Второй начальный момент времени ожидания начала обслуживания в системах дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.872

А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев

ВТОРОЙ НАЧАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ НАЧАЛА ОБСЛУЖИВАНИЯ

В СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ

Ключевые слова: Система массового обслуживания, система дифференцированного обслуживания, поликомпонентный поток требований, очередь.

В работе представлен алгоритм расчёта второго начального момента времени ожидания в открытых системах массового обслуживания с поликомпонентным входным потоком и множеством ограничений на длину очереди в стационарном режиме функционирования.

Keywords: queuing system, system of difference service, polycomponentflow of requirements, queue.

This paper presents an algorithm of the calculation of the second initial moment of waiting time in the open systems of mass service with a polycomponent input stream and a great number of restrictions on the length of the queue in the stationary mode of functioning

Данная работа продолжает цикл статей, по-свящённых изучению свойств и закономерностей нового вида систем массового обслуживания - так называемых систем дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков заявок, впервые введённых в рассмотрение авторам в цикле работ [1-8]. Напомним, что при этом рассматриваемая нами СМО имеет т обслуживающих устройств и входной поток требований, содержащий заявки нескольких различных типов:

- 0-й тип - требования, которые обслуживаются только при наличии хотя бы одного свободного обслуживающего устройства. В случае, если на момент поступления в СМО очередной такой заявки в системе не оказывается свободного обслуживающего устройства, данная заявка получает отказ и покидает систему необслуженной.

- 1-й тип - требования, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо принимаются в очередь, если число заявок в очереди меньше определённого числа . В

случае, когда в очереди уже имеется или более

требований, вновь поступившая заявка 1-го типа выбывает из системы необслуженной;

- 2-й тип - требования, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо принимаются в очередь, если число требований в очереди меньше определённого числа

82. В случае, когда в очереди уже имеется 82 или

более заявок, вновь поступившая заявка 2-го типа получает отказ и выбывает необслуженной, и т.д.;

- И-й тип - требования, которые обслуживаются при наличии свободного обслуживающего устройства, либо становятся в очередь, если число заявок в очереди меньше определённого числа 8л.

В случае, когда в очереди уже имеется 8л или более

требований, вновь поступившая заявка И-го типа выбывает из системы необслуженной.

Потоки требований подобного рода будем называть поликомпонентными, а системы, обслужи-

вающие каждый тип заявок по отдельным правилам, - системами дифференцированного обслуживания [9-10]. Граф состояний и переходов такой СМО приведён на рис.1.

Принятые обозначения:

80 _ Ео _ ° 81 _ Е1; 82 = Е1 Е2'

1

1

8у = ^ ЕI = ^ Е1 - ограничения длины очереди /=0 /=1

для заявок ]-го типа;

Ло =£Ау; Л1 =£Л, Л2 =£V

¡=о 1=1 ¡=2

Лл = Ль ; где А - интенсивности потоков заявок го типа;

л л

r0=Ёл; Ri = Ёл; r = Ёл;

j=0

j=1

j=2

= рл ; = Л, и

где Р1 - приведенные интенсивности потоков заявок ]-го типа.

Потоки требований каждого типа, образующие поликомпонентный поток, являются пуассоновскими и имеют интенсивности Л^, суммарные поликомпонентные потоки с интенсивностями Л ^ тоже являются пуассоновскими [11]. Среднюю интенсивность обслуживания заявок одним обслуживающим устройством обозначим как /. В этом случае интенсивность выходного потока обслуженных требований до т -го состояния кратна /Л и зависит от числа занятых каналов. После т-го состояния интенсивность потока обслуженных заявок равна т¡и . Поток обслуженных заявок также носит пуассоновский характер.

Рис. 1 - Граф состояний и переходов СМО

С учетом принятых обозначений и допущений получим непрерывную марковскую цепь, граф состояний которой приведен на рис. 1. С учетом формул, полученных для вероятностей стационарных состояний, а также числовых характеристик, функции и плотности распределения времени ожидания, приведенных в работах [12-17], найдем общую зависимость осредненного квадрата времени ожидания обслуживания вновь прибывшей заявкой от параметров входного потока заявок в стационарном режиме работы системы.

