О конечных циклических полукольцах с неидемпотентным сложением Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 16.2012

УДК 512.55

О КОНЕЧНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОЛУКОЛЬЦАХ С НЕИДЕМПОТЕНТНЫМ НЕКОММУТАТИВНЫМ

СЛОЖЕНИЕМ

И. В. Орлова (Лубягина)

В работе конечные циклические полукольца с неидемпотент-ным некоммутативным сложением сведены к таким полукольцам с поглощающим элементом ж конечным циклическим полутелам (теорема 1). Изучаются конечные циклические полукольца с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом. Теоремы 2 и 4 дают необходимые условия на сложение в изучаемых полукольцах, а теорема 3 дает достаточное условие на сложение в мультипликативной циклической полугруппе, превращающее ее в циклическое полукольцо с неидемпотентным некоммутативным сложением. Теорема 5 является критерием для определения того, является ли конечная мультипликативная циклическая полугруппа с коротким хвостом и с заданным на ней сложением полукольцом.

Ключевые слова: полукольцо, полутело, циклическое полукольцо, неидемпотентное сложение, некоммутативное сложение.

1. Введение

Данная работа посвящена изучению строения конечных циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением. Строение бесконечных циклических полуколец с коммутативным сложением получено Е. М. Вечтомовым [1]. Бесконечные циклические полукольца с некоммутативным сложением имеют идсмпотсптпос сложение: левое или правое [2]. Изучение конечных циклических полуколец с коммутативным сложением ведется A.C. Бестужевым [3]. Конечные циклические полукольца с идемпотентным некоммутативным сложением описаны в работе [2]. В нашей статье рассматриваются конечные

(с) Орлова (Лубягина) И. В., 2012.

циклические полукольца с иеидемпотеитным некоммутативным сложением. Большое внимание уделяется конечным циклическим полукольцам с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хво-СТОМ (ТИП8. (к,п) при к п). Для Н ЕХОЖД6Н и я подобных полуколец небольшого порядка (п ^ 12) написана программа на языке Си.

2. Предварительные сведения

Полукольцом называется алгебра {¿>, +, •} с операциями сложения + и умножения •, такими, что (5, +} и: •} — полугруппы и: умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон. В полукольце 5 может существовать нейтральный по сложению элемент О, обладающий свойством мультипликативности (то есть г • 0 = и • г = 0 для любого х <Е Я), называемый нулем. Полукольцо 5 с тождеством х + х — х называется идемпотенгпным, в противном случае — неидемпотентным.

Циклическим полукольцом называется полукольцо ¿Г с единицей 1, если в существует образующий элемент а ф 1, такой, что каждый элемент из У является его неотрицательной целой степенью. Заметим, что бесконечные циклические полукольца идемпотентны [1, теорема 4], [2, теорема 1]. Учитывая предложения 1 и 2 [2], будем рассматривать циклические полукольца без нуля.

Циклическая (мультипликативная) полугруппа {1 ^ СЬ у (X у Т Г Г * (Х у г г г у ак+пв которой ак+п = ак, где к € Но, п Е N (мощность полу-группы |5| — к — п > 2), называется полугруппой типа (к, п). Полукольцо с мультипликативной полугруппой типа (к,п) называется полукольцом типа (к, п). В дальнейшем множество {1, а, а2,,.,, ак^1} называется хвостом, полукольца 5 в случае к ^ 1, множество С — {ак, ак+1,ак+п— его циклом. По теореме 2 [2] цикл С полукольца Б является циклическим полутелом с единицей е = ап1 и образующим элементом с — ап1+1 для некоторого I <Е такого, что п1 ^ к > п(1 — 1).

По теореме Вейнерта любое конечное полутело С = (С+ е) х (е + С), где С + е — подполутело в С с левым сложением, е + С — подполутело в С с правым сложением. Поскольку циклическая группа С порядка п раскладывается в прямое произведение двух групп С I с и с I С порядков т а ¡1 соответственно, то эти группы являются циклическими, их порядки взаимно просты (га, К) = 1, ш < к = п, С + е = (сн), е + С = (ст).

По предложению 3 [2] сложение в конечном циклическом полутеле С — (с) осуществляется по формуле (для любых туь Ы2, ггу2 С М):

сЫ\+т]1 сЫ2+т]г _ сЫг+т}2

Пусть произвольные числа г, s G N0 имеют разложения:

г = hii + mji, s = hi2 + mj2.

(1)

для некоторых ¿1,^1, ¿2^2 € Ж.

Обобщим правило сложения в конечном циклическом полутеле С =

(с)» я ¡л.юбЫX 1 N0 БЫПОЛНЯ6ТСЯ

В циклических полукольцах типа (к. п) с неидемпотентным некоммутативным сложением к ^ 1, поскольку в случае к = 0 получаем полутело, которое всегда идемпотентно [2, лемма 4].

