Аппроксимация краевых задач эллиптического типа с разрывной нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

АППРОКСИМАЦИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА С РАЗРЫВНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

М.Г. Лепчинский, В.Н. Павленко

Рассматриваются резонансные эллиптические краевые задачи с разрывной правой частью. Показано, что при естественных условиях близости исходной нелинейности и аппроксимирующей ее каратеодо-риевой функции будет иметь место /9-сходимость множества решений приближенной задачи, являющихся точками минимума сопоставляемого функционала, и множества решений исходной задачи.

Ключевые слова: разрывная нелинейность, аппроксимация, устойчивость.

1. Введение и постановка задачи

Многие задачи теории управления, механики и математической физики в своих математических моделях содержат разрывные нелинейности. Например, такие нелинейности могут возникать как идеализация непрерывных процессов, в которых наблюдаются короткие промежутки с резким изменением тех или иных параметров. Так как структуру такого изменения отследить довольно сложно, то в уравнениях просто считают, что некоторая функция имеет разрыв и решают задачу в таком предположении. Тем не менее остается открытым вопрос о том, насколько решение получившейся задачи адекватно отражает физическую действительность. Вопрос о близости множеств решений уравнения с допредельными нелинейностями и множества обобщенных решений с идеализированными разрывными характеристиками был поставлен в работе [1].

Данная проблема для нерезонансных эллиптических краевых задач с разрывной ограниченной нелинейностью изучалась в [2] вариационным методом, Нерезонансность означает, что соответствующая однородная краевая задача имеет только нулевое решение.

Систематическое изучение эллиптических резонансных краевых задач началось с работы [3].

В данной работе рассматриваются резонансные эллиптические краевые задачи с разрывной правой частью. При этом мы будем ссылаться на теоремы существования решений таких задач, полученные в [4]. Аппроксимация нелинейностей будет проводиться каратеодори-евыми функциями. Будет показано, что при естественных ограничениях, налагаемых на аппроксимирующую последовательность, существует сходящаяся в равномерной метрике вместе с первыми производными к решению исходной краевой задачи подпоследовательность решений приближенных задач.

Пусть О - ограниченная область К” (п > 2) с границей Г класса ( (У- € (0, 1),

п

Ьи(х) = - + с(х)и(х)

*,.7=1

равномерно эллиптический дифференциальный оператор на О с коэффициентами Оц е С^а(О), а^(х) = а^(х), с е Со,а(^)-Рассматривается краевая задача вида,

Ьи{х) = д(х,и(х)), х е О, (1)

Ви\г = 0, (2)

где В - одно из следующих основных краевых условий:

и,

П

'У] ау(х)иХ{ сов(п,Хз),

*,5=1

соз(п, х^) - направляющие косинусы внешней нормали п к границе Г;

л . . , .

пи = —-----Ь а(х)щх),

ОПь

функция а е (71>а(Г) неотрицательна на Г и не равна тождественно нулю.

Нелинейность д(х,и) удовлетворяет условию (*):

Ви

Ви

ди

дп

функция д:Ох1-}1 борелева (тос! 0) [5], для почти всех .г Е V. сечение д(х,-) имеет на К разрывы только первого рода и д(х,и,) Е [д-(х,и), д+(х,и,)\, д_(х,и) = НттГд(х, ,з),

д+(х,и,) = Итэирд(х, ,з), \д(х,и,)\ < а(х) для п.в. и Е 1, о е

в—ИА

Ьд(й), д > п.

Определение 1. Сильным решением задачи (1)-(2) называется функция и Е \¥2{И), д > 1, которая удовлетворяет уравнению (1) для почти всех х Е О и для, которой след Ви{х) на границу Г области О равен нулю.

Определение 2. Полу правильным решением задачи, (1)-(2) называется, сильное решение этой задачи,, для, которого и{х) является, точкой непрерывности, функции д(х, •) при п.в. х Е О.

Определение 3. Говорят, что для, уравнения (1) выполнено А-условие [6], если, найдется не более чем счетное семейство поверхностей {,%, г Е I}, = {(х, у) Е К”+1 | и = щ(х), х Е О}, щ Е И^сД(0)

'таких, что для, почти всех х Е И неравенство д(х,и—) > д(х,и+) влечет существование % Е I, для которого и = ^{х) и

(Ь^(х) - д(х, (р{(х)+))(Ь(р{(х) - д(х, щ(х)-)) > 0. (3)

Определение 4. Говорят, что для, уравнения (1) выполнено А1-условие, если, удовлетворяется, предыдущее определение, в котором, верно либо (3), либо х) — д(х,^(х)) = 0.

