Открытые системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872

Кирпичников Александр Петрович

доктор физико-математических наук Казанский национальный исследовательский технологический университет

kirpichnikov@kstu.ru

Титовцев Антон Сергеевич

кандидат технических наук Казанский национальный исследовательский технологический университет

notna6683@mail.ru

ОТКРЫТЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ

В работе предложена математическая модель открытых систем массового обслуживания (СМО), сочетающая в себе многоканальную модель Эрланга (M/M/m/0), классическую многоканальную модель (М/М/т), а также многоканальную модель с ограниченной очередью (М/М/ш/Е). Проведена математическая формализация модели в стационарном режиме, сформулирована задача организации обслуживания в системах этого типа при заданных требованиях к производительности, исследован нестационарный режим работы СМО.

Ключевые слова: система массового обслуживания, система дифференцированного обслуживания, поликомпонентный поток требований, очередь, обслуживающее устройство.

Введение

В последнее время в связи с развитием рынка в России появляется все большее количество различного рода товаров и услуг и возникают проблемы, связанные с организацией пунктов торговли и обслуживания населения, таких как супермаркеты, торговые базы, оптовые рынки. Для описания подобных объектов во многих случаях подходят модели СМО с пуассо-новскими потоками заявок. Однако СМО, встречающиеся в повседневной практике, зачастую представляют собой сложные системы, имеющие во входном потоке заявки нескольких типов. Практический интерес имеют модели обслуживания, являющиеся комбинациями известных классических моделей СМО. Первая и единственная известная авторам попытка математического описания работы комбинированных систем массового обслуживания была предпринята в работе [4, с. 105], однако её автор ограничился лишь исследованием комбинации модели Эрланга и классической многоканальной СМО, менее интересной с точки зрения возможных приложений. В этой связи авторами была предложена модель открытой СМО, сочетающая в себе многоканальную модель Эрланга (М/М/т/0), классическую модель многоканальной СМО (М/М/т), а также модель многоканальной СМО с ограниченной очередью (М/М/т/Е). Граф состояний и переходов такой СМО приведён на рисунке 1.

Примером подобных систем могут служить обычные кассы с очередями. Люди, приходящие в кассу, представляют собой входной поток, содержащий требования разного типа: одни люди из-за отсутствия времени пользуются услугой только в том случае, если касса свободна, другие - в зависимости от количества людей в очереди, третьи -дожидаются обслуживания до конца.

Предположим, что рассматриваемая СМО имеет т обслуживающих устройств и входной поток требований, содержащий заявки трёх типов:

- 1-й тип - заявки, которые обслуживаются при любых обстоятельствах, независимо от наличия свободных обслуживающих устройств и количества заявок, ожидающих обслуживания в очереди;

- 2-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа Е. В случае, когда в очереди уже имеется Е или более требований, вновь поступившая заявка второго типа получает отказ и выбывает из системы необслу-женной;

- 3-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь. В случае если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства, данная заявка покидает систему необслуженной.

Рис. 1. Граф состояний и переходов СМО

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова А>- № 4, 2014

© Кирпичников А.П., Титовцев А.С., 2014

20

Потоки заявок такого рода будем называть поликомпонентными, а системы, обслуживающие каждый тип заявок по отдельным правилам, - системами дифференцированного обслуживания.

Потоки заявок каждого типа, образующие поликомпонентный поток, являются простейшими и имеют интенсивности Я,Я2,Я соответственно, суммарный поликомпонентный поток с интенсивностью Л = Я1 + Я2 + Я3 также является простейшим. Обозначим х = \ + Я2 - входной поток требований после т-го состояния и Я - входной поток требований после (т + Е) -го состояния (также простейшие). Среднюю интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством обозначим за и. В этом случае интенсивность выходного потока обслуженных заявок до т-го состояния кратна И и зависит от числа занятых каналов. После т-го состояния интенсивность потока обслуженных заявок равна т/л. Поток обслуженных заявок также носит простейший характер. Обозначим приведённые интенсивности соответствующих потоков требований как Л1 Л2 Я3

- вероятность неполной загрузки накопителя

Р =-

и

р =—; р =-и и

р =

.(к)+—

Л ' т!

