Периодические решения телеграфного уравнения с разрывной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 4. № 2 (2012). С. 74-79.

УДК 517.956.2

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

И.Ф. ГАЛИХАНОВ, В.Н. ПАВЛЕНКО

Аннотация. Рассматривается телеграфное уравнение с разрывной внутренней энергией по фазовой переменной и однородным граничным условием Дирихле. Изучается вопрос о существовании обобщенных периодических решений в резонансном случае, когда оператор, порождаемый линейной частью уравнения с однородным граничным условием Дирихле и условием периодичности, имеет ненулевое ядро, а нелинейность, входящая в уравнение, ограничена. Топологическим методом получена теорема существования обобщенного периодического решения. Доказательство базируется на принципе Лере-Шаудера для выпуклозначных компактных отображений. Главное отличие от аналогичных результатов других авторов — допущение разрывов по фазовой переменной у внутренней энергии в телеграфном уравнении.

Ключевые слова: нелинейное телеграфное уравнение, разрывная нелинейность, периодические решения, резонансная задача.

1. Введение

Пусть П — ограниченная область в Rn с границей дП класса C2,

П

Lu(x) = -^2 (aij (x)uXi)Xj + a(x)u(x)

i,j=1

— равномерно эллиптический дифференциальный оператор в области П [1] с коэффициентами aij Е С1,а(П), aij(x) = aji(x), a E Са(П), 0 < a < 1.

Исследуется проблема существования решения телеграфного уравнения с разрывной нелинейностью

utt + Lu(x,t) + ^ut + g(x,t,u) = f (x,t), (x,t) E Q, (1)

удовлетворяющего однородному граничному условию Дирихле

u(x, t) = 0 (2)

на S = дП х (0, 2п), и условию периодичности

u(x, 0) = u(x, 2п) (3)

для x Е П, где Q = П х (0, 2п), ^ = 0 (учитывается диссипация энергии), f Е L2(Q). Предполагается, что нелинейность g(x,t,u) удовлетворяет i-условию:

i1 — функция g : QxR ^ R борелева (mod 0) [2], что означает существование множества

l С Q х R, проекция которого на Q имеет меру нуль, и борелевой на Q х R функции,

совпадающей с g(x, t, u) на (Q х R) \ l;

I.F. Galikhanov, V.N. Pavlenko, Periodic solutions of the telegraph equation with a discontinuous nonlinearity.

© Галиханов И.Ф., Павленко В.Н. 2012.

Поступила 10 января 2012 г.

12 — для почти всех (х,Ь) Є Q сечение д(х,Ь, •) имеет на К разрывы только первого рода и для произвольного и Є К верно включение д(х,Ь,и) Є [д-(х,Ь,и), д+(х,Ь,и)], где д-(х,Ь,и) = Іітіп^^ д(х,Ь,п), д+(х,Ь,и) = Ишвир^и д(х,Ь,п);

13 — (ограниченность нелинейности) существует функция Ь(х, Ь) из Ь2^) такая, что для почти всех (х,Ь) Є Q

1д(х,Ь,и)1 ^ Ь(х,Ь) Уи Є К. (4)

Заметим, что условие І1 гарантирует суперпозиционную измеримость д(х,Ь,и) на Q, то есть измеримость на Q композиции д(х,Ь,и(х,Ь)) для любой измеримой на Q функции и(х, Ь).

Дифференциальный оператор Ь с однородным граничным условием Дирихле порождает в Ь2(О) самосопряженный линейный оператор В с областью определения Б(В) = И2(О) П И^О) : Ви = Ьи Уи Є Б (В), где все производные функции и(х) — соболевские. Через Ит(О) (т Є N обозначается соболевское пространство Жт(О) [1], а через Ит(О) — замыкание множества бесконечно дифференцируемых финитных в О функций в метрике Ит(О). Спектр а оператора В состоит из собственных значений конечной кратности

^ ^ ^2 ^ ...; —— ^о.

[3]. Здесь каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его кратность. Существует ортонормированный базис (уі) в Ь2(О) из собственных функций оператора В (Вуі = \і у і ). В комплексном пространстве Ь2^) последовательность 1

(х,Ь) = V](х)егЫ, ] = 0,1, 2,...; к Е Ъ] будет ортонормированным базисом. Для

2п

любой вещественно-значной функции и Е Ь2 (Ц)

ГО

и(*л)='£1: ajk Фjk (х,Ь) а],—к а],к.

