Периодическая задача для уравнения типа Хилла в случае параметрического резонанса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Периодическая задача для уравнения типа Хилла в случае параметрического резонанса1

С. М. Чуйко, Е. В. Чуйко, П. В. Кулиш

Донбасский государственный педагогический университет, Славянск 84116. E-mail: chujko-slav@inbox.ru

Аннотация. Найдены необходимые и достаточные условия существования решений нелинейной неавтономной периодической задачи для уравнения типа Хилла в случае параметрического резонанса. Характерной особенностью поставленной задачи является необходимость нахождения, как искомого решения, так и соответствующей собственной функции, обеспечивающей разрешимость периодической задачи для уравнения типа Хилла в случае параметрического резонанса. Для построения решений периодической задачи для уравнения типа Хилла и соответствующей собственной функции в случае параметрического резонанса предложена итерационная схема, построенная по методу простых итераций. Ключевые слова: периодическая краевая задача, параметрический резонанс, уравнение типа Хилла, метод простых итераций.

1. Постановка задачи

Актуальность изучения периодических краевых задач в случае параметрического резонанса связана с многочисленными приложениями в электронике [6], геодезии [4] и станкостроении [3]. Традиционное изучение краевых задач в случае параметрического резонанса было связано с исследованием прежде всего вопросов устойчивости [13, 15]. Как правило, при изучении краевых задач в случае параметрического резонанса дифференциальное уравнение предполагалось фиксированным. Таким образом, основным отличием данной статьи является изучение вопросов разрешимости периодических краевых задач в случае параметрического резонанса в зависимости от собственной функции дифференциального уравнения. Нами исследована задача о нахождения 2п-периодического решения [16]

y(t, е) : y(-,e) € C2[0,2п], y(t, ■) € C[0, ее], к(е) € C[0, ее] уравнения типа Хилла [2, 14]

(y + У = f (t)+ е^ (y,K,t,e), (1)

Решение 2п-периодической задачи для уравнения (1) ищем в малой окрестности нетривиального периодического решения ye(t) € C2[0, 2п] порождающего уравнения

_(2е + Уо = f(t) (2)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований. Номер государственной регистрации 0112U000372.

© С. М. ЧУЙКО, Е. В. ЧУЙКО, П. В. КУЛИШ

Здесь У(у, Ь, е) нелинейная скалярная функция, непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументу в малой окрестности решения порождающего решения и точки /0 := /(0), а также непрерывная по Ь € [0, 2п] и по е € [0, ео]. Согласно традиционной классификации периодических краевых задач поставленная задача для уравнения (1) является критической [1, 5, 16]. Для произвольной функции f (Ь) € С[0, 2п] периодическая задача для уравнения (2) разрешима тогда и только тогда, когда

г2п

! Ч С

f (s) ds = 0; (3)

/о

cos s — sin s

в этом случае при соответствующей фиксации начала отсчета независимой переменной общее решение 2-^-периодической задачи для уравнения (2) имеет вид

yo(t,co) = со • cos t + g[f (s)](t), со € R1.

Здесь

g[f (s)](t)= / sin(t - s)f (s) ds о

оператор Грина 2-^-периодической задачи для уравнения (2).

2. Необходимое условие существования решения

Предположим периодическую задачу для уравнения (2) разрешимой; при этом условие разрешимости 2^-периодической задачи для уравнения (1)

г2п i cos s

Y(y(s,e),ß(e),s,e) ds = 0 (4)

о

cos s sin s

приводит к уравнению для порождающих амплитуд 2п-периодической задачи для уравнения типа Хилла

F(eo,ßo) := / о

2п

/ Ч W С

Y(yo(s,€o),ßo,s, 0) ds = 0. (5)

cos s sin s

Таким образом, доказано следующее утверждение, которое является обобщением соответствующих утверждений [9, 11, 12].

Лемма. Если выполнено условие (3) и 2п-периодическая задача для уравнения типа Хилла (1) имеет решение

y(t,e): y(-,e) € C2[0, 2п], y(t, ■) € C[0, £q], ¡(e) € C[0,£q],

при £ = 0 обращающееся в порождающее

yo(t,co) = co ■ cost + g[f (s)](t), ¡(0) = ¡q € R1,

то вектор

c0 := col (c0, ¡0) G R2

удовлетворяет уравнению для порождающих амплитуд 2п-периодической задачи для уравнения типа Хилла (5).

