Нелинейные нетеровы краевые задачи, не разрешенные относительно производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

Динамические системы, том 2(30), №1-2(2012), 169-186

УДК 571.9

Нелинейные нетеровы краевые задачи,

не разрешенные относительно

«1

производной1

С. М. Чуйко, О. В. Старкова, О. Е. Пирус

Славянский государственный педагогический университет, Славянск 84116. E-mail: [email protected]

Аннотация. Найдены необходимые и достаточные условия существования решений слабонелинейной нетеровой краевой задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.

Ключевые слова: нелинейная краевая задача, дифференциальное уравнение, не разрешенное относительно производной, уравнение Дюффинга, уравнение Релея.

1. Постановка задачи

Исследуем задачу о построении решения z(t,e) Е C 1[a,b], C[0,в0] задачи

dz/dt = A(t)z + f(t) + eZ(z,z',t,e), £z(^e) = a + eJ(z(^,e),z'(^,e),e) (1)

в малой окрестности решения порождающей краевой задачи

dzo/dt = A(t)zo + f (t), lzo(•) = a, a Е Rm. (2)

Здесь A(t) — (n x п)-мерная матрица и f (t) — n-мерный вектор-столбец, элементы которых — непрерывные на отрезке [a,b] действительные функции, lz(•) — линейный ограниченный векторный функционал Iz(^) : C[a,b] ^ Rm. Нелинейности Z(z,z',t,e) и J(z(^,e),z'(•,e),e) нетеровой (m = n) задачи (1) предполагаем непрерывно дифференцируемыми по неизвестной z и ее производной z в малой окрестности порождающего решения и его производной и по малому параметру e в малой положительной окрестности нуля. Кроме того, считаем нелинейную вектор-функцию Z(z, z , t, e) непрерывной по независимой переменной t на отрезке [a, b] и линейной по производной z .

Z(z,z',t,e) := V(z,t,e) + W(z,t,e)z', V(z,t,e) Е Rrax1, W(z,t,e) Е Rraxra

Функцию V(z,t,e) и матрицу W(z,t,e) считаем непрерывно дифференцируемыми по неизвестной z в малой окрестности порождающего решения и по малому

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного Фонда фундаментальных исследований Украины (номер государственной регистрации 0112U0000372).

© С. М. ЧУЙКО, О. В. СТАРКОВА, О. Е. ПИРУС

параметру е в малой положительной окрестности нуля, а также непрерывными по независимой переменной t на отрезке [a,b]. Исследован критический случай (Pq* = 0), причем предполагается выполненным условие

PQd{а - IK[f (*)](■)} = 0; (3)

в этом случае порождающая задача (2) имеет семейство решений

z0(t,cr) = Xr(t)cr + G[f (s); a](t), r := n — U\, cr E Rr.

Здесь X (t) — нормальная (X(a) = In) фундаментальная матрица однородной части системы (2), Q = IX(■) — (т х п)-матрица, rank Q = п\, Xr(t) = X(t)PQr, Pqt

— (n х г)-матрица, составленная из r линейно-независимых столбцов (п х п)-матрицы-ортопроектора Pq : Rn ^ N(Q), Pq* — (d х т)-матрица, составленная из (d := т — щ) линейнонезависимых строк (т х т)-матрицы-ортопроектора Pq* : Rm ^ N(Q*) ,

G[f (s); a](t) = K[f (s)](t) + X(t)Q+{a — IK[f (s)](-)}

— обобщенный оператор Грина краевой задачи (2),

K[f (s)](t) = X(t) f X-l(s)f (s)ds

J a

— оператор Грина задачи Коши для системы (2), Q+ — псевдообратная матрица по Муру-Пенроузу [12].

2. Условия существования решения

Необходимые условия существования решения z(t, е) = z0(t, cr) + x(t, е) задачи (1) в критическом случае определяет следующая лемма. Доказательство леммы аналогично [12].

Лемма. Пусть краевая задача (1) представляет критический (Pq* = 0) случай и выполнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Предположим также, 'что задача (1) имеет решение, обращающееся при е = 0 в порождающее z0(t,c*). Тогда вектор c* E Rr удовлетворяет уравнению

F(cr) := Pq*{J),z0(;cr), 0) — IK[Z(z0(s,cr),z'0(s,cr),s, 0)](-)} = 0. (4)

Пример 1. Условия леммы выполняются в случае задачи о нахождении 2п-периодического решения уравнения типа Дюффинга

y" + y = sin3t + е(у3 + y''y) (5)

в малой окрестности решения порождающей 2п-периодической задачи.

Уравнение (5) приводится к виду (1) при

A

0 1 -1 0

z(t,e) =

y(a)

Ab)

, f (t)

0

sin 3t

Z (z,z',e)

(z(a))3 + z (b)(z(a))'

Поскольку Q = 0, постольку в случае 2-^-периодической задачи для уравнения (5) имеет место критический случай. Порождающая задача имеет решение

yo(t,c(a), c(b)) = c(a) cost + c(b) sint + ^sint — sin3t).