к& j=0

Положим Б(Ао) = {и(х,Ь) = ^2 Г'к=-т^]=0 ajk Фjk (х,Ь)\ а^-к = о]~к, т,п Е N и {0]] и определим в вещественном Ь2(Ц) оператор А0 : Б(А0) С Ь2(Ц) ^ Ь2(Ц) равенством Аои = иц + + Ьи(х,Ь) для любого и Е Б(А0). Заметим, что формулой, определяющей

А0, можно задать продолжение А0 на линейную оболочку последовательности (фjk(х,Ь)) в комплексном Ь2(Ц), и для этого продолжения 'фjk (х,Ь) являются собственными функциями, отвечающими собственным значениям ^jk = -к2 + \j + 1^к. В частности, отсюда следует, что ядро оператора А0 (КегА0) совпадает с КегВ.

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) называется функция и(х,Ь) Е Ь2(Ц) со значениями в Е такая, что найдется измеримая на Ц функция г(х,Ь) Е [д-(х,Ь,и(х,Ь)), д+(х,Ь,и(х,Ь))] почти всюду на Ц, для которой верно интегральное тождество

J и(х,Ь)(ри + Ьр — у,рг)<!х<И = J <р(х,Ь)(/(х,Ь) — г(х,Ь))<!х<И Ур Е Б(А0). (5)

я Я

Замечание1. В случае, когда д(х, Ь, и) каратеодориева, то есть для почти всех (х, Ь) Е Ц сечение д(х, Ь, •) непрерывно на Е и для любого и Е Е функция д(• , • , и) измерима на Ц, в определении1 г(х,Ь) = д(х,Ь,и(х,Ь)), и мы приходим к общепринятому понятию обобщенного решения задачи (1)-(3). В [4] показано, что если и Е Ь2(Ц) удовлетворяет (5) с г(х,Ь) = f (х,Ь) — г(х,Ь) Е Ь2(Ц), то и(х,Ь) Е Щ(&) для Ь Е [0,2п] (регулярность обобщенного решения) и выполняется (3). Если предположить, что обощенное решение и(х,Ь) Е Н2(Ц), то с помощью интегрирования по частям в (5) можно получить, что и« + Ьи(х, Ь) + + г(х, Ь) = f (х, Ь) почти всюду на Ц.

Основной результат работы следующая теорема (рассматривается резонансный случай, когда уравнение Пц + Ьи(х,і) + = 0 имеет в Q ненулевое решение, удовлетворяющее

условиям (2) и (3), что равносильно принадлежности нуля спектру а оператора В).

Теорема 1. Предположим, что 0 Є а, функция д(х,і,и) удовлетворяет і - условию. Кроме того, для любой функции ь(х) из ядра оператора В выполняется условие Лан-десмана - Лазера

/ д+ {хАМхУШ1 + / >1/^Л^Л,

у>0 у<0 П

где д+ (х, і) = Іішіп£д(х, і, и), ~д_(х, і) = Іітвирд(х, і, и).

—+ и^ + <х и^-ж

Тогда задача (1)-(3) имеет обобщенное решение и(х,і) Є Ь2^).

Доказательство теоремы1 сводится к проблеме существования неподвижной точки у выпуклозначного компактного отображения. Существование неподвижной точки устанавливается с помощью принципа Лере - Шаудера для многозначных отображений [5].

Вопрос о существовании периодических решений телеграфного уравнения с нелинейной внутренней энергией изучался многими авторами. Задача (1)-(3) с каратеодориевой нелинейностью д(х,Ь,п) линейного роста, симметричной эллиптической частью Ь порядка 2т с независящими от времени коэффициентами рассматривалась в совместной работе Бгег1з и ШгепЬещ [4] (условие (2) при этом заменяется на принадлежность п(х,Ь) к Ит(О) для любого Ь Е (0,Т)). В резонасном случае, когда задача Ьп = 0,п Е И^(О) имеет ненулевое решение, получена теорема существования обобщенного решения при более жестком ограничении на f, чем условие Ландесмана-Лазера в теореме 1. Исследуется регулярность обобщенного решения для случая т = 2. В частности, показано, что если f Е Ь2^), то п(х,Ь) Е И (О,) для любого Ь Е (0,Т).

В работе И.А. Рудакова [6] задача (1)-(3) с каратеодориевой нелинейностью д(х,Ь,п) степенного роста рассматриевается для п = 1, Ьп = —пхх с дополнительным членом ипх в нерезонансном случае. Доказывается существование обобщенного решения и исследуется его регулярность. Укажем также на работы [7],[8], где проблема существования периодических решений нелинейного телеграфного уравнения исследуется в резонансном случае при п = 1, Ьп = -пхх. Главное отличие данного исследования от работ других авторов — допущение разрывов у д(х,Ь,п) по фазовой переменной п.

