CC BY
13
УДК 519.872
А. П. Кирпичников, А. С. Титовцев
ВЫРОЖДЕННЫЙ СЛУЧАЙ В ЗАДАЧЕ РАСЧЁТА ВТОРОГО МОМЕНТА ВРЕМЕНИ ОЖИДАНИЯ В СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
ПОЛИКОМПОНЕНТНЫХ ПОТОКОВ
Ключевые слова: очередь, поток заявок, обслуживающее устройство.
Получено решение задачи о расчёте второго момента среднего времени нахождения требования в очереди для системы дифференциального обслуживания поликомпонентного потока заявок в вырожденном случае, когда общие зависимости имеют неопределенность 0/0.
Keywords: queue, the stream of requests, the merchant device.
The solution of the problem of the calculation of the second moment of the average residence time requirements in the queue for the system of differential service multi-stream applications in the degenerate case when the common dependencies are 0/0.
Моменты высших порядков являются одними из основных числовых характеристик как установившегося, так и нестационарного режимов различных типов систем массового обслуживания (СМО). Однако тем даже для стационарных режимов систем с очередями с пуассоновскими входящими потоками заявок и экспоненциальным временем их обслуживания формулы этих величин известны лишь для ограниченного числа моделей. Однако, моменты порядка от второго и выше сравнительно хорошо изучены лишь для одноканальных моделей различных СМО, в том числе и не обязательно марковского типа [1]. Что же касается систем массового обслуживания с большим числом каналов, то до недавнего времени в научной литературе можно было найти лишь формулы вторых моментов некоторых характеристик для модели с неограниченным объёмом накопителя (в рамках классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т).. [2]. В монографиях [3,4] и примыкающей к ним работе [5] впервые были представлены как первые, так и вторые моменты главных характеристик для пяти основных (базовых) моделей систем массового обслуживания, в том числе:
ных потоков [10, 11]. Граф состояний и переходов такой СМО приведён на рис.1.
1. 2.
Классической СМО (модель М/М/1); Многоканального устройства (модель
М/М/m);
3. Модели А. Эрланга (модель М/М/т/0);
4. Модели с очередью конечной длины (модель с ограниченным объёмом накопителя, по классификации Дж. Кендалла - модель М/М/т/Е) Модели с ограниченным средним временем пребывания заявки в очереди в предположении о пуассо-новском входящем потоке заявок и экспоненциальном времени их пребывания в обслуживающем устройстве. Эти результаты позволяют сделать ряд весьма нетривиальных выводов о режимах функционирования этих систем, особенно, как мы увидим в дальнейшем, это касается режима функционирования многоканальных систем массового обслуживания с ограничением на объём накопителя.
В цикле работ [6-11] авторов настоящей работы впервые было введено понятие системы дифференцированного обслуживания поликомпонент-
Рис. 1 - Граф состояний и переходов СМО
Принятая система обозначений имеет следующий вид:
е = Е = 0' е = Е ' е = Е + Е '•••
°0 0 ' 1 1' 2 12'
g = Е E = Е E;
i=0
i=1
Ло = Е А; Ai = ¿ А; л 2 =¿ А ;■
j=0 j=1 j=2
Ah = А; где А;
h h h
Ro = Ел; Ri = Ел; R = Ел;
j=0
j=1
j=2
A,.
Rh = л; R, = —-, где л " приведенные интен--
сивности потоков требований j-го типа. Потоки требований каждого типа, в сумме образующие поликомпонентный поток требований (заявок), поступающий в систему, являются пуассоновскими и имеют интенсивности А-, суммарные входные потоки заявок поликомпонентного типа с интенсивно-стями Aj также являются пуассоновскими. Средняя
интенсивность обслуживания требований одним обслуживающим устройством равна — . В этом случае интенсивность выходного потока обслуженных требований до m -го состояния зависит от числа занятых каналов и кратна —. После m-го состояния интенсивность потока обслуженных требований есть m— . Ясно при этом, что выходной поток обслуженных требований также носит пуассоновский характер.
Общие формулы, описывающие решение задачи о нахождении числовых характеристик такого рода систем массового обслуживания в стационарном режиме работы системы, были получены ранее в цикле работ [12-30]. При этом в работе [30] было получено общее решение задачи о нахождении зависимости от параметров входного потока заявок (требований), поступающих в систему дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков для осреднённого квадрата времени ожидания начала обслуживания вновь прибывшей заявкой.
Однако, при этом не был выяснен вопрос о существовании решения а вырожденном случае, то есть в том случае, когда полученный соотношения имеют неопределённости второго порядка типа 0/0 в точках, в которых Rj = ГП. В этом случае общие
формулы для характеристик системы массового обслуживания перестают работать, поскольку их знаменатели обращаются в нуль, как, конечно, и их числители, так что в целом формулы содержат в себе неопределённости указанные выше.
