Идеалы и конгруэнции циклических полуколец Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 1 (22). 2017

УДК 512.55

ИДЕАЛЫ И КОНГРУЭНЦИИ ЦИКЛИЧЕСКИХ

ПОЛУКОЛЕЦ

Е. М. Вечтомов1, И. В. Орлова

Изучаются идеалы и конгруэнции циклических полуколец как с коммутативным, так и с некоммутативным сложением. Ключевые слова: полукольцо, полуполе, циклическое полукольцо, идеал, отношение эквивалентности, конгруэнция.

1. Исходные определения и обозначения

Полукольцом называется алгебра (Б, +, •) с операциями сложения + и умножения •, такими, что (Б, +) и (Б, •) — полугруппы и умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон.

В полукольце Б может существовать нейтральный по сложению элемент 0, обладающий свойством мультипликативности (т. е. х • 0 = = 0 • х = 0 для любого х Е Б), называемый нулем.

Полукольцо Б с тождеством х + х = х называется идемпотентным, в противном случае — неидемпотентным.

Сложение в полукольце назовем левым сложением (правым сложением) , если в нем тождественно х + у = х (х + у = у).

Полутелом называется полукольцо, являющееся группой по умножению; коммутативное полутело называется полуполем.

Циклическим полукольцом называется полукольцо Б с единицей 1, если в Б существует образующий элемент а =1, такой, что каждый ненулевой (если 0 Е Б) элемент из Б является его неотрицательной целой степенью.

1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ, «Полукольца и их связи», проект 1.5879.2017/БЧ.

© Вечтомов Е. М., Орлова И. В., 2017.

Понятие циклического полукольца введено в [2]. В докладе [3] дан краткий обзор теории циклических полуколец, развитой в работах [1,4,5].

Учитывая предложения 1 и 2 [4], будем рассматривать циклические полукольца без нуля.

Мультипликативная полугруппа циклического полукольца Б является циклической. Любая циклическая (моногенная) полугруппа с единицей 1 изоморфна или аддитивной полугруппе чисел N0, или некоторому циклу с хвостом (возможно, пустым) [7, с. 65].

Строение бесконечных циклических полуколец с коммутативным сложением известно [2, теорема 4, с. 27]. Именно Б изоморфно одному из двух аддитивно идемпотентных числовых полуколец со сложением тах и обычным умножением •: полукольцу {2п : п £ N0}и{0} или полукольцу {1/2п : п £ М0} и {0}.

Бесконечные циклические полукольца с некоммутативным сложением имеют либо левое, либо правое сложение [4, теорема 1, с. 37].

Циклическую полугруппу {1, а, а2,... , ак,... , ак+п-1}, в которой ак+п = ак, где к £ М0, п € N назовем полугруппой типа (к,п).

Полукольцо Б с такой мультипликативной циклической полугруппой будем называть циклическим полукольцом типа (к,п).

Множество {1, а, а2,..., ак-1} называется хвостом полукольца Б в случае к ^ 1, множество С = {ак, ак+1,..., ак+п-1} - его циклом.

Элемент ак в циклическом полукольце Б = (а) типа (к, 1), т. е. в полукольце с тривиальным циклом, назовем поглощающим элементом полукольца Б.

Полутело назовем циклическим, если оно является циклическим полукольцом. Циклическое полутело есть (циклическое) полуполе.

Непустое подмножество I полукольца Б называется идеалом в Б, если для любых а, Ь £ I и в £ Б элементы а + Ь, за, аз £ I.

Конгруэнцией на полукольце Б называется отношение эквивалентности р на Б, которое сохраняет полукольцевые операции:

арЬ и ср^ ^ (а + с)р(Ь + и (ас)р(М) для любых а, Ь, с, ^ £ Б.

На любом полукольце Б можно задать две тривиальные конгруэнции: нулевую конгруэнцию 0, представляющую собой отношение равенства, и единичную конгруэнцию 1, являющуюся одноклассовой конгруэнцией.

Некоторые результаты статьи анонсированы в [6].

2. Идеалы циклических полуколец

В данном параграфе описаны все идеалы циклических полуколец как с коммутативным, так и с некоммутативным сложением.

