:

• fi,gi (i = 1,... ,k) — фиксированные многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от некоммутирующих переменных xi,... ,xm,yi, ... ,yn, свободные члены которых равны 0;

• xi = hp (ai) Е S/p, yj = bj Е S/p.

Определение 6. Конгруэнцию p назовем специальной, если формула X истинна в интерпретации &s/p.

Обозначим через E множество всех неспециальных конгруэнций (относительно элементов и многочленов, указанных в предыдущем определении), через E* — подмножество в E, состоящее из всех неспециальных конгруэнций, порожденных регулярными идеалами.

Лемма 1. Если нулевая конгруэнция лежит в E*, то и E, и E* содержат максимальные элементы.

Доказательство. Рассмотрим произвольную возрастающую цепь конгруэнций {pa ■ а Е I} С E и покажем, что p = Vа pa Е E.

Для любого а Е I обозначим через pa(a) = {s Е S ■ s = a(pa)} и a = Uag/pa(a). Если a П b Э s, то s = a(pai),s = b(pa2) для некоторых а1,а2 Е

I. Тогда a = b, откуда получаем разбиение полукольца S на классы вида a и соответствующее бинарное отношение p. Стандартно проверяется, что p — конгруэнция на S, очевидно являющаяся верхней гранью конгруэнций pa ,а Е I.

Если p является специальной, то истинна хорновская формула X с интерпретацией &s/p. Тогда по определению p формула X истинна в интерпретации

as/Pj. для некоторых pj. ,ji Е I. Выбрав максимум j из ji,i = 1,... , к, получим, что pj Е E является специальной, противоречие. Тогда точная верхняя грань p не является специальной, поскольку S/p совпадает с факторполукольцом S/p.

Рассмотрим ситуацию с E*. Заметим, что регулярный идеал, порождающий конгруэнцию, является её классом нуля, однозначно определяет её и ей определяется. Поскольку объединение любой возрастающей цепи регулярных идеалов является регулярным идеалом, то точная верхняя грань возрастающей цепи конгруэнций из E* лежит в E*. По лемме Цорна E * содержит максимальный элемент.

□

Теорема 1. Пусть S — полукольцо, X — хорновская формула без неравенств с конъюнктивными вхождениями с интерпретацией а. Равносильны условия:

1. X истинна в интерпретации as;

2. X истинна в as/pi, где S/pi — факторполукольцо S;

3. X истинна в as/p2, где S/p2 — пирсовский слой S;

4. X истинна в as/p3, где S/p3 — неразложимый фактор S;

5. X истинна в as/p4, где S/p4 — mi-фактор S.

Доказательство.

I. Сначала рассмотрим только те хорновские формулы, в которых не используются неравенства.

Очевидны импликации (1) ^ (2) ^ (3), (2) ^ (4) ^ (5). Импликация (5) ^ (4) верна потому, что каждое неразложимое факторполукольцо изоморфно факторполукольцу некоторого mi-фактора.

(3) ^ (1). Допустим, (1) не верно. Тогда нулевая конгруэнция лежит в E*

и, по лемме 1, в E* существует максимальный элемент p. Покажем, что S/p является пирсовским слоем. Предположим, что это не так. Тогда, по предложению 2, существует такой дополняемый идемпотент e Е S, что A = 0p + eS и B = 0p + e±S — собственные регулярные идеалы в S, строго содержащие 0p и S/p = S/pa х S/pB. Через pa и pB обозначены A-регулярная и B-регулярная конгруэнции соответственно. Конгруэнции pa и pb строго больше p, поэтому не лежат в E*. Тогда конгруэнции pa и pb являются специальными, поэтому и p специальна. Противоречие показывает, что S/p — пирсовский слой. Таким образом, если не верно (1), то не выполняется (3).

(4) ^ (1). Допустим, (1) не верно. В этом случае нулевая конгруэнция лежит в E и, по лемме 1, в E существует максимальный элемент p. Достаточно показать, что S/p неразложимое полукольцо. Предположим, что S/p разложимо и S/p = S/pi х S/p2 для некоторых конгруэнций pa и pb. Поскольку p < pa

и р < рь, то ра, Рь ^ Е. Непосредственно проверяется, что р — специальная конгруэнция, противоречие.

II. Теперь выберем хорновские формулы, включающие в себя только неравенства.

Выполнимость импликаций(*): (5) ^ (4) ^ (2), (3) ^ (2) ^ (1) показывается от противного. Если не верны цепочки (*), значит не верны (**): (1’) ^ (2’) ^ (3’), (2’) ^ (4’) ^ (5’), в которых вместо формулы X используется отрицание X. Легко заметить, что формула X попадает под пункт I теоремы, поскольку не содержит неравенств, следовательно импликации (**) выполняются. Противоречие.

Выполнимость импликаций (4) ^ (5), (1) ^ (3), (1) ^ (4) показывается аналогично.

III. Осталось рассмотреть формулы, включающие в себя равенства и неравенства.

По определению 5, неравенства в хорновскую формулу могут быть включены двумя способами: дизъюнктивно с равенством или коньюнктивно с ним.

