CC BY
53
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ БЕЗ УСЛОВИЯ ЛАНДЕСМАНА ЛАЗЕРА
В.Н. Павленко, Е.А. Чиж
Челябинский государственный университет pavlenko@cgu.chel.su
Рассматривается задача Дирихле для уравнения Лапласа с разрывной по фазовой переменной нелинейностью в резонансном случае, причем нелинейность может не удовлетворять условию Ландесмана - Лазера. С помощью теории топологической степени для компактных многозначных отображений, доказывается существование обобщенного решения рассматриваемой задачи и строится регуляризирующий алгоритм для его нахождения.
Ключевые слова: резонансные эллиптические краевые задачи, разрывные нелинейности, регуляризация.
1. Постановка задачи
В ограниченной области О. С Кт с границей Г класса С1,А4, 0 < ¡1 < 1, рассматривается задача
— Аи(х) — и(х) + д(х, и(х)) = ]г(х), х £ (1)
и|г = 0, (2)
где А1 — наименьшее собственное значение оператора —А с граничным
условием (2), функция ^ : Я X К -> К борелева (тос! 0) [1], т.е. существует борелева функция ^ X К -> К, которая отличается от д лишь на подмножестве I С Я X I, проекция которого на имеет меру нуль, ]г 6 д > т.
Предполагается, что для почти всех х £ функция д(х, •) имеет разрывы только первого рода, д(х,и) £ [д~(х, и), д+(х, и)] для любого и £ К, где д_(х,и) = Пт^„,д(х, гд+(х,и) = НтГ1^.ид(х,г]) и для некоторого а £ Ьд(£2) верна оценка
\д{х,и)\ < а(х) Vи £ К. (3)
Обобщенным решением задачи (1) - (2) будем называть функцию
О
и £ \Уд(£})П И/д1(^), удовлетворяющую для почти всех х £ включению А и + А1И -\- ¡1 £ [д_(х, и(х)), д+(х, и(х))] .
“ о дV
считать положительной в и ——
о п
Известно [2], что собственное подпространство оператора — Аи — Х\1 с граничным условием (2), отвечающее нулевому собственному значению, одномерно, причем базисную функцию (р этого подпространства можно
д
< 0, где —— обозначает производ-р оп
ную по внешней нормали. В основополагающей работе [3] Е. Ландесмана и А. Лазера в случае, когда д(х,и) = д(и) непрерывна на К, доказано существование сильного решения задачи (1) - (2), если к удовлетворяет следующему условию:
д+ / ^р(х)с1х < / к(х)ср(х)ёх <д~ ^р{х)с1х , и о, и о, и о,
где д+ = Нти^+00 д(и) и д~ = Ити^-оо 9{и).
В данной работе устанавливается существование обобщенного решения задачи (1) - (2) в предположении, что
/ к{х)^р{х)с1х = 0 (4)
JQ,
И
д{х,и)и< 0 Уи £ К , (5)
при этом не требуется выполнения условия д~ ф д+. Кроме того, строится регуляризирующий алгоритм для отыскания этого решения. При доказательстве основных результатов используется метод регуляризации и теорема о неподвижных точках компактных многозначных отображений.
В [4] с помощью теории топологической степени Лере - Шаудера найдены условия разрешимости эллиптических резонансных краевых задач с непрерывными нелинейностями, при этом не требуется выполнение условия Ландесмана - Лазера. В отличие от [4], в данной работе допускается, что нелинейность может иметь разрывы первого рода по фазовой переменной.
2. Вспомогательные результаты
Рассмотрим аппроксимирующую задачу
— А и — (А1 + 8п)и + д(х, и) = ]гп, х £ , (6)
и\Г = 0, (7)
где ¡1п £ Ьд(0,), \\Нп — /г-||ь<г(П) < £т $п = л/^п, £-п +0.
JIEMMA 2.1. Пусть выполняются условия (4), (5) и 8п < А2 — Ai, где А2 — второе собственное значение оператора —А с граничным условием (2), тогда аппроксимирующая задача (6) - (7) имеет по крайней мере одно обобщенное решение ип.
