О приближенном решении периодических краевых задач с запаздыванием методом наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О приближенном решении периодических

краевых задач с запаздыванием методом

1

наименьших квадратов

С. М. Чуйко, Ан. С. Чуйко

Славянский государственный педагогический университет Славянск, 84112. E-mail: chujko-slav@inbox.ru

Аннотация. Для построения приближений к решению слабонелинейной периодической краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием предложена гибридная итерационная техника, сочетающая достоинства метода простых итераций и метода наименьших квадратов. Эффективность предложенной техники продемонстрирована на примере анализа периодической задачи для уравнения типа Дюффинга с запаздыванием.

Ключевые слова: периодическая краевая задача с запаздыванием, метод наименьших квадратов, матрица Грама, итерационная схема.

1. Постановка задачи

Исследована задача о построении приближений к Т-периодическому решению z(t,e) : z(^,e) Е С1[0,Т], z(t, •) Е С[0,во] системы дифференциальных уравнений с запаздыванием [5, 6, 10]

dz(t,e)/dt = A(t)z(t,e) + B(t)z(t - A,e) + f (t) + eZ(z(t,e),z(t - A,e),t,e). (1)

Решения периодической задачи для уравнения (1) ищем в малой окрестности Т-периодического решения z0(t) Е С 1[0,Т] порождающей задачи

dz0/dt = A(t)z0(t) + B(t)z0(t - A) + f (t), А Е R1. (2)

Здесь A(t), B(t) — непрерывные Т-периодические (n x п)-мерные матрицы, f (t) — непрерывная Т-периодическая вектор-функция, Z(z(t,e),z(t - A,e),t,e) — нелинейная вектор-функция, непрерывно дифференцируемая по неизвестным z(t, e) и z(t — A,e) в малой окрестности решения порождающей задачи, непрерывная и Т-периодическая по t, а также непрерывно дифференцируемая по малому параметру e на отрезке [0,e0]. Как известно, в некритическом случае [4, с. 30], а именно — при отсутствии Т-периодических решений однородной части

dz0(t)/dt = A(t)z0(t) + B(t)z0(t - A) (3)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Германии (DFG; номер регистрации GZ:436UKR 13/103/0-1) и Государственного Фонда фундаментальных исследований Украины (номер государственной регистрации 0109U000381)

© С. М. ЧУЙКО, АН. С. ЧУЙКО

системы (2), а в случае постоянных матриц А(Ь) = А и В(Ь) = В, — при отсутствии чисто мнимых корней \j = Т, ] £ Z характеристического уравнения [4, с. 24]

&еЬ[А + Вв-ХА — Х1п] = 0,

порождающая периодическая задача для уравнения (2) имеет единственное решение. Периодическая задача для уравнения (1) при этом однозначно разрешима в достаточно малой окрестности решения порождающей задачи. Для построения приближения к Т-периодическому решению уравнения (1) традиционно используется метод простых итераций [2, 10], а в случае аналитичности нелинейной вектор-функции Z(г(Ь, е), г(Ь — А, е), Ь, е) — метод малого параметра Ляпунова-Пуанкаре [6]. Целью данной статьи является построение приближения к Т-периодическому решению уравнения (1) в малой окрестности решения порождающей задачи с использованием метода наименьших квадратов [9].

2. Итерационная процедура

Пусть ф(1\Ь), ... , ф(к)(Ь), ... —система линейно независимых непре-

рывно дифференцируемых Т-периодических п-мерных вектор-функций и — решение порождающей Т-периодической задачи для уравнения (2). Искомое решение г(Ь,е) = г0(Ь) + х(Ь,е) задачи (1) ищем в малой окрестности порождающего решения го(Ь). Для нахождения возмущения х(Ь,е) используем Т-периодическую задачу для уравнения

йх(Ь, е)/йЬ = А(Ь)х(Ь, е)+В(Ь)х(Ь — А, е)+ еZ(го(Ь) + х(Ь, е),го(Ь—А)+ х(Ь — А, е),Ь, е).