8

Единственный корень c0a = 0, c0°J = — 8 уравнения (4) для порождающих ампли-

(b)

туд

3п 1024

• [21 + 140c(b) + 320(c(b))2 + 256(c(b))3 + 64(c(a))2(1 + 4c(b))] = 0, 3

— • c(a) • [5 + 64(c(a))2 + 32c(b) + 64(c(b))2] = 0 256

определяет решение порождающей задачи

Vo(t,cio \ cQb)) = - 77 sin3t,

1 8

в малой окрестности которого может существовать решение 2-^-периодической задачи для уравнения типа Дюффинга (5). Таким образом, приходим к задаче об отыскании решения г(Ь,е) = + х(Ь,е) задачи (1) в окрестности порождаю-

щего решения г0^,с*). При условии

det(In - eW(zo(t,c*)+ x(t,e),t,e)) = 0,

(6)

краевая задача

(In - eW(zo(t,c*r)+ x(t,e),t,e))

dx(t, e) dtt

= A(t)x + eV (zo(t,c*)+ x(t,e),t,e) + eW (zo(t,c*) + x(t,e),t,e)z0(t,c*), (7

lx(•, e) = eJ(z0(^,c*)+ x(^,e), z0(^,c*) + x'(•,e),e). (8

является невырожденной [9] и равносильна следующей

dx(t, e)

dt

A(t)x + eM (zo(t,cr) + x(t,e),t,e),

lx(e) = eJ(zo(^,cr) + x(^e),z'0(^,cr) + x'(•,e),e).

(9) 10)

0

Здесь

М(го(г,е*г)+ х(г,е),г,е) := (1п — £Ж(го(Ь,с*) + х(Ь,£),Ь,£))-1х

х [Ж(го(г,е*г) + х(г,£),г,£)(г'0(г,е*г) + Л(г)х(г,е)) + V(го(г,е*г)+ х(г,е),г,е)].

Действительно, при условии (6) матрица 1п — £Ж(го(Ь,с*) + х(Ь,£),Ь,£) невырождена, поэтому

(1п — £ЖЫг,с*г) + х{г,£),г,£))-1 е с1 [\\х(г,£)\\< д], с1[0,£о],

при этом обратная функция в малой окрестности точки £ = 0 может быть представлена в виде

[1п + £Ж (го(г,с*г)+ х(г,£),г,£)]-1 = 1п + £Ж1(го(Ь,с*) + х(Ь,£),Ь,£) при помощи матрицы

Ш1{го{г,с*г) + х{г,£),г,£) е с1[\\х(г,£)\\< д], с1[0,£о].

Вектор-функция

м(го(г,с*г) + х(г,£),г,£) := V(г(г,£),г,£)+

+ Ш1(го(г,4) + х(г,£),г,£)[Л(г)г(г,£) + ! (г) + V (г(г,£),г,£)]

непрерывно-дифференцируема по неизвестной г в малой окрестности порождающего решения, а также — по малому параметру £ у малой положительной окрестности нуля и кроме того непрерывной по независимой переменной Ь на отрезке [а, Ь]. В окрестности точек х = 0 и £ = 0 имеет место следующее представление:

М(го(г,с*г)+ хЦ,£),г,£) = М(гоЦ,с1),г, 0) +

+ Л1(г)х(г,£) + £Л2Ц) + Я1(г(ь,£),ь,£),

где

Mi)

дм (z,t,£) dz

z = zo(t,c*r), £ = 0,

Mt)

дм (z,t,£) д£

z = zo (t,cr), £ = 0.

Предполагаем линейную по х' часть функционала .1,£), г'(• ,£),£) нулевой и выделяем линейную часть 11х(^,£) по х и линейную часть £12(го(, с*)) по £ :

1 (го(^,с*г) + х^,£),г'о^,с*г) + х'(•,£),£) = J(го(^, с*), с*), 0) +

+ ¿1х(^£) + ££2(го(^,с*)) + 11(го(^,с*) + х(^£),г'о(^с*) + х' (•,£),£).

Обозначая матрицу В0 = Рд*л{1\ХГ(•) — 1К[Аг(8)Хг(в)](-)}, приходим к операторной системе

х(г,е) = Хг (г)сг + С (г,е), (11)

Во сг(£) = —Рд. {£-!((•,£)+ ее2(ъ(,с;)) + 1г(г(•,£), г1 (•,£),£) —

—К[А1(з)С(8,£)+ £А2(в) + Я1(г(8,£), 8, £)](•)},

( (г,£) = £С[Ы (го(8,С*г) + х(8,£),8,£); 1 (го(,с*г) + х(,£),г'0(,с*) + х' (•,£), £)](г),

равносильной задаче о нахождении решений задачи (7), (8). Предположим, что для краевой задачи (7), (8) выполнено условие Рв* = 0, гарантирующее [12] разрешимость второго уравнения операторной системы (11); здесь Рв* — (й х й)-матрица-ортопроектор: К ^ N(В0). В этом случае второе уравнение системы (11) имеет по меньшей мере одно решение вида