Ранее с помощью системы Maple для математических вычислений нами были найдены конечные циклические полукольца с неидемпотентным некоммутативным сложением небольшого порядка [2]. Они достаточно многочисленны и разнообразны. Например, таких полуколец с поглощающим элементом с точностью до изоморфизма: 4 порядка 4, 28 по^ядкэ» 5? 1по^ядкэ» О*

3. Общие свойства конечных циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением

Пусть S = (а) — циклическое полукольцо типа (к, п) с неидемпотентным сложением (если не оговорено противное).

Лемма 1. В S — (а) выполняется 1 +1 — апъ для некоторого натурального числа, г. В частности7 если k rno 1 + 1 — ап G С.

Доказательство. В силу идемпотентности сложения в конечных полутелах [2] имеем anl+anl — anl, где nl ^ к > n(l — 1). Тогда ап|(1+1) — ап17 откуда 1 + 1 — апг для некоторого натурального г. □

Замечание 1*- Если в S —■■ {а) выполняется 1 1 = о * то ело-жение в S коммутативно. Действительно, если 1 + 1 = а, то для любого натурального г элемент аг — (1 + 1)г — 1 + ... + 1, откуда

1 + of = 1 + ... I I = аг + 1, то есть сложение в S коммутативно.

Лемма 2. В Б = (а) с некоммутативным сложением не выполняется ни одно из равенств 1 + ап! — 17 а"'1 + 1 — 17 где п1 ^ к > п{1 — 1).

Доказательство. Пусть 1 I а"г = 1 в 6'. Имеем 1 | 1 = аг для некоторого натурального г. Тогда по лемме 7 [2] выполняется ап1 + 1 = 1,

cr + cs = с1, где t = hii + mj2(mod п).

(2)

2Ч1

По предложению 4 [2] случай 1 + ап1 — ап1 +1 — 1 невозможен (приводит к коммутативности сложения). □

Лемма 3. В Я — (а) с некоммутативным сложением выполняется 1 + ап1 = ап1 + 1 = ап17 где п1 > к > п(1 - 1).

Доказательство. Утверждение леммы следует из предложения 4 [2] и леммы 2, _)

Лемма 4. В 8 = (а) с некоммутативным сложением, для любых г < к и 8 < к выполняется

аг + ая — агу где Ь > тах{г, в}. (3)

Доказательство. Пусть г < ку $ < к ж аг + а8 — а4.

В случае г — $ — 0 получаем t > тах{г, в} в силу неидемпотентности

сложения в ¡5

Рассмотрим случай г = 0и.0фз<к. Пусть £ < тогда, домножая равенство 1 + а8 — а* на ак~а, получаем ак~8 + ак — ак 11 8 ^ С. С другой стороны, по лемме 3 и лемме 9 [2] имеем ак~* + ак € С. Противоречие. Таким образом, t ^ 5.

Пусть •>• - наименьшее натуральное число такое, что 1 + а8 — а8. Добавляя слева к последнему равенству элемент 1 и используя лемму 1, получаем ат + а8 = а8 для некоторого натурального г. В случае пг — в противоречие с неидемпотентностью сложения. Если пг < 5, то аш( 1 + а8^пг) = а8, откуда 1 + а*-™' = а8^т и получаем противоречие с наименыпестью 5. Если пг > в, то а8(ат^8 +1) = а8, откуда + 1 = 1 и по лемме 7 [2] выполняется ап! + 1 — 1, противоречие с леммой 3. Следовательно, 1 + а8 ф а8 ни для какого $ <ку то есть t ф $.

Таким образом, для г — 0 и ф 0 выполняется t > $ и. утверждение леммы верно.

Аналогично, оно верно и для г^0и5 = 0.

Пусть г / О а •>• / 0. Тогда, учитывая вышеприведенные доказательства, в случае г ^ э верно аг + а8 = аг( 1 + = а*, где t > з; в случае г > $ выполняется аг + а8 — а5(аг_я — Г) — а4, где I > г.

Итак, для любых г < кжв' < к имеем аг+а8 = а4, где t > тах{г, я}. □

Замечание 2, Утверждение леммы 4 верно и в случае, когда г ^ к или з ^ к. Действительно, по лемме 3 и: лемме 9 [2] имеем t ^ к. Поскольку £ можно сделать сколь угодно большим, добавляя к нему число п до тех пор, пока оно не превысит г к в, можно считать, что t > тах{г, з}.

