Мультипликативно идемпотентные полукольца с тождеством х + 2хух = х Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1. Вып. 17.2013

УДК 512.558

МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ПОЛУКОЛЬЦА С ТОЖДЕСТВОМ х + 2хух = X

Е. М. Вечтомов, А. А. Петров

Исследуются структурные свойства мультипликативно идем-потентных полуколец с тождеством х + 2хух = х. Рассматриваемый класс полуколец включает в себя булевы кольца, дистрибутивные решетки, прямоугольные полукольца. Ключевые слова: полукольцо, дистрибутивная решетка, идемпотентность, конгруэнция, простой идеал.

В статье продолжается изучение мультипликативно идемпотентных полуколец [2.3]. Некоторые из новых результатов работы анонсированы

в [6].

Полукольцом называется алгебраическая структура (£, +, •) с бинарными операциями сложения + и умножения •, такая, что (5*. +) — коммутативная полугруппа, (<!?, •) — полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. Если в полукольце Б существует элемент 0, такой, что ж + 0 = ж,ж-0 = 0- а; = 0 для всех х Е Б, то й1 называется полукольцом с нулем 0.

Полукольцо с коммутативным умножением называется коммутативным. Коммутативная идемпотентная полугруппа называется полурешеткой. Полукольцо с тождеством хх = х (с тождеством х + х = х) называется мультипликативно идемпотентным (соответственно, аддитивно идемпотентным). Полукольцо, одновременно мультипликативно и аддитивно идемпотентное, будем называть идемпотентным. Примером идемпотентных полуколец служат дистрибутивные решетки, характеризуемые как коммутативные идемпотентные полукольца. удовлетворяющие закону поглощения х + ху — х. Полукольцо с тождеством х + у — ху называется дублъ-полуколъцом (или монополукольцом). Дубль-полукольца коммутативны. Кроме того, муль-

© Вечтомов Е. М., Петров А. А., 2013.

типликативно идемпотеитные дубль-полукольца идемпотентны. Полукольца, удовлетворяющие тождеству хух = х будем называть прямоугольными (по аналогии с соответствующими полугруппами [10]}. Легко видеть, что прямоугольные полукольца идемпотентны.

Отметим, что мультипликативно идемпотеитные полукольца удовлетворяют тождеству х + х + х + х — х + х, или 4х — 2х.

Для произвольного полукольца S с нулем через r(S) обозначим множество элементов, имеющих противоположный элемент, Ясно, что r(S) будет кольцом, более того, строгим идеалом в S (см. [2]).

Полукольцо S с нулем называется 0-расширением полукольца. А при помощи полукольца. В, если существует такая конгруэнция р на S, что [0]р = А и S/p = В (расширение посредством конгруэнции р). Так, прямое произведение произвольных полуколец с нулем А и В есть 0-расширение А при помоши В (а также В при помощи А) посредством конгруэнции р : (а, b)p(a',b') означает Ь = Ь' при любых а, а' Е А и b, b' е В.

Полукольцо S будем называть полуколъцевым расширением (или связкой) семейства полуколец Ai (г 6 I) при помощи полукольца Б, если на S существует такая конгруэнция р, что S/p = В, и каждый класс [öj]p является подполукольиом в S, изоморфным соответствующему полукольцу Ai.

Идеал I полукольца S называется простым (строгим), если для любых a,b G S выполняется а,Ь ф I ab I (соответственно, а + b Е I=>a€l).

Теорема А. [3, теорема 5 Простые идеалы, произвольного полукольца S разделяют его элементы тогда и только тогда, когда S коммутативно и мультипликативно идемпотентно.

Лемма 1. Для произвольного полукольца S справедливы следующие утверждения:

1) S мультипликативно идемпотентно тогда и только тогда, когда. классы любой конгруэнции р на S являются подполугруппами полугруппы. (S, •);

2) S идемпотентно тогда и только тогда, когда, классы любой конгруэнции р на S являются подполукольцами в S.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть хру для х,у Е S. Тогда (;ху)ру2, то есть {ху)ру.

Достаточность. Для конгруэнции, являющейся отшением равенства. все классы одноэлементны. Поэтому хх = х.

2) Аналогично.

Для любых элементов а, b мультипликативно идемпотентного полу-

кольца S положим

apmb -ФФ- 2а = 26.

Лемма 2. Отношение рт является наименьшей конгруэнцией на произвольном мультипликативно идемотентном полукольце S, фак-торполукольцо по которой будет идемпотентным полукольцом.

Доказательство. Очевидно, что отношение рт является конгруэнцией на S. Кроме того, spm(2s) для любого s £ S. Для всякой конгруэнции т, такой, что S/t — идемпотентное полукольцо, поскольку при любых a,b G S из apmb следует

[а]г = [2 а]т = [26] т = [Ь]т.

