CC BY
55
УПРАВЛЕНИЕ, ИНФОРМАТИКА И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев
ОТКРЫТЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ
Ключевые слова: Система массового обслуживания, система дифференцированного обслуживания, поликомпо-нентный поток требований, очередь, обслуживающее устройство.
Представлена математическая модель систем массового обслуживания нового типа: открытых многоканальных систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Проведена подробная математическая формализация этой модели в квазистационарном режиме функционирования.
Keywords: queuing system, system of difference service, polycomponent flow of requirements, queue, serving device.
A mathematical model of queuing systems of new type: open multichannel system of difference service of polycomponent flows is presented. Detailed mathematical formalization of this model in a quasistationary mode of functioning is performed.
В настоящей работе изучена математическая модель открытых систем массового обслуживания (СМО), сочетающая в себе многоканальную модель Эрланга (M/M/m/0), классическую модель многоканальной СМО (M/M/m), а также модель многоканальной СМО с ограниченной очередью (M/M/m/E). СМО, встречающиеся в повседневной практике, зачастую представляют собой сложные системы, имеющие во входном потоке требования разных типов. При проектировании объектов массового обслуживания с целью их правильной организации необходимо исследование методом математического моделирования. Известные на сегодняшний день классические модели СМО не позволяют в полной мере описать реальные объекты. Практический интерес имеют более сложные модели, являющиеся комбинациями ранее известных моделей СМО [1 - 3]. В этой связи авторами была предложена модель открытой многолинейной СМО, граф состояний которой впервые был опубликован в работе [4] (рис.1).
. Это комбинация многолинейной модели Эрланга, многолинейной СМО с ограниченной очередью и классической многолинейной СМО [5 - 8]. Примером подобных систем могут служить обычные кассы с очередями. Люди, приходящие в кассу, представляют собой входной поток, содержащий требования разного типа: одни люди из-за отсутствия времени пользуются услугой только в том случае, если касса свободна, другие - в зависимости от количества людей в очереди, третьи - дожидаются обслуживания до конца. В работе приводятся конечные формулы
общих зависимостей для вероятностных, числовых и временных характеристик СМО в установившемся режиме работы. Установившимся считается такой режим работы СМО, когда система бесконечно блуждает по всем возможным состояниям, но математические ожидания её числовых и временных характеристик остаются постоянными во времени. Первая и единственная известная авторам попытка математического описания работы комбинированных систем массового обслуживания была предпринята в работе [9], однако её автор, ввиду трудности задачи, ограничился лишь исследованием комбинации модели Эрланга и классической многолинейной СМО, менее интересной с точки зрения возможных приложений [10]. В настоящей работе формализация модели осуществлена по общей схеме, разработанной в монографиях [11, 12].
Предположим, что рассматриваемая
СМО имеет т обслуживающих устройств и входной поток требований, содержащий заявки трёх типов:
• 1-й тип - заявки, которые обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных обслуживающих устройств и количества заявок, ожидающих обслуживания в очереди;
• 2-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа Е. В случае, когда в очереди уже имеется Е или более требований, вновь поступившая заявка
второго типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной;
• 3-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в
очередь. В случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства, данная заявка покидает систему необ-служенной.
Рис. 1 - Граф состояний и переходов открытой многоканальной системы дифференцированного обслуживания поликомпонентного потока заявок
Потоки заявок такого рода будем называть поликомпонентными, а системы, обслуживающие каждый тип заявок по отдельным правилам, - системами дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков.
Потоки заявок каждого типа являются простейшими и имеют интенсивности ^1, X 2, X3 соответственно, суммарный поликомпонентный поток с интенсивностью Л = X 1 + X 2 + X 3 также является простейшим [например, 13]. Обозначим X = Х1 + X 2 - входной поток требований после т-го состояния и X - входной поток требований после (т + Б) -го состояния (также простейшие). Среднюю интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством обозначим за л.