Предполагается, что линейное пространство N{1/) решений однородной задачи

1.4 = 0. х Е И (4)

Ви\т = 0 (5)

нетривиально.

Пусть X = II1 (Т>). если (2) - граничное условие Дирихле, и

X = Я1 (О), если (2) - граничное условие Неймана или третье кра-

евое условие.

Сопоставим оператору Ь следующий функционал

.с1х-\— [ с{х)г12{х)с1,х Н— [ а(з)и2(8)с18,

3 2 ,/п 2

J(u)

'Л Г

г, 3=1

О / у / ^г3 ХІ

где для задачи Дирихле и Неймана полагаем <т(з) = О,

Сопоставим краевой задаче (1)-(2) функционал Л (и), определенный на X. следующим образом

Вместе с исходной задачей рассматривается последовательность ап-проксимационных задач вида,

где функции дк(х,и) - каратеодориевы, удовлетворяют ограничению \дк(х,и)\ < а(х) для п.в. «еК.

С каждой аппрокеимационной задачей также свяжем определенный на X функционал

Исследуется вопрос о сходимости решений аппроксимационных задач к решению исходной задачи,

2. Формулировка основного результата

Для доказательства основной теоремы нам потребуется следующее простое следствие теоремы 1,3 из [4].

Теорема 1. Пусть выполнены условия

1) J(u) > 0 Ух е X;

2) ядро Х{Ь) ненулевое, причем

•и(х)

Ьи(х) = д}.{х,и{х)), х е О, Ви |г = О,

(6)

(7)

•и(х)

•и(х)

3) выполнено условие (*);

4) для, уравнения выполнено А-условие (А1-условие). Тогда, существует щ е X, для, которого

Л(и0) = тГ Л(г;),

(8)

причем любое такое щ е IV2 (О) удовлетворяет граничному условию (2) и является, полуправильным (сильным) решением задачи, (1)-(2).

Далее будем предполагать, что для функций д и пространства Л' (I.} верны следующие условия:

а) существуют пределы

_ 1 Г

д±(х) = Нт — д{х.)з)с1,8

к^±оо и У0

для почти всех 1ёО;

б) пространство N{1) одномерно;

в) для базисной функции ф пространства N(1,) и функций д± верно неравенство

~д+{х)ф(х)йх + ~д_(х)ф(х)йх > 0 >

Ф<о ^ф>о

> ~д+(х)ф(х)йх + ~д_(х)ф(х)йх.

^ф>0 ^ф<0

Замечание 1. При существовании указанных в условии а) пределов эти пределы будут функциями из ЬЯ(П), поэтому интегралы в условии в) существуют.

Покажем, что выполнение условия в) влечет выполнение равенства

Г ги(х)

Нт с1х д(х. »)<!» = — х\ (9)

ueN(L),\\u\\^^+oo У0

Действительно,

Г ги(х)

Нт с1х д(х,8)с18 =

uEN(L),\\u\\^^+oo У0

Пт

І—ЇОО

І ґіф(х)

І X І СІХ ф(х) • ——— а(х,8)сІ8

'п к ] іф{х) Уо УК ’ ;

~оо

по теореме Лебега о переходе к пределу под знак интеграла, поскольку подынтегральная функция по модулю ограничена суммируемой функцией а(х)\ф(х) | при всех £ е К и почти всех х (г V. п поточечно сходится при t —>• +оо к пределу

д+(х)ф(х)с1х + д_(х)ф(х)с1х < О,

i/i>0 J ф<0

а при t —>• ^оо — к пределу

д+(х)ф(х)вх + д_(х)ф(х)<їх > 0.

ф<0 Jф>0

Пусть для последовательности /д. выполняется следующее условие сходимости:

dx I \дк(х, s) — д(х, s)|ds —>• 0, при к —>• +оо.

(10)

Покажем, что условие (10) влечет выполнение условия 2) теоремы 1 для функций дк, если этим свойством обладает д. Для этого рассмотрим модуль разности

ри(х)

dx / g(x,s)ds

n Jo

u(x)

pu(x)

dx / gk(x,s)ds

n Jo

dx / (g(x,s) - gk(x,s))ds

n Jo

< j dx j \g(x, s) — gk(x, s)\ds,

но последний интеграл ограничен, т.к. по условию он стремится к нулю при к —>• +оо, поэтому, переходя к пределу при |Ща;)|| —>• +оо, где и(х) G N(L), получаем требуемое.