сг (£) = —В+ Рд* (•,£)+ £12 Ы;с*г)) + )+ х(^, £) , ^ , с*) + х' (•,£),£) —

— К^Х(8,£)+ £А2(8) + Яг(го(.8,с*г)+ х(.8,£), 8, £)](•)},

при этом операторная система (11) имеет по меньшей мере одно решение, для £ = 0 обращающееся в порождающее г0(1,с*). Для построения приближенного решения краевой задачи (7) в критическом случае при условии Рв * = 0 применим метод простых итераций. Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть для краевой задачи (1) имеет место критический случай и выполнено условие (3) разрешимости порождающей задачи (2). Тогда для каждого корня с* Е Яг уравнения (4) при условиях (6) и Рв* = 0 задача (1) имеет по меньшей мере одно решение, определяемое операторной системой

г(1,£) = го^,с*) + х(Ь, £), х(1,е) = Хг({)сг(£) + ((1,£), сг (£) = —В+Рд. {1хС (•,£)+ £12(го(^,с*г)) + 1, с**) + х(,£), г'о(, с*) + х' (•,£),£) —

—1К[Аг(8)С(8,£)+ £А2(8) + Яг(го(8,с*г)+ х(8, £), 8, £)](•)}, с (г,£) = £С[М (го(8 ,с*) + х(8, £), 8, £); 1 (го(,с*) + х(•,£), г'о(, с*) + х'(•,£), £)](£),

при £ = 0 обращающееся в порождающее г0^,с*).

Оценка £* длины отрезка [0, £*], на котором сохраняется сходимость итерационной процедуры, построенной по методу простых итераций, может быть получена аналогично [2, 8] с использованием метода мажорирующих уравнений Ляпунова, либо из условия сжимаемости оператора, соответствующего системе (11) аналогично [10]. На отрезке [0,£*] предполагаем выполненным условие (6).

Пример 2. Условия доказанной теоремы выполняются в случае 2^-периодической задачи для уравнения типа Дюффинга (5).

Выше было установлено, что уравнение для порождающих амплитуд имеет единственное решение. Невырожденность матрицы

Г 0 —1 128 ^ 10

Bo

гарантирует выполнение условия Рд* = 0, таким образом, 2п-периодическая задача для уравнения типа Дюффинга (5) имеет единственное решение, при £ = 0 обращающееся в порождающее

Уо(ь,с<оа\ соь)) = —

Для проверки выполнения условий (6) представим нелинейность уравнения типа Дюффинга (5) в виде X(г, г', Ь, £) = V(г, Ь, £) + Ш(г, Ь, £)г', где

V(z,t,£) =

0

(z(a))3

W (z,t,£)

00

z(b) 0

при этом заметим, что матрица

I2 - £W(z,t,£)

невырождена и имеет обратную (I2 - £W(z,t,£))-1 =

1 0

£z(b) 1

-£z(b) 1

e C1[\\x(t,£)\\< q], C1[0,£0].

3. Итерационная схема для уравнения типа Релея

Метод простых итераций [2, 12] отличают простота и численная устойчивость [2, 3, 6, 7, 12], однако построение приближенных решений с применением метода простых итераций связано с быстро увеличивающейся от итерации к итерации сложностью вычислений. Продемонстрируем технику построения приближенных решений краевой задачи (7), (8) аналогично [11] с использованием метода наименьших квадратов [1, 4, 5] на примере задачи о нахождении 2п-периодического решения

У(;£) е с2[0, 2п], у(Ь, •) е с[0,£о]

уравнения типа Релея

у'' + У = I (Ь) + £Г (у,у',у'',Ь,£). (12)

Здесь У (у, у' ,у'' ,Ь,£) — нелинейная скалярная функция, непрерывно дифференцируемая по неизвестной у и ее производным у', у'' в малой окрестности решения порождающей задачи, непрерывная по Ь на отрезке [а,Ь] и непрерывно дифференцируемая по малому параметру £ на отрезке [0, £о]. Предположим, что порождающая 2п-периодическая задача для уравнения

у'о + уо = I (Ь)

1

0

разрешима; для этого необходимо и достаточно, чтобы

г 2п

(- cos l)f №=0.

Jo

Если это условие выполнено, решение порождающей задачи имеет вид yo(t,c0a\ c0b)) = c0a) cost + c0b) sint + g[f (s)](t), c^, c0b) E R1;

здесь

g[f (s)](t) := I sin(t - s)f (s) ds

o

— оператор Грина порождающей 2-^-периодической задачи. Предположим, что уравнение для порождающих амплитуд (4)

Fc(b)) = £ ( -СОП t ) Y(Уо,уО,уО,t, 0) dt = 0 в случае 2^-периодической задачи для уравнения типа Релея имеет простой

dF(c(a), c(b))

det B0 = 0, B0 :

д(c(a), c(b))

c(a) = c(a)

0

,(b) = c(b)

действительный корень с*. Предположим также, что для 2п-периодической задачи для уравнения типа Релея выполнено условие (6); таким образом, приходим к задаче об отыскании 2п-периодического решения уравнения типа Релея

у(Ь,£) = уо (Ь,с*)+ х(Ь,£)

в окрестности порождающего решения уо(Ь,с*). Для нахождения возмущения х(^,£) е С2[0, 2п], х(Ь, •) е С[0, £о] получаем 2п-периодическую задачу для уравнения

х'' + х = £У (уо + х,у'о + х', у" + х'', Ь, £). (13)

Предположим, что

dY (y(t,e),y' (t,e),y''(t,e),t,e)

де

У У' У''

е

yo(t,c*), y0(t,c*), y'0 (t,c*), 0

= 0.