с = ] t %ж ^

р

т-1

Я I 0

л /-1 ( о 1

Л112е(Л1t )Л + |Л, П

/=2 д=1

V

] 12е-тц(ее,-1 (Л ^ )<Я - {12е-туЧ,н (Л,/

Я I 1 (ту)3 у=0 у!

V т^у

л /-1 ( о Л£д

+1\П| д 1

/=2 д=1

v 0 у

1 i-1 (2 + У)!(Л, V

(ту)3 У=0 У! v ту

1 : (2 + у)!| л, ^у

(ту) у=о у!

£(У+1)2

ту

Г п> V

р

= ' т-1

Я

(ту) у=о

л 51-1

01 т

к' +1)) 01У +

(ту) у=о

т

л 1-1 ( о 1

+1 л,п' д 1

/=2 д=1

v у

г1? Не+1)2 с т 1 +

(ту) у=о v т у

:е<7+1)г т 1у -

(ту) у=о v т у

.-v 101)2 v т 1 у -

(ту) у=о v т у

1 !(+1))^

(ту)

у=о

т

р

Гт-1

л1

(ту)

1+0 -(+1)2 Г0 Т

т 41 у V т У (1-13

(+2,1 -1)( т у 1

+--——

, +1 / о ле1 +2 2 | °1 1

т

1. т .

X

X

л

Гр Га +1

1 -(81 + +81 («ч

v т ) 11 т )

(ти/

1 - — ^

. т)

т-1

Я (т/и))

л„

1+——82 Г ЯТ (ц -

т 1 I т ) I т ,

1 —

—1 т

-Цл , П

1=2 д=1

1—1Г Я 1Ед 1

V Я )

(т/)

1 + я — (8,+ 1)2 (ят'

т у 1 7 V т)

(1—т г

( + 28

8+1

— 8

8+2

1 — — т i

^ О Л8 ( Я Л8+1

1 — (8,.+1)(т 1 + 8,.(Я- i

v т ) 1v т )

1——

т

1 + ^ -(8—1 + 1)2 (^г1

т 4 1 1 7 V т)

(1—а"

( + 28—1 —

я у'—1+1 2 ( я у—1+2

— 8

I—1

1—Я |

т ,

^ С? Л8—1 / гр Л8—1+1

1 — (8—1 +1)( + 8—1 ( 4 1 1 \ т) 1 1v т)

—28 (Я11 (1 — Я ] — (Я11 (1 + 1 V т IV т ) V т IV т )

+-V-^-У—^-^^-У +

1—

«1 т

+

Г о Л81+1 ( с? л

81 I я1| |1 —01

т ) V т ,

1 — — ^

. т)

я111 8 г я111г1 я1

+-

1 — | —8

_1 1 1

т ) V т ,

1 — «1 ^

т

+!л,п

1=2 д=1

1 ( Я 1

v я )

о у« / с?

и ■ ■/ 2 i i ( ^ Я. 1 + —1- — 82 1

Я

т

1 — ^ т

1—— 1 т)

+

1—я

т

8,2 i я 18+1 (1— я

+

т

т

1 —

1—Я'

т

—11 —8 (—1' (1 — —

+

т

т

т

1—Я1

т)

х

Рт-1 1

Я (т^)3

Л1

1+р т

1 р

I т ,

1-р т

/о\Е1 /'р^ /р ЛЕ1

Е2 |р1| 2Е [ р1 ] 1 — | р1 | I т ) I т ) I т )

1 — р1 т

1—р12 Г1—я42

т

Е 1 р1

11 |

' V т ) 1 — р

т

т

Л /—1 | р I

+1 л , п

1=2 д=1

V т )

р ' 1 1 — Р )

т )

11 Р I3

т

'/—1

1 — |Р

т

1—р

т

2е Е (р|Е' Е2 [р|Е'

—1 / | | / | | ' 1 ' V т ) V т )

1—р

т

1—р

т

Г [ Р Iе 1

2 8—1 1 — Iр I

V т )

2Е, | р

' V т

'Т^—р

V т

1—1Р

т

1—Р

т

1—Р

т

1—Г тГ

V т )

1—р

т

Е> [ й|

' V т )

тр

т

Р 1

' т—1 1

Я (т^)3

Л,

1_| р1

т

1—Р1

т

Е (Е1 +1)) р

141 Ч т

2Е11Р11

11 т )

1 — р т

Л /—1 | р |Ед

д

1 — р т

-елП

/=2 д=1

V т )

1—i т т

v т)

(8—1 + ^

1 — ^ т

1—р ,

т)

Г [ р Iе 1

28-1 1 — I Р I

V т )

1—р

т

1—Р

т

Е (м + Е)) т

т

2Е . ( р Т' Е .[ р Т' 'V т ) '{ т)

1 — -

т

Л.