Таким образом, к функциям д и дк применима теорема 1, и краевые задачи (1)-(2) и (6)-(7) имеют сильные решения, доставляющие минимум функционалов Jq и Jk соответственно. Обозначим через Ша множество решений исходной краевой задачи, доставляющих минимум функционалу Jq, а через Шк - множество решение задачи (6)-(7), доставляющих минимум J^,

Для формулировки основной теоремы нам понадобится следующее понятие.

Определение 5. Расстоянием от множества А до множества В называется, величина, ЦА. II) = sup inf ||о — Ь||.

а£А

Основным результатом статьи является следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполнены условия

1) J(u) > О У.г е X;

2) ядро Х{Ь) одномерно;

3) выполнены условия (*), а), б), в);

4) выполнено условие сходимости (10);

5) для, уравнения выполнено А-условие (А1-усл,ови,е).

Тогда, имеет место [3-сходим,ость Шк —>• ШТо (т.е. /3(ЭДТ*.,9Я0) —>• О при к —>• -\-оо) в ^(О). В частности,, если, 9Я0 состоит из одной точки щ, то У{щ}, Щ € Шк : щ —>• щ в С\(О).

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что для произвольной возрастающей последовательности натуральных чисел {пк} из любой последовательности {ик} такой, что и,к (= ШПк, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в Сх(0) к некоторой точке ИЗ Щ?о-

Согласно теореме 1 решения и,к лежат в IV2 (П), а согласно теореме вложения Соболева пространство И^(0) компактно вложено в пространство С'1(0) при д > п, поэтому щ € С'1(0). Предположим, что последовательность {ик} неогранпчена в С'1(0). Тогда из нее можно выделить подпоследовательность {и к, }• такую, что ||и£г||с1 +оо, Переобозначим эту подпоследовательность за {%} и рассмотрим Vk = ик/\\ик\\сг- В силу того, что щ - решение краевой задачи (6)—(7), имеем п

(ау„ ) =-с(х)уМ - Як{х’щ{х))

УН]1]кх{)х, С\Х)1)к\Х) ||ий(а;)|| ‘

Функции Ук(х) ограничены, по условию \д1~(х,щ(х))\ < а(х) £ Ьд(П), а ||и*;(а:)||с1 —*■ +оо, поэтому норма правой части последнего тождества ограничена в Ь9(0) константой, не зависящей от к. Это влечет ограниченность в И^(0) последовательности {г^} [7]. Т.к. И^(0) - рефлексивное пространство, то в ограниченной последовательности Ук обязана содержаться слабо сходящаяся подпоследовательность. Без ущерба для общности будем считать, что сама {г к }■ слабо сходится к некоторому у. Мы уже отмечали, что в нашем случае П ,’2(Т>) компактно вложено в С'1(0), поэтому Гк —>• г г. С'1(0), а т.к. Цт^Цс1 = то и ||^| 1с1 = 1) т.е. г(х) - ненулевая функция. Заметим, что для г к. как и для щ, выполняется граничное условие (7), а значит, оно выполняется и для у, т.к. Ук —>• V в пространстве С'1(0).

Для любого ги е \¥р (О) (р+ д^1 = 1) в силу самосопряженности оператора Ь и слабой сходимости 1 V в И^(О) выполняется соотношение:

ЬУк(х)т(х)с1х = / Ук(х)Ьт(х)с1х —>• п Уп

-4- / у(х)Ьиз(х)с1х = / Ьу{х)из{х)с1х.

тт г / ч

Но ьгых) = —г:— , где правая часть вследствие неравенства

|д(а;,з)| < о(ж) для и,в, «бЕи того, что ||м^(я:)|| -4- +оо, стремится к нулю в /,(/ (12). Значит, при предельном переходе />• -4- +оо мы получим равенство /п Ь?)(х)и)(х)с1х = 0 Ут е И^(О), откуда Ьу{х) = 0 п.в. на

О. Выше отмечалось, что г - ненулевая функция, удовлетворяющая краевому условию (7), поэтому V - нетривиальное решение однородной краевой задачи (4)-(5).

Заметим, что последовательность ^(щ) ограничена сверху нулем. Действительно, т.к. ///,. - точка минимума функционала . то верно неравенство Л(%) < ^(0(я:)) = 0, где 0(х) - нулевая на О функция.