Используя непрерывную дифференцируемость функции У(у,у',у'',г,£) по неизвестной у и ее производным у', у'' в малой окрестности решения у0(г,с*) порождающей задачи и непрерывную дифференцируемость по малому параметру £ на отрезке [0,£0], разлагаем эту функцию в окрестности точек х(г,в) = 0, х'(г,£) = 0, х''(г,£) = 0 и £ = 0 :

У (уо(1,С*)+ х(1,£),у0(1,С*)+ х' (г,ё),у'0 (1,с*)+ х' '(1,£),1,£) = = У (уо(г, с*),у'о(г, с*),у0 (г, с*),г, 0) + Лг(уо(г, с*))х(г, £) + Л2(уо(г, с*))х' (г, £)+ + Лз(уо(г,с*))х'' (г,£)+ Щуо(г,с*) + х(г,£),у0(г,с*) + х' (г,£),у0 (г,с*) +х' ' (г,£),г,£),

где

Ai(ya(t,c*))

dY (y(t,e),y' (t,e),y' '(t,£),t,£) dy

y

f

£

УО (t,c*), УО (t,c*), У0 (t,c*), 0

y

A2(yo(t,c*)) =

dY (y(t,£),y (t,£),y '(t,£),t,£) dy'

y y

£

УО (t,c*), УО (tc), Уо (t,c*), 0

y

у = уо (t,c*), у' = у'о (t,c*),

у'' = у0' (г, с*),

£ = 0

Пусть ф(1\г), ф(2\г), ..., ф(к~)(г), ...— система линейно независимых дважды непрерывно дифференцируемых 2^-периодических функций. Первое приближение хг(г,£) к решению 2^-периодической задачи для уравнения типа Релея (12) ищем, как 2^-периодическое решение уравнения

х'1(г, £) + хг(г, £) = £[У (уо(г, с*),у0(г, с*),у' (г, с*),г, 0)+

л y (t М) = dY(y(t,£),y'(t,£), y '(t,£),t,£)

A3(y°(t,c )) = -dy'-

+ Ai (yo(t,c*))x 1 (t,£) + A2(vo(t,c*))x'1 (t,e) + A3 (yo(t,c*))x'[(t,£)\. (14) Решение к 2-^-периодической задачи для уравнения (14) ищем в виде

x 1 (t,£) « 6(t,£) := Фi(t)ci(£), ф 1 (t) = [ф( 1 \t) v(2\t) ... (t)], ci(£) E . Потребуем

e(c1(£)) = \\[£A1(yo(t,c*)) - lMt,£) + £Y(yo(t,c*),y'0(t,c*),y0(t,c*),t, 0) +

+ £A2(yo(t,c*))£1(t,£) + [£A3(yo(t,c*)) - 1]£1'(t,£)\\2L2[0,2n] ^ min.

Обозначим (1 x ¡i1)-матрицу

F1(t,£) = [£A1(vo(t,c*)) - 1]ф1^)+ £A2(V0(t,c*))^1(t) + [£A3(vo(t,c*)) - 1]^1(t).

Необходимое условие минимизации функции 0(c1(£)) приводит к уравнению

Т(Т1^,£))а(£) = -£ F*(t,£) • Y(yo(t,c*),y'o(t,c*),y'0(t,c*),t, 0)dt,

JO

однозначно разрешимому при условии невырожденности матрицы Грама [1]

п 2п

Г(Ъ(;£)) = F*1(t,£)F1(t,£) dt. Jo

Таким образом, при условии det[r(F1(^,£))] = 0 находим вектор

л 2п

а(£) = -£[Г(Т1^,£))]-1 • F*(t,e) • Y(yo(t,c*),y'o(t,c*),y'0(t,c*),t, 0) dt,

o

определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) приближение x1(t, £) к решению 2-^-периодической задачи для уравнения (14). Предположим, что найденное первое приближение y1(t, £) ~ y0(t, c*) + £1(t, £) принадлежит области определения функции Y (y,y' ,y'' ,t, £) и не является искомым решением 2^-периоди-ческой задачи для уравнения (13). Второе приближение к решению к решению 2-^-периодической задачи для уравнения (13) ищем в виде

x2(t,£) « £1(t,£)+ &t,£), ф2(-,t) = [ф^Оt) ф(2\>t) ...

&(t,£) := ф2(t)c2(£, c2(£) E .