Предложение 1. Множества вида Л5 = (а5,...,ак,...,ак+га-1}; где в ^ к, циклического полукольца Б = (а) типа (к, п) и только они являются идеалами в Б. В частности, при в = к множество Л5 = Лк = С и оно является наименьшим идеалом в Б.

Доказательство. Пусть Л5 = (а5,... , ак,... , ак+га-1} для некоторого в ^ к. Очевидно, что множество Л5 выдерживает умножение на элементы полукольца Б. В случае Б = С имеем Л5 = Лк = С = Б, и очевидно, что Л5 замкнуто относительно сложения. Пусть теперь Б = С, аг и а* - произвольные элементы множества Л5 и аг + а* = а9. Тогда по предложениям 5-7 [1] и лемме 5 [5] имеем д ^ шт(г, £} и Л5 замкнуто относительно сложения. Таким образом, множество Л5 - идеал в Б.

Пусть I - идеал в Б и в - наименьшее неотрицательное целое число (можно считать, что в ^ к + п — 1), такое, что а5 Е I. Тогда а* = а*-5 • а5 Е I для любого £>в. Также имеем ак = ак+га-5 • а5 Е I. Учитывая минимальность в, получаем в ^ к. При в < к идеал I = (а5,..., ак,..., ак+га-1}, а при в = к идеал I = (ак,..., ак+га-1} = = Л5 = С и является наименьшим идеалом в Б. Таким образом, идеал I имеет вид множества Л5. □

Следствие 1. Множества Б = Л0 Э Л1 Э ... Э Лк-1 Э Лк = С образуют цепь всех идеалов циклического полукольца Б = (а) типа (к, п).

Следствие 2. Конечное циклическое полуполе не имеет собственных идеалов.

Предложение 2. Множества вида Л5 = (а5, а5+1,...}, где в ^ 0, бесконечного циклического полукольца Б = (а) и только они являются идеалами в Б.

Доказательство. Пусть Л5 = (а5, а5+1,...}, где в ^ 0. Очевидно, что множество Л5 выдерживает умножение на элементы полукольца Б. Как в случае коммутативного сложения в Б (теорема 4 [2]), так и в случае некоммутативного сложения в Б (теорема 1 [4]), сумма двух произвольных элементов Б равна одному из этих элементов. Следовательно, Л5 замкнуто относительно сложения. Таким образом, Л5 - идеал в Б.

Пусть I - идеал в Б и в - наименьшее неотрицательное целое число, такое, что а5 Е I. Тогда а* = а*-5 • а5 Е I для любого £ > в. То есть I = (ав,ав+1,...} = Лв. □

Следствие 3. Множества Б = Л0 Э Л1 Э ... Э Лп Э ... образуют, цепь всех идеалов бесконечного циклического полукольца Б = (а).

3. Конгруэнции на циклических полукольцах

В этом параграфе выяснено строение конгруэнций на циклических полукольцах.

Замечание 1. Заметим, что любая подгруппа (cd) циклической группы C = (с) порядка n образует класс некоторой конгруэнции p:

crpcri ^^ r — ri = 0 (mod d), где d - делитель n. (1)

Лемма 1. Конгруэнция, заданная на мультипликативной группе циклического полуполя, является полукольцевой конгруэнцией.

Доказательство. Обозначим через pd конгруэнцию на мультипликативной группе циклического полуполя C = (с) порядка n, заданную формулой (1). Пусть |C +1| = m, |1 + C| = h, 1 = hi + mj для некоторых чисел i,j G Z. Покажем, что pd сохраняет сложение.

Пусть crpdcri и cspdcsi, где r, r1, s, s1 G N0. Тогда по предложению 2 [5] получаем:

cr + cs = chri+msj+un, где u G Z, cri + csi = chrii+msij+vn, где v G Z.

Имеем (hr1i + ms1j + vn) — (hri + msj + un) = hi(r1 — r) + mj(s1 — s) + +n(v — u). Поскольку d является делителем n, из формулы (1) следует (cr + cs)pd(cri + csi). □

Пусть S = (a) - циклическое полукольцо. Рассмотрим произвольные числа t G N0 и d G N. Обозначим через p(t,d) отношение эквивалентности, заданное на S формулой: для любых r, s G N0

arp(t, d)as ^ (r = s < t или (r ^ t,s ^ t и r = s (mod d))).