Предложение 1. Всякое мультипликативно идемпотентное полукольцо S является полукольцевым расширением семейства мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством 2х = 2у при помощи идемпотентного полукольца.

Доказательство. Учитывая лемму 2, достаточно проверить, что любой класс конгруэнции рт на S будет подполукольцом в S. Действительно, пусть для а, 6 G S имеем артЬ, то есть 2а = 26. Тогда 2(а + Ь) = 2а+ 26 = 2а + 2а = 2а, откуда (а + Ь)рта. И (аЬ)рта по лемме 1, 1).

Предложение 2. Произвольнее мультипликативно идемпотентное полукольцо S с нулем является 0-расширением булева кольца r(S) с помощью идемпотентного полукольца.

Доказательство. Действительно, в силу леммы 2. S/pm — идемпотентное полукольцо. Кроме того, нетрудно видеть, что [0]Pm = r(S) — булево кольцо.

Замечание 1. В работе [5 указана наименьшая конгруэнция р на произвольном полукольце S с нулем, факторполукольно по которой является аддитивно идемпотентным полукольцом, а класс нуля совпадает с множеством r(S). Таким образом, произвольное полукольцо с нулем является О-расширением кольца r(S) с помощью аддитивно идемпотентного полукольца,

Лемма 3. Всякое мультипликативно идемпотентное полукольце S с тождеством 2х = 2у обладает поглощающим элементом по умножению.

Доказательство. В силу тождества 2х = 2у получаем, что все «удвоенные» элементы из S равны между собой. Обозначим этот элемент через 6. Тогда для любого s^Ss + s — в, в частности. 6 + 6 = 6, откуда sd — s(6 + 6) = s6 + s6 — 6 (аналогично, 6s — 6). Таким образом, в является поглощающим элементом по умножению.

Теорема 1. Любое мультипликативно идемпотентное полукольцо S с тождеством х + 2хух = х является полукольцевым расширением семейства булевых колец при помощи идемпотентного полукольца с тождеством х + хух = х.

Доказательство. Из предложения 1 и тождества х + 2хух — х следует. что факторополукольцо S/рт будет идемпотентным полукольцом с тождеством х + хух = х.

Произвольный класс конгруэнции рт на S будет мультипликативно идемпотентным полукольцом с тождеством 2х — 2у. Поэтому в силу леммы 3 и тождества Зх = х на S имеем s = s + 2s = s + 0 для любого s Е S. Таким образом, в служит нулем полукольца S, а само S является булевым кольцом.

Следствие 1. Любое мультипликативно идемпотентное (комму-тативное) полукольцо с тождеством х + 2ху = х является полукольцевым расширением семейства булевых колец при помощи идемпотентного полукольца с тождеством х + ху = х (дистрибутивной решетки, соответственно).

Введем на произвольном полукольце S бинарное отношение о :

(Va, b Е S) (aab aba — а и bab — b).

Теорема 2. Произвольное мультипликативно идемпотентное полукольцо S с тождеством х + хух = х является полукольцевым расширением семейства прямоугольных полуколец при помощи дистрибутивной решетки.

Доказательство. То. что отношение сг будет конгруэнцией на произвольной идемпотентной полугруппе, факторполугруппа по которой является полурешеткой, доказано в [11, Theorem 1 . Покажем, что и сохраняет сложение на S. Действительно, если для некоторых a,b Е S выполняется aab, то. учитывая тождество х+хух = х, для любого с Е S получаем:

(а + с)(Ь + с)(а + с) = aba + abc + аса + ас + cba + cbc + са + с = = а + ас + са + с + aba + abc + cba + cbc = (a + с)2 + (a + c)b(a + c) = — (a + c) + (a + c)b(a + с) — a + c.

Аналогично. (b + c)(a + c)(b + c) = b + с. Таким образом, a является конгруэнцией на S, причем факторполукольцо по ней коммутативно, идемпотентно и обладает тождеством х + ху — х, то есть является дистрибутивной решеткой.

Следствие 2. Всякое идемпотентное полукольцо S с тождеством х+ху = х является полуколъцевым расширением семейства полуколец с тождеством ху = х при помощи дистрибутивной решетки.

Доказательство. В силу теоремы 2 достаточно показать, что для любого а G S класс конгруэнции [а]а удовлетворяет тождеству ху — у. Поскольку на [а]^ выполняется тождество хух — х, то на [а]^ тождественно

х = х + ху = (ху):х + ху = ху.

Для любого простого идеала Р коммутативного полукольца S рассмотрим бинарное отношение вр :

(Va, beS) аврЪ <£> (3 ceS\P)ac = bc.

Отношение 9р явлется конгруэнцией на произвольном коммутативном полукольце S и называется конгруэнцией Ламбека [7, с. 54].