Р

т — р Е + —

1 — 1Р

Р

Р [ Р

т — Р ^ т

— I , РФт

т — Р

Р = т

где ет (К) = у— - неполная экспонента;

Р =

К- Р

I

0 < i < т К

Р, т < i < т + Е

т!

Р,^ р ; ^ т + е

т

т

т!

Кт

(1) р = у р = ... = ^_ Р

1 НЗН 1 1 , 1 0

1—1

У.т )

1 _Р '

т

Е, Р = т

РФ т .

- вероятность полной загрузки накопителя

[Р

Кт I т.

(2) Рпн = У Р = - =

т! 1 _Р\

-Р;

0 Л Я

К = — = Рх +Р2 + Рз; Р = — = Рх +Р2-И И

С учетом принятых обозначений и допущений получим вероятностные, числовые и временные характеристики стационарного режима работы СМО.

Математическая модель

В настоящей работе формализация модели осуществлена по общей схеме, изложенной в работах [1, с. 6; 2, с. 214; 3, с. 242]. По графу, приведенному на рисунке 1, составлена система уравнений Колмогорова для вероятностей стационарных состояний СМО, решение которой приводится в виде вероятностей всех возможных состояний СМО в стационарном режиме:

Для удобства формализации модели были введены новые базисные вероятностные характеристики:

- вероятность немедленного обслуживания

т—1

(3) Рно =У Р = - = ет—! (К) Ро.

1=0

Под неполной загрузкой накопителя в данном случае следует понимать такое состояние СМО, когда общее число требований в очереди не превышает Е — 1. В этом случае в очередь принимаются заявки первого и второго типов. Система при этом может находиться в любом состоянии от т-го до (т + Е — 1) -го. Накопитель считается загруженным полностью, когда в очереди уже имеется Е заявок. В этом случае в очередь становятся только заявки первого типа, а требования второго типа получают отказ. Система в этом случае может находиться в любом состоянии, начиная с (т + Е) -го. Вновь прибывшая заявка любого типа обслуживается немедленно, когда система находится в любом из состояний от 0-го до (т — 1) -го. Приведённая интенсивность р1 потока заявок первого типа не должна превышать числа обслуживающих устройств т, иначе произойдёт переполнение очереди. С целью упрощения математической модели все остальные числовые характеристики СМО выражены через вышеуказанные базисные характеристики с учётом последних трёх выражений (1-3):

- вероятность ожидания обслуживания заявкой в очереди

1 ад 1 т+Е—1

Р = 4.уР +Я у Р =... = ЕР +РР ■

1 ож . ¿^1 1 т . ¿^ 1 1 Т>1 НЗН т Ц 1 ПЗН'

Л 1=т Л 1=т К К

- вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке

Р = ЯуР+Я уу Р =

отк Л ¿ш^ 1 Л — 1

^ 1=т ^ I=т+Е

= ... = р + Р — Р = 1 — Р — Р

1 НЗН 1 ПЗН 1 ож 1 1 НО 1 ож-

- относительная пропускная способность

а = 1 — Р ;

1 отк'

- абсолютная пропускная способность

(4) А = Ла = - = лРно+яРНЗН +ЯРПЗН ;

- среднее число требований, находящихся под обслуживанием

т ад

п = у 1Р1 + у тР1 =

1=0 ¡=т+1

= — = РРно + РРНЗН + Р1РПЗН =

= К (Рно+Рож);

- среднее число заявок, находящихся в очереди (средняя длина очереди)

1 = £(' - т ) Р =

Р

m - р

E +1

-(Рнзн - EPm+E ) , Р*'

РНЗН , Р= m

+Р1 iе + | рпзн ;

^ т т — р1

- среднее время ожидания обслуживания заявкой в очереди

tожид J t !ожид (t) dt

J__

Aq m - р E

( РНЗН EPm+ E ) +

l

Aq m ^ m - р1j A - второй момент времени ожидания заявки в очереди

tожид Jt /ожид (t) dt ~

1

м(m-Р) E2-1

m - р

"(Рнзн -EPm+e)-E(E +1)Pm+

, р Ф m

3m^ 1

■Рнзн , р = m

am( m-р1)