То есть «до» элемента a* отношение p(t, d) является отношением равенства, а «начиная» с элемента a* - отношение p(t, d) удовлетворяет формуле (1).

Лемма2. Отношение p(t,d), заданное на циклическом полукольце S = (a) типа (k, 1), является отношением p(t, 1).

Доказательство. По определению отношения p(t, d) для любых r ^ t и q G N имеем arpar+qd. Рассмотрим такое q, что r + qd ^ k, то есть ar+qd = ak. Таким образом, для любого r ^ t выполняется arpak. Тогда aipai+1p... pak. Поэтому d =1 и p = p(t, 1). □

Лемма3. Отношение эквивалентности p(t,d), где t G N0 и d G N, заданное на конечном циклическом полукольце, является конгруэнцией.

Доказательство. Пусть p(t, d) - отношение эквивалентности, заданное на полукольце S = (а) типа (k, n), |C + e| = m, |e + C| = h, e -единица цикла C, 1 = hi + mj для некоторых i, j £ Z.

Покажем, что p(t, d) сохраняет операции сложения и умножения. Пусть arp(t,d)ari и asp(t,d)asi, где r, ri,s,si £ No.

Если r = r1 и s = si, то сохранение операций сложения и умножения очевидно.

Пусть хотя бы одно из равенств r = r1 и s = s1 не выполняется. Не теряя общности, будем считать, что r = r1. Тогда по определению отношения p(t, d) имеем r ^ t, r1 ^ t, r1 — r = 0 (mod d). Отметим, что s1 — s = 0 (mod d) в любом случае. Тогда r + s ^ t, r1 + s1 ^ t, (r1 + s1) — (r+s) = 0 (mod d), откуда (aras)p(t, d)(ari asi). Таким образом, операция умножения сохраняется.

Проверим сохранение операции сложения. Обозначим aq = ar + as, aqi = ari + asi.

Пусть сложение в S коммутативно. По предложению 3 [1] имеем п =1 (поэтому e = ak), тогда по лемме 2 отношение p(t,d) «склеивает» все элементы, начиная с элемента а*. По предложению 5 [1] в S возможен только один из следующих случаев: : (а) 1 + ak = 1 или (б) 1 + ak = ak. В случае (а) по предложениям 1 и 6 [1] при равенстве s = s1 получаем aq = amin(r's) = as, aqi = amin(ri'si) = asi, поэтому aqp(t, d)aqi; при s = s1 верно s^t и s1^t, тогда q = min(r, s)^t и q1 = min(r1, s1)^t, поэтому aqp(t,d)aqi. В случае (б) по предложению 7 [1] имеем q ^ max(r, s) ^ r ^ t и q1 ^ max(r1,s1) ^ r1 ^ t. Следовательно, aqp(t,d)aqi.

В некоммутативном случае по лемме 3 [5] имеем ar+as = ahri+msj+ura, где u £ Z, ari + asi = ahrii+msij+vn, где v £ Z. В случае левого (правого) сложения в S сохранение операции сложения очевидно. Если сложение в S не левое и не правое, то по лемме 5 [5] hri+msj+un ^ t и hr1i+ms1j+ +vn ^ t. Составим разность показателей степеней hi(r1 — r) + mj(s1 — — s) + n(v — u). Все слагаемые разности делятся на d, следовательно, (ar + as)p(t, d)(ari + asi). Итак, сохраняется и операция сложения.

Таким образом, отношение p(t,d) является конгруэнцией. □

Лемма 4. Любая конгруэнция на циклическом полукольце типа (k,n) является отношением вида p(t,d), где 0 ^ t ^ k, d - делитель числа п.

Доказательство. Пусть р - конгруэнция на циклическом полукольце S = (а) типа (k,n). Если р является нулевой конгруэнцией, то р = р(к, п).

Пусть р - ненулевая конгруэнция, t £ N0 и d £ N - наименьшие числа, такие, что . Рассмотрим произвольные r и s, такие, что

r ^ t, s ^ t, r — s = 0 (mod d). Не теряя общности, полагаем s = r + qd для некоторого q G N0.

Поскольку a4pai+d и ar-tpar-t, то arpar+d. Таким образом, отношение arpar+qd имеет место для q = 1. Пусть указанное отношение верно для любого q. Тогда для q +1 имеем:

arpar+qd,adpad ^ ar+dpar+(q+1)d, arpar+d, ar+dpar+(q+1)d ^ arpar+(q+1)d.

