Числовые характеристики систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ

Ключевые слова: Система массового обслуживания, система дифференцированного обслуживания, поликомпонентный поток требований, очередь.

В работе выполнена математическая формализация числовых характеристик стационарного режима функционирования открытых систем массового обслуживания с поликомпонентным входным потоком и множеством ограничений на длину очереди.

Keywords: queuing system, system of difference service, polycomponentflow of requirements, queue.

In the work we performed mathematical formalization of numerical characteristics of stationary mode offunctioning of open queuing systems with a polycomponent input stream and a great number of restrictions on the length of the queue.

В опубликованном цикле работ авторов [1 -13] было введено понятие открытых систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков, являющихся комбинациями систем массового обслуживания (СМО) различных типов, в частности, многолинейной классической СМО, СМО с отказами и СМО с очередью конечной длины, а также исследованы основные характеристики стационарных режимов систем массового обслуживания такого типа. Напомним, что при этом рассматриваемая СМО имеет т обслуживающих устройств и входной поток требований, содержащий заявки нескольких типов:

- 0-й тип - заявки, которые обслуживаются только при наличии свободного обслуживающего устройства и никогда не становятся в очередь. В случае, если на момент поступления в систему очередной подобной заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства, данная заявка покидает систему необслуженной.

- 1-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа 81. В случае,

когда в очереди уже имеется 81 или более требований, вновь поступившая заявка 1-го типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной;

- 2-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа 82 . В случае,

когда в очереди уже имеется 8г или более требований, вновь поступившая заявка 2-го типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной, и т.д.;

- И-й тип - заявки, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа 8)1. В случае,

когда в очереди уже имеется 8)1 или более требований, вновь поступившая заявка И-го типа получает отказ и выбывает из системы необслуженной.

Рис. 1 - Граф состояний и переходов СМО

В работах [5, 6] потоки заявок такого рода было предложено называть поликомпонентными, а системы, обслуживающие каждый тип заявок по отдельным правилам, - системами дифференциро-

ванного обслуживания поликомпонентных потоков. Граф состояний и переходов такой СМО приведён на рис.1.

Принятые обозначения:

Е0 О, Є-1 , Є2 + Е2 I ‘ ‘ ‘

є = ІЕ = IЕ

ограничения длины очереди

і=0

і=1

для заявок ]-го типа;

Ло =1 л I Лі =І я] I л2 =І лі I

1=0 1=1 1=2

Ль = I где л

интенсивности потоков заявок ]-

го типа;

К0 =1Рг К1 = I Рг К2 = I Рр

1=0

1=1

1=2

л

= РЬ; О = —“, где Р - приведенные интен-

м

сивности потоков заявок ]-го типа.

Потоки заявок каждого типа, образующие поликомпонентный поток, являются простейшими и

имеют интенсивности , следовательно, суммарные поликомпонентные потоки с интенсивностями Лу также являются простейшими (пуассоновскими)

[14]. Среднюю интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством обозначим как М . В этом случае интенсивность выходного потока обслуженных заявок до т -го состояния кратна М и зависит от числа занятых каналов. После т-го состояния интенсивность потока обслуженных заявок равна тм. Поток обслуженных заявок также носит простейший характер.

С учетом принятых обозначений и допущений получим непрерывную марковскую цепь, граф состояний которой приведен на рис. 1. С учетом формул [10], полученных для вероятностей стационарных состояний по методике, предложенной в монографиях [15, 16], найдем общую зависимость различных числовых характеристик от параметров входного потока заявок в стационарном режиме работы системы.

Среднее число заявок, находящихся под обслуживанием:

т-1 т+8ь

П = 2Р + т 2Р =

I=1 I=т

т-1 о' Ь

= 2 Р0 + т^РБ + тРт8 =

= °0Р0ет-2 (Ро) + т (Рож + Ротк ) =

= О0Р0ет-2 (Ро) + т | 2 РБ1 + Рт V I=1

Осреднённый квадрат числа заявок, находящихся под обслуживанием:

т-1

п2 = £і2Р, + т21Р, =

і=1

т-1 КО

= 1^-7°Ро + т21 Р, =

і=1 1 ! і=т

т-1 о і-1 т+єь

= К0Р0І і-кЧ- + т21 Р =

0 0ъ (- 1)! йт '

( т-1 Кі-2 т-1 оі-1 ^

“ К0Р0

К

К01/ '0 \ + І/+ т21 Р 0 £ (і-2)! £ (і- 1)!) 1 '

