Характеристики систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев

ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ

Ключевые слова: Система массового обслуживания, система дифференцированного обслуживания, поликомпонентный поток требований, очередь.

Исследовано поведение различных характеристик систем дифференцированного обслуживания поликомпо-нентных потоков.

Keywords: queuing system, system of difference service, polycomponentflow of requirements, queue.

The strategy of different characteristics of systems of difference service ofpolycomponent flow is studied.

В данной работе исследован характер поведения числовых и временных характеристик открытых систем дифференцированного обслуживания поли-компонентных потоков, представленных в статьях [1 - 6]. Поскольку в реальных системах массового обслуживания (СМО) обычно всегда присутствуют требования, которые дожидаются обслуживания до конца, в качестве базовой модели принята классическая модель М/М/т. Добавляя последовательно к базовой модели потоки требований 2-го и 3-го типов [4 - 8], исследовано сначала влияние каждой составляющей входного потока требований на характеристики производительности СМО, а затем и поведение характеристик общей модели дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков.

Сначала было исследовано поведение характеристик модели СМО - комбинации моделей М/М/т и М/М/т:0.

Вероятность простоя системы (нулевого состояния) имеет монотонно убывающий характер и при достижении точки с абсциссой р1 = т обращается в нуль. По мере роста приведенной интенсивности р3 потока требований третьего типа начальное значение вероятности нулевого состояния СМО (при Рі = 0) стремительно приближается к

нулю. Такой характер поведения вероятности нулевого состояния свидетельствует о том, что неэффективные простои СМО возможны только при малых значениях интенсивностей входных потоков.

Вероятность полной загрузки накопителя (ПЗН) имеет монотонно возрастающий характер и при достижении точки Рі = т становится равной 1. По мере увеличения приведенной интенсивности Рз начальное значение вероятности увеличивается,

уменьшая крутизну кривых. В предельном случае при р3 = да вероятность ПЗН равна 1 и не зависит

от Рі.

Вероятность немедленного обслуживания (НО) вновь прибывшей заявки имеет прямо противоположный вероятности ПЗН характер поведения, а графики её являются зеркальным отображением кривых вероятности ПЗН. Данное обстоятельство вытекает из условия нормировки. Вновь прибывшая

заявка обслуживается немедленно, если свободно хотя бы одно обслуживающее устройство. Положительная сторона возрастания этой характеристики в том, что чем она больше, тем меньше очередь. С другой стороны, высокая вероятность немедленного обслуживания означает, что на момент поступления заявки значительная доля обслуживающих устройств простаивает. Наиболее оптимальной является ненулевая, но и не высокая вероятность немедленного обслуживания.

В данной СМО только заявки 1-го типа ожидают обслуживания в очереди. Вероятность ожидания обслуживания вновь прибывшей заявкой в очереди (рис. 1) монотонно возрастает по мере увеличения приведенной интенсивности рх и достигает

единицы только при нулевом значении р3. Такое

возрастание объясняется тем, что с увеличением интенсивности входного потока требований падает число свободных обслуживающих устройств. По мере увеличения приведенной интенсивности рз

предельное значение вероятности ожидания при р1 = т уменьшается, изменяя наклон кривых. Несмотря на то, что заявки 1-го типа дожидаются обслуживания до конца, при Р3 = да вероятность

ожидания практически не зависит от Р1 и равна 0,

т. к. в этом случае приведенная интенсивность р

пренебрежительно мала по отношению к р Чем

больше вероятность ожидания, тем меньше вероятность простоя обслуживающих устройств и больше число заявок, которые будут обслужены. Однако высокая вероятность ожидания благоприятна в том случае, если в системе не происходит переполнения очереди.

Вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке (рис. 2) в целом имеет слабо возрастающий характер и увеличивается по мере роста приведенной интенсивности Р3. В предельных

случаях при р3 = 0 и р3 = да вероятность отказа не зависит от интенсивности р1 и равна соответственно 0 и 1. Чем меньше вероятность отказа, тем большая доля заявок из общего входного потока будет обслужена.

(р1,0,

Р00 Р00 (р 1 >0 > Р00 (р 1 >0 >

Роо

(р 1,0,

Рис. 1 - Зависимость вероятности ожидания от приведенной интенсивности рх .

т := 5 Е := 0

Р0ТК (р 1 >0 >' Р0ТК (р 1 >0

Р0ТК (р 1 >0 > Р0ТК (р 1 >0 >

,т,Е)

,т,Е)

0 ,т ,Е)

Е)

Рис. 2 - Зависимость вероятности отказа от приведенной интенсивности р1.