(4)

Учитывая непрерывную дифференцируемость по первым двум аргументам вектор-функции Z(г0(Ь)+ х(Ь, е),г0(Ь — А) + х(Ь — А, е),Ь, е) в окрестности порождающего решения и непрерывную дифференцируемость по малому параметру, разлагаем эту функцию в окрестности точек х = 0 и е = 0

Z {г0(Ь)+ х(Ь,е),г0(Ь — А) + х(Ь — А,е),Ь,е) =

= Z(го(Ь),го(Ь — А),Ь — А,Ь, 0) + А1(Ь)х(Ь,е) + Ам(Ь)х(Ь — А,е) +

+ еА2(Ь) + Я(го(Ь) + х(Ь, е),го(Ь — А) + х(Ь — А,е),Ь,е), (5)

где

dZ(zo(t),Zo(t - A),t, 0) л dZ(zo(t),Zo(t - A),t, 0)

Al(t) =-Щё- ' ÄAl(t) =-dz(t - A,e)-

dZ(zo(t),zo(t - A),t, 0)

A2(t)

de

Первое приближение х1(Ь,е) к решению Т-периодической задачи для уравнения (4) ищем, как решение краевой задачи

dxi(t,e)/dt = A(t)xi(t,e) + B(t)xi(t - A,e)+

+ e[Z(zo(t),zo(t - A),t, 0) + A1(t)xi(t, e) + AA1(t)xi(t - A,e) + eA2(t)]. (6)

Обозначим (n x ki)-матрицы

Фг(1, e) = [A(t) + eAi(t)]pi(t) + [B(t) + eAAi(t)]&(t - А) -Vi(t) = [<pw(t) V(2)(t) ... v(ki)(t)], г e N.

Приближение к решению Т-периодической задачи (6) ищем в виде

xi(t,e) := &(t,e) « 'Mt)ci(e), ci(e) e Rkl.

В общем случае первое приближение $ii(t,e) не является решением Т -периодической задачи (6), поэтому потребуем

F(ci(e)) = ||[A(t) + eAi(t)]Ci(t,e)+ eZ(zo(t),zo(t - A),t, 0) - £(t,e)+

+ [B(t) + eAAi(t)]£i(t - A,e) + e2A2(t)llL4o,T] ^ mm

при фиксированной матрице '•pi(t). Необходимое условие минимума функции F(ci(e)) приводит к уравнению

Г(ф^),е) • ci(e) = -e • i Фi(t,e){Z(zo(t),zo(t - A),t, 0) + A2(t)}dt,

o

однозначно разрешимому относительно вектора

ci(e) = -e • [r(^i(^),e)]~i • [ Ф\(t,e){Z(zo(t),zo(t - A),t, 0) + eA2(t)}dt

o

при условии невырожденности (ki x ki)-матрицы Грама [1]

r(M^),e)= i Фi(t,e) • Фi(t,e) dt. o

Второе приближение x2(t,e) к решению Т-периодической задачи для уравнения (4) ищем, как решение краевой задачи

dx2(t,e)/dt = A(t)x2(t,e) + B(t)x2(t - A,e)+

+ e[Z(zo(t),zo(t - A),t, 0) + Ai(t)x2(t,e) + AAi(t)x2(t - A,e)+

+ eA2(t) + R(zo(t)+ xi(t,e),zo(t - А) + xi(t - A,e),t,e)]. (7)

Приближение к решению Т-периодической задачи (7) ищем в виде

x2(t,e) := Ut,e) + 6(t,e), &(t,e) « Mt)c2(e), c^(e) e Rk2.