Лемма 5- В S — (а) с некоммутативным сложением для любых г, s € No выполняется:

ar + of — а*', где t = hii + mj2(modn). (4)

Доказательство. Пусть r,s £ No — произвольные числа, имеющие разложения (1). По правилу сложения (2) в цикле С имеем:

anl(^ar aS) _ g{nl+l)(hii+rnji) g{nl+l)(hi2+mj2) _ a(nl+l)(hii+mj2)

откуда получаем утверждение леммы. □

Лемма 6. В циклической полугруппе S — (а) типа (к,п) со сложением, заданным правилами (3) и (4) и удовлетворяющим правилу (для любых г и s: 0 ^ г ^ к + п — 1; 0 ^ s ^ к + п — 1):

IV(1 + as-r), при r^s7

а +а ~~ 1 si r-s , 14 V5/

I о (а +1), иначе,

умножение дистрибутивно относительно сложения.

Доказательство. Докажем, что для любых г, s, t € N0 выполняется

ar(as + а- ar+s + ar+t.

Это равенство достаточно доказать для s^k + n — lvit^k + n — 1. Обозначим oF — ar(as + at), aq — ar+s + ar+t. По правилу сложения (4) имеем р = q (mod п). Пусть к /.

Если г + s > к, то г +1 > к. Тогда ар — ar+s( 1 + е С, aq е С по правилу (3) и ар = aq.

В случае f + я < fcir + i ^ fc + n-1 равенство ar(as + аг) — ar+s + ar+t следует из правила сложения (5).

Если г + s < к и. г + t > к + п — 1, то р > г + t > к + п — 1 и ар 6 С. Элемент aq 6 С по правилу (3). Таким образом, ар — aq.

Аналогично, ДЛЯ -S* ^ ~t' 3 с\ ко н дистрибутивности выполняется. □

Лемма Т. В циклической полугруппе S =■ (а) типа (к,п) со сложением,, заданным правилами (3) и (4), выполняется:

(г ^ к или $ ^ к или t^ к) (аг + as) -j-a* — ar + (as + а1). □

Лемма 8- Сложение; заданное на циклической полугруппе Б — (а) типа (к,п) правилами (3) и (4) и удовлетворяющее правилу (5), превращает цикл С в полутело.

Доказательство. Замкнутость сложения в цикле С следует из правила сложения в дистрибутивность умножения относительно сложения - из леммы 6, ассоциативность сложения - из леммы 7. □

Аналогично рассмотренному в работе [2] отношению зададим бинарное отношение ~ на 5 формулой:

х г^ у ^ (х е С и у 6 С) или х — у.

Аналогично идемпотентному случаю выполняется

Лемма 9. Отношение ^ является конгруэнцией.

Достаточно воспользоваться леммой 3 и леммой 9 [2].

Отношение ~ «склеивает» элементы цикла С в один класс, а каждый из остальных элементов полукольца 5 образует одноэлементный класс, Факторполукольцо Я/ ^ является циклическим полукольцом с неидемпотентным некоммутативным сложением и поглощающим эле-М6НТОМ ] ^ *

Выясним условия, при которых из циклического полукольца 5' — (а) с неидемпотентным некоммутативным сложением и поглощающим элементом ак и циклического полутела С' порядка п можно построить циклическое полукольцо Б типа (к,п) с неидемпотентным некоммутативным сложением так, чтобы 5/ и {С, +, •} = (С, +, •).

Теорема 1. Пусть дани произвольные натуральные числа кип, произвольное циклическое полукольцо Зг = {1, а, о2,..., ак} с неидемпотентным некоммутативным сложением и поглощающим элементом ак7 некоторое циклическое полутело С = {е = с", с, с2,,,,, с"-1} порядка п, где |С + е\ = т,Т \е + С"| = И. Циклическое полукольцо 3 = (а) типа (к,п)Т факторполукольцо которого по конгруэнции ~ совпадает с полукольцом 5'. то есть Б/ а цикл С полукольца 5 изоморфен

полутелу С', то есть (С, +, •} = (С, +, ■), существует тогда и только тогда7 когда в вг для любых г, я е М0 выполняется условие:

</ + </ — а4, где I = Ы\ + т^2(тос1п), Ь > тах{г, ,в}. (6)

Доказательство. Пусть Я — (а) - циклическое полукольцо типа (к, п) с неидемпотентным некоммутативным сложением, в котором в/ 8Г и (С, +,•} — (С',+,-). По лемме 4, замечанию 2 и лемме 5 сложение

в S удовлетворяет условию (6). Из Sf S' следует, что условие (6) выполняется и в S'.

В обратную сторону. Пусть в Sf выполняется условие (6). Построим циклическое полукольцо типа (к,п) с неидемпотентным некоммутативным сложением, определив сложение в циклической полугруппе S — (а) типа (к, п) следующим образом. Суммы вида I + az к az 1, где z < к, положим равными соответствующим суммам в S', если те не равны ак. Остальные суммы того же вида определим по формулам (z — hi + mj):

1 + az — ap, где p = raj (mod n),p > z, az + 1 — aq, где q = hi (mod n),q > z.