Л

+1 л

/=2

2Р„

1—р

т

2ЕР

т+Е

1 — Р|2 [1 — Р12 т) V т.

1 т 1 яро (т)3

Е (Е + 1)Рт 1 — р

т

2РБч+8—1 (+1)+^^

1—р

т

1—р

т

Е/ (28—1 + Е, +1)+,

1 — Р

т

2ЕР

/ т+8

лоЯ [^(т — Р1)

2Р1 (Р — ЕР ) т — р1 Р ЦРт+Е^

"Е1 (Е1 + ^ Рт+Е1

+еЛ

/=2

2 ( — Е/Рт+8 ) (т — Р, )2

28 1 (РБ/ — Е/Рт+8 ) + 8—1 (8 1 +1)Ра — т^2 (т — Р) (т^)2

X

+

X

+

E, {E, + í)Pm ., mm2 jm - R: )

ЛоЯ

h

£ Ri

i-2

2 jРБ1 - EiPm+Ei ) el {eL + 1)

m+Ei

¿u{m -Rl)2 mju{m - R,) 2{p -EP )

'-у Бi *-/' m+E: ) . c, l / ч

\ ч i{m-R,)

M{m-Ri )

m

i {.,-i + i) E {E + 1P»-,

mß{m-Rj ) 2 {E,Pm+.,)

Лод1"1 i ц{m-R/ )

1 {.,-i +1)Psi Ei {Ei +L)Pm+., m/u{m-R¡ )

1 + ^ {m-r )

m v 7

m 2ц

Результаты расчётов, представленные в настоящей работе, продолжают соответствующий цикл работ, опубликованных авторами ранее, и могут быть полезны как на стадии проектирования, так и при эксплуатации достаточно широкого класса объектов и систем, работающих по принципу систем и сетей массового обслуживания.

Литература

1. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 4, С. 78-85 (2006).

2. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 14, 5. С. 893-896 (2007).

3. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем, 15, 6. С. 1090-1091 (2008).

4. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 5, C. 154-161 (2011).

5. А.С. Титовцев, Дисс. канд. техн. наук, КНИТУ, Казань, 2011. 143 с.

6. А.С. Титовцев, Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Модели и характеристики. Saarbrücken, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 132 с.

7. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 15, 1, C. 148-152 (2012).

8. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 15, 6, C. 201-202 (2012).

9. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2012. С. 212-218.

10. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 15, 8, C. 337-340 (2012).

11. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 16, 6, C. 248-252 (2013).

12. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Наука в Центральной России, 4, C. 5-8 (2013).

13. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2013. С. 166-170.

14. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 16, 11, C. 255-257 (2013).

15. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 16, 18, C. 282-286 (2013).

16. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 16, 23, C. 242-244 (2013).

17. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Алгоритмические и программные средства в информационных технологиях, радиоэлектронике и телекоммуникациях. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 106-110.

18. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 17, 4, C. 307-312 (2014).

19. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 17, 5, C. 279-281 (2014).

20. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 142-150.

21. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казан. тех-нол. ун-та, 17, 10, C. 2328-240 (2014).

22. A.P. Kirpichnikov, A.S. Titovsev, Ciencia e Técnica Vitivinícola, 29, 7, 108-122 (2014).

23. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Костром. гос. ун-та им. Н.А. Некрасова, 4, C. 20-23 (2014).

24. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В мире научных открытий, 10(58), C. 122-136 (2014).

25. А.Я. Хинчин, Работы по математической теории массового обслуживания. М., ГИФМЛ, 1963. 236 с.;

26. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. 112 с.;

27. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.

© А. П. Кирпичников - д-р физ.-мат. наук, зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected]; А. С. Титовцев - канд. тех. наук, доцент каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, [email protected].

© A P. Kirpichnikov - Dr. Sci., Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected]; A. S. Titovtsev - PhD, Associate Professor of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, [email protected].