При условии невырожденности (к2 х к2)-матрицы Грама

Цф2^),е)= [ Ф2(Ь,е) • Ф2(Ь,е) йЬ ¿0

находим вектор

С2(е) = —е • [Г(ф20,е)]-1х

х Ф*2(Ь,е){Я(г0(Ь) + х1(Ь, е), г0(Ь — А) + х1(Ь — А,е),Ь,е)}йЬ, 0

определяющий второе приближение к решению Т-периодической задачи (4). Продолжая рассуждения, предположим, что найдено приближение хз+1(Ь,е) к решению Т-периодической задачи для уравнения (4). Следующее приближение ищем как решение краевой задачи

йх+2(Ье)/йЬ = A(t)xj+2(t,е) + В(Ь^+2(Ь — А,е)+

+ е[^(го(Ь),го(Ь — А),Ь, 0) + Al(t)xj+2(t,е) + Аы(Ь)хз+2(Ь — А,е)+

+ еА2(Ь) + К(го(Ь) + хз+1(Ь, е),го(Ь — А) + Xj+l(Ь — А,е),Ь,е)]. (8)

Приближение к решению Т-периодической задачи (8) ищем в виде

хз+2(Ь,е):= ^1(Ь,е)+ Ь(Ь,е)+ ... + ^3+2 (Ь) е*)) ^+2(Ь,е) « ф3+2(Ь)с3+2(е), с3+2(е) £ Е^2.

При условии невырожденности (кз+2 х к3+2)-матрицы Грама

Г(ф3+2^),е) = [ Ф*+(Ь,е) • Ф3+2(Ь,е) йЬ 0

находим вектор

сз+2(е) = —е • [Г(ф-+20,е)]-1х

х / Ф*+2(Ь,е){К(го(Ь)+ х3+1(Ь,е),го(Ь — А) + хш(Ь — А,е),Ь,е) — 0

— К(хо(Ь) + хз (Ь,е),хо(Ь — А) + хз (Ь — А,е),Ь,е)}йЬ,

определяющий (] + 2)-приближение к решению Т-периодической задачи (4). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. В некритическом случае однородная часть (3) порождающей Т-периодической задачи (2) для уравнения (1) не имеет решений, от,.личных от тривиального, при этом порождающая Т-периодическая задача (2) имеет единственное Т-периодическое решение г0(Ь). В этом случае Т-периодическая задача для

уравнения (1) однозначно разрешима в малой окрестности решения порождающей задачи. Для построения приближения к Т-периодическому решению уравнения (1) при условии

ае1[Г(^з(•),е)] = 0, з е N применима итерационная схема

х1(Ь,е) = &(Ь,е) и ф1(Ь)с1(е),

С1(е) = —е • [Г(ф1(^),е)]"1 • [ Ф\(Ь,е)^(ъ(Ь),ъ(Ь — А),Ь, 0) + еА2(Ь)}йЬ;

0

х2(Ь,е) = С1(Ь,е)+ &(Ь,е), &(Ь,е) и ф2(Ь)ъ(е), а(е) = —е • [Г(ф20,е)]_1х х Ф*2(Ь,е){Я(го(Ь) + х^Ь,е),го(Ь — А) + х1(Ь — А,е),Ь,е)}йЬ;

'о

xj+2(t,£) = £i(t,e)+ b{t,e)+ ... + Cj+2(t,£), Cj+2(t,£) ъ Pj+2(t)Cj+2{£), Cj+2(£) = -£ • [T{^j+2(^),£)]-1X

X / Ф*+2(t,£){R{zo(t)+ Xj+i(t,£),Zo(t - A) + Xj+1 (t - A,£),t,£)-Jo

- R(z0(t) + xj (t,£),z0(t - A) + xj (t - A,£),t,£)}dt, ... ,

Zj (t,£)= Zo(t)+ Xj (t,£), j = 1, 2 .... (9)

Найти оценку £ * длины отрезка [0, £ *], на котором сохраняется сходимость итерационной процедуры (9) можно аналогично [8].

Пример. Схема (9) применима для построения 2п-периодического решения уравнения [6, с. 35], [4, с. 42]

П

У (t,£) - y(t - - ,£)=sin t + £ • y3(t,£). (10)

Порождающая система для уравнения (10) определяет характеристическое

пр

уравнение р - е- 2 =0, которое не имеет чисто мнимых решений, поэтому 2п-периодическая задача для уравнения (10) представляет некритический случай. Порождающее уравнение при этом имеет единственное 2п-периодическое решение

. . cost yo(t) =--—.

