Эллиптическая резонансная краевая задача с разрывной нелинейностью линейного роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ РЕЗОНАНСНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ЛИНЕЙНОГО РОСТА

Топологическим методом получена теорема существования обобщенного решения резонансной эллиптической краевой задачи с разрывной нелинейностью линейного роста.

Ключевые слова: резонансная эллиптическая краевая задача, разрывная нелинейность линейного роста, теорема Лере-Шаудера.

Введение

Рассматривается резонансная однородная задача Дирихле для уравнения эллиптического типа с разрывной нелинейностью

Lu(x) — Xlu(x) + g(x,u(x)) = f (x), x E Q (1)

и\дп = 0 (2)

в ограниченной области Q E Rm с достаточно гладкой границей дQ, где Lu(x) =

m

= — У ' (aij (x)uXi)Xj + c(x)u(x) — равномерно эллиптический дифференциальный

i,j=l

оператор в области Q, aij(x) = aji(x), (aij(x))Xj и c(x) непрерывны по Гельде-

ру, f E Lq(Q), q > m, \l — минимальное собственное значение оператора L с

граничным условием (2). Функция g : Q х R ^ R удовлетворяет г-условию:

1) функция борелева (mod 0) [1];

2) \g(x,u)\ < a\u\ + b(x) Vu E R и почти всюду x E Q, где постоянная a >

0, b E Lq(Q);

3) для почти всех x E Q g(x, •) имеет разрывы только первого рода, причем g(x,u) E [g-(x, u), g+(x, u)] Vu E R, где

g-(x, u) = liminf g(x, n), g+(x, u) = limsupg(x, n).

V^u

Обобщенным решением задачи (1), (2) называется функция u E W^(Q) с нулевым следом на дQ, удовлетворяющая для почти всех x E Q включению

f (x) — Lu(x) E [g-(x, u(x)), g+(x, u(x))].

Теорема 1. Предположим:

1) функция g(x,u) удовлетворяет i-условию;

Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта № 07-01-96000_р_урал_а).

2) для почти всех х Е П и любых и Е К g(x,u)sgn(u) > й(х), где й Е Ьг(П);

3) функция / Е Ь4(П), д > т такова, что для любой собственной функции у(х) дифференциального оператора Ь с граничным условием (2), отве-

чающей минимальному собственному значению Ах, выполняются условия Ландесмана-Лазера

/д+(хМх)<Ъ +/ д-(х)ь(х)йх > I/

у>0 у<0 П

где д+(х) = Ншт£д(х, и), д_(х) = Ишвирд(х, и).

—+ и^ + <х п^-ж

Тогда задача (1), (2) имеет обобщенное решение из пространства Ш^(П).

Сформулированная теорема — основной результат статьи. Ее доказательство сводится к проблеме существования неподвижной точки у многозначного компактного отображения. Последняя решается реализацией схемы Лере-

Шаудера. Отметим, что задача (1), (2) с разрывной нелинейностью изучалась в диссертации М. Г. Лепчинского [2] вариационным методом в предположении о подлинейном росте нелинейности, а также в диссертации Е. А. Чиж [3] топологическим методом, где допускается линейный рост нелинейности, но накладываются другие ограничения на правую часть уравнения (1). Ранее в случае ограниченной разрывной нелинейности задача (1), (2) рассматривалась в совместных работах автора и В. В. Винокура [4; 5].

1. Операторная постановка задачи (1), (2)

Известно [6], что задача Дирихле

Ьи = Аи (3)

и|дп = 0 (4)

имеет ненулевое решение лишь для возрастающей последовательности чисел Ах < А2 < ... , стремящейся к +то. Собственное подпространство, отвечающее Ах, одномерно, а базисную функцию подпространства можно считать положительной на П. Для А, не совпадающего ни с одним Аj, краевая задача

Ьи — Аи = /,

и|дП = 0

для любого / Е Ь4(П), д> 1, имеет единственное решение из Ш"2(П), для которого верна оценка

N14,2 < М ||/1| ^ (5)

где М не зависит от /. Здесь || ||4,2, || ||4 — нормы в Ш^(П) и Ь4(П) соответственно.

