Периодические решения параболического уравнения с зависящими От времени коэффициентами и разрывной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ*

Топологическим методом доказывается теорема существования сильного периодического решения параболического уравнения с разрывной неограниченной нелинейностью, удовлетворяющего однородному граничному условию Дирихле. При этом коэффициенты линейной части уравнения зависят от времени.

Ключевые слова: периодическое решение, параболическое уравнение, резонансная задача, разрывная нелинейность.

1. Введение

Пусть П — ограниченная область в Rn (n > 2) с границей дП класса C 2,а, а е (0,1),

n П

Lu(x,t) = ut -^2 (aij(x,t)uXi)Xj -^2 bj(x,t)uXj - c(x,t)u(x,t) -

i,j=1 j= 1

равномерно параболический дифференциальный оператор в цилиндре QT = П х (0,T) (T > 0) [1] с коэффициентами aij, bj е C 1,a, aij(x,t) = aji(x,t) на QT, aij(x, 0) = aij(x, T) в П, c е C 0 a.

Исследуется проблема существования сильного решения резонансного параболического уравнения с разрывной нелинейностью

Lu(x,t) - A1u(x,t)+ g(x,t,u(x,t)) = f (x,t), (x,t) е QT, (1)

удовлетворяющего однородному граничному условию Дирихле

u(x,t) = 0, (x,t) е дП х (0,T) (2)

и условию периодичности

u(x, 0) = u(x,T), x е П. (3)

В уравнении (1) A1 — минимальное собственное значение дифференциального оператора L с граничными условием (2) и условием периодичности (3), f е Lp(QT), p > n + 2, а нелинейность g(x,t,u) удовлетворяет условию (*):

(*1) g : Qt х R ^ R борелева (mod 0) [2], что означает существование

множества l С Qt х R, проекция которого на Qt имеет меру нуль, и борелевой на Qt х R функции, совпадающей с g(x,t,u) на (Qt х R)/l;

*Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта № 07-01-96000_р_урал_а).

(*2) для почти всех (ж,£) € Qт сечение д(ж,£, •) имеет на К раз-

рывы только первого рода и для произвольного и € К верно включение д(ж,£, и) € [д_(ж, £,и), д+(ж,£,и)], где д_(ж, £,и) = Ишт£д(ж, £,п),

д+(ж,£,и) = Иш вир д(ж,£,п);

П^и

(*3) существуют постоянная а > 0 и функция Ь € Ь^т) такие, что для почти всех (ж,£) € Qт верно неравенство

|д(ж,£,и)| < а |и|г + Ь(ж, £), Уи € Я, 0 < г < 1. (4)

Определение 1. Сильным решением задачи (1)-(3) называется функция и € Жр2,1^т), для которой выполнены условия (2), (3) (в смысле следа функции), и удовлетворяющая для почти всех (ж,£) € Qт уравнению (1).

Замечание 1. При р > п + 2 пространство Ж?2’1^т) компактно вложено в С 1 °(Ят).

Определение 2. Обобщенным решением задачи (1)-(3) называется функция и € Жр,1^т), удовлетворяющая условиям (2), (3) и для почти всех (ж,£) € Qт включению

f (ж,£) — Ьи(ж,£) + Л1и(ж,^) € [д_(ж, £,и),д+(ж,£, и)]. (5)

Определение 3. Будем говорить, что для функции f (ж,£) в уравнении (1) выполнено А1 условие, если найдется не более чем счетное семейство гиперповерхностей в Дга+2

{Б;,* € 3}, Бг = {(ж,г,у)|у = £г (ж,*), (ж,*) € Qт}, £г € (Qт)

таких, что для почти всех (ж,£) € Qт неравенство д_(ж,^,и) = д+(ж,^,и) влечет существование г € 3, для которого и = £г(ж,£) и либо

(£<£г(ж,г) — Л1^г(ж,^) + д_(ж,г,£г(ж,г)) — f (ж,^))(Ь^г(ж,^) — Л^Дж,^ +д+(ж, *, £г(ж, *)) — f (ж, *)) > 0,

либо Ь£г(ж,£) — Л1^г(ж,^) + д(ж,£, £г(ж,£)) = f (ж,£).

Известно [3], что пространство решений из Жр,1^т) уравнения Ьи(ж, £) = Л1^(ж,^), (ж,£) € Qт, удовлетворяющих условиям (2) и (3) од-

номерно, и существует положительная на Qт базисная функция £ этого пространства, для которой |апх[о,т] < 0, п = (V, 0) € Кга+1, V € И”- — внешняя по отношению к П нормаль к 5П. Аналогичный результат верен и для уравнения

£*г>(ж,£) = Л1^(ж,^), (ж, £) € Qт, (6)

П П

где £*г>(ж,£) = —и* — ^ (а^(ж, £)г>х)х^ + ^J(Ьj(ж,^)^ — с(ж,£)г>(ж,£) — формально

г,^ = 1 j=1

сопряженный с Ь дифференциальный оператор.