3. Достаточное условие существования решения

Фиксируя одно из решений со € К2 уравнения (5), приходим к задаче об отыскании 2-^-периодического решения уравнения типа Хилла (1)

у(г,е) = уо(г,со) + х(г,е)

в окрестности порождающего решения уо(т,со), а также собственной функции

ц(е) := Цо + С(е)

в малой окрестности точки ц,о- Возмущение порождающего решения

х(г,е): х(-,е) € С2[0, 2^], х(г, ■) € С[0,ео], а также функцию С(е) € С[0,ео] определяет 2-^-периодическая задача для уравнения

d2x

+ x = eY(yo(t, со) + x(t, e), ß(e),t, e).

(6)

В малой окрестности порождающего решения уо(г, со) и точки цо имеет место следующее разложение

У(уо(г, со) + х(г,е),^о + С(е),г,е) = У(уо(г,со), 0) + А1(уо(г, со), ^о)х(г, е)+

+ А2(уо(г,со),^о)С (е) + еАз(уо(г,со ),^о) + Щуо(г,со) + х(г,е),^о + С (е),г,е),

где

Ai(yo(t, co),ßo) =

dY (y,ß,t,e)

dy

y=y0(t,c0) , A2(y0(t,co),ßo) ß=ßo £=0

dY (y,ß,t,e)

dß

y=yo(t,co) ß=ßo

£=o

A3(yo (t,co),ßo) =

dY (y,ß,t,e)

de

y=yo (t,co) ß=ßo

£=o

Решение 2п-периодической задачи для уравнения (6) при соответствующей фиксации начала отсчета независимой переменной представимо в виде

x(t,e) = v(е) ■ cos t + x(1)(t,e), v(e) € R1,

где

x(l)(t,e) = e ■ g[Y(yo(s,co) + x(s,e),ßo + С(e), s, e)](t).

Обозначим (2 x 2)-мерную матрицу

г- 2п

De = /

o

cos s — sin s

[Ai(yo(s,co),ßo) cos s; A2(yo(s, co), ßo)] ds.

Условие разрешимости (4) приводит к уравнению

Do ■

\ * (e) cos s

. С (e) . = -Jo - sin s

[Ai(yo(s,co), ßo)xw(s, + eA3(yo(s,co),ßo) + R(yo(s,co) + x(s,e),ßo + С(e),s,e)] ds.

Таким образом, при условии det Do = 0 единственное решение 2-^-периодической задачи для уравнения (6) определяет операторная система

x(t,e) = v(е) • cos t + x(1)(t, е),

x(1)(t, е) = е • g[Y(yo(s, co) + x(s, e),f(e),s, e)](t),

* (e)

С (e)

r2n

= -D+ ■

cos s — sin s

[^i(yo(s,co),^o)^(1)(s,e) +

+ eA3(yo(s,co), ßo) + R(yo(s,co) + x(s,e),ßo + С(e),s,e)] ds. (7)

Для построения решения операторной системы (7) в случае простоты (det Do = 0) корней уравнения для порождающих амплитуд (5) применим метод простых итераций [1, 16]. Таким образом, доказано следующее утверждение, которое является обобщением соответствующих утверждений [9, 11, 12].

Теорема. Для любого простого (det D0 = 0) корня с0 € R2 уравнения (5) периодическая задача для уравнения (1) имеет единственное решение

y(t, е) : y(-,e) € C2[0, 2п], y(t, •) € C[0,eo], f(e) € C[0,eo], f(0) = fo,

определенное операторной системой (7), и при е = 0 обращающееся в порождающее yo(t, co). Для нахождения этого решения y(t, е) = yo(t, co)+x(t, е), а также собственной функции f(e) = fo + Z(е) применима итерационная схема