2. Операторная постановка задачи(1)-(3)

Обозначим А : О (А) С Ь2^) ^ Ь2^) замыкание оператора А0. Как показано в [4],

Ж

О(А) = {и(х, і) = ЕЕ а^кфік(х,і)\ а^-к = ^,к,

кЄЖ з=0

ж ж

ЕЕ К;к|2((А,- - к2)2 + ^2к2) < +<^}, к=0 j=0

и для любого и Є О (А) значение Аи = ^ ке^ ^Ж=о ^jk ajk 'Фзк (х,і). Вещественный спектр оператора А совпадает с а (спектром оператора В), О (А*) = О (А) и КегА* = КегА (А* - оператор сопряженный с А),

А и = иц + Ьщ — ^иі,

для каждой и Є О(А0).

Для X Є а,Х Є К резольвента оператора А

ж

(А — Х1 )-1щ = ЕЕ , Хз(x,і),

^jk х

и

кЄй 3=0

\-1

Так как ^ ^_х ^ 0, при ] + к ^ +го, то оператор (А — XI) 1 компактный в Ь2(О). Определим оператор Немыцкого С равенством

Сп = д(х,Ь,п(х,Ь)), Уп Е Ь2(О).

Поскольку д(х,Ь,п) удовлетворяет И и 13 условиям, то оператор С действует из Ь2(О) в Ь2(О), и для него справедлива оценка:

||Сп|| ^ \\Ь\\, Уп Е Ь2(О), (6)

здесь и далее |||| — норма в Ь2(О). Обозначим через СП овыпукление оператора С:

СПп = |^| с1со{у = Сг | ||г — п\ < е},

£<0

где с1соЛ — замкнутая выпуклая оболочка множества Л С Ь2(О).

Рассмотрим включение

f — Ап Е Сап. (7)

Его справедливость означает существование г Е Сап такого, что

f — Ап = г. (8)

Как показано в [2], г Е Сап равносильно тому, что функция г(х,Ь) измеримая на О

и для почти всех (х,Ь) Е О г(х,Ь) Е [д_(х,Ь,п), д+(х,Ь,п)]. Из равенства (8) следует,

что п — обобщенное решение задачи (1)-(3). Докажем это. Обозначим (•, •) — скалярное произведение в Ь2(О). Имеем для любого р Е О(А0) равенство (Ап,р) + (г,р) = ^,р), что равносильно (п,А*р) + (г,р) = ^,р) Ур Е О(А0) (по определению сопряженного оператора), а это эквивалентно интегральному тождеству

J п(х,Ь)(ри + Ьп — ^п^д^хвй + J г(х,1)р(х,1)д1хв11 = J fр(x,t)dxdt,

Я я я

для всех р Е О(А0). Пусть е > 0 и [—е, 0) П а = 0 (такое е существует, поскольку собственные значения оператора В изолированные). Преобразуем включение (7):

f — Ап — еп Е С п — еп

или

(А + е1 )п Е f — С^п + еп,

последнее равносильно включению

п Е (А + е1 )_1(f — Сап + еп) = Т.

Рассмотрим свойства отображения Т. Докажем, что значения Т — выпуклые компактные множества в Ь2(О). Значения Сп ограниченные выпуклые и замкнутые в Ь2(О), а опрератор (А + е1 )-1 : Ь2(О) ^ Ь2(О) линейный и компактный. Поэтому значения Т — выпуклые и предкомпактные множества. Чтобы доказать компактность Тп для п Е Ь2(О), достаточно установить замкнутость Тп в Ь2(О). Пусть последовательность (гт) С Тп и гт ^ г в Ь2(О). Тогда существует (ут) С Сап такая, что гт = (А+е1 )_1(f—ут+еп). Отсюда следует равенство ут = —(А+е1 )гm+f+еп. Из ограниченности множества Сап С Ь2 (О) заключаем о существовании подпоследовательности (утк), слабо сходящейся к некоторому у в Ь2(О). Так как (утк) С Спп, а Сап - замкнутое выпуклое множество, то у Е Спп. В силу замкнутости линейного оператора (А + е1) его график в Ь2(О) х Ь2(О) слабо замкнут,

поэтому z Е D(A + el) и y = — (A + el)z + f + eu, и, значит, z = (A + el)-1(f — y + eu) E Tu. Замкнутость множества Tu в L2(Q) установлена.

Покажем полунепрерывность сверху отображения T на L2(Q). Допустим противное, тогда найдутся u Е L2(Q) и открытое множество D D Tu в L2(Q) такие, что для любого m Е N найдется um Е L2(Q) с \\um — u|| < ш-1 и zm Е Tum\D. Каждый элемент (zm) представляется в виде zm = (A + el)-1(f — vm + eum), vm Е Ga(um). Так как последовательность (um) ограничена в L2(Q), а отображение G° переводит ограниченные множества в ограниченные (в силу оценки (6)), то и последовательность (vm) ограничена в L2(Q). Отсюда следует существование слабо сходящейся подпоследовательности (vmk) к некоторому v в L2(Q). Поскольку um ^ u в L2(Q), то в силу слабо-сильной замкнутости Gn[9] имеем v Е Ga(u). Так как (A + el)-1 - линейный компактный оператор, то (A + el)-1vmk ^ (A + el)-lv. Поэтому zmk ^ (A + el)-1(f — v + eu) Е Tu С D. Из чего, поскольку D - открытое множество в L2(Q),заключаем, что zmk принадлежит D для достаточно больших к, что противоречит выбору zm. Полунепрерывность сверху отображения T на L2(Q) доказана.