В этом случае интенсивность выходного потока обслуженных заявок до т -го состояния кратна л и зависит от числа занятых каналов. После т-го состояния интенсивность потока обслуженных заявок равна т л . Поток обслуженных заявок также носит простейший характер. Обозначим приведённые интенсивности соответствующих потоков требований как
X.. Я2 X.,
Рі =—; Р2 =—; Рз =—;
□ л
К = — =Р1 +Р2 + Рз.
л
л
X
Р = — = Р1 +Р2-л
С учетом принятых обозначений и допущений получим вероятностные, числовые и временные характеристики установившегося режима работы СМО. К вероятностным характеристикам системы прежде всего относятся вероятность простоя системы (нулевого состояния)
вт (т + -
т!
Р
т-Р
Б + —
1-
Р1
Р1
т-Р1
Р ф т
т - Р1
Р = т
т К1
где вт (К) = У^- - неполная экспонента и ве-
і=0
роятности состояний СМО в квазистационарном режиме функционирования
К
Рі
—Р0, 0 < і < т
! 0’
~ У-т о Р І К
Р0, т < і < т + Б
Р1 І (РІБкт
т) т!
і-т-Б / ч Б
т
т) т!
Р0, і > т + Б
Для дальнейших расчётов удобно ввести также следующие базисные вероятностные характеристики СМО: вероятность неполной за-
грузки накопителя
т+Б-1 рт
Р = У Р = —- Р
1 и'зи / 1 і - 1 0
т!
НЗН ^ 1 і
і=т
1 -і-*-т
1 --Р-
т
Б, р = т
РФ т.
вероятность полной загрузки накопителя
• \ Б
Р = У Р = — Р ^т'
рпзн - т! Р0
і=т+Б
вероятность немед-
1 -
т
Б
Б
+
т
Р0 =
Б
ленного
т—1
обслуживания
РНО = У Рі = Єт—1 (R)P0 ;
і=0
Под неполной загрузкой накопителя в данном случае следует понимать такое состояние СМО, когда общее число требований в очереди не превышает E -1. В этом случае в очередь принимаются заявки первого и второго типов. Система при этом может находиться в любом состоянии от т-го до (гп + E — 1)-го. Накопитель считается загруженным полностью, когда в очереди уже имеется Е заявок. В этом случае в очередь становятся только заявки первого типа, а требования второго типа получают отказ. Система в этом случае может находиться в любом состоянии, начиная с (т + Е) -го.
Вновь прибывшая заявка любого типа обслуживается немедленно, когда система находится в любом из состояний от 0-го до (т — і) -го. Приведённая интенсивность р1 потока заявок первого типа не должна превышать числа обслуживающих устройств т, иначе произойдёт переполнение очереди. С целью упрощения математической модели все остальные числовые характеристики СМО выражены через вышеуказанные базисные характеристики с учётом последних трёх выражений. Ясно, что при этом должно выполняться условие
РНЗН + РПЗН + РНО = 1 . Формулы основных числовых характеристик системы такого рода, выраженные через её базисные вероятностные характеристики, имеют следующий вид,
Вероятность ожидания обслуживания заявкой в очереди Рож = р Рнзн +-^1Рпзн ; вероят-
К к
ность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке
к — Р|
к
к — р1 к
Рп
П2 = К2 (РНО — Рп-1 ) + К(РНО + тРож )
средняя
длина очереди
I =
р
т—р Е +1
(РНЗН ЕРт+Е)’ р ф т
2
Рнзн, р = т
+ р1
т т— р..
Р ■
ГПЗН’
осреднённый квадрат числа требований в очереди
I2 =
р т + рг
т — р т — р
(Е + 1)(2Е +1)
6
Рнзн — Е Е +
2т
т — р
р ф т
Рнзн . р = т
+ р.