Не останавливаясь на промежуточных расчётах с учётом формул, полученных ранее в работах [17-30] приведём следующую формулу, описывающую зависимость осреднённого квадрата времени ожидания обслуживания вновь прибывшей заявкой от параметров входного потока заявок в стационар-
ном режиме работы системы для случая, когда общая формула имеет неопределенность второго порядка типа 0/0 в точках Ri = m :
~Г P 1
12 | = m-1
0Ж ' ~ гч
R¡ =m q
Л1 g1 (g1 + 1)(2g1 +1) (m-)3
6
A (g + 1) g h i-1 ( R \Eg
+ A13 (g1 + l)g1 + Е AiП ^ x
/ \3 o í—l j Í Í O
(m[) 2 i=2 g=1 V Ri
1 g (g + 1)(2g +1) +_ 1 (g +1)
(m[
(m -)
1 g-1 (g-1 +1)( 2g-1 +1) (m[ 6
1_(g-1 + 1)g-1
(m[)
2
1 m Rt
1 ( R Л
v Ri J
Ел, П
qRo m! (m-)3 tí '1=0 1
6g ( + 1)(2g, + 1)-g,-1 ( + 1)(2g,-1 +1)) 1
2 (g/ (g + 1)-g/-1 (g/-1 +1))
1
v Ri J
h p i-1 (R Л
—Е RAг- П g
Aoqtí m 2[g=0
; ig, g+d( gi+1)-1g,-1 (gi-1+1)) +1
1
P П ( Rg Л
е m-n
Aoq tí ' 3m - g=0 V Ri J g, (g, + 1)(g/ + 2)- g,-1 (g,-1 + 1)(g/-1 + 2)].
Следует подчеркнуть, что несмотря на кажущуюся сложность, расчёт по этой формуле не представляет никаких формальных трудностей.
Поликомпонентные потоки заявок обладают совершенно необычными свойствами по сравнению с потоками заявок обычных (то есть классических типов). В частности, они дают возможность оценить, какая доля заявок каждого типа будет обслужена за обозримое время обслуживающим многоканальным устройством. Приведённые в данной работе результаты продолжают цикл работ [17-30] и дают ещё один важный класс формул для анализа поведения таких систем в различного рода материальных условиях.
X
X
Следует отметить, что на практике, как правило, особенно в настоящее время, системы массового обслуживания такого рода реализуются не в области автоматизации и телетрафика, как это бывает с обычными классическими моделями СМО, а в основном в области логистики и менеджмента в связи с потребностями рынка в современных условиях. Действительно, в тех системах массового обслуживания, где потоки обслуживания представляют собой не телефонные звонки, а людей, пришедших за покупками в супермаркет или гипермаркет, как раз и присутствуют, как правило, заявки (требования) всех тех типов заявок, которые рассматриваются в представленном авторами цикле работ. В связи с этим обстоятельством изучении поликомпонентных потоков требований, поступающих в систему, представляется весьма актуальным.
Впервые понятие поликомпонентного потока заявок появилось в монографии одного из авторов настоящей работы [11], опиравшейся на монографические исследования [3, 4]. В первоначальном варианте поликомпонентный поток заявок (требований), поступающих в систему, состоял из требований лишь трёх различных типов. Во-первых, в этом потоке были, очевидно, требования обычного типа, которые всегда дожидались обслуживания, во-вторых, там были требования, которые, в случае, если обслуживающее устройство занято, сраз3 же покидали систему без обслуживания. И, наконец, в этом потоке присутствовали те требования, которые покидают систему без обслуживания только лишь по достижении очередью определённой длины, то есть требования, которые поступают в очередь на обслуживания только в том случае, когда в очереди есть определённое количество свободных мест.
Как видим, в своём первоначальном виде идея поликомпонентного потока заявок включала в себя лишь заявки (требования) трёх типов, в то время как в последующем цикле работ, развивающем указанную идею, рассмотрены потоки самого общего вида. Эти потоки включают в себя сколь угодно большое множество типов заявок, отличающихся друг от друга лишь предельной величиной накопителя, начиная с которой заявки становятся нетерпеливыми заявками. В качестве предельных случаев при этом, разумеется, присутствуют и потоки классического типа, то есть с одной стороны, поток А. Эрланга (в данном случае имеется ввиду поток заявок, покидающих систему без обслуживания в том случае, когда все обслуживающие устройства находятся под нагрузкой). С другой стороны, в противоположном предельном случае, когда очередь на обслуживание может расти безгранично, мы получаем вариант обычного классического и более или менее хорошо изученного (включая поведение вторых моментов основных характеризующих систему такого рода числовых величин) многоканального устройства. В реальных условиях, однако, конечно удобнее было бы иметь систему аналитических формул, описывающих системы массового обслуживания, включающие заявки самых различных типов, в том числе указанные выше. Эта задаче и посвящён цикл работ [17-30].