Значения функционала — /п с1х дь(х, з)с1,з

неположительны. По условию функционал У неотрицателен, поэтому

гик(х)

с!х / дк(х,,з)с1,з > 0 Ук е М. (11)

п

Преобразуем левую часть последнего неравенства:

гик(х)

йх / дк(х,з)с18 = п Jo

Г I гиф)

\\ик\\с1 йх ик(х)—-- дк(х,8)йз.

.) Пп{ик(х)^0} Щ\Х) J0

Последний интеграл в силу теоремы Лебега сходится к

]+(х)у(х)с1х + д_(х)у(х)с1х,

у>0 <) 1)<0

что по условию меньше 0, поэтому исходный интеграл

Г Г^ф)

с1х дк(х,з)с18^^оо

,/п ^0

и не может быть ограничен снизу, что противоречит (11). Таким образом, последовательность {щ} ограничена в С^О).

Для последовательности ///,. как последовательности решений краевой задачи (6)-(7) выполняются равенства

П

~ ^2(аи(х)икх{)х^ = -с(х)ик(х) + дк(х,ик(х)), Вщ\г = 0.

*,5=1

Норма правой части предпоследнего равенства ограничена в Ьд(П,) константой, не зависящей от А: в силу того, что ик(х) - ограничена в С'1(0) и \д(х,з)\ < а(х) \/з е К (о Е Ьд(£2)). Отсюда следует ограниченность в И^(О) последовательности {ик} [7]. Пространство И^(О) - рефлексивное, поэтому из ограниченной последовательности ик можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы будем по-прежнему обозначать ик. Пусть ик —1 й. Как и раньше, мы пользуемся компактностью вложения пространства И^(О) в пространство С'1(0) и получаем, что ик —>• й в С'1(0), а т.к. Вик\т = 0, то это нам дает Вй |г = 0,

Пусть и$ е ШТо- Покажем, что

Л (и) = Л(мо) = Л(^) = 4-

Обозначим 6к = /п йх /ж \дк(х, з) — д(х, з)|с?з. Имеем Уи Е И/21(0):

\Ми) ~ Ми)\ =

Теперь, используя последнее неравенство и определение ик и щ как функций, доставляющих минимум соответствующим функционалам, получаем следующую цепочку неравенств:

&к — Уо(^о) &к — ^0 (.И к) &к — '^к^'к)

< ’1к(щ) < + $к = Ф) + $к-

Поэтому Jfe(ufe) —>• do, т.к. 5k —>• 0 при к —>• +оо по условию. Заметим также, что Jfe(ufe) —>• Jo (и), что следует из соотношений Jo(Mfe) -4- Jo (и) (т.к. функционал J0 непрерывен на С'1(0)) и | Jfc(ufc) — Jo(wfc)| < ^ 0.

В итоге, Jo (и) = do = inf Jq(w).

w£X

Используя теорему 1, заключаем, что й является полупра-вильным (сильным) решением краевой задачи (1)-(2), причем й - предел последовательности щ в С'1(0), что и доказывает теорему в общем случае. Если же решение исходной задачи, доставляющее минимум функционалу J(t единственно, то /3-сходимость в С'1(0) последовательности множеств к одноточечному множеству Ш?0 означает сходимость любой последовательности {Uк}, ик G SOtfc, к этому решению, □

Список литературы

1. Красносельский М.А., Покровский А.В. Уравнения с разрывными нелинейностями // Докл. АН СССР. 1979. Т.248, № 5. С. 1056-1059.

2. Павленко В.Н., Искаков Р.С. Непрерывные аппроксимации разрывных нелинейностей полулинейных уравнений эллиптического типа //

Укр. мат. журн. 1999. Т.51, № 2. С. 224-233.

3. Landesman Е., Lazer A. Nonlinear perturbations of linear elliptic boundary value problems at resonance // J. Math, and Mech. 1970. V.19, № 7. P. 609-623.

4. Павленко B.H., Винокур B.B. Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Изв. вузов. Математика. 2001. № 5. С. 45-58.

5. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука. 1983. 272 с.

6. Павленко В.Н. О существовании полуправильных решений задачи Дирихле для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями // Укр. матем. журн. 1989. Т.41, № 12. С. 1659-1664.

7. Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. - М.: Наука, 1989. 464 с.

Челябинский государственный университет, [email protected]