Суммы остальных элементов полугруппы S зададим по правилу (5). Учитывая введенное на S сложение, условие (6) в S выполняется.

По лемме б умножение дистрибутивно относительно сложения.

Докажем ассоциативность сложения в S, то есть для любых натуральных г, s и t верно:

(ar + a8) + а* = ar + (as + а1).

Обозначим аР = (ar + as) + аг7 aq = аг + (as + а1). По условию (6) имеем р = g(modn).

Если г ^ к или $ ^ к или t ^ ку то по лемме 7 имеем ар — а4.

Пусть одновременно г < к, s < k7t < к. Если в S сумма (ат+as)+at £ С7 то в S' аналогичная сумма (ar + as) + at / ак. В силу ассоциативности сложения в полукольце Sr имеем ar + (as -(- ar) — (ar + as) + а* ф ак, следовательно, в S элемент ar + (as + а1) ^ С и в S также верно (аг + as) + ак = ar + (as + а*).

Если в S сумма (аг + as) + a1 G С 7 то в Sr имеем (аг + as) + а1 — ак. В силу ассоциативности сложения в Sr выполняется аг + (as + а1) — (ar + а8) + а* = ак, следовательно, в S элемент ar + (as + a1) G С, и в S верно (аг + as) + ак = ar + (as + а*).

Таким образом, S — циклическое полукольцо типа (к, п). По построению полукольца S имеем Sf S

Установим изоморфизм мультипликативных полугрупп:

а : {е - с", с, с2,..., с""1} {ак, ак+\ ак+2,..., ак+п-1}7 a(d) = аы+1)г Vi = 1,2,...,п.

Учитывая правило сложения (2) в полутеле С" и условие (6) в полу-

кольце S, получаем, что для любых г, s £ No:

Q,(cr cs"j =a(c/lil+mi2) = Qj(nl'+1)(hii+mh) — a(nl+l)(hii+mji) a(nl+l)(hi2+mj2) _

= a(cr) + a(cs).

Таким образом, a - аддитивный изоморфизм и (С, +, •} — (С, +, •). □

Замечание 3. Из лемм 4, 5 и замечания 2 следует, что полукольцо S из теоремы 1 единственно (если оно существует).

Предложение 1» Хвост Т полукольца S из теоремы 1 совпадает с S'\ {ak}, то есть (Т, +, ■} — {S' \ {ак}, +, •), только в случае \С'\ — 1.

Доказательство. В случае \С'\ — 1 очевидно, что (S, +,•} — (S+, •), следовательно, (Т, +, •) = (S" \ {ак}, +, •).

Пусть \С'\ ф 1, В силу идемпотентности сложения в цикле С полукольца S имеем ак + ак — ак, откуда, учитывая неидемпотентность сложения в S, получаем afe_1 + afe_1 = Отсюда, принимая во

внимание ак ф ак+пследует (Т,+) ф (Sr \ {afe},+). Таким образом,

4♦ Необходимые условия для сложения в конечных циклических полукольцах с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом

Пусть S = (а) — циклическое полукольцо типа (к, п) с неидемпотентным сложением и условием к ^ п.

Задача заключается в нахождении правила сложения в полукольце 5.

Рассмотрим разложения натурального числа z, где 0 ^ z ^ к + п — 1:

z - hii + mji, где 1 ^ mji ^ п, (7)

z — hi2 + mj2, где 1 ^ hi2 ^ п (8)

для 'ь i-i- £ Ъ. Такие разложения всегда можно получить из произвольного разложения z — hi + mj, одновременно добавляя к hi число п и вычитая из mj число п, или наоборот.

Теорема 2. Если полукольцо S — (а) типа (к,п), где к п7 имеет некоммутативное сложение, цикл С изоморфен прям,ом,у произведению подполутел, С + е и е + С порядков muh соответственно, то выполняются равенства:

) amjl+n, если mji - hix < к,

(а) 1 + а — <

I arajl(I) или атп+п(II), в иных случаях,

где % удовлетворяет, (7).

(б) а* + 1 — { аН%2+П' если ~ К

1 аНг'2{\) или аНл2+п (II), в иных случаях,

где х удовлетворяет (8).

Доказательство. Пусть х — + — натуральное число, удовлетворяющее (7). Заметим, что если к ^ шд ^ п, то по лемме 5 верно 1 + а* = атп = а™л+».

Возможны следующие случаи.

1. Если ^ = 0, то = 0(тос1 Н)у откуда т]у —п^к.

2. Пусть > к. Тогда по леммам 4 и 5 получаем 1 I <г = ат^1+п.