Цель данной работы — доказательство следующей теоремы.

Теорема. Предположим, что:

1) функция д(ж,£, и) удовлетворяет условию (*);

2) для почти всех (x,t) £ QT g(x,t,u)sgnu > d(x,t) Vu £ R, где d £ L1(QT);

3) для любого ненулевого решения ^(x,t) уравнения (6), удовлетворяющего условиям (2) и (3),

J g (x, t)^(x, t)dxdt + / g-(x, t)^(x, t)dxdt > / f (x, t)^(x, t)dxdt, где

^>0 ^<0 Qt

g+(x,t) = liminfg(x,t,u), g-(x,t) = limsup g(x,t,u).

Тогда задача (1)-(3) имеет обобщенное решение, а если для f (x,t) выполнено А1 условие, то обобщенное решение будет сильным.

Замечание 2. Условие 3) теоремы называют условием Ландесмана — Лазера.

Задача (1)-(3) в случае гладкой или каратеодориевой нелинейности изучалась многими авторами. В [4] Ю. С. Колесов методом верхних и нижних решений доказал теорему существования классических периодических решений квазилинейных параболических уравнений с граничными условиями Дирихле. Этот подход получил дальнейшее развитие для других граничных условий в работе

H. Amman [5]. В [6] доказательство существования классических периодических решений квазилинейного параболического уравнения с неоднородным граничным условием Дирихле проводится методом Лере — Шаудера на базе полученных априорных оценок решения. В [7] устанавливается критерий существования классического периодического решения уравнения (1) с однородным граничным условием Дирихле и гладкой нелинейностью g(x,t,u) = g(u), для которой существуют конечные пределы g(±ro) = lim g(s), причем, g(-ro) < g(s) < g(+ro)

Vs £ R. В работе H. Brezis, L. Nirenberg [8] доказывается существование сильного решения задачи (1)-(3) с каратеодориевой нелинейностью g(x,t,u), коэффициентами а^, с независящими от t, bj = 0 и p = 2 с помощью общей теоремы существования для уравнения в гильбертовом пространстве, полученной авторами. Для уравнения (1) с каратеодориевой нелинейностью g проблемы существования устойчивых и неустойчивых периодических решений и наличие более одного периодического решения изучались в работах [3], [9-12].

В отличии от работ других авторов в данной статье непрерывность g(x, t, u) по переменной u не предполагается. Операторная постановка задачи (1)-(3) сводит ее к проблеме существования неподвижной точки у многозначного компактного отображения в Lp(Qy). Доказательство существования неподвижной точки проводится по схеме Лере — Шаудера. В результате получается существование обобщенного решения. Затем доказывается, что если для f выполнено А1 условие, то обобщенное решение будет сильным.

2. Операторная постановка задачи (1)—(3)

В пространстве ) рассмотрим оператор А : ^(А) ^

с Д(А) = {м £ Жр’1(^т) | м(х, і) удовлетворяет условиям (2) и (3)}, определяемый равенством Ам = £м(х,і) Ум £ Д(А). Его резольвента компактна, а А1 — минимальное собственное значение этого оператора [3]. Тогда, если взять є > 0, то [А1 — є, А1) содержится в резольвентном множестве оператора А и (А — (А1 — є)1 )-1

компактен. Нелинейность д(ж,£,м) порождает оператор Немыцкого О в Ьр(Оу), действующий по правилу О(м) = д(ж, £, м(ж, £)) Ум € Ьр(От). В силу ограничения (*3) для О верно неравентство

||Ом|| < й! ||м||г + ||6|| Ум € Ьр(От), (7)

1 —г

где а! = а(шев От)^. Здесь и далее || || — норма в Ьр(От).

Положим Оп = Р| с/со(г = См| — м|| < е) — овыпукление оператора О.

£>0

В [2] показано, что Ум € Ьр(От) Оп = (г : От ^ .Я|г(ж,£) — измеримая на От функция и для почти всех (ж,£) € От г(ж, £) € [д_(ж,£,м(ж,£)),д+(ж,£,м(ж,£))]). Из (7) следует, что для произвольных м € Ьр(От) и г € Оп(м) верно неравенство

||г|| < а! ||м||г + ||Ь| . (8)

Заметим, что м(ж,£) — обобщенное решение задачи (1)-(3) тогда, и только тогда, когда м удовлетворяет включению / — Ам + Л!м € Опм. Преобразуем его к виду Ам — (Л! — е)м € / — Опм + ем. Последнее равносильно включению м € (А — (Л! — е/))_!(/ — Опм + ем) = Тм, т. е. существованию неподвижной точки у многозначного оператора Т в Ьр(От). Оператор Т — компактный, что означает:

a) его значение — выпуклые компакты;

b) он полунепрерывен сверху на Ьр(От);

c) образ любого шара при отображении Т предкомпактен [13].

