Периодическая задача для уравнения типа Льенара, не разрешенного относительно производной Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Периодическая задача для уравнения типа Льенара, не разрешенного относительно производной1

С.М. Чуйко, А.С.Чуйко, О. В. Несмелова (Старкова)

Донбасский государственный педагогический университет, Славянск 84116, УКРАИНА. E-mail: [email protected]

Аннотация. Исследована задача о нахождении условий существования и построении решений автономной периодической задачи для слабонелинейного уравнения типа Льенара, не разрешенного относительно производной. Рассмотрен случай наличия кратных корней уравнения для порождающих амплитуд. Для нахождения решений поставленной задачи получены конструктивные необходимые и достаточные условия существования, а также предложена сходящаяся итерационная схема. В качестве примера исследована задача о нахождении периодических решений нелинейной системы уравнений Лотка-Вольтерра, которое в малой окрестности положения равновесия приведено к автономной периодической задаче для слабонелинейного уравнения типа Льенара, не разрешенного относительно производной. Ключевые слова: автономная периодическая краевая задача, уравнение, не разрешенное относительно производной, уравнение типа Льенара, метод простых итераций, уравнение Лотка-Вольтерра.

1. Постановка задачи

Исследована задача о нахождении условий существования и построении T\(e)-периодических решений [4, 11, 12]

y(t,£) : y(,£) € C2[0,Ti(e)j, Ti(0) = 2n, y(t, ■) € C[0,£o]

уравнения типа Льенара, не разрешенного относительно производной [3, с. 174]

d2y(t, £)

dt2

+ y(t,£)= £ ■ Y(y(t,£),y(t,£),y"(t, £),£). (1.1)

Периодические решения уравнения типа Льенара (1.1) ищем в малой окрестности нетривиального решения порождающего уравнения

Л2у0(1)

-щг+*">=°-

Здесь У(у,у',у",е) — нелинейная скалярная функция, непрерывно дифференцируемая по неизвестной у и ее производным у' и у" в малой окрестности решения порождающей

уо уо ,

параметру е на отрезке [0,ео]. Поставленная задача является продолжением исследования автономных краевых задач [4, 7, 11, 12, 15, 17, 19], а также краевых задач, не разрешенных относительно производной [5, 8].

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Государственного Фонда фундаментальных исследовании Украины (номер государственной регистрации 011511003182)

© С.М. ЧУЙКО, A.C. ЧУЙКО, О. В. НЕСМЕЛОВА (СТАРКОВА)

Существенным отличием автономной периодической задачи для уравнения (1-1) от аналогичной неавтономной периодической задачи является тот факт, что любое периодическое решение z(t,e) уравнения (1.1) существует наряду с серией периодических решений z(t + h,e), отличающихся от исходного сдвигом по независимой переменной. Этот факт позволяет зафиксировать начало отсчета независимой переменной таким образом, чтобы решение порождающей задачи стало однопараметрическим, например yo(t,co) = Со ■ cost, Co € R1, при этом периодические решения уравнения (1.1), соответствующие синусам в порождающем решении могут быть получены простым смещением начального момента времени [4, с. 148].

Согласно традиционной классификации периодических краевых задач поставленная задача является критической [2, 4, 12]. Для произвольной функции f (t) задача о нахождении 2п-периодических решений уравнения

d2y0°^C) + yo(t,c) = f (t), f (t) € C[0, 2n] (1.2)

разрешима тогда и только тогда, когда

с2ж

ю

р 2п

/ H(s)f (s) ds = 0, H(t) := J 0

cos t sin t

в этом случае при соответствующей фиксации начала отсчета независимой переменной общее решение 2^-иериодической задачи для уравнения (1.2) имеет вид

yo(t,c)= c ■ cos t + g[f (s)](t), g[f (s)](t) := Í sin(t - s)f (s) ds, c € R1.

0

г* /0

Совершая в уравнении (1.1) замену независимой переменной [4]

г = т(1+ ев{£)), Т\(е) = 2п(1 + ер(е)), в(е) € С[0,ео], в(0) := во,

приходим к задаче об отыскании 2п-периодических решений

у(т,е): у(;е) € С2[0, 2п], у(т, •) € С[0,ео]

уравнения

^УТт1 + У(т, е) = е У(у(т, е),у'(т, е),у"(т, е),в(е), е). (1.3)

При условии 1 + ев(е) = 0 функция

У(у(т, е), у'(т, е), у''(т, е),в(е),е) := -(2 + ев(е))(е) у(т, е)+

+ (1 + ев(е))2 У (у(т е) ^__е)

+ (1 + ер(е)) у уу(т,е), (1+ ев (е)) > (1+ ев(е))2 ,е)

непрерывно дифференцируема по неизвестной у(т, е) и ее ^^отзводным у' (т, е) и у''(т, е) в малой окрестности решения порождающей задачи и его производных у0(т, Со) и у0(т, Со), непрерывно дифференцируема по функции в(е) в мадой окрестности точки во, а также непрерывно дифференцируема по малому параметру е на отрезке [0,ео].