В случае гщх — Ы\_ ^ к верно гщх ^ к и, как отмечено выше, 1 + аг —

3. Пусть гщ 1 < к. По

лем м 4 и 5:

аЫ\+т]1+п-к^ак-Ы1-гп}1 ак^ _ атП+п

откуда, учитывая ак £ С (по леммам 3 и 9 [2]), имеем;

ак-кн-тп ^ + аЫ1+шп^ = ак-Ыг+п при ^ > д? ак-Ыг-тп ^ + аМ1+тп^ = ^-Ы, при ^ д.

Если Ы1 > 0, то 1 + акг1+тп = Заметим, что в этом случае

— < к.

Если Ых < 0, то 1 + о/ге1+гоЛ - а™'1 или 1 + аМ1+тп = ат^+п. Пусть в случае ^ 0 одновременно гп] 1 — Ых < к и 1 + а/гп+т-?1 — а"1-71. По леммам 4 и 5 имеем сГЛг1 — 1 — сГЛг1+п € С и по лемме 9 [2] (а-ки + 1) + аЫг+тп е. С. Тогда:

(а-Нч + 1) + аНг1+тк = а'1111 + (1 + аЫ1+тп) = а+ атк = - а-Ы1( 1 + аЫ1+гаЛ) - а~М1 - атк = а"ч'1_А'1 £ С, противоречие.

Следовательно, если гщх — Ых < /с, то 1+а/и1+"У1 — о™-71 не выполняется, поэтому имеем 1 + аНч+т^ = агп^1+п.

Если жегщг-кк > то 1 + аА*1+т*- = а"1-71 или 1 + = ат^1+п.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично. □

Следствие 1, В Б = (а) с некоммутативным сложением и к ^п для, произвольных чисел, г, У € N0 выполняются равенства:

1 + аы = а"4 + 1 = а11 е С, 1 + а"4' - € С, аы + 1 = е С.

м 1 2 4 5 б 7 8 9 10 11 12

1 0 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4

2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4

о j 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4

4 2 2 б 2 2 2 4 2 4

5 2 10 2 2 2 4 2 6

б б 2 2 2 10 2 б

7 2 2 2 18 2 10

8 2 2 10 2 б

9 2 18 2 18

10 10 2 50

11 2 34

12 18

Рис. 1: Количество полуколец типа (к.п) с неидемпотентньтм некомму-т&тивным слож^бнибм прИ /v ^ т~ь

Следствие 2. Если в условиях теоремы 2 т = 1 или h = 1, то сложение в полукольце S сводится к сложению в цикле С следующим, образом: cf + as = а''1 + aS|. где ri ^ A;. sL ¿> k, rL = г (mod n), <S'i = $ (mod и).

Предложение 2. Для, любого натурального п — р% где р - простое число (р > 2) и для любого натурального числа к (к ^ п) существует ровно два полукольца S = (а) типа (k, п) с неидемпотентпым некоммутативным сложением. По следствию 2 ото сложение является «намоткой».

Замечание 4, Дли нахождения циклических полуколец с неидем-потентным некоммутативным сложением и коротким хвостом написана программа на языке Си. Она позволяет по заданным числам т, h и к находить все полукольца S = (а) типа (к, п), где п = т ■ hy \С + е\ = т, |е + С| — h. В программе учтены необходимые условия для циклических полуколец, сформулированные в теореме 2, В таблице (рис.1) приведено количество полуколец S = (а) с некоммутативным сложением для п ^ 12.

Найденные с помощью программы полукольца иллюстрируют существование циклических полуколец со сложением, отличным от сложения «намотка». «Первые» подобные полукольца. S = (а) с некоммутативным сложением имеют тип (4, б). Их всего 2. Остальные 4 полуколь-

цз> ТИЛ&- (4, HivieiOT сложение ^н&мотк^^»

Теорема 2 дает необходимые условия существования циклических полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом.

Примеры показывают, что не любое сложение, заданное на циклической полугруппе по правилу, описанному в теореме 2, превращает его в полукольцо. «Первые» такие полугруппы имеют тип (10,12). Существуют аналогичные полугруппы и большего порядка. Например, В Q 3 £> М! е ÏML полугруппу S — (a) типа (70,88) и числа m — 8, h — И. Зададим на S сложение по правилу (1.1) из теоремы 2, Это сложение не ассоциативно.

5. Достаточные условия для сложения в конечных циклических полукольцах с неидемпотентным некоммутативным сложением и коротким хвостом

Покажем, что произвольную циклическую полугруппу можно превратить в полукольцо с неидемпотентным некоммутативным сложени-ем.