Xk+i (t,e) = vfc+i(e) • cos t + x(j}++1(t,e),

xi+1(t, e) = x11)(t, e) + xk2+1(t,e), x^(t,e) = e • g[Y(yo(s,co),fo,s, 0)](t), (2)

xk+1(t, e) = e • g[^1(yo(s, co),fo)vk(e)+

+ eA3(yo(s,co),ßo) + R(yo(s,co) + x1k)(s, e), ßo + Ck(e), s, e)](t);

^k+i(e) Ck+i(e)

с2ж

= — D+

cos s sin s

[Ai(yo(s, co), ßo)xk+1(s, e) + eA3(yo(s, co), ßo)+

+ R(yo(s, co) + xk+1 (s,e),ßo + Ck(e),s,e)] ds, k = 0, 1, 2,

(8

Длина отрезка [0, £*], на котором применима итерационная схема (8), может быть оценена, как посредством мажорирующих уравнений Ляпунова [1, 16], так и непосредственно из условия сжимаемости оператора, определяемого системой (7) аналогично [7, 17].

Пример. Условия доказанной теоремы выполняются в случае 2-^-периодической задачи для уравнения

" , • о+ , А - л/ёТсовё \ 3

y + y = sin 3t + e

e

+ ß(e) y + ey3.

(9)

Поскольку выполнено условие (3), постольку порождающая 2п-периодическая задача для уравнения (9) разрешима, и при соответствующей фиксации начала отсчета независимой переменной имеет общее вида

yo(t, co) = co • cos t — ^(2sin t + sin3t), co € R1. 8

o

o

Действительно, положив

yo(t,Coa,Cob) = Coa • sin t + Cob • COs t - 1(2sin t + sin3t), Coa,Cob € R1,

o

находим корни уравнения для порождающих амплитуд

/3 1

+Cob = - OCoa + 16 + c2a, № = —(31 + 216 Coa - 384 C^),

4 128

зависящие от произвольной константы Coa € R1. При Coa = 0 уравнение для порождающих амплитуд (5) приводится к виду

п

F(coß) :=256

2c0(96 c0 + 128 ßo - 49) 72 c0 + 64 ßo - 29

= 0,

при этом корню

л/э 31

c0 = ,ß0 = 128

соответствует невырожденная матрица

/А уЦ\

Do = п & 1

\ 64 4 )

функция

и производные

Y(yo(t,Co),ßo,t, 0) = (ßo - ~)yo(t,Co) + y0(t,co)

Ах(уо(г,со),^о) = Но - 2 + 3уо(г,со),

А2(уо(г,со),Но) = уо(г,со), Аз(уо(г, со), Но) = 0.

Таким образом, согласно доказанной теореме периодическая задача для уравнения (9) имеет единственное решение, при е = 0 обращающееся в порождающее уо(г,со), для нахождения которого котором применима итерационная схема (8). Первое приближение к решению 2^-периодической задачи для уравнения (9)

x\(t,e) = (e) ■ cost + x^(t,e),

определяет функция

21 409 295 e2 49 165 127 e3 24 929 285 e4 23 241 645 e5

(e) = —_ _ _ + « ^ „+

216 318 619 1 016 025 026 672 845 779 633 051 089

82 037 300 e6 26 658 735 e7 9 380 769 e8 --1----•

2 218 571 043 680 011 168 218 146 084 '

здесь

é^)(t,e) := e ■ g[Y (yo(s,co ),ßo ,s, 0)](t) =

e

163 840

(-110л/3 cos t + 100л/3 cos 5t + 10\/3cos 7t - 3 331 sint + .

+ 970 sin 3t + 100 sin 5t - 10 sin 7t - sin 9t).

Первое приближение к собственной функции согласно итерационной схеме (8)

:= ^о + ^(е),

где

,, , 168 884 986 026 391 е 104 756 068 е2 29 158 534 е3

¿1 (в) =---1-----+

450 359 962 737 043 414 683 279 166 465 533

18 293 293 423 е4 3 534 661 174 е5 31 349 321 е6 + ...............+

109 951 020 553 21 143 549 593 178 168 562

38 870 963 e7 1 672 097 e8

+

202 339 609 7 760 651 Второе приближение к решению 2п-периодической задачи для уравнения (9)

x2(t, е) & x21)(t, е) := x1\t, е) + x22)(t, е),

определяет функция (2)

x2 (t, е) := е • g[Л1 (yo (s, co), f o) V1 (e) +

+ eA3(yo(s,co),fo) + R(yo(s,co) + x{1\s,e),fo + (1(e), s, e)](t);