Аналогично разлагаем функцию Y(y,y',y'',t,£) в окрестности точек x1(t,£) = 0, x[(t, £) = 0, x'1(t, £) = 0 и £ = 0 :

Y(y1(t, £) + &(t, £),y1(t, £) + £2(t, £),y1(t, £) + £2(t, £),t, £) =

= Y (y1(t,£),yll(t,£),yll(t,£),t, 0) + A1 (y1(t,£))£2(t,£) + A2(y1 (t,£))£2(t,£)+ + A3(y1(t,£))£2'(t,£)+ R(y1(t,£)+ x1(t,£),y1(t,£)+ x,1(t,£),y1(t,£)+ x1(t, £),t, £),

где

Ai(yi(t,£)) =

dY (y(t,£),y' (t,£),y' '(t,£),t,£) dy

y y

£

yi(t,£), y'i (t,£), yi(t,£), 0

y

A2(yi(t,£))

dY (y(t,£),y' (t,£),y '(t,£),t,£) dy'

y y

£

yi(t,£), y[(t,£), y'i(t,£), 0

y

A3(y 1 (t,£)) =

dY (y(t,£),y' (t,£),y' '(t,£),t,£) dy''

У = У i(t,£), '

y' = y'i(t,£), y'' = y'(t, £),

£ = 0

Решение 2п-периодической задачи для уравнения типа Релея (12) ищем, как 2п-периодическое решение уравнения

x2(t,£)+ X2(t,£)= £[Y (yi (t,£),y[(t,£),yll(t,£),t, 0) +

+ Ai (yi (t,£))&(t,£)+ A2(y i (t,£))&(t,£)+ As(yi (t,£))&' (t,£)]. (15)

Потребуем

e(c2(£)) = \\[£Ai (yi (t,£)) - 1]6 (t,£)+ £Y (yi (t,£),y[(t,£),yl;(t,£),t, 0) +

+ £A2(yi(t,£))&(t,£) + [£A3(yi(t,£)) - 1]£(t,£)\\2L2{0,2n] ^ min .

Обозначим (1 x ^2)-матрицу

F2(t,£) = [£Ai (yi (t,£))) - 1]Mt)+ £A2(yi (t,£))<fi2(t) + [£A3 (yi (t,£)) - 1]<p'2(t).

Необходимое условие минимизации функции Q(c2(£)) приводит к уравнению

Т(?2(;£)Ы£)= I F%(t,£) • №(t,£) + 6(t,£) - £Y(yi(t,£),y'l(t,£),y'{(t,£),t, 0)]dt, Jo

однозначно разрешимому при условии невырожденности матрицы Грама

п 2п

т(т2(,е))= т;(г,е)ъ(г,е) ¿г.

Jo

Таким образом, при условии ёе1[Г(^2(^ е))] = 0 находим вектор

п 2п

сг(е) = -е[Г(Т1(^)е))]-1 • Т;(1,е) • [£'(г,е) + &(г,е)-

Jo

- еУ(у1(г,е),у'1(г,е),у'1(г,е),г, 0)]сИ,

определяющий второе приближение х2(г,е) к решению 2-^-периодической задачи для уравнения (13). Предположим, что найденные приближения

ук(г,е) & уо(г,с*)+ &(г,е) + Ь(г,е)+ ... + &(г,е), к = 1, 2, ...

принадлежат области определения функции У (у, у' ,у'' ,г,е) и не являются искомым решением 2^-периодической задачи для уравнения (13). Следующие приближения к решению 2^-периодической задачи для уравнения (13) ищем в виде

хк+1(г,е) & £1(г,е) + Ыг,е)+ ... + Ск+1(г,е),

£к+1 (г,е) := фк+1(г)ск+1(е), Ск+1(е) Е ;

здесь

Фк+1(г) = [Ф(1\г) Ф2\г) ...^(г)]

— (1 х цк+1)-матрица. Разлагаем функцию У(у,у',у'',г,е) в окрестности точек хк(г,е) = 0, х'к(г,е) = 0, х'к(г,е) = 0 и е = 0 :

У (ук (г,е)+ £к+1 (г,е), у'к(г,е)+ ек+1(г,е), у''(г,е)+ й+1(г,е)) = = У(у-(г, е),у2(г, е),у-(г, е),г, 0) + А1(ук(г, е))£к+1(г, е) + Аг(ук(г, е))£'к+1(г, е)+ +Аз(ук (г,е))&+1(г,е)+Щук (г,е)+&+1 (г,е),у'к(г,е)+&+Лг,е),ук(г,е)+&+1(г,е),г,е),

где

J y (t £)) _ dY(y(t,£),y'(t,e),y''(t,e),t,e) Л\(ук(t,£)) _ -dy-

у _ Ук(t,£),

У' _ y'k(t,£),

y" _ y'l(t,s),

£ _ 0

A2 (Ук (t,£))

dY (y(t,£),y' (t,£),y' '(t,£),t,£) dy'

y y y

£

Ук(t,£), Ук(t,£), Ук (t,£), 0

л ( (г с)) дУ(у(г,£),у'(г,£),у''(г,£),г,£)

Лз(ук(г,£)) =-дУ- у = т(г,£),

у' = у2 ££), у'' = у22 (г,£),

£ =0

Приближение хк+1(г,£) к решению 2^-периодической задачи для уравнения типа Релея (12) ищем, как 2^-периодическое решение уравнения