То есть, arpas. Таким образом, имеем d различных классов конгруэнции p: [a*], [at+1],... , [ai+d-1]. Очевидно, что arpas ^ r — s = 0 (mod d).

Итак, если r ^ t и s ^ t, то (arpas ^ r — s = 0 (mod d)).

Заметим, что имеет смысл рассматривать t ^ k+n—1. Если n = 1, то t ^ k. Рассмотрим n > 1. Имеем a4pai+d, afc+n-ipafc+n-i, откуда akpafc+d. В силу минимальности t получаем t ^ k. Таким образом, 0 ^ t ^ k.

Имеем a4pai+d, afc-ipafc-i, откуда akpafc+d. Поскольку, элементы ak и ak+d принадлежат циклу C, который является циклической группой, то по замечанию 1 число d является делителем n.

В итоге p = p(t, d), где 0 ^ t ^ k, d - делитель числа n. □

Замечание 2. Учитывая лемму 4, числа t и d в случае конечного циклического полукольца S можно минимизировать. Пусть S имеет тип (k,n), тогда отношение эквивалентности на S для произвольных t G N0 и d G N:

) p(t, (d, n)), если t ^ k,

p(t, d) =

I p(k, (d, n)), если t > k.

Таким образом, будем считать, что 0 ^ t ^ k, d - делитель числа n.

Замечание 3. Пусть S - циклическое полукольцо типа (k, n). Тогда единичную конгруэнцию на S можно записать в виде 1 = p(0,1), а нулевую - 0 = p(k,n). Если n = 1, то произвольная конгруэнция на S является отношением p(t, 1) для некоторого 0 ^ t ^ k.

Суммируя леммы 3 и 4, получаем следующий результат.

Предложение3. Отношения вида p(t,d), где 0 ^ t ^ k, d - делитель числа n, заданные на любом циклическом полукольце S типа (k,n), и только они являются конгруэнциями на S.

Отсюда вытекает

Предложение 4. Решетка всех конгруэнций на циклическом полукольце типа (k,n) изоморфна прямому произведению (k + 1) - элементной цепи k < k — 1 < ... < 1 <1 0 и дистрибутивной решетки натуральных делителей числа n с операциями НОК и НОД (т. е. с

Рис. 1. Решетка конгруэнций циклического полукольца типа (2, 6)

отношением «делится»). Значит, число конгруэнций на циклическом полукольце типа (k,n) равно (к + 1)т(п), где т(п) - число натуральных делителей числа n.

Замечание 4. Порядок С на решетке всех конгруэнций следующий:

р(М) С р(^, d') ^^ ((t ^ t') и (d. d')).

Пример 1. Пусть S = (а) - циклическое полукольцо типа (2, 6). По предложению 4 решетка всех конгруэнций на S изоморфна прямому произведению цепи 2 <1 1 <1 0 и дистрибутивной решетки натуральных делителей числа 6. На рис. 1 изображена решетка всех конгруэнций на циклическом полукольце типа (2,6).

Замечание 5. Отношение эквивалентности р(то, 1), заданное на бесконечном циклическом полукольце с коммутативным сложением, будем считать нулевой конгруэнцией.

Лемма5. Отношение эквивалентности р(^ 1), где t £ N0 U {то}, заданное на бесконечном циклическом полукольце с коммутативным сложением, является конгруэнцией.

Доказательство аналогично доказательству леммы 3. □

Лемма 6. Любая конгруэнция на бесконечном циклическом полукольце с коммутативным сложением является отношением вида р(^ 1), где t £ N0 U {то}.

Доказательство. Пусть р - конгруэнция на бесконечном циклическом полукольце S = (а) с коммутативным сложением. Если р - нулевая конгруэнция, то р = р(то, 1)

Пусть р = 0 и t £ N0 и d £ N - наименьшие числа, такие, что Тогда а*верно для любого q £ N0 (см. доказательство леммы 4). Очевидно, что агра5 ^ r — s = 0 (mod d).