В цикле работ [17-30] были получены основные характеристики систем массового обслуживания такого рода. В частности, были рассчитаны, среднее число загруженных каналов в стационарном режиме работы (или, что то же самое, среднее число заявок - требований, одновременно находящихся под обслуживанием), средняя длина очереди (среднее число заявок, находящихся в очереди в ожидании их обслуживания), средний коэффициент загрузки системы, что особенно важно с точки зрения возможных приложений. Кроме того было получено среднее общее число требований, находящихся в системе, как в очереди на обслуживание, так и непосредственно в обслуживающем устройстве. Также были вычислены и вторые моменты всех этих величин.
Кроме указанных выше, было также рассчитаны и большинство соответствующих числовым временных характеристики системы такого рода. Здесь имеется ввиду среднее время нахождения заявки (требования) в очереди на обслуживание, среднее общее время нахождения заявки в системе в целом, как в очереди, так и на обслуживании, а также и вторые моменты соответствующих величин. Настоящая работа примыкает к этому же циклу исследований.
В заключение следует ещё раз отметить, что аналитический расчёт основных числовых характеристик стал возможным только после появления двух монографий [3,4]. В этих монографиях впервые был дан метод расчёта всех этих величин для ряда базовых типов СМО. При этом было указано, что общая методика может быть распространена и на другие возможны типы систем массового обслуживания различных видов том числе, конечно, и не немарковские модели. Представленные в данной статье результаты лежат в русле основных идей, первоначально появившихся в указанных работах.
Литература
1. Дж. Риордан, Вероятностные системы обслуживания. Москва, Связь, 1966 184 с..
2. В.Ф. Дьяченко, В.Г. Лазарев, Г.Г. Саввин. Управление на сетях связи, Москва, Связь, 1968. 224 с.
3. А.П. Кирпичников, Прикладная теория массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского гос. ун-та, 2008. 112 с.;
4. А.П. Кирпичников, Методы прикладной теории массового обслуживания. Казань, Изд-во Казанского университета, 2011. 200 с.
5. А.П. Кирпичников, З. Фадхкал, Вестник Казанского технологического университета, 17, 19, С. 383-388 (2014).
6. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 4, С. 78-85 (2006).
7. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 14, 5. С. 893-896 (2007).
8. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Обозрение прикл. и промышл. матем., 15, 6. С. 1090-1091 (2008).
9. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 5, С. 154-161 (2011).
10. А.С. Титовцев, Дисс. канд. техн. наук, КНИТУ, Казань, 2011. 143 с.
11. А.С. Титовцев, Системы дифференцированного обслуживания поликомпонентных потоков. Модели и харак-
теристики. Saarbrücken, LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG, 2012. 132 с.
12. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 15, 1, C. 148-152 (2012).
13. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, C. 201-202 (2012).
14. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2012. С. 212-218.
15. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 15, 8, C. 337-340 (2012).
16. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 6, C. 248-252 (2013).
17. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Наука в Центральной России, 4, C. 5-8 (2013).
18. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2013. С. 166-170.
19. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 11, C. 255-257 (2013).
20. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 18, C. 282-286 (2013).
21. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 16, 23, C. 242-244
(2013).
22. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Алгоритмические и программные средства в информационных технологиях, радиоэлектронике и телекоммуникациях. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 106-110.
23. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 4, C. 307-312 (2014).
24. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 5, C. 279-281 (2014).
25. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В сб. Информационных технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации. Изд-во ПВГУС, Тольятти, 2014. С. 142-150.
26. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 17, 10, C. 238-240
(2014).
27. A.P. Kirpichnikov, A.S. Titovsev, Ciencia e Técnica Vitivinicola, 29, 7, 108-122 (2014).
28. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Костром. гос. ун-та им. Н.А. Некрасова, 4, C. 20-23 (2014).
29. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, В мире научных открытий, 10(58), C. 122-136 (2014).
30. А.П. Кирпичников, А.С. Титовцев, Вестник Казанского технологического университета, 18, 5, C. 147-152 (2015).
© А. П. Кирпичников - доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой ИСУИР КНИТУ, kirpichnikov@kstu.ru; А. С. Титовцев - кандидат технических наук, доцент ИСУИР КНИТУ, notna6683@mail.ru.
© А. P. Kirpichnikov - Dr. Sci., Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, kirpichnikov@kstu.ru; A. S. Titovtsev - PhD, Associate Professor of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU; notna6683@mail.ru.