2р1 fE + —^]Рпзн + E (E +1)Pm_

^ m m - р1 j

(6)

A3 = А3 РНО

A2 = А2 (РНО + РНЗН )

Задача организации обслуживания в СМО

Имитационное моделирование данной СМО в системе GPSS World показало, что при произвольно заданных значениях числа обслуживающих устройств m и ограничения длины очереди Е в выходном потоке обслуженных заявок наблюдается преобладание требований одних типов над заявками других типов. Задача организации обслуживания заключается в том, чтобы по известным в качестве исходных данных интенсивностям входных потоков заявок всех типов и заданным требованиям к производительности СМО по каждому типу заявок рассчитать необходимое число обслуживающих устройств, а также ограничение по длине очереди для заявок 2-го типа. Для этого абсолютную пропускную способность СМО (4) представим в виде трёх слагаемых, каждое из которых представляет собой количество обслуженных заявок определенного типа.

(5) A = А1 (РНО + РНЗН + РПЗН ) + А2 (РНО + РНЗН ) +

+^рно = A + A + A3.

Поскольку заявки 1-го типа обслуживаются при любых обстоятельствах, то задать требуемую производительность можно только для заявок 2-го и 3-го типов. Из последнего выражения (5) следует

или, в относительных единицах,

(7) 1*3 = Рно .

lq2 РНО + РНЗН

Система уравнений (6) используется, если задана абсолютная пропускная способность по каждому типу заявок, система уравнений (7) - если требуемая производительность задана в относительных единицах. Так как правые части уравнений являются функциями от m и Е, решение системы в той или иной форме относительно данных переменных даст значения числа обслуживающих устройств и ограничения длины очереди, удовлетворяющие заданным требованиям.

Обращаем внимание, что значения m и Е должны быть натуральными числами, поэтому возможно лишь приближенное решение данной системы уравнений. При этом ближайшим целочисленным решением, максимально удовлетворяющим поставленным выше требованиям, очевидно, будет то решение, для которого невязки между правой и левой частями систем уравнений (6), (7) являются минимальными.

Нестационарный режим

Нестационарный режим в открытых системах дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков исследован посредством имитационного моделирования данных систем в системе моделирования GPSS World. Имитационное моделирование осуществлялось в диапазоне значений времени моделирования: от 10 до 1000000 единиц модельного времени. Всего разработано 4 имитационных модели - обобщенная модель систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков и ее частные разновидности: комбинация моделей М/М/m/E и M/M/m/0, комбинация моделей М/М/m и M/M/m/E, комбинация моделей М/М/m и M/M/m/0. Поведение характеристик данных моделей СМО иллюстрируют графики, приведенные на рисунках 2-3. Зависимость среднего времени ожидания заявки в очереди от времени моделирования имеет качественно схожий характер поведения со средней длиной очереди.

На графиках характеристики с индексом 1 относятся к общей комбинированной модели, с индексом 2 - к комбинации моделей М/М/т/Е и M/M/m/0, с индексом 3 - к комбинации моделей М/М/m и M/M/m/E, с индексом 4 - к комбинации моделей М/М/m и M/M/m/0, по оси абсцисс откладывается время моделирования. Интересной особенностью, вытекающей из представленных выше результатов, является то, что для вторых моментов характеристик данных систем квазистационарный режим устанавливается в течение более длительного промежутка времени, на порядок превышающего промежуток времени для первых моментов.

i=m+1

20

40

60

80

+

100

Рис. 2. Зависимость средней длины очереди от времени

0.8—

0.6-

o2tog1( t)

a2tog2( t) • • • •

o2tog3( t) a2tog4( t)

0.4"'

0.2

//

I t

200

400

600

800

1000

Рис. 3. Зависимость дисперсии времени ожидания от времени

Заключение

Приведённые в данной работе результаты могут быть полезны при проектировании объектов, работающих по принципу систем массового обслуживания. Предложенная модель является универсальной для целого ряда открытых СМО, поскольку при определённых значениях параметров т и Е, а также интенсивностей входных потоков требований разных типов, она сводится к ранее известным классическим моделям СМО. Подобные модели позволяют оценить производительность проектируемой системы при известной её структуре, а также дают возможность рассчитать число

обслуживающих устройств и ёмкость накопителя, необходимые и достаточные для получения требуемой производительности.