Проверка свойств а)-с) для оператора Т проводится так же, как в [14, с. 52].

3. Доказательство теоремы

3а. Существование обобщенного решения задачи (1)-(3).

Для доказательства существования неподвижной точки у многозначного компактного отображения Т в Ьр(От) достаточно установить ограниченность в Ьр(От) множества решений семейства включений м € £Тм, £ € [0,1] [13, с. 107]. Допустим противное. Тогда существуют последовательности (£п) С [0,1], (мп) С Ьр(От), ||мга|| > п такие, что мп € £гаТмга. Последнее влечет существование для любого натурального п функции € Опмга, для которой верно равенство

Амп — (Л1 — е)мп = £п/ — + £гаемга- (9)

Разделив обе части (9) на ||мга|| и обозначив -р2^ через , получим

/ г

(А — (Л! — е)1 )(м„) = —- + £гаем„. (10)

У мп У У мп у

Так как ||гп|| = 1, то найдутся подпоследовательности ^ v в Ьр(От)

г

и ^ £ € [0,1]. В силу (8) п ^ 0. Поэтому правая часть (10) при к ^ то

II мп11

слабо сходится к ^еv, а поскольку оператор (А — (Л! — е)1)_! компактный, то vrafc ^ (А — (Л! — е)1)_! ^. Поэтому (А — Л!/)v = —(1 — и ||V! = 1. Следовательно,

t = 1 и v — собственная функция оператора A, отвечающая собственному значению Ль В противном случае 0 < t < 1 и Ai — (1 — t)e < Ai — собственное значение оператора A. Так как v(x,t) — собственная функция, отвечающая минимальному собственному значению Л1 оператора A, то v(x,t) либо положительная на Qy, либо отрицательная. Аналогичным свойством обладает любое ненулевое решение уравнения (6), удовлетворяющее условиям (2) и (3). Поэтому существует ф 6 D(A), которая является решением уравнения (6), такая, что J v(x, t^(x, t)dxdt = 1 (v(x,t) и ф^^) либо обе положительные, либо обе отри-

QT

цательные на Qy). Интегрированием по частям легко проверить, что для любого натурального n

j (A — A1I)vn(x, t)dxdt = J vn(x)(L* — Л1/)ф(ж, t)dxdt = 0.

QT QT

Умножим обе части равенства (9) на ф^^) и проинтегрируем по Qy, получим

tn J zn(x, t^(x, t)dxdt + (1 — tn)^y un(x, ^ф(ж, t)dxdt = tn J f (x, t^(x, t)dxdt. Qt Qt Qt

Так как (tnk) С [0,1], tnk ^ 1 и

lim / unk(x, t^(x, t)dxdt = lim ||unk || / vnk (x, t^(x, t)dxdt = +to,

k^-tt / k^tt I

Qt Qt

поскольку lim J vnk(x, t^(x, t)dxdt = / v(x, t^(x, t)dxdt = 1, то для достаточ-

k-tt Qt Qt

но больших k

(х,()ф,(;М)<Ы </ f (х,()ф(;М)&<й.

QT QT

Из последнего неравенства следует, что

/ f (x, t^(x, t)dxdt > liming znk (x, t^(x, t)dxdt > (11)

I k^tt I

Qt Qt

> lim inf / g-(x,t,unk(x,t)^(x,t)dxdt + lim inf / g+(x,t,unk(x, t)^(x, t)dxdt. k^tt J k^tt J

^>0 ^<0

Оператор L — (Ai — e)/ с граничным условием (2) и условием периодичности (3) как отображение из D(A) с нормой пространства Wp,1(QT) имеет ограниченный обратный [3]. Так как Wp,1(Qy) компактно вложено в C1,0 (Qy) (поскольку p > n + 2), то vnk ^ v в C1,0(QT). Как отмечалось выше, v(x,t) либо положительная на Qy и —— |дах[0 т] < 0, либо она отрицательная на Qy и —— Ьпх[0 т] > 0.

dn dn

Далее при любом k 6 N функция vnk (x,t) удовлетворяет условиям (2) и (3). Поэтому существует такое k0 6 N, что Vk > k0 на vnk(x,t) > 0 на QT, если v(x,t)

положительная на Qy, и vnk < 0 на Qy, если v(x,t) < 0 на Qy [3, лемма 2.2]. Отсюда, учитывая условие 2) теоремы, в силу леммы Лебега — Фату [15] можно перейти к пределу под знак интеграла в неравенстве (11). В результате, поскольку unk(x,t) ^ +то, если v(x,t) > 0, и unk(x,t) ^ — то, если v(x,t) < 0, получим

J f (x, t)ф(x, t)dxdt > J g+(x, t^(x, t)dxdt + J g-(x, t^(x, t)dxdt,

Qt ^>0 ^<0

что противоречит условию 3) теоремы. Таким образом, доказано существование неподвижной точки у отображения T в Lp(Qy). Как отмечалось выше, неподвижные точки T являются обобщенными решениями (1)-(3).