Лемма 4. Для всякого простого идеала Р коммутативного мультипликативно идемпотентного полукольца S выполняются свойства:

(1) множество S\P является классом конгруэнции вр;

(2) факторполукольцо S/вр обладает единицей;

(3) разбиение Р = {P,S\P} является двухклассовой конгруэнцией на мультипликативной полугруппе полукольца S.

Доказательство. (1). Заметим, что u6pv для любых u,v G S\P, так как u(uv) — uv — v(uv). Предположим, что для элементов р е Р, и G S \ Р выполняется рври, то есть pw — uw для некоторого w G S \ Р. Тогда uw G Р, что невозможно, так как Р — простой идеал. Таким образом. S\P является классом конгруэнции вр.

(2), Покажем, что множество S \ Р является единичным классом в S/вр. Для любых PeP,ueS\P имеем (ри)и — ри, то есть (ри)врр.

(3). Очевидно.

Обозначим через В двухэлементную цепь, а через Ъч — двухэлементное поле. Конгруэнп-простые полукольца В и Z2 являются коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцамм с тождеством х + 2 ху = х.

Теорема 3. [8. corollary 4.4] Для того, чтобы произвольное полукольцо S являлось коммутативным мультипликативно идемпотент-ным полукольцом с тождеством х + 2ху = х необходимо и достаточно, чтобы S было подпрямым произведением некоторого семейства полуколец В и Z2.

Доказательство. Достаточность очевидна.

Докажем необходимость. Возьмем произвольный простой идеал Р в полукольце S с указанными свойствами. Положим Q = S\P. Покажем,

что р + и £ Р для произвольных р Е Р,и Е Q. Если р + U Е Р, то up+u Е Р, откуда u+2up = u Е Р, противоречие. Так как по лемме 4 Q является классом конгруэнции 6р, то либо Q + Q С Р, либо Q + Q С Q. В обоих случаях получаем двухклассовую конгруэнцию Р = {Р, Q} на полукольце S. В первом случае факторполукольцо по конгруэнции Р изоморфно двухэлементному полю Z2, во втором — двухэлементной цепи В.

Остается применить теорему А.

Следствие 3. Многообразие коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством х + 2ху = х порождается полукольцами В и Z2.

Замечание 2. Хорошо известны классические результаты Г. Бирк-гофа и М. Стоуна о том, что дистрибутивные решетки суть (с точностью до изоморфизма) подпрямые произведения семейств цепи В (см. [1], [4, с. 156-157]). а булевы кольца — это в точности подпрямые произведения семейств поля Z2 [12]. Отметим, что синтез булевых алгебр и булевых колец осуществлен в так называемых алгебрах Ньюмена [1, с. 71]. Для мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем и единицей аналогичный следствию 3 результат получен в [?].

Следствие 4. [3. теорема 7] Всякое конечное коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо с тождеством х + 2ху = х является прямым произведением семейства полуколец В и

Лемма 5. Всякое прямоугольное полукольцо S изоморфно прямому произведению полукольца с тождеством ху = х и полукольца с тождеством ху — у.

Доказательство. Доказательство леммы аналогично доказательству соответствующего результата для прямоугольных полугрупп (см,, например, [10, Lemma 1]). Для полноты изложения докажем лемму.

Пусть в полукольце S выполняется тождество хух = х. Тогда S удовлетворяет тождеству xyz — xz, поскольку

xyz = (xzx)yz = x(zxyz) = xz.

Для любого фиксированного элемента а Е S рассмотрим подполуколь-ца L — Sa и R — aS в S. Покажем, что L удовлетворяет тождеству ху = х. Пусть х = иа, у = va, где u,v Е S. Тогда ху = uava = u(ava) на = х. Аналогично, на R тождественно ху = у.

Проверим, что S = L х R. Рассмотрим отображение / : S —»■ L х R, заданное формулой f(x) = (ха,ах). Отображение / является гомомор-

физмом полуколец, так как для любых х,у G S :

f(x)f(y) = (ха, ах)(уа, ау) = (хауа,ахау) = = (ха, ау) = (хуа, аху) = f(xy); /(®) + f(y) = (ха, ах) + (уа, ау) = = (ха + уа, ах + ау) = ((ж + у)а, а(х + у)) = f(x + у).

Чтобы установить взаимную однозначность / достаточно показать, что существует обратное к / отображение. Рассмотрим отображение g : L х R —У S, определенное равенством: д(((ха, ау)) = ху для любых х G L, у G R. Тогда

f(g((xa,ay))) = f(xy) = (ха,ау),

то есть / о g — тождественное отображение на L х R.

С другой стороны,

g(f(x)) = д((ха, ах)) = хх = х,

то есть g о f — тождественное отображение на S. Лемма доказана.