х'к+1(г,£)+ хк+1(г,£) = £\Х(ук(г,£),ук(г,£),ук(t,£),t, 0) +

+ Лг(ук(г,£))Ск+г(г,£) + Л2(ук(г,£))&+&,£) + Лз(ук(г,£))Ск+г(г,£)]. (16)

Потребуем

в(ск+г(£)) = \\[£Лг(ук (г,£)) — 1]£к+1 (г,£) + £У (ук (г,£),ук (г,£),ук (г,£),г, 0)+

+ £Л2(ук(г,£Ш+1(г,£) + [£Лз(ук(г,£)) — 1]^к+1(г,£)\\2ь2[0,2п] ^ тт. Обозначим (1 х ^к+1)-матрицу

Тк+1(г,£) = [£Л1(ук (г,£))) — 1]фк+1(г)+£Л2(ук (г,£))ф'к+1(г) + [£Лз(ук (г,£)) — 1]ф'к+1(г). Необходимое условие минимизации функции в(ск+1(£)) приводит к уравнению

Т(Тк+1(,£))ск+1(£) = / ?*к+1(г,£) • К(г,£)+ хк(г,£) —

Jо

— £У (ук (г,£),ук (г,£),ук (г,£),г, 0)]йг,

однозначно разрешимому при условии невырожденности матрицы Грама

п 2п

т(Тк+1^,£)) = т*к+1(1,£)Тк+1(г,£) йг.

Jо

Таким образом, при условии ёе1[Г(^к+1(^, £))] = 0 находим вектор

г2п

ек+i(e) = -e[T(Fk+i(^,e))]-1 • / F*k+1 (t,e) • [x''(t,e) + xk(t,e)-

Jo

- eY(yk(t,e),ylk(t,e),yl(t,e),t, 0)]dt,

определяющий приближение xk+i(t,e) к решению 2п-периодической задачи для уравнения (13). Таким образом, доказано следующее утверждение.

Следствие. Предположим, 'что выполнено условие разрешимости

П - cos (t)dt=о

порождающей 2п-периодической задачи для уравнения типа Релея (12). Тогда для каждого простого корня

Ck := col(c0a), c(0b)), c(a), c(0b) E R уравнения для порождающих амплитуд

F (ck) = - con t^)Y (yo(t,ck),y'o(t,ck),y'0 (t,ck),t, 0) dt = 0

при условии (6) невырожденная 2n-периодическая задача для уравнения типа Релея (12) имеет единственное решение, при e = 0 обращающееся в порождающее

yo(t,c(a\ c0b)) = c0a) cos t + c0b) sint + g[f (s)](t).

При условии

n 2n

det[T(Fk+i(;e))] = 0, T(Fk+i(^,e)) := Fk+i(t,e)Fk+i(t,e) dt, k = 1, 2, ...

(

для нахождения решения уравнения типа Релея (12) применима итерационная схема

yi(t,e) ъ yo(t,ck)+ xi(t,e), xi(t,e) ъ £i(t,e) := фi(t)ci(e), (17)

n 2n

ci(e) = -epF^^e))]- • Fk(t,e) • Y(yo(t,ck),y'o(t,ck),y'0(t,ck),t, 0) dt,

(

y2(t,e) = yo(t,ck)+ X2(t,e), x2(t,e) ъ Ci(t,e)+ b(t,e), b(t,e) := ф2(t)C2(e),

c2(e) = -e[T(Fi(^e))ri • Fk(t,e) • Fk(t,e) • [£?(t,e)+

((

+£i(t,e) - eY (yi(t,e),y[(t,e),y'i(t,e),t, 0)]dt, ... , yk+i (t,e) = yo(t,ck) + xk+i(t,e), xk+i(t,e) ъ £i(t,e)+ &(t,e)+ ... + £k+i(t,e), £k+i(t,e) = фk+l(t)ck+l(e),

ck+i(e) = -e^^i^e))]- • Fk+i(t,e) • [x'k(t,e)+ xk(t,e)-

(

-eY (yk (t,e),yk (t,e),yk (t,e),t, 0)]dt, ... ,k = 1, 2, ... . ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 2(30), №1-2(2012)

Пример 3. Условия доказанного следствия выполняются в случае 2п-периодической задачи для уравнения типа Дюффинга (5).

Выше было установлено, что уравнение для порождающих амплитуд (4) в случае задачи о нахождении периодического решения уравнения типа Дюффинга (5) имеет единственный простой корень; таким образом, 2п-периодическая задача для уравнения типа Дюффинга (5) единственное решение, при е = 0 обращающееся в порождающее

yo(t,c*) = - - sin3t. 8

Для первого шага итерационной схемы (17) положим

^i(t) = [ 1 cos6t cos12t cos18t sin3t sin9t ]. Матрица Грама, соответствующая порождающему решению y0(t,c*)

det[r(J1(-,e))] = 2 140 933 372 497 920 000 • п6 - 76 405 187 546 688 000 • п6 • е+ 313 457 480 054 724 145 725п6е2 5 232 304 843 620 021 048 735п6е3 0

+ 512 524 288 + "' =

невырождена, при этом

= 9е 6 507е2 6 770 947 707е3 Xl(t,e) ~ ^l(t,e) = - 128 - 4 587 520 + 657 666 867 200 +