Поскольку для равенств теорема доказана в пункте I, то для дизъюнктивного случая очевидно, что истинность неравенств в формуле не влияет на истинность всей формулы. Для случая конъюнктивного вхождения неравенства могут повлиять на истинность формулы, как в следующем примере.

Существование в полукольце нетривиальных центральных дополняемых идемпотентов описывается, согласно определению 2, следующей хорнов-ской формулой:

X = Уе 3/ ее = е Л е/ = 0 Л е + f = 1 Л е = 0 Л е = 1,

которая, очевидно, не верна в любом неразложимом факторполукольце.

Отсюда следует невыполнимость импликаций (1) ^ (2) ^ (3), (2) ^ (4) ^

(5) для данного случая.

□

Замечание 1. Хотя эквивалентность условий теоремы 1 для случая конъюнктивных вхождений неравенств опровергнута, импликации (5) ^ (4) ^

(2), (3) ^ (2) ^ (1) для него выполняются. Это очевидно следует из наличия гомоморфизма полуколец и их факторов.

Проиллюстрируем применение этой конструкции на примерах.

Определение 7. Полукольцо Б называется правым полукольцом Бе-зу, если каждый конечно порожденный правый идеал из Б является главным правым идеалом.

Лемма 2. Для полукольца Б равносильны условия:

1. Полукольцо Б является полукольцом Безу;

2. Верна хорновская формула H:

Vm, n 3a, b, c, d fi(m, n, a, c) = gi(m, n, a, c) Л f2(m, n, a, d) = g2(m, n, a, d) в интерпретации as:

fi(m, n, a, c) = m, gi(m, n, a, c) = mac + nbc, f2(m, n, a, d) = n, g2(m, n, a, d) = mad + nbd, m, n, a, b, c, d Е S.

Доказательство. (1) ^ (2). Пусть m,n Е S. Правый идеал mS + nS является главным правым идеалом zS для некоторого z Е S. Тогда z = ma + nb для некоторых a,b Е S .С другой стороны, m = zc,n = zd для некоторых c,d Е S, откуда верно (2).

(2) ^ (1). Покажем, что правый идеал mS + nS является главным правым идеалом. Рассмотрим произвольный элемент msi + ns2 Е mS + nS. По условию msi + ns2 = macsi + nbcsi + nbds2 + mads2 = (ma + nb)(csi + ds2) Е zS, где

z = ma + nb. Очевидно, zS С mS + nS. □

Теорема 2. Для полукольца S равносильны условия:

1. S — правое полукольцо Безу;

2. Все пирсовские слои полукольца S — правые полукольца Безу;

3. Все неразложимые факторы полукольца S — правые полукольца Безу;

4. Все mi^-фа^торы для S — правые полукольца Безу.

Доказательство. (1) ^ (2), (1) ^ (3) следуют из того, что каждое фак-торполукольцо правого полукольца Безу — правое полукольцо Безу. (3) ^ (4) очевидно.

По той же причине, с помощью предложения 1, следует (4) ^ (3).

(2) ^ (1). Пусть h(S) = S/p — произвольный пирсовский слой полукольца S, h ■ S ^ S/p — естественный эпиморфизм. Поскольку h(S) — правое полукольцо Безу, то верна формула H в интерпретации as/h(s). По теореме 1, формула H верна и в интерпретации as. По лемме 2, S — правое полукольцо Безу.

(3) ^ (1) доказывается аналогично. □

Определение 8. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b, c Е S, выполняется abc = ab'c acb = acb'.

В виде хорновской формулы определение 8 примет следующий вид:

X = Va, b, b, c (fi(a, b, b', c) = gi(a, b, b', c) V f2(a, b, b', c) = g2(a, b, b', c))Л

Л(fi(a, b, b , c) = gi(a,b,b',c) V f2(a,b,b',c) = g2(a,b,b',c)). в интерпретации as:

fi(a,b,b',c) = abc, gi(a,b,b',c) = ab'c, f2(a,b,b',c) = acb, g2(a,b,b',c) = acb', a, b, b , c Е S.

Формула X очевидно удовлетворяет условиям теоремы 1, следовательно верна

Теорема 3. Для полукольца S равносильны условия:

1. S — симметрическое полукольцо;

2. Все пирсовские слои полукольца S — симметрические полукольца;

3. Все неразложимые факторы полукольца S — симметрические полукольца;

4. Все mi^-фа^ыоры для S — симметрические полукольца. Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 2.

□

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец. М.: МПГУ, 1993.

2. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. - 392 с.

3. Марков Р. В. Пирсовские цепи полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. 2013. №16.

4. Туганбаев А. А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. М.: МЦ-НМО, 2009.

5. Чермных В. В. Пучковые представления полуколец // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, № 5. С. 185-186.

6. Чермных В. В. Функциональные представления полуколец. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010.

7. Burgess W. D., Stephenson W. Rings all of whose Pierce stalks are local // Canad. Math. Bull. 1979. Vol. 22, № 2. P. 159-164.

8. Pierce R. S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 70. P. 1-112.

Вятский государственный гуманитарный университет Поступило 14.09.2013