Обозначим через L (через L') двухэлементное полукольцо с тождеством ху = х (ху = у). Заметим, что полугруппы с тождеством ху = х (ху — у) суть полугруппы левых (правых] нулей.

Лемма 6. В произвольной полурешетке {S, +} различные элементы а иЬ разделяются двухклассовой конгруэнцией, классы которой Р uQ являются подполурешетками в S, причем класс Р обладает свойством Р +S СР.

Доказательство. Зададим на S умножение следующим образом: х • у — х + у для любых х,у G S Нетрудно видеть, что алгебра (S, +, •) является идемпотентным дубль-полукольцом. По теореме А существует простой идеал Р, разделяющий элементы а и Ь. Через Q обозначим множество S\P. По свойству (3) леммы 4 разбиение Р = {Р, Q} является конгруэнцией на дубль-полукольце S. В силу простоты идеала Р, и + v — uv G Q для любых u,v G Q. Поэтому Q является подполуколь-цом в дубль-полукольце S. Кроме того, P + S = P- SQP.

Предложение 3. Любое полукольцо с тождеством ху = х (ху = у) является подпрямым произведением семейства полукольца L (соответственно, L'y.

Доказательство. По лемме 5 полукольцо S изоморфно прямому произведению полукольца L с тождеством ху — х и полукольца R с тождеством ху = у. Конгруэнция Р = {Р, Q} на полурешетке (L, +)

будет конгруэнцией и на полукольце L. Для полукольца L имеем L/P = L. В силу леммы б полукольцо L является подпрямым произведением полуколец L = L/P. Аналогично, R будет подпрямым произведением полуколец L'.

Следствие 5. Многообразие полуколец с тождеством ху = х (ху = у) порождается тнгруэнц-простым полукольиомЪ (соответственно. V).

Из леммы 5 и предложения 3 вытекает

Теорема 4. Произвольное прямоугольное полукольцо S является подпрямым произведением конгруэнц-простых полуколец L и L'.

Следствие 6. Многообразие прямоугольные: полуколец порождается полукольцами L и L'.

Исправления к статье [2]. К сожалению, в предыдущей статье авторы допустили неточности, которые следует исправить. В примерах должно быть: в примере 2.1 полукольцо содержит 40 элементов, в 2.2 существует 15 полуколец, в 2.4 полукольцо имеет 9 элементов, В примере 3 указана ассоциативная система, не являющаяся полукольцом. В примере 4 полугруппа А, полукольца Т и S конечны. Это следует из того, что любая конечнойорожденная идемпотентная полугруппа конечна [11, Corollary]. Поэтому теорема 7 должна формулироваться следующим образом: свободное мультипликативно идемпотентное полукольцо с множеством X свободных образующих конечно тогда и только тогда, когда множество X конечно.

Литература

1. Биркгоф Г. Теория решеток / Пер. с англ. М.: Наука, 1984■ 568 с.

2. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Полукольца с идемпотентным

умножением // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика.. Механика. Информатика. 2011. № Ц. С. 21-S2.

3. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Свойства мультипликативно ндемпотентных полуколец // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия «Естественные, технические и медицинские наукт. 2012. №6. Ч. 2. С. 60-68.

4. Гретцер Г. Обшая теория решеток / Пер, с англ, М.: Мир. 1982. 456 с.

5. Лукин М. А. Об одной универсальной конгруэнции на полукольцах // Проблемы современного математического образования в вузах и школах России: материалы V Всеросс. научно-практ. конф. Киров, 2012. С. S12-316.

6. Петров А. А. Один класс мультипликативно гщемпотентных полуколец // Алгебра и комбинаторика: тезисы Междунар. конф., поев. 60-летию А. А. Махнева. Екатеринбург, 2013, С. 131-132.

7. Чермных В. В. Функциональные представления полуколец. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. 224 с.

8. Ghosh S. A characterization of semirings which are subdirect products of a distributive lattice and a ring // Semigroup forum. 1999. V. 59. P. 106-120.

9. Guzman F. The Variety of Boolean semirings // Journal of Pure and Applied Algebra, 1992. V. 78. P. 253-270.

10. Kimura N. The structure of idempotent semigroups // Pasific J. Math., 1958. V. 8. MS. P. 257-275.

11. McLean D. Idempotent semigroups // Amer. Math. Monthly, 1954■ V. 61. №2. P. 110-113.

12. Stone M. Applications of the theory of Boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. V. 41. #5. P. 375-481.

Summary

Vechtomov E. M., Petrov A. A. Multiplicative idempotent semirings with identity x + 2xyx = x

In this paper we study the structural properties of multiplicatively idempotent semirings with identity x + 2xyx = x. This class of semirings contains Boolean rings, distributive lattices, rectangular semirings. Keywords: semiring, distributive lattice, idempotency, congruence, prime ideal.

Вятский государственный гуманитарный университет

Поступила 03.06.2013