3b. Существование сильного решения задачи (1)-(3).

Пусть для f (x,t) в уравнении (1) выполнено A1 условие. Докажем, что тогда обобщенное решение u(x,t) задачи (1)-(3) является сильным решением этой задачи. Заметим, что u(x,t)((x,t) 6 Qy) — точка непрерывности g(x,t, •) тогда, и только тогда, когда g-(x,t,u(x,t)) = g+(x,t,u(x,t)). Для таких точек почти всюду u(x,t) удовлетворяет уравнению (1). Рассмотрим множество D = {(x,t) 6 Qy | g-(x, t, u(x, t)) = g+(x, t, u(x, t))}. Если mes D = 0, то u(x,t) — сильное решение задачи (1)-(3). Пусть mesD = 0. Тогда, поскольку f удовлетворяет A1 условию, то с точностью до множества меры нуль D = U Dj, Dj = {(x,t) 6 Qy |

J

u(x,t) = £j(x,t)}. Кроме того, mesDj = mesD* + mesD0 для любого i 6 J, где D* = {(x, t) 6 Di| f (x,t) —L£i(x,t)+A1£i(x,t) / [g-(x,t, £i(x,t)),g+(x,t, £i(x,t))]}, D0 = {(x,t) 6 Dj| L^j(x,t) — A1£i(x,t) + g(x, t, ^j(x, t)) = f (x,t)}. Заметим, что mes D* = 0 для всех i 6 J, поскольку u(x,t) удовлетворяет (5) для почти всех (x, t) 6 Qy. Таким образом, u(x,t) удовлетворяет (1) для почти всех (x,t) 6 Qy, и, значит, u(x,t) — сильное решение задачи (1)-(3). Теорема доказана.

Список литературы

1. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н.Н. Уральцева. — М. : Наука, 1967. — 736 с.

2. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. — М. : Наука, 1983. — 272 с.

3. De Coster, C. Unstable periodic solutions of a parabolic problem in the presence of non-well-ordered lower and upper solutions / C. De Coster, P. Omari // J. of functional Anal. — 2000. — Vol. 175. — P. 52-88.

4. Колесов, Ю. С. Об одном признаке существования периодических решений у параболических уравнений / Ю. С. Колесов // Докл. АН СССР. — 1966. — Т. 170, № 5. — С. 1013-1015.

5. Amann, H. Periodic solution of semilimar parabolic equations, in «Nonlinear Analysis. A collection of papers in honor of E. Rothe» / H. Amann. — N. Y. : Academic press, 1978. — P. 1-29.

6. Ш^мулев, И. И. Периодические решения первой краевой задачи для параболических уравнений / И. И. Шмулев // Мат. сб. — 1965. — Т. 66 (108), № 3. — С. 398-410.

7. Castro, A. Results on periodic solutions of parabolic equations suggested by elliptic theory / A. Castro, A. C. Lazer // Bulletino U.M.I. — 1982. — Vol. 1.B. — P. 1089-1104.

8. Brezis, H. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems / H. Brezis, L. Nirenberg // Ann. Scuola Norm. Pisa. — 1978. — Vol. 5, № 2. — P. 225-325.

9. Dancer, E. N. On stable solutions of quasilinear periodic — parabolic problems / E. N. Dancer, P. Hess // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CL. 4e serie. — 1987. — Vol. 14, № 1. — P. 123-141.

10. Hirano, N. Existence of stable and unstable solutions for semilinear parabolic problems with a jumping nonlinearity / N. Hirano, W. S. Kim // Nonlinear Anal. — 1996. — Vol. 26, № 6. — P. 1143-1160.

11. Kim, W. S. Multiple existence of periodic solutions for similinear parabolic equations with large source / W. S. Kim // Houston J. Math. — 2004. — Vol. 30, № 1. — P. 283295.

12. Kim, W. S. Existence of multiple periodic solutions for semilinear parabolic equations with sublinear growth nonlinearities / W. S. Kim // J. Korean Math. Soc. — 2009. — Vol. 46, № 4. — P. 691-699.

13. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович [и др.]. — М. : КомКнига, 2005. — 216 с.

14. Павленко, В. Н. Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью степенного роста / В. Н. Павленко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2008. — № 6(107). — Математика. Механика. Информатика. — Вып. 10. — С. 49-53.

15. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. — 624 с.