Теорема 3. Пусть дано, циклическая полугруппа S — (а) типа, (k, п), п ^t 2. Тогда для любых натуральных чисел т7 h и 17 таких7 что m-h — n7 [m, h) — 1 uni > k > n(l — 1), на S существует пеидем-nomeumfioe некоммутативное сложение7 определяемое равенствами:

(а) 1 + az = omjl+nl7 где z удовлетворяет, (7)r

(б) az + 1 — aht2+nl 7 где z удовлетворяет (8)r

превращающее S в циклическое полукольцо.

Доказательство. Зададим операцию сложения + на цикле С = {ak,rrr,ak+n^1} по формуле (\/гьг2,ji,j2 £ N):

a(nl+l)(hii+mji) a(nl+ï)(hi2+mj2) _ g{nl+l){hii +mj2)

Непосредственно проверяется, что в С выполняются законы ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сло-

Определим сложение остальных элементов циклической полугруппы S по следующему правилу: ar + as — ar+nl + as+nl для любых r7 s <Е N0.

Проверим ассоциативность такого сложения, учитывая ассоциативность сложения в С:

(ar + а3) + а* = (ar+nl + as+nl) + а* = (ar+nl + as+nl) + at+nl = = ar+nl + (as+nl + at+nl) = ar + (as+nl + at+nl) = ar + (as + a1).

Проверим дистрибутивность умножения относительно сложения;

аг(а3 + а*) = аг(а8+п1 + ам) = аг+п1(а3+п1 + аша) = = аг+8+п1 + аг+м = аг+3 + аг+ь.

Для г, удовлетворяющего (7), выполняется;

^ _ цГЛ ^Ы1+т]г+п1 _ ^(п1+1)п1 д(п1+1)(Ы,1+т]1+п1)

= д("г+1)("гЛ+п0 = атП+п1

Аналогично для г, удовлетворяющего (8), имеем:

(X ~| 1 — (X '' » 1 1

Сложение в Б действительно определяется равенствами (а) и (б) из теоремы 3, поскольку суммы остальных элементов полукольца находятся по дистрибутивности.

Замечание 5. Если в условиях теоремы 3 полукольцо 6' = (а) имеет тип (к, 1), то сложение, определяемое указанными в теореме равенствами, превращает 5 в полукольцо с коммутативным сложением, в котором аг + ая — ак для любых г, з £ М0.

Замечание 6. На циклической полугруппе Б = (а) типа (к,п), где № ) 2 и Ц п, кроме сложения «намотка», указанного в теореме 3, иногда можно ввести другое сложение. Пусть существует целое число О < % < ку удовлетворяющее (7) и гпуг — кц > к. Тогда сложение на 5 можно задать следующим образом: 1 | сг = а"1-?1, остальные суммы элементов определяются как в теореме 3. Заметим, что, если к ^ гпуг < п, то а™-71 = о^1+ТЬ и «новое» сложение совпадает со сложением из теоремы 3.

Теперь рассмотрим циклическую полугруппу с коротким хвостом. Зададим на ней сложение и выясним, при каких условиях заданное сложение превратит данную полугруппу в полукольцо.

Пусть Б — (а) — циклическая полугруппа типа (к, п), где к ^ п, т и. К — произвольные натуральные числа такие, что т • к = п, (т, К) = 1, Для того, чтобы превратить полугруппу 5 в полукольцо, зададим на ней сложение по правилам (а) и (б) из теоремы 2, а для выполнения дистрибутивности умножения относительно сложения суммы остальных элементов полугруппы 5 определим по правилу (5)

Лемма Ю- В циклической полугруппе Я — (а) типа (к,п)? где к п7 со сложением7 последовательно заданным правилами (а) и (б) из теоремы 2 и правилом (5), для любых г < к, з < к выполняется

аг + ав = а*, где t > тах{г, в}.

Доказательство. Достаточно доказать, что для любого г. €

1 + а/ — ар? где р >

Й | 1. — Й I, X ^ДС ^ ^ ^ •

Докажем первое равенство. Пусть % — Ы + ту £ М0 , удовлетво-ряет (Т) и 1 + аг - ар. Если р ^ к, то, поскольку р можно сделать сколь угодно большим, добавляя к нему п, можно считать, что /> > .;. Пусть теперь р <ку тогда по правилу сложения (а) из теоремы 2 верно р = ту < к, ту — Ы ¿2: к, откуда Ы < 0, следовательно, Ы + ту < ту, то ссть ^ > г.