таким образом

(1)( )= 1 014 413 e2 4 400 281 e3 1 956 450 e4

x2 (t,e) = — 12 765 187 498 COst — 4 938 933 902 COst + 4 566 462 193 COst—

2 060 658 e5 964 095 e6 1 169 504 e7

cos t + ^ „n 4 4 cos t — „ n cos t+

6 281 337 143 2 965 734 044 3 571 940 109

1 093 848 e8 1 469 522 e3 3 8 067 663 e4 3

+ 3 151 185 431 COS t + 1 248 481 597 COS 3t — 14 227 407 965 COS 3t+

1 380 803 e5 3 1 680 034 e6 3 1 657 063 e7 3

+ 3 180 212 514 COS 3t — 3 904 888 867 COS 3t + 3 824 016 104 COS 3t—

1 758 987 e8 770 991 e2 r 6 571 544 e3

cos 3t +------cos 5t----- cos 5t+

3 828 757 390 8 840 572 225 25 134 925 997

559 311 e4 1 039 568 e5 1 055 857 e6

+ 4 425 705 475 COS 5t — 10 743 292 877 COS 5t + 11 011 736 320 COS 5t—

807 787 e7 575 238 e8 166 657 e2

-cos 5t +--cos 5t--cos 7t—

8 364 454 913 5 618 273 519 20 958 062 029

228 367 e3 399 114 e4 1 135 681 e5

cos 7t + ^„^ cos 7t — _ _____ ^ ^^^ cos 7t+

9 241 934 690 32 618 821 633 121 320 646 695

151 775 e6 7 48 573 e7 7 403 952 e8 7 + 16 362 316 359 COS 7t — 5 199 116 585 COS 7t + 40 782 976 333 COS 7t+

10 564 e3 31 271 e4 17 464 e2

+ 156 159 472 669 COS 9t — 19 756 127 724 292 COS 9t + 88 105 244 873 COS Ш—

11 625 e3 .. 7 037 e2 8 312 e3

782 277 062 033 COS + 681 627 054 334 COS — 3 776 934 432 405 COS 13t—

2 088 061 e2 . 5 680 913 e^ 4 034 353 e4 . 4 434 955e5 .

Sin t + ---—--Sin t — —-——— Sin t +--—-Sin t —

500 901 992 490 376 452 713 877 149 1 024 798 536

21 058 561 e6 5 409 256 e7 4 467 324 e8

-sin t +--sin t--sin t+

4 910 708 522 1 252 400 079 975 590 423

8 839 168 e2 . 3 4 752 563 e3 . 3 4 181 578 e4 . 3 + 6 871 788 457 ™3t - 1 444 933 504 sin3t + 2 607 819 545 sin3t-