, 9е 12 483е2 930 910 657 797е3 ,

I (___ _ + _) cos 6t \

у 4 480 321 126 400 3 291 622 670 336 000' 5?Ле2 717 978 087е3 ) 29 079е3 cos18t

+ (- Т3ГГШ720 + 258627495526400)CoS t - 70 08Г020729282560 + 3е 21 563 529е2 24 506 413 821е3 ) . 3 + (16 384 + 2348 8^"240 + ^8 3627^"003200) Sin t+

е 51 861е2 1 272 339 412 821е3 ,

+ (___\___\__) sin 9t

у 163 840 734 003 200 481 517 373 489 152 000;

Для второго шага положим

P2(t) = [ 1 cos 6t cos12t cos18t cos24t sin3t sin9t sin15t sin21t ]. Матрица Грама невырождена

det[r(J2(^,e))] = 341 272 832 087 870 524 515 707 928 566 892 914 301 468 672- 12 021 705 888 494 603 711 163 756 027 831 666 408 947 712е+ + 517 437 183 653 892 172 985 164 128 932 709 685 159 526 400е2-- 7 465 075 489 373 724 425 944 482 600 620 047 474 884 608е3+ + 289 681 629 504 824 272 624 496 874 508 753 763 617 996 800е4+ + 4 538 458 743 160 576 217 386 113 890 938 480 897 294 336е5 + ... = 0,

при этом

^ , , , 9£ 12 483£2 788 735£3 226 719£4 1 911 313£5

&(t,£) - (-^ТГ-оот ^ Xпп +

4 480 321 126 400 1 841 834 163 7 496 136 647 15 896 456 138

170 566£6 640 823£7 327 442£8 421 016£9

+ — +

—-+-+-—--

11 637 679 803 16 685 488 973 50 764 072 703 33 731 158 055 99 915£i0 142 346£ii 159 201£i2 ч

_ _ + _ + _) cos 6t+

39 506 604 731 36 632 958 791 142 636 764 125J

531£2 29 405£3 52 813£4 220 831£5

+ (---1---1-----

v 1 312 030 720 8 954 287 503 190 940 372 191 137 645 927 305

28 645£6 84 520£7 26 073£8 65 288£9

+ __ ________ +

—-+-+-—--

150 109 733 123 126 787 145 543 249 004 551 221 263 975 909 325

40 432£w 63 921£ii 18 853£i2

+ -Z--г I--=-) cos 12t+

865 748 841 745 763 460 863 304 1 025 703 929 032' 246£3 11 626£4 6 358£5

+ поп +

6 010 227 989 413 6 784 618 226 291 609 146 866 987 60 335£6 3 379£7 3 269£8 9 699£9

---1---1-----

37 045 801 772 009 424 714 119 629 2 629 561 544 710 2 376 406 390 358

734£i0 2 111£ii 1 481£i2 )

- 1 032 477 377 023 + 1 243 006 682 398 + 637Ö4699W619) COS t+

2£4 13£5 118£6

+ (---1-----I

v 611 758 731 041 483 35 816 420 180 152 14 072 258 551 617

245£7 331£8 260£9 62£i0

I---1-------I

5 690 902 627 163 33 333 680 364 293 6 118 334 632 281 7 728 490 874 887

839£ii 125£i2

I---1--) cos 24t+

32 765 538 066 222 83 582 789 357 933J

, 3£ 12 509 262£2 1 387 399£3 196 174£4 1 690 238£5

+ (--1---1-------I

v 16 384 1 362 573 013 3 881 759 553 100 293 733 9 991 660 785

611 473£6 635 587£7 466 361£8 349 633£9 256 449£i0

I---1-------1---I

1 113 103 929 8 638 061 061 2 643 150 508 11 608 756 257 4 736 261 009

1 698 121£ii 160 025£i2 ,

I----) sin 3t+

155 326 011 168 17 291 233 206J

£ 51 861£2 19 385£3 629 072£4 91 811£5

+ (---1---1-------I

v 163 840 734 003 200 5 339 097 201 25 366 091 731 38 232 052 053

330 331£6 64 794£7 195 691£8 88 226£9

I---1-------I

38 189 340 598 51 952 439 533 64 218 924 254 160 753 269 669

67 539£i0 28 947£ii 139 457£i2 ,

+___I____) sin 9t+

68 206 390 907 133 305 410 323 561 257 098 033;

697 234£2 4 738£3 21 032£4 3 390£5

+ (---1-------1

v 2 183 560 478 501 547 183 175 522 561 118 919 923 387 161 284 293 841

165 544£& 22 417£7 14 273£8 4 933£9

I---1-------1

1 494 855 432 759 1 446 003 247 062 272 151 915 005 573 167 724 489

10 007е10 1 988еп 2 829е12

\ _ + ___) gin 15t \

491352 096 203 499 135 807 637 563 542 031 285}

5е3 65е4 683е5

+ (---\-----\

1 304 103 431 532 873 16 172 989 160 532 5 790 526 330 221

1 531е6 1 039е7 1 621е8 692е9

\---\-------\

2 335 341 147 572 8 154 642 572 644 2 793 653 909 449 6 956 874 421 741

1 593е10 5 662е11 777е12 . .