Многозначный оператор G° переводит ограниченные множества в L2(Q) в ограниченные, а оператор (A + el)-1 вполне непрерывный, поэтому для произвольного шара U из L2(Q) его образ TU - предкомпактное множество в L2(Q). Таким образом, значения мультиотображения T в L2(Q) являются выпуклыми компактами, T полунепрерывно сверху, и любой шар U из L2(Q) отображение T переводит в предкомпактное множество.

3. Доказательство теоремы 1

Поскольку отображение T выпуклозначное и компактное, то для доказательства существования у него неподвижной точки достаточно установить равномерную ограниченность множества решений семейства включений u Е tTu, 0 ^ т < 1 ([5], с.107). Допустим противное. Тогда существуют последовательности (tn) С [0,1) и (un) С L2(Q), ||un|| > n такие,

что un Е tnTun для любого натурального n. Положим vn = тг—,т. Существуют zn Е Tun

II un II

такие, что

Au,n + eu,n = —t,nzn + t,neu,n + tnf, (9)

поделим обе части на ||un||, получим:

zn f

Av,n + evn = —tnj,--[7 + tnevn + tnj,--[7,

II un II II un У

Существует возрастающая последовательность (nk) натуральных чисел такая, что vnk ^ v, и tnk ^ t, (yn ^ у обозначает слабую сходимость (yn) к у в L2(Q) ). Но

v„k = (A + el )-1( ^ + t,4 evnk),

| unk | | unk |

^ ^ 0, tnkev„k ^ tev.

II un II II un II

Поэтому vnk ^ (A + el)-1tev и v = 0. Тогда Av = (t — 1)ev. Так как v ненулевая функция, t — 1 ^ 0 и [—e, 0) П о = 0 то отсюда следует, что t = 1 и Av = 0. Таким образом, v принадлежит ядру оператора A, значит, и KerB. Так как vnk ^ v в L2(Q), то можно считать, что vnk ^ v почти всюду на Q, переходя, в противном случае, к подпоследовательности. Умножим обе части (9) скалярно на v(x). Имеем для произвольного натурального n

(Aun, v) + e(un,v) + (tnzn, v) — (tnf, v) — tn(eun, v) = 0. (10)

Так как (Aun,v) = (un,A*v) = 0, то, поделив обе части (10) на tn, получим,

(1 ,tn )e(un,v) + (zn,v) = (f,v). tn

Отсюда следует для достаточно больших к справедливость неравенства (f,v) > (гПк ,ь), поскольку (пПк ,ь) = \\пПк Ц^Пк ,ь), (VПк ,ь) ^ IV ||2 = 1 и \\пПк || > пк. Из чего заключаем, что

При переходе к пределу под знак интеграла воспользовались леммой Лебега-Фату [10] с учетом оценки (4) для д(х,Ь,п) и тем, что для почти всех (х,Ь) Е О пПк ^ +х, если v(x) > 0, и пПк ^ — X, если v(x) < 0. Полученное неравенство противоречит условию Ландесмана - Лазера в теореме1. Теорема1 доказана.

1. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964. 540 с.

2. Красносельский М.А. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 272 с.

3. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

4. H. Brezis, L. Nirenberg Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems. //Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1978. V.5, № 2. P. 225-325

5. Борисович Ю.Г. и др. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: КомКнига. 2005. 216 с.

6. Рудаков И.А. Периодическое решение нелинейного телеграфного уравнения. //Вестник Московского университета, 1993. № 4. C. 3-6.

7. W.S. Kim Periodic-Dirichlet boundary value problem for nonlinear dissipative hyperbolic equations at resonance. //Bull. Korean Math. Soc. 1989. V. 26 № 2. P. 221-229.

8. N. Hirano, W.S. Kim Periodic-Dirichlet boundary value problem for semilinear dissipative hyperbolic equations. // J. Math. Anal. Appl. 1990. V. 148 № 2. P. 371-377.

9. Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями. // Укр. матем. журн. 1994. Т.5. №6. C. 729-736

10. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 624 с.

Ильдар Фаридович Галиханов,

Челябинский государственный университет, ул. Братьев Кашириных, 129,

454001, г. Челябинск, Россия E-mail: [email protected]

Вячеслав Николаевич Павленко,

Челябинский государственный университет, ул. Братьев Кашириных, 129,

454001, г. Челябинск, Россия E-mail: [email protected]

v<0

v>0

v<0

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