= К0Р0Єт-2 (К0 ) + Р0Р0Єт-3 (К0 ) +

( Л ^

+т 2| I РБі + Рт+єь

і=1

Средняя длина очереди:

і=1

К

т - К

Р -ЕР

Бі і т+є

, К ф т

Е, (Е +1)

Рт К = т

к

ь о

+2^1 тРБ, ■ і=2 т

Осреднённый квадрат длины очереди:

12 = 1

є2 Р +

Ьі-1Г Бі ^

К

(

т - К

т + К

V т - К

г + 2єм

Рбі -

( 2Е -1

+ Є-1 I Рт

тЕ,

т - К К = т

2К

Е ++ 2є 1 і т - К і-1

л

+Є'Р

^ьЬгт+є„-

Полный вывод последних двух характеристик приводится в работах [12-13].

Среднее число заявок, находящихся в системе в целом (как в очереди, так и под обслуживанием):

Г ь \

к = п + I = КоР0Єт-2 (°0 ) + т\1 РБ1 + Рт+

+1

і=1

К

Р -ЕР

Бі і т+є

=1

у

Е, (Е +1)

+

ь К

+1 є-1 тРБі = °0Р0Єт-2 (К0 ) + =2 т

hI

і=1

R

m - R,

Pm є . — = m

2 п+є,-1 і

m

mPm

Ковариация числа требований, находящихся под обслуживанием, и числа требований в очереди:

___ ад

ооч(п,і) = пі - пТ = І т (і - т)Р: - пТ =

і=т+1

ад

= т І (і - т)Р< - пі = ті - пі.

і=т+1

Дисперсия числа требований в системе в

целом:

с2к = я*2 + о2 + 2соу(п,і) =

= п2 - п2 +12 -Т2 + 2тТ - 2пТ =

= п2 +12 + 2ті -(2 +12 + 2пі) =

= (п +1)2-(п +1) = к2 - к2.

Тогда, осреднённый квадрат числа требований, находящихся в системе в целом, равен

к2 = п2 +12 + 2тТ = ОоРо^т-2 (О) +

+О0Р0ет-3 (О0 ) + т2 V 2 РБ1 + Рт+8, ) +

i=1

s2 P

Ьі-1 Бі

Ps, -

( - 1)e,I2E^1+Є,-11 p.

І-1 I m +Є, 5

mE

m - Ri Ri = m

+S2P

h m+s.

+2mI

i =1

- 2—

-l +--------------+ 2Є: 1

1 m - R; 1-1

R

\_PSi EiPm+Є, ] - Ri *

m

Pm , R: = m

2 п+.,-1 l

є —P Є-1 mPsi

= R0P0em-2 (R0 ) + R0 P0em-3 (R0 ) '

+I

i=1

R

m - R,

v m - —

Ps, -

■ + єі-1 I +

mE

m - R,

2R

E: + j + 2єі1 + 2R: j m - — 1-1 1

Л

R, * m

+ (Ei + 1)m \ Pm+si - — = m

!> +

+( + 2Sj-1— + m2) ] + (s2h + m2) Pm+sh.

Результаты расчётов, полученные в настоящей работе, продолжают цикл результатов, опубликованных ранее в работах [1 - 13] и могут быть полезны при проектировании и эксплуатации широкого класса объектов и систем, работающих по принципу систем и сетей массового обслуживания.

Литература

1. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 4, 78-85 (200б);

2. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 14, 5. 893-89б (2007);

3. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 15, б. 1090-1091 (2008);

4. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 5, C. 154-1б1 (2011);

5. А.С. Титовцев, Дисс. канд. техн. наук, КНИТУ, Казань, 2011. 143 с.;

6. А.С. Титовцев, Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Модели и характеристики. Saarbrucken, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 132 с.;

7. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 15, 1, C. 148-152 (2012);

8. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 15, б, C. 201-202 (2012);

9. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 15, 8, C. 337-340 (2012);

10. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 16, б, C. 248-252 (2013);

11. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Наука в Центральной России, 4, C. 5-8 (2013);

12. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 16, 11, C. 255-257 (2013);

13. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 16, 18, C. 282-28б (2013);

14. А.Я. Хинчин, Работы по математической теории массового обслуживания. М., ГИФМЛ, 19б3. 23б с.;

15. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. 112 с.;

16. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

© А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; А. С. Титовцев - канд. тех. наук, доцент каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected].