Периодические решения уравнения колебаний струны с разрывной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253). Физика. Вып. 11. С. 61-64.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

В. Н. Павленко, Т. А. Петраш

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ

с разрывной нелинейностью

Рассматривается математическая модель малых колебаний струны под действием силы, разрывной относительно фазовой переменной. Предполагается, что один конец струны закреплён, а другой свободный. Топологическим методом устанавливается существование 2п-периодического обобщённого решения в резонансном случае.

Ключевые слова: нелинейное уравнение колебания струны, разрывная нелинейность, обобщённые периодические решения, резонансный случай.

1. введение. Исследуется вопрос о существовании решения нелинейного уравнения колебания струны

Utt - Uxx + g (x, t, u ) = f (x, t), (x, t )eQ, (1)

/3) (Ограниченность нелинейности) найдётся функция b е L2 (О) такая, что для почти всех (x, t )efi и произвольного u е М

|g(x,t,u)|< b(x,t). (4)

левый конец которой закреплён, а правый свободный:

u(o, t) = u^ (п, t) = 0, t е[0,2п], (2)

удовлетворяющего условию периодичности

и (х,2п) = и (х,0), х е(0, п). (3)

Здесь П = (0, л)х(0,2л), ц — собственное значение оператора □ = д — д с граничными ус-

tt xx

ловиями (2) и условием периодичности (3), f е L (П).

Предполагается, что нелинейность g (х, t, u) удовлетворяет /-условию:

/1) функция g : ОхМ ^ М борелева (mod 0) [1], что означает существование множества l cDxМ , проекция которого на Q имеет меру нуль, и борелевой функции ф(х, t, и), совпадающей с g(x, t, u) на (Qx М) \ l;

/2) для почти всех (х,t)efi сечение g(x,t,•) имеет на М разрывы только первого рода, причём

g (х, г, м) е

g_ (х, г, м), g+ (х, г, м)

У и е М

где g_(x, t, u ) = liminfg (x, t, n), П ^ u

g+ (x, t, u) = limsupg (x, t, n); П ^ u

Задача (1)-(3) является резонансной, поскольку ц — собственное значение оператора Даламбера □ с граничными условиями (2) и условием периодичности (3), а нелинейность g(x, t, u) ограниченная.

Собственные значения оператора Даламбера с граничными условиями (2) и условием периодичности (3)

Mnm

1 I" 2

n +— I - m ,

2 )

m

n e Z + = N u {0},

а соответствующие собственные функции

, / A S. • ( 1

фпт (X * ) =-Sin

( л V2 .

Wnm (X *) =-Sin

n +— | x • cos mt,

V 2 • f

1 ^

n +— I x • sin mt

V

2 )

1

для m e N, n e Z + и Xn (x) = — sin

n

1 ^

n + — I x для

V 2)

m = 0, n e Z,

Система функций

Л = |ср (x, t), { (x, t )n e Z , m e NmJ

ynm^ ’ >^nm^ ’ ' +’ J

k (x)

n e Z .

является полной и ортонормированной в L (П). Обозначим через D линейную оболочку Л.

определение 1. Обобщённым решением задачи (1)-(3) называется u е L2 (о), для

62

В. Н. Павленко, Т. А. Петраш

которой найдётся измеримая на Q функция z(x,t) е [g- (x,Xu(x,t)),g+ (x,(,u(x,t))] для почти всех (x,t)eD такая, что для любой феО верно тождество

Iи (tt -9xx -w)xdt = п

= I (f (,t)- z(x,t))(x,))xdt. (5)

п

Замечание 1. Если g(x, t, и) каратеодориева, т. е. для почти всех (x, t )еО сечение g (x, t, •) непрерывная на К функция и для любого u е М функция g (•, •,и), измеримая на Q, то в определении 1 z(x,t) = g (x, t,u (x, t)) и мы приходим к общепринятому определению обобщённого решения [2].

Замечание 2. Если для u е L2 (о) и любой фе D справедливо (5), где f (x,t) - z(x,t) заменено на yeZ2(Q), то как показано в [2], в случае ц = 0 функция u е H1 (п)П C(о) (теорема о регулярности обобщённого решения), Hm (О) соболевское пространство W™ (п). Отсюда немедленно следует принадлежность обобщённого решения задачи (1)-(3) в H1 (П)П C(о) при наших предположениях. Если обобщённое решение задачи и задачи (1)-(3) принадлежит H2(Q), то для любой фе C" (О), производя интегрирование по частям в (5), получим

j ( — и( — ри + z (x, t)W(x, ))dxdt =

a

= j f (x, t )ф(х, t )xdt.

a

Так как C0° (Q) всюду плотно в L (о), то от -

сюда следует, что utt - uxx -ум + z(x, t) = f (x, t) почти всюду в Q.