Пусть А — плотно определенный в Ь4(П) оператор со значениями в Ь4(П) : О(А) = Ж^П^ЖДП), Аи = Ьи—Ахи для любого и Е О (А), а е — положительное

число. Тогда оператор А + е1 непрерывно обратим и, в силу оценки (5), оператор (А + е1 )-1 вполне непрерывный. Далее, положим

Си = д(х,и(х)) Уи Е Ьд(О,).

Поскольку д удовлетворяет г-условию, то оператор С действует из Ьд(О) в Ьд(О) и для него справедлива оценка:

||Си||д < а\\и\\д + \\Ь\\д Уи Е Ь^(О). (6)

Обозначим через Сп овыпукление оператора С [1]. Тогда, как показано в [1], если и Е О (А) удовлетворяет включению

f — Аи Е Спи, (7)

то и — обобщенное решение задачи (1), (2). Перейдем от (7) к эквивалентному включению с многозначным компактным оператором

и Е (А + е1 )-1(f — СПи + еи) = Ти.

Отображение Т слабо полунепрерывно сверху, его значения — выпуклые компакты и образ любого шара при отображении Т — предкомпактное множество [7, с. 52].

2. Доказательство теоремы

Доказательство. Для доказательства существования и Е Ьд(О), удовлетворяющего включению и Е Ти, достаточно проверить выполнение условий Лере-Шаудера: множество решений семейства включений и Е ЬТи, 0 < Ь < 1 равномерно ограничено [8, с. 107].

Допустим противное. Тогда существуют последовательности (Ьп) С [0,1] и (ип) С Ьд(О), ||ип|| > п такие, что ип Е ЬпТип для любого натурального п. Последнее равносильно равенству

Аип + (1 Ьп )еип + Ьп^п tnf, (8)

где гп Е СПип и, значит, в силу (6)

1кп|| < а||ип||д + ||Ь||д Уп Е N.

Делим обе части (8) на Цип|| и, обозначив -—через уп, получим

II ип || д

(А + єі )ип — іп єип — іп^—г:—+ ^

ип °п^ип °п и и I °п || || *

11 ип \ \д 11 ип || д

Заметим, что правая часть последнего равенства ограничена в Ьд(О). Отсюда следует ограниченность в Ш^(О) последовательности (ьп) [6]. Из чего заключаем, что существует возрастающая последовательность натуральных чисел п такая,

У £

что уПк ^ V в W2(П), 1пк — і, ц—п^ ^ к(х) в Ьч(П) и --— — 0 в Ьч(П).

\\иПк IIЧ \\иПк IIЧ

Так как vnk V в W2(П) и q > т, то vnk — V в С 1(П), и, значит, V — ненулевой элемент ЬР(П). В силу замкнутости оператора А + єї функция V Є О (А) и

(А + єї ^ = tєv — Ьк(х). (10)

Покажем, что к(х) = 0 почти везде на П. Отсюда из (10) будет следовать равенство Av = (і — 1)єv. Последнее, поскольку V ненулевая функция и і — 1 < 0, влечет равенства і = 1 и Ау = 0. (Воспользовались тем, что ноль — минимальная точка спектра оператора А). Таким образом, V — собственная функция дифференциального оператора Ь с граничным условием Дирихле (4), отвечающая

дv

собственному значению Л1. Известно [9], что либо v(x) > 0 в П и —

дv

либо v(x) < 0 в П и —

ди

< 0,

дО.

> 0. Из этого и сильной сходимости Упк к V в С*(П)

дП

следует существование к0 Е N такого, что для любого к > к0 v(x)vnk (х) > 0 на П и, значит, для всех к > к0 v(x)unk (х) > 0 на П.

Предварительно установим неотрицательность функции ку (х) = —почти

v(x)

всюду на множествах вида

П = {х Е П^(х)| > 5},0 < 5 < 7 = |М|С(П).

Заметим, что —^ ^ ки(х) в Ьч(П$), 0 < 8 < 7, так как

0

я,б

при к ^ ж, 0 < 5 < 7, || • ||д,, — норма в Ь9(П§). С учетом последнего замечания и условия 2) теоремы получим для любой неотрицательной функции р(х) из

и(П), (0 <5<1)

[ ку (х)р(х)д,х = Иш [ Пк ( ) • р(х)д,х

/ к—^ ипк(х)

П5 П5

> [ Ишт£ Хпк • р(х)йх > [ Ишт£ Иш1п£ д^х'’и • р(х)йх > 0. (11)