Доказательство. Пусть —+ — = 1. Определим оператор G : LP(Q) —>
Р q
(LP(Q))* = Lq(Q) равенством Gu = g(x, u(x)), а линейный дифференциальный оператор Ln : D(Ln) С LP(Q) —> Lq(Q) равенством Lnu = —Aи — (Ai + &n)u, где D(Ln) = |и G и|р = oj С LP(Q). Приходим к следующей
операторной постановке задачи (6) - (7):
Lnu + Gu = hn. (8)
Заметим, что Ln — линейный замкнутый оператор, причем Ln непрерывно обратим (т.к. Ai < Ai + Sn < А2) и L~l компактен [2].
Оператор G ограничен на всем LP(Q) в силу условия (3). Рассмотрим его секвенциальное замыкание SG : LP(Q) —> 2Lq^ [5] (значение SGu для и G LP(Q) определяется как замкнутая выпуклая оболочка множества всех слабо предельных точек в Lq(Q) последовательностей вида {Gun}, где ип —у и в LP(Q)).
Согласно [5], SG совпадает с Ga [1], где Ga — овыпукливание оператора G, т.е. отображение из LP(Q) в 2Lq^\ значением которого в произвольной точке и G LP(Q) является
Gau = P| conv{z = Gy :|| у — и ||< e},
£>0
a convM (M С Lq(Q)) обозначает замкнутую выпуклую оболочку множества М.
В [1] показано, что включение z G Gau равносильно тому, что z(x) G [g-(x,u(x)), g+(x,u(x))] почти всюду на Отсюда получаем, что если и G D(Ln) удовлетворяет включению hn — Lnu G SGu, то и — обобщенное решение (6) - (7). Верно и обратное.
Таким образом, существование обобщенного решения задачи (6) - (7) равносильно существованию и G LP(Q), удовлетворяющему для почти всех х <Е Q включению и G Ln~1(hn — SGu). Обозначим
фп(и) = Ln~l(hn - SGu) .
Как и в [6], устанавливается, что Фга является многозначным компактным отображением на LP(Q) при любом натуральном п.
Так как G — ограниченный оператор на всем пространстве LP(Q), то он отображает LP(Q) в некоторый шар из Lq(Q), следовательно, SG
отображает Ьр(£1) в некоторый замкнутый шар из £9(Г2) (по определению секвенциального замыкания). Таким образом, существует шар Вц: С £9(Г2) такой, что для любого и £ Ьр(0.) верно включение ¡гп — БОи С Вц:. Оператор Ь~1 линеен и компактен, следовательно, он отображает шар Вц: в некоторый шар В л С Ьр(&). Если рассмотреть композицию Фга(и) = = Ь~1(кп — БОи) на шаре В л, то мы получим, что Фга отображает этот шар в себя.
Таким образом, Фга — компактное многозначное отображение, переводящее некоторый замкнутый шар из Ьр(£1) в себя, следовательно, Фга имеет неподвижную точку (в смысле включения) [7], т.е. существует ип £ фп[ип) = Ьп~1(1гп — 8Сип).Поэтому ип — обобщенное решение задачи (6)
- (7). Лемма 2.1 доказана.
3. Основной результат
ТЕОРЕМА 3.1. Пусть выполняются условия леммы 2.1, тогда из последовательности {ип} обобщенных решений аппроксимирующей задачи (6) - (7) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в С1 (12) к некоторому обобщенному решению задачи (1) - (2). Если решение последней единственно, то {ига} сходится к этому решению в С1 (12).