Второе равенство доказывается аналогично. □

Лемма 11. В циклической полугруппе Я — (а) типа (к, п), где к п7 со сложением, последовательно заданным, правилам,и, (а) и (б) из теоремы 2 и правилом (5), для любых г, ,з ЕЩ выполняется

аг + а3 = а4, где £ = + ту2 (тос! п),

г — Ых + ту 1; $ — Ы2 + ту2■

Доказательство. По правилам сложения (а) и (б) из теоремы 2 для любого £ € верно:

1 + ах = ар, где р = mj (той п), аг + 1 = а9, где д = Ы(тойп),

откуда, используя дистрибутивность умножения (5), следует утвержде-

Лемма 12. В циклической полугруппе Я = (а) типа (к,п), где к ^ п7 со сложением,, последовательно заданным правилами (а) и (б) из теоремы 2 и правилом (5), выполняется

(аг + 1)+а3 ЕС или аг + (1 + о3) е С, 1 + (аг + а3) £ С или (1 + аг) + а3 £ С, (аг + а8) + 1 £ С или аг + (а' + 1) € С.

Доказательство. I, Рассмотрим суммы (аг +1) + as и аг + (1 + а5), где г и s имеют разложения (8) и (7) соответственно.

1, Если ar+l G С или l+as <Е С, то по лемме 10 имеем (ar+l)+as € С или ar + (1 + as) С С.

2, Пусть аг + 1 $ С и 1 + as g С. Тогда ar -f 1 = ahil, 1 + as = amj2. Учитывая правила (а) и (б) из теоремы 2 и лемму 10, получаем систему:

1 ^ г = hii + mji < k,

1 ^ s = hi2 + mj2 < k,

1 ^ hii < k, , _ i i ^ I 9>

1 ^ mj2 < k, hii — mji ^ k, jrij2 — hi2 ^ k.

Имеем (ar + 1) + a* = аЛ,:1 + a^2+mj2.

а) Если hii — hi2 + mj2, то mj2 = 0 (mod h) и, учитывая четвертое неравенство системы (9), таких mji не существует.

б) Если hii < hi2 + mj2, то по правилу сложения (а) из теоремы 2 имеем:

ahh + ahi2+mn = ) aWl+m'2+n, если mj2 + Ыг - Ы2 < к,

ahn+mj2 или ah4+mj2+n в иных случаях.

>

в) Если Ых > Ы2 + тnj2, то Ых — Ы2 > тщ2 ^ 1- Учитывая второе, третье и четвертое неравенства системы (9), выполняется:

1 — к < 1 — 1Щ2 < к — 7щ2 ^ к — 1,

-к + 2 < Ых - Ы2 < 2к - 1 С к + п - 1.

Тогда

1 < Ых — Ы2 < к + п — 1.

В случае 1 < Ых — Ы2 ^ п также получаем систему (10). Пусть теперь п < Ых~Ы2 < к+п—1, откуда 0 < Ых — Ы2—п < к — 1 и, учитывая неравенство > 0, имеем (Ьл1—Ы2 — п) — (—т]2 + п) <

к. Тогда по правилу сложения (б) из теоремы 2 получаем

Заметим, что — Ы2 + ту2 > п + ту2 > к. Таким образом,

а/их ] т]2 ,, ,,, 0л.г1+т^2+п ^ ^ если — Ы,2 + 777, ^

Пусть аЛг1 + ак12+т^ $ С. Тогда числа Ы\у туъ Ы2, ту2 удовлетворяют системе;

Обозначим числа; / — /^1, Ь — ту\, с —Ы2у с/ — ту2-Из третьего и пятого уравнений системы следует 1 — / ^ / — /с, / ^ Из четвертого и шестого — 1-й ^ й- /г, откуда 6 ^ ^г-. Тогда из последнего неравенства системы вытекает + ^ / 4- (1 < к, откуда» к + 1 < к. Противоречие.

Таким образом, (аг + 1) + а8 Е С. Аналогично аг + (1 + а8) 6 С. II. Рассмотрим суммы вида (1 + а'") + а5 и 1 + (аг + ая). Пусть г — Ых + т_]1 и = Ы2 + т]2 имеют разложения (7).

1» Если 1 — ч1' е С или а8 € С или аТ + а8 Е С, то по лемме 10 имеем (1 + аг) + а8 € С или 1 + (аг + а11) С С*.

Также, если к ^ га^ ^ п, то по лемме 11 выполняется (1 + аг) + а8 = 1 + (аг + а8) = ат>2 С.

2. Пусть 1 + аг $ С, а8 С, аг + а8 $ С, 1 ^ ту2 < к. Тогда 1 — аг — а"1-71 и имеет место система

1 ^ Ы\ < к, 1 ^ ту:2 < к,

1 ^ Ы\ + ту 1 < к,

1 ^ Ы2 + ту2 < к

Ы\ — тух ^ к, ту'2 — Ь%2 ^ к,

Ых - Ы2 + ту2 к, Ы\ + ту2 < к.

' 1 ^ г = Ы\ + ту\ < к, 1^5 = М2 + ту2 < А;, 1 ^ ту 1 < к, „77171 - ^ А;.

