Первый и второй моменты общего времени пребывания заявки в системе с произвольным количеством источников и поликомпонентных входным потоком заявок Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев

ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ МОМЕНТЫ ОБЩЕГО ВРЕМЕНИ ПРЕБЫВАНИЯ ЗАЯВКИ

В СИСТЕМЕ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОЛИЧЕСТВОМ ИСТОЧНИКОВ

И ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ВХОДНЫМ ПОТОКОМ ЗАЯВОК

Ключевые слова: система массового обслуживания, дифференцированное обслуживание, поликомпонентный поток заявок,

очередь на обслуживание.

В работе представлены результаты расчёта первых и вторых моментов общего времени пребывания заявки в системах массового обслуживания с поликомпонентным входным потоком и множеством ограничений на длину очереди в стационарном режиме функционирования.

Keywords: queuing system, differentiated service, polycomponent flow of requirements, queue for service.

The paper presents the results of the calculation of the first and second moments of the total sojourn time of requests in queuing system with multicomponent input stream and the set of constraints on the queue length in the stationary mode of operation.

Настоящая работа продолжает цикл статей авторов, начатый в 2006 году публикацией [1] и посвя-щённых изучению нового типа объектов исследования, встречающихся в прикладной теории массового обслуживания [2, 3]. Речь идёт о встречающиеся в повседневной практике сложных системах массового обслуживания (СМО), имеющих во входном потоке требования различных типов. При этом, рассматриваемая СМО имеет т обслуживающих приборов и входной поток заявок, содержащий требования нескольких различных типов. Эти типы требований отличаются друг от друга тем, что для каждого типа требований установлено предельно возможное количество заявок, одновременно находящихся в очереди в ожидании их обслуживания. Или, говоря другими словами, каждому типу требований соответствует свой предельный объём накопителя. Задачи такого рода особенно часто встречаются последнее время в задачах логистики, но также в значительной мере свойственны и ряду технических объектов, функционирующих по принципу систем массового обслуживания.

Потоки заявок такого рода было предложено называть поликомпонентными, а системы, обслуживающие каждый тип заявок по своим отдельным правилам, - системами дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков [4, 5].

Следует отметить, что в первых работах данного цикла публикаций рассматривался лишь своего рода частный случай систем такого рода [1, 4-12]. При этом поток заявок включал в себя требования лишь трёх различных типов заявок. Заявки первого типа становятся в очередь и несмотря ни на что в любом случае дожидаются начала обслуживания (в рамках классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т). Заявки второго типа становятся в очередь лишь до тех пор, пока число заявок, находящихся в накопителе не достигнет некоторого, наперёд заданного, определённого значения (модели М/М/т/Е, где т -число каналов, Е - объём накопителя). Если же длина очереди становится больше этой величины, то такие заявки автоматически получают отказ и уходят из системы необслуженными. Заявки третьего

типа обслуживаются лишь при наличии свободных приборов и вообще никогда не становятся в очередь (класическая модель А. Эрланга М/М/т/0). Если свободные обслуживающие устройства (приборы) на момент поступления заявки в систему отсутствуют, то такие требования покидают систему и не обслуживаются. Тот тип заявок особенно часто встречается в настоящее время в задачах телефонии и в задачах теории телетрафика [например, 13].

Заметим, что вопросы изучения комбинированных моделей массового обслуживания поликомпонентных потоков в действительности берут начало с трудов Дж. Коэна, в работе которого [14] впервые была рассмотрена комбинация моделей Эрланга и классической СМО. В этой работе был приведён ряд формул для вероятностей стационарных состояний СМО, вероятности потери вызова, а также первых моментов числа заявок в очереди и времени ожидания в очереди. При этом, однако, полный расчёт модели не производился в силу значительной сложности поставленной таким образом задачи. Следует отметить, что задача изучения систем массового обслуживания такого рода была поставлена Дж. Ко-эном в связи с возникшей в то время потребностью расчётов линий телефонной связи с автодозвоном.