+ 4 950 748 058 525 + 95 435 088 374 465 - Г3396ЖШ7т> gin *+

е4 еъ 13е&

+ (---\-----\

1 1 183 850 637 341 874 493 2 247 403 313 397 831 410 338 842 283 171

85е7 149е8 51е9

\-------\

139 667 905 050 988 51 263 623 956 584 65 502 024 543 812

152е10 59е11 59е12 . .

+ 47827 543 109483 + 89п!898135б88 - 18T849Ö5588Tl23)gm +

9е 6 507е2 10 018 871е3 610 278е4 7 792 046е5 1 272 239е6

+____ _ - „ ^ - „ ......^ +

128 4 587 520 979 613 962 1 197 656 837 3 060 481 411 5 929 009 920

1 476 894е7 281 539е8 2 202 103е9 512 084е10 1 948 126е11

+---1-------1---+

1 923 305 807 3 126 152 577 9 138 301 574 15 528 783 017 26 038 879 301

354 464е12 + 15403589713'

Для упрощения последующих разложений зафиксируем е = 0,1 и положим

фз(^) = [1 cos 6t cos12t ''' sin33t ]'

При этом

,, , . 1 cos6t cos12t

(t, е) &-----1---+

' J 25 504 700 030 469 1 579 122 664 989 987 3 685 874 060 253 361

cos18t cos 24t

+ 479 644 644 257400029 + 273 236 943 887 627T67 5T5 +

cos 30t sin 3t +-----+

42 053 620 607 720 896 389 082 4 167 087 813 053 876 sin9t sin15t

+

14 602 091 538 097 863 172 887 410 412 258 566 sin21t sln27t

189 942 139 757 802 561 868 + 20 671 782 970 514 835 057 632

gin 33t

— - --

7 034 650 810 950 400 208 820 163

Таким образом

( , 1 129 017 1 264 183cos6t 74 773cos12t

Хз(1,е) ~ - 160481576 - ~62M116610 - 99 463 036 102 951 +

27 cos 18t cos24t

\-----+

1 070 162 744 051 792 1 393 610 598 505 920 961

cos 30t 1 070 609 sin 3t 29 527 sin 9t

+ 42053б20б0Т720896389082 + 9 708 326 172 + 3Ö3357474 581 + 155 sin 15t sin 21t sin27t

+-----1---

31 706 983 851 157 7 598 523 748 375 768 245 745 030 873 538 384 256

sin 33t

- 7Ö3T6508109504Ö02Ö8820163'

Для оценки точности найденных приближений к периодическому решению уравнения типа Дюффинга (5) определим невязки нулевого и первых трех приближений (i = 0, 1, 2, 3)

Ме) := М (t, е) + уг (t, е) — sin3t — е • (y3(t, е) + yi (t, е) • yt(t, е)) ||С[0;2*].

В частности, при е = 0,1 имеем

А0(0,1) ъ 0, 0142 578 , Аг(0,1) ъ 5, 27 462 • 10-6, А2(0,1) ъ 1,11 501 • 10-13, А3(0,1) ъ 7,16 689 • 10-18'

Уравнение типа Дюффинга (5)

(1 — еу)У ' + у = sin 3t + еу3

может быть разрешено относительно производной при условии 1 — еу = 0; это условие выполняется для найденных нами первых приближений, например, при

е = 0,1

0, 988 194 < 1 — е • у^е) < 1, 01 317; 0, 988 194 < 1 — е • y2(t, е) < 1, 01 317; 0, 988 194 < 1 — е • уз(t, е) < 1, 01 317.

при этом уравнение типа Дюффинга (5) является невырожденным.

Список цитируемых источников

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М: Наука, 1965. — 408 с.

2. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М: Наука, 1979. — 432 с.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М: Наука, 1977. — 744 с.

4. Кравчук М. Вибраш математичш пращ. — К.: Нью-Йорк, 2002. — 792 с.

5. Крылов Н.М. Избранные труды. Том 1. — К: Изд. Академии наук УССР, 1961. — 268 с.

6. Курпель Н.С. Проекционно-итеративные методы решения операторных уравнений. — К.: Наук. думка, 1968. — 244 с.

7. Лучка А.Ю. Проекционно-итеративные методы. — К.: Наук. думка, 1993. — 288 с.

8. Лыкова О.Б., Бойчук А.А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. мат. журнал. — 1988. — Т. 40, № 1. — С. 62 — 69.

9. Самойленко А.М., Шкыь МЛ., Яковець В.П. Лшшш системи диференщальних piB-нянь з виродженням. — К.: Вища школа, 2000. — 296 с.

10. Чуйко А.С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи // Нелинейные колебания. — 2005. — Т. 8, № 2. — С. 278-288.

11. Чуйко С.М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов // Нелшшш коливання. — 2008. — Т. 11, № 4. — С. 554-573.

12. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. — Utrecht; VSP, 2004. — XIV + 317 pp.

Получена 30.04.2012