Заметим, что

—к + 1 < 1 — т]2 <к — т,]2 ^ к — 1, —к + 1 < т]2 — ту 1 < к — 1.

Пусть 1 | (аг I а3) $ С. Тогда возможны два случая: (а) г < э и (Ь) г > 8.

В случае (а) имеем 1 + (аГ + а3) = 1 + (1 +

Если ГЩ2 — Ш]! — О, ТО ПО следствию 1 сумма 1 + а(Лг2-Ь1)+(г?У2-тол) лежит в цикле С и 1 + (аг + а3) ЕС, противоречие. Если 0 < гп]2 — тух < к — 1, то

(поскольку в другом случае 1 + (а1' + а3) Е С), откуда по правилу сложения (а) из теоремы 2 верно

(т,]2 — Щ]1) — (^2 — /иг) ?? к.

С другой стороны, учитывая, что ft.ii ^ гп] 1 — к и Ы2 + к > 0, имеем;

(Щ]2 — Щ]1) — (М2 — М1) ((т]2 — гп]1) — }112 + гг1]1 — к = гп]2 — + к) < к,

противоречие.

Если — к + 1 < т]2 — < 0, то

]_ о{Ь>1ъ—Ы{)+{т]2-гп,]{) _ аггц2-пц1+п ]_ ^д^п+тл аЫ2+т]2^ — дЬч+гп]2+п

откуда по правилу сложения (а) из теоремы 2 выполняется

тп^2 — (Ьлх + п) ^ к. С другой стороны, учитывая, что Ых -(- п > 0 и гп]2 < к имеем

т]2 — (Ьн + п) < к,

противоречие.

Случай (6) также приводит к противоречию. Таким образом, 1 + (аг + а8) ЕС.

Аналогично, выполняется (аг + а3) + 1 £ С или аг + (ая — Г) С С. □

Теорема 4. В циклическом полукольце 5 — (а) шипа (к,п), где к ^ п7 с неидемпотеитным некоммутативным сложением сумма любых трех элементов лежит в цикле С.

Доказательство. По лемме 12 и в силу ассоциативности сложения в полукольце 5 для любых г,« € Мо выполняется

(1 + ог) + а8 = 1 + (аг + а3) е С,

аг + {а3 + 1) - (ог | <Г) | 1 е Г.

(аг + 1) + а* - аг + (1 + а3) еС.П

Теорема 5. Пусть 5 — (а) — циклическая полугруппа типа (к, п), где к ^ п? со сложением7 последовательно заданным правилами (а) и (б) из теоремы 2 и правилом (5). Тогда для, того, чтобы Б было полукольцомнеобходимо и достаточно выполнение следующих условий (для любых г, а € М0);

(а) (аг + 1 <Е С, 1 + а3 £ С) =>- аг + (1 + а3) С С,

(б) (аг + 1<? С, 1 + а3 € С) (аГ + 1) + а3 € С,

(в) 1 + аг € С 1 + (аг + а3) € С,

(г) 1 + аг ^ С (1 + аг) + а3 еС,

(д)аЧ1ЕС^ (аг + а8) + 1 е С,

(е) а* + 1 £ С ^ аг + (а8 + 1) е С.

Доказательство. Доказательство следует из лемм 10, 11, 12 и теоремы 4. □

Для полного описания полуколец с неидемпотентным некоммутативным сложением осталось только изучить такие полукольца с поглощающим элементом.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Е,М, Вечтомову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Литература

1. Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2000. 44 с.

2. Вечтомов Е. М.? Лубягина И. В. Циклические полукольца с идемпотентным некоммутативным сложением // Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т, 17. Вып. 1. С. 33-52.

3. Бестужев А. С. О строении конечных циклических полуко-

лец // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык.

2010. Вып. 6. С. ЦЗ-Ц8.

Summary

Orlova (Lubyagina) I. V. About finite cyclic semirings with, non-idempotent non-commutative addition

In this paper finite cyclic semirings with non-idempotent non-commutative addition are reduced to such semirings with, absorbing element and finite cyclic semifields (theorem 1). Finite cyclic semirings with non-idempotent non -coiniiiuta 11vc addition and short tail are studied. Theorems 2 and 4 give necessary conditions on the addition of the studied semirings, theorem 3 gives the sufficient condition on the addition of the cyclic multiplicative semigroup, turning it in the cyclic semiring with non-idempotent non-commutative addition. Theorem 5 is the criterion for recognizing of the fact whether the finite multiplicative cyclic semigroup with short tail and with defined on it addition semiring.

Keywords: semiringy semifield, cyclic semiring, nonidempotent addition, noncommutative addition.

Вятский государственный гуманитарный университет

Поступила 25.09.2012