Относительная пропускная способность СМО имеет прямо противоположный вероятности отказа характер поведения, а графики ее являются зеркальным отображением семейства кривых вероятности отказа.

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием (рис. 3), носит монотонно возрастающий характер и в точке р1 = т достигает максимального значения, равного числу обслуживающих устройств т . По мере увеличения приведенной интенсивности р3 начальное значение данного

параметра увеличивается с понижением скорости возрастания, и в предельном случае, при бесконечном рз, принимает постоянное значение т независимо от интенсивности потока р1. Среднее число

требований под обслуживанием, деленное на число обслуживающих устройств т , дает коэффициент загрузки СМО. Чем больше коэффициент загрузки, тем эффективнее система. Однако повышение коэффициента загрузки СМО не должно быть следствием чрезмерного увеличения интенсивности входного потока требований, вызывающего переполнение очереди или сплошные отказы в обслуживании.

Средняя длина очереди (рис. 4) имеет монотонно возрастающий характер, резкое возрастание наблюдается в окрестности точки р = т. Такое

бесконечное возрастание объясняется переполнени-

ем очереди при приближении приведенной интенсивности рх к значению т . Всякое изменение интенсивности потока рз на характер поведения

средней длины очереди влияет незначительно, поскольку при наличии очереди в системе заявки з-го типа получают отказ. Чем больше очередь, тем больше заявок будет обслужено, но при этом не должно происходить переполнения очереди.

п(р 1 , 0 , ч(р 1 , 0 , п(р 1 , 0 ,

Рис. 3 - Зависимость среднего числа обслуживаемых заявок от приведенной интенсивности

А.

т := 5 Е := 0

1(р 1, ■(р 1, 1(р 1, ■(р 1,

Рис. 4 - Зависимость средней длины очереди от приведенной интенсивности р1.

Далее исследовано поведение характеристик модели СМО - комбинации моделей М/М/т и М/М/т:Е.

Вероятность простоя системы имеет монотонно убывающий характер и при достижении точки с абсциссой р = т обращается в нуль. По мере

роста приведенной интенсивности р2 потока требований второго типа начальное значение вероятности нулевого состояния СМО (при р = 0) стремительно приближается к нулю. Такой характер поведения вероятности нулевого состояния свидетельствует о том, что неэффективные простои СМО возможны только при малых значениях интенсивностей входных потоков.

При наличии во входном потоке требований одного типа вероятность неполной загрузки накопителя (НЗН) ведет себя неоднозначно. Некоторое за-

Е := 0

т := 5

Е := 0

т := 5

1

паздывание в возрастании объясняется тем, что при малых значениях р ещё не заняты все обслуживающие устройства. При дальнейшем возрастании интенсивности входного потока занимаются все устройства, но остаются свободные места в накопителе ёмкостью Е, поэтому вероятность НЗН имеет возрастающий характер. Однако, при больших значениях р1 в окрестности точки рх = т плавно

возрастающий характер вероятности НЗН меняется на резко убывающий, поскольку в этом случае накопитель заполняется почти полностью. Добавление во входной поток требований других типов приводит к ненулевому начальному значению вероятности НЗН. По мере увеличения интенсивности общего входного потока экстремум смещается влево, а затем и вовсе исчезает, вероятность НЗН приобретает монотонно убывающий характер. Дальнейшее бесконечное увеличение нагрузки со стороны входного потока приводит к полной загрузке накопителя и нулевому значению вероятности НЗН.

Вероятность полной загрузки накопителя имеет монотонно возрастающий характер и при достижении точки рх = т становится равной 1. По

мере увеличения приведенной интенсивности р2

начальное значение вероятности увеличивается, уменьшая крутизну кривых. В предельном случае при р2 = да вероятность ПЗН равна 1 и не зависит

от Д.

Вновь прибывшая заявка обслуживается немедленно, если свободно хотя бы одно обслуживающее устройство. Чем больше вероятность НО, тем меньше очередь. С другой стороны, высокая вероятность немедленного обслуживания означает, что на момент поступления заявки значительная доля обслуживающих устройств простаивает. Наиболее оптимальной является ненулевая, но и не высокая вероятность немедленного обслуживания.