Другим частным случаем комбинированной модели является смешанная система с потерями и ожиданием, имеющая несколько серверов и конечный накопитель, представленная в работе Н. Такад-жи [15], опубликованной почти в одно и тоже время с работами авторов [1, 6, 7]. В данном случае в системе имеется два источника заявок, при этом заявки из первого источника будут потеряны, если все серверы заняты на момент их прибытия в систему. Заявки из второго источника принимаются в очередь лишь до тех пор, пока количество заявок в ней не превышает некоторого определенного значения К. Потоки заявок, поступающих в систему, также носят пуассоновский характер. В статье Н. Такаджи приводятся, однако, лишь формулы для вероятностных характеристик системы, а также для моментов п-го порядка времени ожидания и общего времени задержки в системе. При этом отсутствуют аналити-

ческие выражения для других важнейших числовых характеристик системы, таких, как средняя длина очереди, средний коэффициент загрузки обслуживающего многоканального устройства, а также коэффициент корреляции между числом заявок, находящихся под обслуживанием и находящихся в очереди в ожидании обслуживания. Ясно, что в том частном случае, когда предельный объём накопителя стремится к бесконечности, эта модель сводится к модели Дж. Коэна.

В указанных выше работах авторов [4-12], в которых рассмотрена более общая модель СМО, являющаяся комбинацией многоканальной модели А. Эрланга, модели М/М/т/Е, а также многоканальной классической модели СМО (модели М/М/т), впервые дан полный вывод полного наборам формул как для вероятностных характеристик, так и для первых и вторых моментов всех основных дискретных и непрерывных характеристик данного типа СМО. При этом, как уже сказано, был использован общий алгоритм математической формализации моделей массового обслуживания, взятый из монографий [2, 3]. Модель [4-12] является более обшей по отношению к моделям Дж. Коэна и Н. Такаджи, которые представляют собой лишь её различные частные случаи.

В следующем цикле публикаций авторов [16-32] представлена наиболее общая математическая модель открытой многоканальной системы массового обслуживания, имеющей т обслуживающих устройств одинаковой производительности с экспоненциально распределенным временем обслуживания. Входной поток требований в этом случае является суперпозицией произвольного числа компонент И, каждая из которых представляет собой пуассонов-ский поток заявок, обслуживаемых в порядке очереди. Для каждого типа заявок, поступающих в систему из ]-го источника, действует своё ограничение на длину очереди е, при этом е0 <е1 <е2 < ••• <еИ

Нулевая (эрланговская) компонента содержит заявки, которые обслуживаются только при наличии хотя бы одного свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь. В том случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства, данная заявка получает отказ и покидает систему необслу-женной. Модель СМО, содержащей одну такую компоненту во входном потоке, является моделью Эрланга, поэтому в дальнейшем будем называть эту компоненту эрланговской.

Первая компонента включает заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа е1. В случае, когда в очереди уже

имеется или более требований, вновь поступившая заявка из первого источника получает отказ и выбывает из системы необслуженной.

Вторая компонента содержит требования, которые обслуживаются при наличии свободного

обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа е2 > е1. В том случае, когда в

очереди уже имеется или более требований,

вновь поступившая заявка из данного источника получает отказ и выбывает из системы необслужен-ной.

Потоки заявок такого рода, как было сказано выше, было предложено называть поликомпонентными, а системы, обслуживающие каждый тип заявок по отдельным правилам, - системами дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. В последней работе данного цикла публикаций (работа [32]), однако, принято более точное название для систем массового обслуживания этого типа - системы массового обслуживания с произвольным количеством источников и ограничений по длине очереди и поликомпонентным потоком зая-

вок, это название и вынесено в заголовок настоящей работы. Граф состояний и переходов такой системы массового обслуживания приведён на рис.1.