J к—ж иПк (х) 7 к—ж и——иПк (х) и

П5 П5

Воспользовались также леммой Лебега-Фату о переходе к пределу под знаком интеграла [10], неравенством гПк(х) > д-(х,ипк(х)) = Ишт£ д(х,и) и тем, что

и—и„к (х)

1ипк (х)1 = Ципк (х)11д • ^пк (х)1 ^ Ж для любого х Е П,, 0 < 5 < 'У-

В силу произвольности выбора неотрицательной функции р Е Ьд(П,) в (11) приходим к выводу о неотрицательности ку (х) почти всюду на П,, а так как 5 — любое число из (0,7), то получаем, что ку(х) неотрицательна почти всюду на множестве

П = {х Е П^(х) = 0} = и П,-

6>0

Теперь умножим равенство (10) на v(x) и проинтегрируем по П. Имеем

J Av(x)v(x)dx + (1 — £)е|М|2 + ку (х)ь2(х)в^х = 0,

п П

причем в этом равенстве все слагаемые неотрицательны. Из чего следует, что все они равны нулю. В частности,

Ь • ку (x)v2(x)dx = 0,

причем Ь Е (0,1] (если Ь = 0, то Av = —ev, но это противоречит тому, что ноль минимальная точка спектра оператора А). Следовательно,

I ку (хУ(х)с1х = 0.

Отсюда из неотрицательности ки (х) на П заключаем о равенстве нулю ки (х) почти всюду на П , а значит, и к(х). С учетом (10) последнее влечет равенство нулю к(х) почти всюду на П. Из чего, как было уже показано выше, следует, что і = 1 и V — собственная функция оператора А, отвечающая нулевому собственному значению, т. е. Av = 0 и V — ненулевой элемент из О (А).

Умножим обе части равенства (8) на v(x) и проинтегрируем по П. Учитывая, что / Аип(х) ■ v(x)dx = / ип (х) ■ Ль^в^х = 0, получим

О О

і--1^ є ипк (х^(х)вх + J гпк (х^(х)вх = J /(х) ■ v(x)dx,

ООО

причем для всех к > к0(ипкv)(x) > 0 на П. Так как іпк Є (0,1), то отсюда следует,

что

/(х^(х)вх > \iminf уПк (х^(х)вх >

> Игпт£ I I д-(х,ипк(x))v(x)dx + / д+(х,ипк)v(x)dx | >

\у>0 у<0

>1 + / д-МФО*.

у>0 у<0

Здесь была использована лемма Лебега-Фату о переходе к пределу под знаком интеграла с учетом условия 2 теоремы и того, что ипк(х) — +ж, если v(x) > 0, и ипк (х) — —ж, если v(x) < 0. Полученное неравенство противорчит условию 3 теоремы. На этом её доказательство завершается.

□

Список литературы

1. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. — М. : Наука, 1983. — 272 с.

2. Лепчинский, М. Г. Существование и устойчивость решений краевых задач эллиптического типа с разрывными нелинейностями : дис. ... канд. физ.-мат. наук / М. Г. Лепчинский. — Челябинск, 2005. — 96 с.

3. Чиж, Е. А. Резонансные краевые задачи и вариационные неравенства эллиптического типа с разрывными нелинейностями без условия Ландесмана-Лазера : дис. .. .канд. физ.-мат. наук / Е. А. Чиж. — Челябинск, 2005. — 118 с.

4. Павленко, В. Н. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями / В. Н. Павленко, В. В. Винокур // Изв. вузов. — Математика. — 2001. — № 5. — С. 43-58.

5. Павленко, В. Н. Теоремы существования для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами / В. Н. Павленко, В. В. Винокур // Укр. мат. журн. — 2002. — Т. 54, № 3. — С. 349-363.

6. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М. : Наука, 1989. — 464 с.

7. Павленко, В. Н. Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью степенного роста / В. Н. Павленко // Вестн. Челяб. гос. ун-та. — 2008. — № 6 (107). — Математика. Механика. Информатика. — Вып. 10. — С. 49-53.

8. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г. Борисович [и др.]. — М. : КомКнига, 2005. — 216 с.

9. Iannacci, R. Nonkinear second order elliptic partial differential equations at resonance / R. Iannacci, M. N. Mcashma, J. R. Ward // Trans. of American mathematical society. — 1989. — Vol. 311, № 2. — P. 711-726.

10. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М. : Мир, 1967. — 624 с.