Основной результат статьи следующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что

1) р — собственное значение оператора □ с

условиями (2), (3);

2) функция g (x, t, w) удовлетворяет /'-условию;

3) для функции f е L (о) выполняются условия Ландесмана—Лазера: для любой собственной функции v(x,t) оператора □ с условиями (2), (3), отвечающей р, верно неравенство

J g+ (x,t)v(x,t)dxdt +

v>0

+ J g_ (x,t)v(x,t)dxdt < J f (x,t)v(x,t)dxdt,

v<0 Q

где g+(x,t) = limsupg(x,t,u),

Ы^+ж

g_ (x,t) = liminf g(x,t,u).

-- Ы^—ж

Тогда задача (1)-(3) имеет обобщённое решение.

Отличие сформулированной теоремы от результатов других авторов в допущении разрывов нелинейности по фазовой переменной.

Задача (1)-(3) с р = 0 в нерезонансном случае и каратеодориевой нелинейностью линейного роста изучалась в [2]. С помощью принципа Лере—Шаудера получена теорема существования обобщённого решения, исследуется регулярность обобщённых решений. Вопрос существования периодических решений нелинейного волнового уравнения с другими граничными условиями обсуждается в работах

[3]-[5].

2. Операторная постановка задачи (1)-(3).

Определим в L (о) линейный оператор А0 с областью определения D равенством A^u =ш для произвольного u е D. Его замыкание по графику обозначим через A. В [2] доказывается, что A

самосопряжённый оператор в L (О) с дискретным спектром {nm \n,m е Z+ j и компактной резольвентой. Заметим, что обобщённое решение u(x, t) задачи (1)-(3) принадлежит области определения D(A) оператора A и для почти всех

(x, t )efi удовлетворяет включению

f (x, t)- Au (x, t) — pu (x, t) e

[ g— (x, (, u (x, t)), g+ (x, (, u (x, t )).

Нелинейность g(x, t, и) порождает оператор Немыцкого

Gu = g(x,(,u(x,t) Vu e L (O).

В силу условия /1 функция g(x, t, и) суперпозиционно измерима на Q [1], то есть для любой измеримой на Q функции u(x, t) композиция g(x, t, и (x, t)) измерима на Q. Отсюда и условия /3 следует, что оператор G действует в L (О) и для него справедлива оценка

Периодические решения уравнения колебаний струны с разрывной нелинейностью

63

|| Gu II < || b II V u е L2 (Q). (6)

Здесь и далее || || — норма в L (п).

Пусть Оа — овыпукление оператора G [1]:

Gau := ^clco{z = Gv|||v -u|| < е}

8>0

для любого u е L (Q) (clcoB — замыкание выпуклой оболочки множества B с L (Л)). Известно [1], что для любого u е L (Л) значение

Оаы =

Z — измеримая на Q и для почти всех (X, t)gQ I z(x, t)e g_ (x, t, u (x, t)), g+ (x, t, u (x, t))J I

Таким образом; u(x, t) — обобщённое решение задачи (1)-(3) тогда и только тогда, когда

u е D(Л) и удовлетворяет включению

f — Au + щ е Gau. (7)

Преобразуем включение (7). Выберем s > 0 так, чтобы полуинтервал (ц, ц + s] не содержал собственных значений оператора A. Добавим к обеим частям (7) s • u и запишем его в виде

(A - (ц + е/I)u е f - Gau - eu,

что эквивалентно включению

u е( ~{ц + е)1 )—1 )f — u — eu ) = Tu,

где I тождественный в L (п) оператор. Из оценки (6) следует, что для любого u е L (И)

и z Е G и

II г|| < || b ||. (8)

Поскольку (A -(ц + е)/) — компактный

оператор, то, повторяя рассуждения из [6. С. 52], можно доказать, что значения отображения T— выпуклые компакты, оно полунепрерывно

сверху на L (п) и для любого шара U с L (п)

множество TU := Tu предкомпактно в L (и).