В предыдущих работах данного цикла публикаций был дан достаточно подробный вывод как вероятностных, включая функцию распределения времени ожидания заявки в очереди на обслуживание, так и главнейших числовых характеристик дискретных и непрерывных величин, характеризующих системы массового обслуживания этого типа. Напомним, что к этим числовым характеристикам относятся, прежде всего, первые и вторые моменты числа требований, одновременно находящихся под обслуживанием (или, что то же самое, числа одновременно занятых каналов). Во-вторых, к ним относятся первые и вторые моменты числа требований, находящихся в очереди в ожидании обслуживания. В третьих к ним также относится коэффициент корреляции числа заявок, находящихся под обслуживанием и находящихся в очереди в ожидании обслуживания, а также первый и второй моменты общего числа требований, одновременно находящихся в системе в целом (как в очереди, так и в процессе обслуживания). В-четвёртых, к ним относятся первый и второй моменты времени ожидания обслуживания вновь поступившей заявкой. Подробный вывод всех девяти указанных выше числовых величин как раз и содержится в предыдущих работах данного цикла публикаций.

В настоящей работе приводится вывод последних двух из традиционно изучаемых в теории массового обслуживания числовых характеристик систем с очередями. Речь идёт о первом и втором моментах общего времени пребывания заявки в системе в целом. Заметим, что изучение поведения этих числовых характеристик имеет принципиально важное значение в теории массового обслуживания в связи с рядом прикладных вопросов.

Принятые обозначения:

£0 Ео О, £1 Е^, £ Е^ + Е21 '' '

1 1

Е] = Е ЕI = Е ЕI - ограничения длины очереди /=0 1=1 для заявок ]-го типа;

Ло = Е Л,; Л1 = Е Л,; Л 2 = Е ; -1=0 1=1 1=2

Лл = Лл; где Л1 - интенсивности потоков заявок _]-

го типа;

Л Л Л

«о = Ел; « = Ел; « = Ел;■■■ 1=0 1=1 1=2

= Л; « = —~, где Л - приведенные интенсивности потоков заявок ]-го типа.

Напомним, что в этом случае функция распределения времени ожидания имеет конечный вид [23]

Рож ( ) = 1 - е

«1

т - «1 л « и т - «

1 Г« ^

е£1 )-[тГ е£1 №^

п

д=1

1 Г « ^

V т У

е£,-1-1 ) +

+п

д=1

V «I У

ещ-1 (« И)- 1-1 (И)

' Г« )

п

д=1

V т У

еЕ -1 (тИ )

и тогда плотность распределения времени ожидания [24]

р

Гож «) = {—^Е-1 (—1^) +

+Е — I п V«X е -1 (Л/)-е£-1-1 (Л/)

I=2 д=1 V « У

а среднее время ожидания обслуживания заявкой в очереди [25]

С = ]^ож (')*

Л оЯ1~1 [ т-«

Р -ЕР

1 БI '-Г т+£

+ -£, Р, [ = - I т '-1 Б' I Д

Осредненный квадрат времени ожидания заявки в очереди в этом случае

2 (Р* - ЕрРт+е )

— 1 л

С =Л- Е « 1=1

И(т - « )

Р V-; Г « ^

1 + ^-1 (т - «)

т у '

п

V « I У

3т2^д=0

£ 1 (£-1 +1)Рб, Е,(Е + 1)Рт+£ «

--2---7-ч—, « ^ т

т2 и ти(т-«)

£ (£ +1) (£ + 2)- £ -1 (е- 1 +1) (£-1 + 2)],

Я = т

Отсюда сразу же следует, что соответствующее среднее время пребывания заявки в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием) принимает вид

^сист ^обсл + tож +

ß

1 h

+—t

Kqti

R

m - R

R

i_(p -EP ) + s -i-P

Г-. У Si '-i1 m+s, I ci-1 1 Si

m

M1

h

+t i=1 m

1

^q 1

h

+t i=1 m

Ro

1 - R t (-0 - -i ) - Pm

R0 i=1

(p - EP ) + s

r-. У Б'1 '-i1 m+s, I ci-1 1 Б'1

- R: m

R

1 -(1 - em-1 (Ro )Po ï + tRrPsi

i=1 R0

Л oQ

(p - EP ) + s ^P

Г-. У Бi '-i1 m+s, I ci-1 1 Бi

- R: m

R

R0PHO + z m R ( - EiPm+s, )

R,

+m (-1+m )p

и тогда дисперсия времени пребывания заявки в системе

_2 _ 2 ,2 _ 1Г _ Т2 , 72 _ Т2 _

сист ож обсл ож ож обсл обсл

/— — \2

^ож + tобсл + 2^ож^обсл ((ож + ^обсл ) tсист ^с

а осредненный квадрат времени пребывания заявки в системе в целом

2 .