На первом шагу итерационной схемы (9) положим

Ф1(t) = [sin t sin3t sin5t cos t cos3t cos5t],

при этом

detp^), е)] = 331 776 • п6 + 59 616 • п6е2 + ^^^^^^ • п6е4 + ^l9^5 • п6е6\ л 32 4 096

+ 24 019 821 6 8 + 6 790 635 6 io + 11 160 261 6 12

67 108 864 ^ П е 8 589 934 592 ' П е 17 592 186 044 416 ' ^ е = '

Схема (9) определяет первое приближение к решению 2п-периодической задачи для уравнения (10)

. . cost . 3е2 423е4 8 325е6 .

у1и,е) =---(---\----) cos t—

УП ' ' 2 v 512 1 048 576 268 435) 45)6'

, 15)е2 3)21еА 25 887е6 . 0 . е2 41е4 3 529е6 .

— (---\----) cos 3t — (---\----) cos 5t—

v 2 048 524 288 536 870 912J K 2 048 524 288 536 870 912J

,3е 153е3 5 733е5 455 103е7 . . .е 129е3 10725е5

— (г7 — re с or + оо сел A on — ол от ^оо oro ) sln t — (77 — ^ +

64 65 536 33 554 432 34 359 738 368' 464 65536 67108864

53913е7 . . п . 17е3 1 627е5 16 645е7 . . г

) Sin .it — (— rr Го г + rn 1 по о г л — о ron пои то ) Sm 5t-

4294967296' 4 65 536 67 108 864 8 589 934 592

На втором шагу итерационной схемы (9) положим

<^2(t) = [slnt sln3t sln5)t sln7t sln9t cost cos3t cos5t cos7t cos9t],

при этом матрица Грама Г(ф2(-), е) невырождена. Второе приближение к решению 2п-периодической задачи для уравнения (10) имеет вид

( ) = cos t (3е2 357е4 1 301е6 35е8 4е10 )

ш(г,е) = 2 + 52 — 1048576 + 40674 881 — 26 942 956+ 14 855 963) c° 1+

15е2 405е4 4 085е6 131е8 15е10 ) 3

+ (2о48 — 524 288 + 47 205 697 — 21 157 870 + 19 437 977) c°

. е2 89е4 1 075е6 79е8 3е10 .

\ (___+___+_) cos 5t \

2 048 524 288 43 002 476 31 080 657 11 164 937'

69е4 247е6 33е8 5е10 )

\ 2 09М52 \ 28816984 — 27 414 967 \ 335 865 032) cos ^

е4 ?Ле& 2е8 е10 ,

\ (___\_____\__) cos 9t\

v 1 048 576 35 120 702 10 753 007 38 805 3617

, 3е 51е3 3 639е5 62е7 14е9 ,

\ (___\_____\____) sln t\

у 64 32 768 33 554 432 5 046 451 25 300 007;

, е 39е3 8751е5 913е7 65е9 ,

\ (___\_____\____) sln 3t\

у 64 16 384 33 554 432 30 701 201 27 272 039;

, 3е3 3 307е5 15)3е7 23е9 ,

\ (___ \ ___) sln 5t \

у8 192 49 615 250 17 386 007 26 265 411J

е3 893е5 71е7 3е9 )

\ (32 768 — 47 002 522 \ 20592 450 — 6 883 789) sln ^

20е5 21е7 е9

\ (___\____) sln 9t

у 15 114 609 48 231 157 13 800 718J

На третьем шагу итерационной схемы (9) положим

ф3 (t) = [sin t sin3t sin5)t sin7t sin9t cos t cos3t cos5)t cos7t cos9t],

при этом матрица Грама Г(фз(-), £) невырождена. Третье приближение к решению 2п-периодической задачи для уравнения (10) имеет вид

cos t 3е2 357 £4 y3(t,£) = Т + (512 " 1 048 576 +

13£8 £

566£

6

26 964 053 3 539 459 599 , 15£2 405£4 1 782£6

+ (^777 +

19 330 085

9 5£10

+

33 548 339

£

)cos t+ 749£8

2 048 524 288 22 212 947 838 898 778 146 366 251

+

£

10

+

17£

10

1 405 862 474 23 395 353

) cos 3t+

+(

£2

89£4

2 048 524 288

+

+

£

678£

6

£

7

49£8

+ (-

1 117 487 637

69£4 287£6

+

26 501 045 625 476 193

9 10£10 N г

+ „ __) cos 5t+

16 646 918

25 341 281'