14 672 953 e5 1 279 808 e6 3 927 772 e7

sin3t _____ sin3t - ___, „„„___ sin3t+

11 948 323 149 1 051 720 747 3 204 733 907

5 713 839 e8 1 093 881 e2 1 237 181 e3

+--sin 3t +--sin 5t--sin 5t+

4 397 321 614 21 725 099 515 3 587 026 767

3 193 355 e4 912 852 e5 1 087 487 e6

+ 18 946 424 452 sin 5t - 7 077 406 825 sin 5t + 8 508 716 434 sin 5t-

812 527 e7 1 077 593 e8 3 081 e2

sin 5t + „ „„„ „„„ sin 5t + ^ ^ sin 7t+

6 312 012 679 7 895 858 353 671 088 640

45 880 e3 20 884 e4 14 646 737 e5

+--sin 7t--sin 7t +--sin 7t-

41 691 791 491 85 937 445 791 80 421 208 476 281

14 513 597 e6 6 587 e7 13 967 e8

sin 7t + sin 7t - ^ ___sin 7t+

80 421 275 825 819 36 238 786 560 72 477 573 120

4 011 877 e2 19 999 e3 34 589 e4

+--sin 9t--sin 9t--sin 9t+

1 465 450 184 943 369 348 146 607 2 251 310 974 295

11 e5 567 035 e6 6 587 e7

+--sin 9t--sin 9t +--sin 9t—

1 006 632 960 52 366 616 557 211 603 979 776 000

8 235 e8 3 e2 7 891 e3

sin 9t + —————,77— sin 11t - ,, „ sin 11t+

712 217 864 303 26 214 400 598 418 598 536

1 166 e4 30 678 337 e2 +--sin 11t--sin 13t+

4 217 292 291 967 5 146 970 863 697 919

5 107 e3 3 e2 740 e3

+--sin 13t--sin 15t +--sin 15t.

4 529 393 734 716 9 395 240 960 3 568 322 075 959

Найденные приближения к 2-^-периодическому решению уравнения (9) и его собственной функции fx(e) характеризуют невязки

Ak(e) = \ \y'k(t, e) + Ук(t,e) - sin3t (1 - y/e + cose ) • yk(t,e)-

- e^k(e) • yk(t,e) - e • yk(t,e)\\c[0;2n], k = 0, 1, 2 .

В частности

До(0,1) и 0, 00 830 078, Ai(0,1) и 0, 0000 862 938, Д2(0,1) и 0, 0000 105 963, До(0, 01) и 0, 000 830 078, Ai(0, 01) и 1,16 547 х 10"6, Д2(0, 01) и 1,13 986 х 10"8.

Заметим, что, в отличие от соответствующего утверждения статьи [10], доказанная теорема не предполагает линейности относительно собственной функции fx(e) нелинейности Y(y,№,t,e) уравнения типа Хилла (1).

Список цитируемых источников

1. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. — 432 с.

2. Каудерер Г. Нелинейная механика. — М.: Изд.-во иностр. лит., 1961. — 778 с.

3. Копелев Ю.Ф. Параметрические колебания станков. — Металлорежущие станки: респ меж-вед. науч. - техн. сб. — Киев, 1984. Вып. 12. — С. 3 — 8.

4. Люлько Н.А. Основной и комбинационный резонансы в нелинейной системе двух осциля-торов. Новосибирск, 2012. — 33 с. (Препринт / РАН Сиб. отд-ние. Инст. математики; № 281).

5. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.

6. Мандельштам Л.И., Папалекси Н.Д. О параметрическом возбуждении электрических колебаний. // Журн. техн. физики. — 1934. — № 3. — С. 5-29.

7. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи // Нелинейные колебания.- 2005.— 8, № 2.- С. 278-288.

8. Чуйко С.М., Чуйко Ан.С. Периодическая задача для уравнения типа Хилла // В1сник Слов'янського державного педагопчного ушверситету. Математика. — 2010. — № 4. — C. 141181.

9. Чуйко С.М., Кулиш П.В. Линейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса // Труды Инст. прикладной математики и механики НАН Украины. — 2012. — № 24. — С. 243 — 252.

10. Чуйко С.М., Кулиш П.В., Белущенко А.В. Слабонелинейная нетерова краевая задача в случае параметрического резонанса // Науковий в1сник Ужгородського ушверситету. Сер. ма-тем. i шформатика. — 24. № 1. — 2013. С. 185 — 194.

11. Чуйко С.М., СтарковаО.В. Двухшаговая итерационная техника для построения функций Матье // Науковий вшник Ужгородського ушверситету. Сер. матем. i шформатика. — 22. № 1. — 2011. С. 157 — 172.

12. Чуйко С.М., Старкова О.В. Модифицированная двухшаговая итерационная техника для построения функций Матье // Комп. исследов. и моделирование, 2012, 4, №1, С. 31 — 43.

13. Шмидт Г. Параметрические колебания. — М.: Мир, 1978. — 336 с.

14. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.: Наука, 1972. — 720 с.

15. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. — М.: Наука, 1987. — 328 с.

16. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 pp.

17. Chuiko S.M. Domain of convergence of an iterative procedure for an autonomous boundary value problem // Nonlinear Oscillations.- 2006.— Issue 9, 3.- P. 405 — 422.

Получена 16.04.2013