Доказательство. Из леммы 2.1 следует, что для любого натурального п существует обобщенное решение ип задачи (6) - (7). По определению обобщенного решения при любом п £ N существует измеримая функция гп такая, что для почти всех х £ гп(х) £ [д_(х, ип(х)), д+(х, ип(х))] и
- Аип(х) - (А1 + 5п)ип(х) + гп(х) = К(х). (9)
Теперь докажем ограниченность в С1 (12) последовательности {ига} обобщенных решений задачи (6) - (7). Предположим противное. Тогда существует подпоследовательность, которую будем по-прежнему обозначать {и,а}, такая, что при любом натуральном п выполняется неравенство
Ип
Н^НсЧШ ^ п■ Обозначим юп = -------- — 6 Ьд(£}). Заметим, что = 1
Н^пНс1
и юп является решением задачи
7 П
— Аг>п — (А1 + 5п)уп + -—-— = -—-—, х £ О,, (10)
Ц^ггЦс1 У^ггЦс1
ип|г = 0. (11)
% (х}
В силу условия (3) дп(х) = —гг- принадлежит Ь9(Г2). Обозначим
11 11
~ Н (х) ~
К = трЧ— е ЬЦП) и /п = 1гп + (А1 +5п)уп -дп £ Ьд(П). Тогда (10) - (11) И^пЦс1
перепишется в виде
ип|г = 0.
Поскольку Н^пН 1^(12) ^ Мо, где Мо >0 — некоторая константа, то
Ц/гаЦь« < 11 | (ь1? “Ь (^1 \ \Яп \\ьч < “— ---|-(А1 + 5)г)Мо + ^—Ц—. (12)
Так как 1гп £ Ьд(£2), 8п —> 0 и а £ Ьд(£2), то существует константа М такая, что для Vп £ N ||/гг||ь«(П) ^ М.
Отсюда следует [2], что существует константа С > 0 такая, что 1111IV2(П) < С при любом натуральном га. Поскольку И7^ (12) рефлексивно, то из ограниченности последовательности {уга} вытекает существование подпоследовательности, слабо сходящейся к некоторому V в И/д2(^)-Эту подпоследовательность будем по-прежнему обозначать {и^}. Так как \Уд(£1) компактно вложено в С1 (О) при д > то, то уп —> V в С1 (О). Кроме того, Аюп —*■ Аг> в Ьд(£2). Учитывая, что
Ьп\\та) = 17—п— ------------------^°> и—и ^ -->0 при га
v ' \\un\\ci га \\ип\\с1 п
оо ,
и перейдя в задаче (10) - (11) к слабому пределу в Lg(Q) при га —> оо, получим
— Av = Aiu , (13)
и|г = 0 . (14)
Заметим, что v ф 0, так как Цг^Цс1 = 1- Следовательно, v является собственной функцией оператора —А, соответствующей собственному значению Ai. Таким образом, v = Kíp(x), где К ф 0 — некоторая константа. Возможны два случая:
dv
(i) К > 0, следовательно, v > 0 в Í7, а —— <0 на Г;
оп
dv
(ii) К < 0, следовательно, v < 0 в Í7, а —— >0 на Г.
Оп
Рассмотрим случай (i) (второй случай рассматривается аналогично). В силу сходимости последовательности {vn} к v в C1(Í7) найдется номер по £ N такой, что для всех га > rao верно неравенство vn(x) > 0 на Í7. Так как ип = получаем, что для всех га > rao выполняется нера-
венство ип(х) > 0 на Í7.
Возьмем I > rao, тогда, умножив на собственную функцию ip обе части уравнения (9) и проинтегрировав по Í7, получим
/ —Au¡<p(x)dx — / (Ai + 5¡)unp(x)dx + / z¡(x)<p(x)dx = / h¡(x)<p(x)dx .
J Q J Q J Q J Q
В первом интеграле дважды применим обобщенную формулу интегрирования по частям и с учетом того, что <^|р = 0 и щ|р = 0, получим
/ ( — А(р — \1<р)и1 с1х — 5[ / щ(р<1х-\- / г\^рс1х= / 1ц(рс1х.