£7

54£8

2 097 152

+

27 715 389

9

£

+

37 756 066 612 6£10

+

+ (-

£4

1 048 576

38 260 010 869 ' 20 270 741

£5 41£6

+ „ +

28 733 651 ) cos 7t+ £7 11£8

11 612 571

9

£

+

£9

32 808 293 2£10

+

579 507 446 26 000 625

3£ 51£3 3 443£5

+ (-— + у 64 32 768

£

8

+

£

30 203 375

9

+

89 336 825 ) cos 9t+ 124£7

28 515 798

£

537 302 671 59 467 435 £ 39£3 8 205£5

+

у 64 16 384

8

33 554 432 74£9

11 986 769 10

+ 950 794 360)sint+

2£6 1 399£7

+

27 508 441 53 570 990 10

+(

3£3

23 977 531

3 968£5

35 784 843

6

+

£

+

+

81 501 446 1 569£7

) sin 3t+

+

8 192 58 155 489 157 293 520 165 244 099 317 851 258

17 £9

+(

15 101 188

356£5

32 768 17 249 815

£10

-) sin 5t+

1 503 378 696J

6 109£7

+

£

57 569 771 ' 23 499 567

36£9

+

401 599 645 10

46 640 447 10 949 659 977

) sin 7t+

+

+

+

8

£

3

8

£

£

20е5 е6 34е7 е8

+ (~ю шп о то + w nno nm +

13 109 813 297 003 010 45 053 157 784 466 174

5е9 £w

+__) sin Q+

27 942 823 4 112 610 026J

Для проверки точности найденных приближений к периодическому решению уравнения (10) найдем невязки этих приближений

п

Sj i£) := \\Vj (t,£) - Vj (t - 2 ,£) - sin t - £ • yj(t,£)\\c[0;2n], j = 0, 1, 2, 3-

Положим £ = 0,1, при этом

8o(0,1) = 0, 0125, 8г(0,1) « 2, 21 608 • 10-6, 62(0,1) « 7,10 975 • 10-10, 83(0,1) « 3, 01 178 • 10-10.

Для построения 2п-периодического решения уравнения в монографиях [6, с. 35], [4, с. 42] использован метод малого параметра Ляпунова-Пуанкаре, при этом приближения yj(t,£), полученные при помощи итерационной схемы (9) значительно превосходят по точности соответствующие приближения yjj(t,£) к точному решению y(t, £), полученные с использованием метода малого параметра Ляпунова-Пуанкаре.

Список цитируемых источников

1. АхиезерН.И. Лекции по теории аппроксимации.— М. Наука., 1965. — 408 с.

2. БойчукА.А., ЧуйкоС.М. Периодические решения нелинейных автономных систем с запаздыванием в критических случаях // Докл. АН Украины. 1991 № 9. С. 9-13.

3. МалкинИ.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний / И.Г. Малкин— М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.

4. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием. — К.: Изд-во Киев. ун-та, 1969. — 309 с.

5. МышкисА.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием. — М.: Го-стехиздат, 1951. — 256 с.

6. РубаникВ.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. — М.: Наука, 1969.

— 287 с.

7. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М. Мир., 1984.

— 424 с.

8. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи // Нелшшш коливання. — 2005. — 8, №2. — С. 278-288.

9. Чуйко С.М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов // Нелшшш коливання. — 2008. — 11, №4. — C. 554-573.

10. BoichukA.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems.— Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 pp.

Получена 20.06.2010