т т — р1
2Е +
т + р1
т — р
1
Р ■
ГПЗН>
среднее число требований в системе в целом
к = КРно +
[(1 + т р)Рнзн ЕРт+Е ] рф
т — р
т
Е +1,0
т+ — Рнзн. р = т
!> +
Наконец, соответствующие этим числовым характеристикам временные характеристики изучаемой системы таковы: осреднённый квадрат числа требований в системе
к2 = к2 (Рно — Рт—1 ) + К(Рно + тРож ) +
т — р
1^2т + т+рІРнзн — Е Е + 2т| 1+ 1 I Р г т+Е , рф т
т — у _ 1 т—р/
' 2Е +1^
т + 6 ІРнзн, р = т
относительная пропускная способность системы я = 1- ротк; абсолютная пропускная способность системы А = ЛРНО +ХРНЗН +Х1РПЗН;
среднее число требований, находящихся под обслуживанием
П = ^НО + РРНЗН + Р1РПЗН = ^(РНО + Рож ) осреднённый квадрат числа требований, находящихся под обслуживанием
+ р1
Е2 1
— + 2Е +—— т т —р
^т + р1 ^
2(т + Е)1 1
т — р
1 У
ПЗН’
среднее время обслуживания заявки одним кана-
I— п 1;
лом I обсл = — = — ■ осреднённый квадрат вре-
А ц
мени обслуживания заявки одним каналом 12 = —■ среднее время ожидания обслужива-
обсл ц2 ■
Р
Е
+
Р
+
+
Р
НЗН
отк
ния заявкой в очереди t ожид = —; осреднён-
\_
Л'
ный квадрат времени ожидания обслуживания заявкой в очереди
t2 = -
ожид Л
1
ц(— - р) E2 -1
2-Р-(зн -EPm+E)-E(E + 1)P„ п -р
3—ц
РНЗН > р = —
Лц(— -Pi)
1E 1 |
2р1 1
^ m m-р1 J
РПЗН + E(E + 1)Р—
функция распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди
РожІМ--1©-"
Pi
( г
( e=-i(^it))+
—-р —-р] J
р
— -р1 — -р
-) eE-1 Пt)
всех типов и заданным требованиям к производительности СМО по каждому типу заявок рассчитать необходимое число обслуживающих устройств, а также ограничение по длине очереди ,для заявок 2-го типа. Для этого абсолютную
р Дії
де
пускную способность СМО представим в ви-1+5] трёх слагаемых, каждое из которых пред-
ставляет собой количество обслуженных заявок опр еделенного типа:
А = ЛРНО + ^РНЗН + ^1РПЗН = ^1 (РНО + РНЗН + РПЗН )^ + Х 2 (РН0 + РНЗН )+Х зРНО = А1 + А 2 + Аэ-
Поскольку заявки 1-го типа обслуживаются при любых обстоятельствах, то задать требуемую производительность можно только для заявок 2-го и 3-го типов. Из последнего выражения следует
[Л3 = X 3РНО
[Л2 = X2 (Рно + РНЗН )
(1)
плотность распределения времени ожидания обслуживания заявкой в очереди
^ожид()
XeE-2(Xt)+X.|[ —| (ем -eE-2(X1t
среднее время пребывания заявки в системе к
= —; осреднённый квадрат времени пре-
А
бывания заявки в системе
t
F" = 2
сист
Лц
^РНО +рРНЗН +р11 — + 1 |РПЗН
1
Ц— -р)
E+1|E ц ^ 3m
1
2—4(1+—-р)Рнзн-ВР—* )( + E+1)Р-— -р
рФ —
1+1!:рн,
Лц(— -р1)
2р1
р = —
1
— — -р1
РПЗН + E(E + 1)э m
Имитационное моделирование СМО данной архитектуры в системе GPSS World [14] показало, что при произвольно заданных значениях числа обслуживающих устройств m и ограничения длины очереди Е в выходном потоке обслуженных заявок наблюдается преобладание требований одних типов над заявками других типов. Ясно, что при этом возникает задача оптимальной организации обслуживания, заключающаяся в том, чтобы по известным в качестве исходных данных интенсивностям входных потоков заявок
или, в
jq3 = РНО
[q2 = РНО + РНЗН
относительных
единицах,
(2)
Первая система уравнений используется, если задана абсолютная пропускная способность по каждому типу заявок, вторая - если требуемая производительность задана в относительных единицах. Так как правые части уравнений являются функциями от т и Е, решение системы в той или иной форме относительно данных переменных даст значения числа обслуживающих устройств и ограничения длины очереди, удовлетворяющие заданным требованиям. Алгоритм решения данной задачи и виде соответствующей блок-схемы содержится в работе [16].