Тогда из a4pai+2d и ai+1pai+1+d следует (a* + ai+1)p(ai+2d + at+1+d). По теореме [2, теорема 4, с. 27] сложение в S является сложением max, следовательно, ai+1pai+2d, откуда (t + 2d) — (t + 1) = 0 (mod d) и 1 = 0 (mod d). Следовательно, d =1 и p = p(t, 1). □

Предложение 5. Отношения вида p(t, 1), где t G N0 U {то}, на любом бесконечном циклическом полукольце с коммутативным сложением и только они являются конгруэнциями.

Доказательство следует из лемм 5 и 6. □

Следствие 4. Все конгруэнции на бесконечном циклическом полукольце S = (а) с коммутативным сложением образуют цепь:

1 = p(0, 1) Э p(1,1) Э p(2,1) Э ... Э p(n, 1) Э ... Э р(то, 1) = 0.

Лемма 7. Отношение эквивалентности p(t,d), где t G N0 и d G N, заданное на бесконечном циклическом полукольце с некоммутативным сложением, является ненулевой конгруэнцией.

Доказательство аналогично доказательству леммы 3. □

Лемма 8. Любая ненулевая конгруэнция на бесконечном циклическом полукольце с некоммутативным сложением является отношением вида p(t, d), где t G N0, d G N.

Доказательство аналогично доказательству леммы 4. При этом p(0, 1) = 1. □ Предложение 6. Отношения вида p(t,d), где t G N0 и d G N, на любом бесконечном циклическом полукольце S с некоммутативным сложением и только они являются ненулевыми конгруэнциями на S. Причем

p(t,d) С p(t', d') ^^ ((t ^ t') и (d . d')).

Доказательство следует из лемм 7 и 8. □

Предложение 7. Решетка всех конгруэнций на бесконечном циклическом полукольце Б с некоммутативным сложением изоморфна прямому произведению цепи неположительных натуральных чисел: ... <1 п < п — 1 <1 ... <1 1 <1 0, и дистрибутивной решетки всех натуральных чисел с операциями НОК и НОД, с присоединенным наименьшим элементом 0.

По предложению 6 и теореме 1 [4] имеем

Следствие 5. Фактор/полукольцо бесконечного цикличе-

ского полукольца с некоммутативным сложением является конечным циклическим полукольцом типа (¿, d) с левым или правым сложением.

Замечание 6. Любое циклическое полукольцо типа (к, 1) с некоммутативным сложением является факторполукольцом бесконечного циклического полукольца с некоммутативным сложением. Но не любое циклическое полукольцо типа (к,п), где п ^ 2, является факторполуколь-цом бесконечного циклического полукольца с некоммутативным сложением.

Пример 2. Бинарное отношение заданное на циклическом полукольце Б = (а) = С типа (к, п) следующей формулой:

является конгруэнцией р(к, 1). Отношение ~ «склеивает» элементы цикла С в один класс, а каждый из остальных элементов полукольца Б образует одноэлементный класс. Факторполукольцо Б/~ также является конечным циклическим полукольцом с поглощающим элементом

Пример 3. Рассмотрим отношение р, заданное на идемпотентной аддитивной полугруппе (Б, +) идемпотентного циклического полукольца Б = (а) с некоммутативным сложением следующим образом:

Отношение р является конгруэнцией [8].

Предложение 8. Конгруэнция р, заданная формулой (2) на циклическом полукольце Б типа (к, п) с идемпотентным некоммутативным сложением, в случае левого (правого) сложения в Б является единичной конгруэнцией р(0,1), в остальных случаях является конгруэнцией р(к, 1) при к € N.

Доказательство. Пусть Б = (а) - циклическое полукольцо типа (к, п) с идемпотентным некоммутативным сложением и циклом С.

Если сложение в Б левое (правое), то для любых элементов х,у € Б выполняется х + у + х = х и у + х + у = у, откуда жру и р = р(0,1).

Пусть сложение в Б не левое и не правое. По теореме 2 [4] и лемме 5 [4] для любых элементов х, у € С верно хру. Следовательно, конгруэнция р «склеивает» элементы цикла С в один класс.