Так как — собственная функция оператора —А, соответствующая собственному значению А1, то первый интеграл равен нулю. Теперь, учитывая условие (4), из последнего равенства имеем
— 5[ / щ(р<1х-\- / г\^рс1х= / (/ц — К)(р<1х . (15)
Используя неравенство Гельдера, оценим снизу правую часть этого выражения:
/ (Ы - к)<р<1х > —\\]г - ]11\\Ьч\\<р\\ЬР > -£1\\<р\\ьр ■
Поэтому из выражения (15) следует
z¡(x)ip(x)dx>S¡ unpdx - £i\\(p\\LP . J Í7
JSl
Так как щ = v¡ ■ \\иі\\с<1^щ > І ■ v¡ н S¡ = у^7, получаем
la
zi(x)ip(x)dx > ly/єі vnpdx - £i\\(p\\LP . (16)
Jü
Так как íp > 0 в Í7, v¡ —> К(р в C1(Í7), а при достаточно больших I G N у/Щ > £i и v¡ > 0 в Í7, то правая часть неравенства (16) положительна при всех /, больших некоторого номера /о G N. Следовательно,
/ zi(x)íp(x)dx > О
Л2
для всех I > /о- При достаточно большом I последнее неравенство противоречит условию (5), так как в силу этого условия д(х,и)и < 0 для всех и G К., но щ > 0, отсюда <7+(ж, щ(х)) < 0, а так как д_(х,щ(х)) <
< £;(ж) < д+(х,щ(х)) < 0, то Jq z¡ ipdx < 0. Это противоречие показывает, что последовательность {ип} обобщенных решений аппроксимирующей задачи (6) - (7) ограничена в C1(Í7). В силу (9) —Аип = fn, где fn = (Ai + 5п)ип — zn-\-hn G Lq(Q). Учитывая ограниченность {ига} в С1 (ÍÍ), получаем существование константы /3 > 0, для которой ||/n||z,9(íí) < /3. Отсюда в силу [2] следует, что 11ип\\цг2^ < D для Vra G N, где D > 0 — некоторая константа. Из рефлексивности И7? (ÍÍ) и ограниченности {ига} в
\Уд(£1) вытекает существование подпоследовательности {иПк} последовательности {ига}, слабо сходящейся в И/д2(^) к и £ И/д2(^)- Следовательно, игад, —т- и в С1(0), Аигад, —*■ А и и (А1 + $Пк)иПк -т- А1И в £9(Г2). По условию теоремы ЬПк -т- к в Ь9(Г2). Отсюда заключаем, что 2^ -^гв Ь9(Г2) и
г(ж) = Аи(х) + А1и(ж) + ]г(х).
В силу слабой замкнутости б'Сг [5] заключаем, что г £ БОи, из чего следует, что
г{х) £ [д_(х,и(х)),д+(х,и(х))]
для почти всех I 6 Я. Следовательно, и является обобщенным решением задачи (1) - (2).
Если предположить, что решение и задачи (1) - (2) единственно, то любая подпоследовательность {иПк} последовательности {ип} обобщенных решений аппроксимирующей задачи (6) - (7) содержит подпоследовательность, сходящуюся к и в С1(0). Поэтому сама последовательность {ига} сходится к и в С1(0). Теорема 3.1 доказана.
Список литературы
1. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.
2. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989.
3. Landesman Е., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance // J. Math, and Mech. 1970. Vol. 19. № 7. P. 609 - 623.
4. Iannacci R., Nkashama M.N., Ward J.R. Nonlinear second order elliptic partial differential equations at resonance // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. Vol. 311, № 2. P. 711 - 725.
5. Павленко В.Н. Управление распределенными системами эллиптического типа с разрывной нелинейностью // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. 1999. № 2(5). С. 56 - 57.
6. Павленко В.Н. Управление сингулярными распределенными системами параболического типа с разрывными нелинейностями // Укр. мат. журн. 1994. Т. 46, № 6. С. 729 - 736.
7. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1986.
SUMMARY
The Dirichlet problem for Laplace equation of resonance type with discontinuous nonlinearity without Landesman-Lazer condition is considered. Using
the topological degree theory the existence of generalized solution is established
and regulating algorithm is built.