сист

t2 = t2 +t2 + 2t t = сист ож обсл ож обсл

1 h 1 2R

ЛoQ i=1

2 ( Psi - Efm+s )

ß(m - Ri )2

1 + (m - Ri )

m

S-1 (S-1 + 1)Рб,- E (E + 1)Pm+J , 2

m2 ß

2 h

+ — t иЛ o qj-1

+ 2 +

mß(m - Ri) I ß ^(P _EP )+ R s P

R У Si '-i1 m+Si ) m -1 б,

m - R,

1h

—t Ri

ßЛoql=1

2 ( Psi - EPm+s )

(m - Ri )

1 + 1^ + 1l(m - R)

'i-1 m

S-1 +1

m

+ 2 IPB -

E; ( + 1)Pm+s + 2Ro

m (m - Ri ) ßЛoq

1 h

PH0 +b~t RiPsi R0 i=1

ßЛoq

2R0PHÛ +t Ri

i=1

2 P - EPm s )

(m - R, )2

1 +

Л

^ +1 I(m - Ri) m Г

2 + s m

S-1 +1

+ 2

m

Psi -

E , ( Ei + 1)Pm+e, m (m - Ri )

Приведённые в данной работе результаты, сведённые в систему полученных выше формул, исчерпывающе решают поставленную задачу и могут быть рекомендованы к использованию при проектировании и эксплуатации достаточно значительного круга объектов и систем, работающих по принципу систем с очередями.

Литература

1. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 4, С. 78-85 (2006).

2. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. 112 с.

3. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

4. А.С. Титовцев, Дисс. канд. техн. наук, КНИТУ, Казань, 2011. 143 с.

5. А.С. Титовцев, Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Модели и характеристики. Saarbrücken, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 132 с.

6. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 14, 5. С. 893-896 (2007).

7. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 15, 6. С. 1090-1091 (2008).

8. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 5, C. 154-161 (2011).

9. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 15, 1, C. 148-152 (2012).

10. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, C. 201-202 (2012).

11. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2012. С. 212-218.

12. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 15, 8, C. 337-340 (2012).

13. В.В. Крылов, С.С. Самохвалова, Теория телетрафика и её приложения. СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 288 с.

14. J.W. Cohen, Communication News, 16, 3, P. 105-113 (1956).

15. H. Takagi, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 40, 2, P. 185-200 (2007).

16. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 6, C. 248-252 (2013).

17. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Наука в Центральной России, 4, C. 5-8 (2013).

18. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2013. С. 166-170.

19. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 11, C. 255-257 (2013).

1

20. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 18, С. 282-286 (2013).

21. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 23, С. 242-244 (2013).

22. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Алгоритмические и программные средства в информационных технологиях, радиоэлектронике и телекоммуникациях. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 106-110.

23. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 4, С. 307-312 (2014).

24. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 5, С. 279-281 (2014).

25. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 142-150.

26. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 10, C. 238-240 (2014).

27. A.P. Kirpichnikov, A.S. Titovsev, Ciencia e Técnica Vitivinicola, 29, 7, P. 108-122 (2014).

28. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Костром. гос. ун-та им. Н.А. Некрасова, 4, C. 20-23 (2014).

29. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В мире научных открытий, 10(58), C. 122-136 (2014).

30. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник технологического университета, 18, 5, C. 147-152 (2015).

31. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 18, 6, C. 188-191 (2015).

32. A.P. Kirpichnikov, A.S. Titovsev, International Journal of Pure and Applied Mathematics, 106, 2, P. 649-661 (2016).

© А. П. Кирпичников - д.ф.-м.н., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, email: kirpichnikov@kstu.ru; А. С. Титовцев - к.т.н., доцент кафедры интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: notna6683@mail.ru.

© А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci., Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru; A. S. Titovtsev - PhD, Associate Professor of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU; e-mail: notna6683@mail.ru.