Пусть для некоторых х = аг и у = а5, г = 5, выполняется хру и х € С (поэтому по предложению 4 [4], замечанию 3 [4] и лемме 9 [4] имеем у € С). Тогда г < к и аг + а5 + аг = аг. Можно считать, что г < 5. Обозначим аг + а5 = а*. Тогда аг(1 + а5-г) = а*. Если £ = г, то 1 + а5-г = 1 и по лемме 4 [5] сложение в Б левое; противоречие. В случае £ > г имеем а* + аг = аг (а*-г + 1) = аг, откуда аг-г + 1 = 1 и по лемме 4 [5]

х ~ у ^ (х, у € С или х = у),

хру ^ (х + у + х = х и у + х + у = у).

(2)

сложение в Б правое; противоречие. В случае £ < г получаем, что Б -полуполе, что невозможно.

Следовательно каждый из элементов хвоста полукольца Б образует одноэлементный класс и р = р(к, 1). □

Список литературы

1. Бестужев А. С., Вечтомов Е. М. Циклические полукольца с коммутативным сложением // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Математика. Механика. Информатика. 2015. Вып. 1(20). C. 8-39.

2. Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: ВГПУ, 2000. 44 с.

3. Вечтомов Е. М., Бестужев А. С., Орлова И. В. Строение циклических полуколец // IX Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий», ЭКОМОД - 2016 : сборник материалов конференции. Киров: Изд-во ВятГУ, 2016. С. 21-30.

4. Вечтомов Е. М., Лубягина (Орлова) И. В. Циклические полукольца с идемпотентным некоммутативным сложением / / Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т. 17. Вып. 1. С. 33-52.

5. Вечтомов E. М., Орлова И. В. Циклические полукольца с неидемпотентным некоммутативным сложением // Фундаментальная и прикладная математика. 2015. Т. 20. Вып. 6. C. 17-41.

6. Орлова И. В. Идеалы и конгруэнции циклических полуколец с некоммутативным сложением // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество, 2015. Т. 52. С. 118-120.

7. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. М.: Наука, 1986. 240 с.

8. Brown T. Lazerson E. On finitely generated idempotent semigroups // Semigroup Forum. 2009. Vol. 78. Iss. 1. P. 183-186.

ВятГУ

Поступила 15.03.2017

Summary

Vechtomov E. M., Orlova I. V. Ideals and congruences of cyclic semirings

In this paper we study ideals and congruences of cyclic semirings with commutative and non-commutative addition.

Keywords: semiring, semifield, cyclic semiring, ideal, equivalence relation, congruence.

References

1. Bestuzev A. S., Vechtomov E. M. Cyclic Semirings with Commutative Addition, Bulletin of Syktyvkar State University. Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, edition 1 (20), 2015, pp. 8-39.

2. Vechtomov E. M. Introduction to Semirings, Kirov: VGPU, 2000, 44 p.

3. Vechtomov E. M., Bestuzev A. S., Orlova I. V. The Structure of Cyclic Semirings, IX Vserossiiskaya nauchnaya conferenciya «Ma-tematicheskoe modelirovanie razvivausheysya ekonomoki, ekologii i tehnologii», EKOMOD - 2016: Sbornik materialov conferencii, Kirov: Izdatelstvo VyatGU, 2016, pp. 21-30.

4. Vechtomov E. M., Lubyagina (Orlova) I. V. Cyclic Semirings with Idempotent Noncommutative Addition, Fundamentalnaya i Prik-ladnaya Matematika, 2011/2012, t. 17, vyp. 1, pp. 33-52.

5. Vechtomov E. M., Orlova I. V. Cyclic Semirings with Nonidempo-tent Noncommutative Addition, Fundamentalnaya i Prikladnaya Matematika, 2015, t. 20, vyp. 6, pp. 17-41.

6. Orlova I. V. Ideals and Congruences of Cyclic Semirings with Noncommutative Addition, Trudi Matematiteskogo Centra imeni N. I. Lobachevskogo, Kazan: Kazanskoe matematicheskoe obshestvo, 2015, t. 52, pp. 118-120.

7. Skornyakov L. A. Elements of Algebra, M.: Nauka, 1986, 240 p.

8. Brown T. Lazerson E. On Finitely Generated Idempotent Semigroups, Semigroup Forum, 2009, vol. 78, iss. 1, pp. 183-186.

Для цитирования: Вечтомов Е. М., Орлова И. В. Идеалы и конгруэнции циклических полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 1 (22). C. 29-40.

For citation: Vechtomov E. M., Orlova I. V. Ideals and congruences of cyclic semirings, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №1 (22), pp. 29-40.