Полученные в данной работе результаты могут быть полезны при проектировании объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания. Изученная модель является универсальной для целого класса открытых СМО, поскольку при определённых значениях параметров т и Е, а также интенсивностей входных потоков требований разных типов, она сводится к ранее известным классическим моделям открытых СМО. Подобные математические модели позволяют оценить производительность проектируемой системы при известной её структуре, а также дают возможность разработать оптимальную архитектуру СМО с целью получения её требуемой производительности ещё на стадии проектирования.
1
+
q
+
E
+
+
Авторы выражают глубокую благодарность доктору технических наук, профессору Владимиру Владимировичу Крылову за конструктивное и полезное обсуждение рассмотренной проблемы.
Литература
1. Кирпичников, А.П. Открытая одноканальная система массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью / А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. -
2006. - № 4. - С. 78 - 85.
2. Кирпичников, А.П. Многоканальная система массового обслуживания с отказами / А.П. Кирпичников, И.Н. Валеев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - № 4. - С. 66 - 70.
3. Кирпичников, А.П. Замкнутые модели систем массового обслуживания с ограничениями / А.П. Кирпичников, Р.Ф. Гильмутдинов // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - № 4. -С.220 - 223.
4. Кирпичников, А.П. Системы обслуживания с отказами с неограниченной очередью/ А.П. Кирпичников, А. С. Титовцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. -
2007. - Т. 14 - Вып. 5. - С. 893 - 896.
5. Клейнрок, Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. - М.: Машиностроение, 1979. -432 с.
6. Ивченко, Г. И. Теория массового обслуживания / Г.И. Ивченко, В. А. Каштанов, И.Н. Коваленко. - М.: Высшая школа, 1982. - 256 с.
7. Альянах, И.Н. Моделирование вычислительных систем / И.Н. Альянах. - Л.: Машиностроение, 1988. - 224 с.
8. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. - М.: Academia, 2005. - 576 с.
9. Cohen J.W. Certain Delay Problems for a Full Availability Trunk Group Loaded by Two Sources / Communications News. - 1956. Vol. 16, -P.105 - 113.
10. Саати, Т. Элементы теории массового обслуживания и её приложения / Т. Саати. -М.: URSS,
2010. - 520 с.
11. Кирпичников, А.П. Прикладная теория массового обслуживания / А.П. Кирпичников. Казань: Изд. КГУ, 2008. - 118с.
12. Кирпичников, А.П. Методы прикладной теории
массового обслуживания / А. П. Кирпични-
ков. Казань: Изд. КГУ, 2011. - 200с.
13. Тихоненко, О.М. Модели массового обслуживания в информационных системах / О.М. Тихоненко. - Минск.: Технопринт, 2003. - 328 с.
14. Боев, В.Д. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS WORLD / В.Д. Боев. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 360 с.
15. Кирпичников, А.П. Методика оптимальной организации систем массового обслуживания с отказами и очередью. / Кирпичников А.П., Титовцев А.С. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15 - Вып.
6. - С. 1090 - 1091.
16. Кирпичников, А.П. Системы обслуживания с неоднородным входным потоком требований, отказами и очередью / А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. -
2011. - Т. 14, № 5. - С. 154 - 162.
© А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КГТУ, [email protected]; А. С. Титовцев - канд. техн. наук, доц. той же кафедры, [email protected].