U&U

Таким образом, существование обобщённого решения задачи (1)-(3) равносильно существованию неподвижной точки у построенного выпуклозначного компактного отображения T.

I z: П ^

3. Доказательство теоремы 1. Для доказательства существования неподвижной точки у выпуклозначного компактного отображения T в L (И) достаточно установить равномерную ограниченность семейства включений u е тТи, 0 < т<1 [7. C. 107]. Допустим противное. Тогда существуют последовательности

(т„ )с [0,1) и (un )с L2 (П) т„ ^хе^Д]

\ип\ ^ +0° такие, что un exnTun для любого натурального п. Последнее включение влечёт существование zn е Gaun, для которого верно равенство

Aun -VUn - (1 -Tn )™n + TnZn = Tnf (9)

В силу (8) || zn || < || b || для любого натурального п. Поделим обе части (9) на ||wn||. Обозначив

через v vn, получим

(А -(|г + е)/) = Tnf -Т^Г\ - exnvn■ (Ю)

U

n

U

n

n

n

Так как ||vn || = 1, то можно считать, что vn ^ v

в L2 (И). В противном случае нужно перейти к подпоследовательности. Правая часть в (10) слабо сходится к -exv. Поскольку оператор

(А -(ц + е)/) компактный, то из (10) следует

сильная сходимость (vj к v в L (И) и равенство

Av = ( + (1 -т)е)v .

Заметим, что ||v|| = 1 и те [0,l]. Поэтому т = 1 и v — собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению ц. В противном случае, полуинтервал (ц, ц + е] будет содержать собственное значение оператора A, что противоречит выбору s.

Умножим обе части (9) на v(x,t) и проинтегрируем по Q. Учитывая, что

J(un (x,t)-^un (x,t) • v(x,t')dxdt = n

( -ц/)un, v) = (un((A -^)v) = 0,

получим

ejun (x,t)v(x,t)dxdt + a

+j Zn (x, t )v (x, t )xdt = j f (x, t )v (x, t) dxdt. a a

64

В. Н. Павленко, Т. А. Петраш

Так как

Jun (x,t)v(x,t)xdt = ||ип|| Jvn (x,t)v(x,t')dxdt и

n n

J vn (x, t )v (x, t) dxdt ^ J v2 (x, t) dxdt = 1, n n

то существует такое n0 e N, что для любого

n > n0

Jun (x, t)v(x, t)xdt > 0. n

Отсюда следует для n > nQ неравенство

Jzn (x, t)v(x, t)dxdt > J f (x, t)v(x, t)dxdt. n n

Переходя в нём к верхнему пределу, получим

J f (x,t)v(x,t)dxdt < n

limsup I zn (x,t)v(x,t)dxdt <

limsup J g+(x,t,u(x,t))v(x,t)dxdt

V v>0

+ J g- (x,t,u(x,t))v(x,t)xdt <

v<0

J g+(x,t,u(x,t))v(x,t)dxdt +

0

J g-(x, t,u (x, t ))v (x, t )dxdt.

v>0

+

v<0

+

При переходе к пределу под знак интеграла воспользовались леммой Лебега—Фату [8] с учётом оценки (4) и тем, что un (x,t) +да , если

v(x, t)> 0 , и un (x, t)^-oo , если v(x, t)< 0.

Полученное неравенство противоречит условию 3) теоремы 1 и на этом её доказательство завершается.

Список литературы

1. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. М. : Наука, 1983. 272 с.

2. Рудаков, И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле // Изв. вузов. Математика. 2007. № 2 (537). С. 46-55.

3. Рудаков, И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями // Изв. РАН. Сер. Математика. 2006. № 1. С. 173-184.

4. Brezis, H. Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and applications to boundary value problems / H. Brezis, L. Niren-berg // Ann. Scuola Norm. Pisa. 1978. Vol. 5, № 2. P. 225-325.

5. Feireisl, E. Weakly damped quasilinear wave equation: existence of time-periodic solutions // Nonlinear Anal. TMA. 1991. Vol. 17, № 8. P. 711-723.

6. Павленко, В. Н. Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью степенного роста // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2008. № 6 (107). Математика. Механика. Информатика. Вып. 10. С. 49-53.

7. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений / Ю. Г Борисович [и др.]. М. : КомКнига, 2005. 216 с.

8. Иосида, К. Функциональный анализ. М. : Мир, 1967. 624 с.