Библиографический список

1. Кирпичников А.П., Титовцев А.С. О вероятностных характеристиках обобщённой модели систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков // Наука в центральной России. - 2013. - №4. - С. 5-8.

2. Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков // Информационные технологии.

t

Радиоэлектроника. Телекоммуникации. - 2012. -Т. 2. - №2. - С. 212-218.

3. Кирпичников А.П., Титовцев А.С. Числовые характеристики систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков // Вест-

ник Казанского технологического университета. -2013. - Т. 16. - № 23. - С. 242-244.

4. Cohen J.W. Certain delay problems for a full availability trunk group loaded by two sources // Communications news. - 1956. - V. 16. - P. 105-113.

УДК 519.6:502

Свиридов Александр Васильевич

кандидат химических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

avsviridov09@mail.ru

Акаев Олег Павлович

доктор технических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

akaev@list.ru

ПОЛУЧЕНИЕ ИЗ ТОРФА ЖИДКОГО КОМПЛЕКСНОГО НИТРОГУМИНОВОГО УДОБРЕНИЯ

Предложен способ получения на основе торфа жидкого комплексного нитрогуминового удобрения с микроэлементами. Испытания удобрения показали его эффективность для увеличения всхожести семян и ускорения рост растений.

Ключевые слова: торф, нитрогуминовый, микроэлементы, удобрение.

В настоящее время для выращивания сельскохозяйственных культур широко применяются жидкие комплексные удобрения (ЖКУ). При производстве этих удобрений значительно снижаются капитальные затраты и стоимость переработки сырья по сравнению с твердыми удобрениями, так как в технологической схеме нет стадий сушки, гранулирования, охлаждения, дробления, рассева, кондиционирования. Применение ЖКУ позволяет полностью механизировать процесс внесения их в почву, осуществлять внекорневую подкормку растений. Поэтому такие удобрения незаменимы для тепличных хозяйств.

Сегодня большой интерес вызывают жидкие комплексные гуминовые удобрения, которые содержат легкорастворимые соли гуминовых кислот - гуматы натрия, калия и аммония. Они являются физиологически активными формами гуминовых кислот, действие которых заключается в повышении активности ферментов, скорости физиологических и биохимических процессов, а также в стимулировании процессов дыхания, синтеза белков и углеводов у растений [1].

Наряду с этим, они активизируют развитие корневой системы растений, улучшают поступление питательных веществ и микроэлементов из почвенного раствора в растение. Это способствует повышению коэффициента использования минеральных удобрений, что позволяет сократить дозы азотных удобрений на 30-50% и сэкономить значительные средства.

Гуминовые кислоты практически не растворяются в воде и минеральных кислотах. Особенно характерны гуматы кальция и магния, которые нерастворимы в воде и образуют в почве водопрочные гели со склеивающей и цементирующей спо-

собностью. Гуматы натрия, калия и аммония легко растворимы в воде и вымываются из почвы [2].

В настоящее время такие удобрения получают в основном из торфа.

В Костромском регионе торф является одним из важнейших природных ресурсов. Крупные торфяные месторождения расположены в Макарьев-ском, Кадыйском и Костромском районах. Торф в Костромском регионе используется, в основном, в сельском хозяйстве без переработки, а также как топливо. Применение торфа в качестве топлива не вполне целесообразно, так как он содержит по сравнению с бурым углем меньше основных те-плообразующих элементов и больше энергетически бесполезных - азота и кислорода [3].

4 8 12 16

Концентрация кислоты ( Ш, %)

Рис. 1. Зависимость оптической плотности гуминового раствора от концентрации азотной кислоты:

1 - при комнатной температуре; 2 - при нагревании (1 час); 3 - при нагревании (2 часа)

24

Вестник КГУ им. H.A. Некрасова ¿j- № 4, 2014

© Свиридов А.В., Акаев О.П., 2014