Вероятность ожидания обслуживания вновь прибывшей заявкой в очереди монотонно возрастает по мере увеличения приведенной интенсивности рх и достигает единицы только при нулевом значении р2. Такое возрастание объясняется тем, что с увеличением интенсивности входного потока требований падает число свободных обслуживающих устройств. Добавление во входной поток требований других типов приводит к ненулевому начальному значению вероятности ожидания. По мере увеличения интенсивности общего входного потока экстремум смещается влево, а затем и вовсе исчезает, вероятность ожидания приобретает слабо убывающий характер. Несмотря на то, что заявки 1-го типа дожидаются обслуживания до конца, при р2 = да вероятность ожидания практически не зависит от рх и равна 0, т. к. в этом случае приведенная интенсивность рх пренебрежительно мала по отношению к р2. Чем больше вероятность ожидания, тем

меньше вероятность простоя обслуживающих устройств и больше число заявок, которые будут обслужены. Однако высокая вероятность ожидания благоприятна в том случае, если в системе не происходит переполнения очереди.

Вероятность отказа в обслуживании вновь прибывшей заявке в целом имеет возрастающий характер и увеличивается по мере роста приведенной интенсивности р2. В предельных случаях при

р2 = 0 и р2 = да вероятность отказа не зависит

от интенсивности рх и равна соответственно 0 и 1.

Чем меньше вероятность отказа, тем большая доля заявок из общего входного потока будет обслужена.

Относительная пропускная способность СМО имеет прямо противоположный вероятности отказа характер поведения, а графики ее являются зеркальным отображением семейства кривых вероятности отказа.

Среднее число требований, находящихся под обслуживанием, носит монотонно возрастающий характер и в точке рх = т достигает максимального значения, равного числу обслуживающих устройств т . По мере увеличения приведенной интенсивности р2 начальное значение данного параметра увеличивается с понижением скорости возрастания, и в предельном случае, при бесконечном р2, принимает постоянное значение т независимо от интенсивности потока р1. Среднее число требований под обслуживанием, деленное на число обслуживающих устройств т , дает коэффициент загрузки СМО. Чем больше коэффициент загрузки, тем эффективнее система. Однако повышение коэффициента загрузки СМО не должно быть следствием чрезмерного увеличения интенсивности входного потока требований, вызывающего переполнение очереди или сплошные отказы в обслуживании.

Средняя длина очереди имеет монотонно возрастающий характер, резкое возрастание наблюдается в окрестности точки рх = т. Такое бесконечное возрастание объясняется переполнением очереди при приближении приведенной интенсивности рх к значению т . По мере увеличения интенсивности р2 начальное значение средней длины очереди увеличивается, и в предельном случае, при р2 = да, достигает значения, равного числу мест в

накопителе Е. Чем больше очередь, тем больше заявок будет обслужено, но при этом не должно происходить переполнения очереди.

Наконец, исследовано поведение характеристик модели СМО - комбинации моделей М/М/т, М/М/т:Е, М/М/т:0. Характеристики общей модели дифференцированного обслуживания поликомпо-нентных потоков качественно схожи с характеристиками предыдущей модели СМО - комбинации моделей М/М/т, М/М/т:Е.

Исследование показало, что введение во входной поток заявок 3-го типа, которые обслужи-

ваются только при наличии свободных обслуживающих устройств, не оказывает существенного влияния на характер поведения характеристик системы.

Литература

1. Кирпичников, А.П. Открытая одноканальная система массового обслуживания с отказами и неограниченной очередью / А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2006. - № 4. - С. 78 - 85.

2 Кирпичников, А.П. Системы обслуживания с отказами с неограниченной очередью/ А.П. Кирпичников, А.С. Ти-товцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - Т. 14 - Вып. 5. - С. 893 - 896.

3. Кирпичников, А.П. Методика оптимальной организации систем массового обслуживания с отказами и очередью. / Кирпичников А.П., Титовцев А.С. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15 -Вып. 6. - С. 1090 - 1091.

4. Кирпичников, А.П. Системы обслуживания с неоднородным входным потоком требований, отказами и очере-

дью./ А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2G11. - № 5. - C. 154 - 1б1.

5. Кирпичников, А.П. Открытые системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков./ А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2G12. - № 1. - C. 14В - 152.

6. Кирпичников, А.П. Открытые системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков./ А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2G12. - № б. - C. 2G1 - 2G3.

7. Титовцев, А.С. Открытые многоканальные системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков: дис. ... канд. техн. наук / А.С. Титовцев. - Казань, 2G11. - 143 с.

В. Титовцев А.С. Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Модели и характеристики / А.С. Титовцев. - Saarbruken, Germany: LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2G12. - 132 p.

©А. П. Кирпичников - д-р физ. мат. наук, проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; А. С. Титовцев - канд. техн. наук, доц. той же кафедры, [email protected].

34G