2. Необходимое условие существования решения

Необходимое и достаточное условие существования 2п-периодических решений уравнения (1.3):

г 2п

/ H(s) У(y(s, e),y'(s,e),y"(s,e),0(e),e) ds = 0 (2.1)

J 0

приводит к уравнению для порождающих амплитуд

г- 2п

F{co):= H (s) У(уо (s,co),y0(s,co),y0 (s,Co),Po, 0) ds = 0. (2.2)

0

Лемма. Если периодическая задача для уравнения типа Льенара (1.1) имеет, решение

y(t,e): y(-,e) € £2[0,Тг(e)], Тг(0) = 2п, y(t, ■) € C[0,eo], 1+ ев(e) = 0,

при e = 0 обращающееся в порождающее y0(t, Co) = c0-cos t, mo вектор C0 удовлетворяет уравнению

F(C0) =0, C0 = col (C0, в0) € R2.

Предположим, что уравнение для порождающих амплитуд (2.2) имеет действительные корни. Фиксируя одно из решений С0 € R2 уравнения (2.2), приходим к задаче об отыскании периодических решений уравнения типа Льенара (1.1)

y(r,e) = у0(т,с0) + х(т, e)

в окрестности порождающего решения у0(т,С0) = C0 ■ cos т. Обозначим (2 х 2)-мерную матрицу

B dF (с)

B0 =

дс

c = Со,

ß = ßo

В случае простых (det B0 = 0) корней уравнения для порождающих амплитуд (2.2)

e=0

ращающееся в порождающее y0(t,C0) = C0 ■ cos t. Данный критический случай назван критическим случаем первого порядка [4, 11, 12, 17]. Менее изученным является случай

(det B0 = 0)

классификации периодических краевых задач поставленная задача для уравнения (1.1) не может быть отнесена к критическому случаю второго или более высокого порядка [12], а также к особому критическому случаю, поскольку уравнение для порождающих амплитуд не обращается в тождество [6, 16].

При наличии кратных корней уравнения для порождающих амплитуд, оставляя только одну линейно-независимую строку уравнения (2.2), получаем эквивалентное условие разрешимости периодической задачи для уравнения типа Льенара (1.1)

г 2п

Fp(с0):= Hp(s) y(y0(s,C0),y0(s,C0),y'0(s,C0),00,0) ds = 0; (2.3)

0

здесь Hp(t) = cos t, либо Hp(t) = sint, в зависимости от нелинейности Y(y,y',y'',e) уравнения (1.1). Предметом исследования данной статьи является случай кратных (det B0 = 0)

рица B0 имеет ненулевые эле менты: B0 = 0; назовем этот случай частным критическим случаем [9, 13, 18].

Пример 1. Частный критический случай имеет место в задаче о нахождении периодического решения

г(г,е) := ( г(а)(г,е) г(ь)(г,е) )*, г(^,е) € С^Т^е)], г(г, •) € С[0,ео] уравнения Лотка-Вольтерра

^(г, е) = Аг(г, е) + Z(г(г, е)),А := ^ - ) , ^(г(г, е)) := ( -ы^^е) ) '

(2.4)

Действительно, в окрестности положения равновесия

г(а)(г,е) = 1, г(ь) (г,е) = 1 уравнение (2.4) посредством замены

г (а)(г,е) := 1 + еи(г,е), г(ь)(г,е) := 1 + еу(г,е)

приводится к виду

(1 + еу(г, е))у''(г, е) = е(у'(г, е))2 - у(г, е)(1 + еу(г, е))(1 + еу(г, е) + еу'(г, е)). (2.5) В свою очередь, уравнение (2.5) приводится к виду (1.1) посредством функции

У(у(т, е), у'(т, е), у''(т, е),в(е),е) := (у'(т, е))2 - е (1 + ев(е))2 у3(т, е)- (1 + ев(е)) у2(т, е)(2 + 2 ев(е) - у(т, е)(в(е)(2 + ев(е)) +

+ еу'(т, е)) + (1 + ев(е))у'(т, е) + у''(т, е)).

Уравнение для порождающих амплитуд (2.3) в случае задачи о нахождении периодического решения уравнения (2.5) принимает вид

Fp(cо, во) = -2псово = 0.

Корень Со = 0 соответствует тривиальному порождающему решению уо(т,Со) = 0, в малой окрестности которого расположено лишь положение равновесия уравнения Лотка-Вольтерра (2.5). Серия корней во = 0, со € М1 определяет вырожденную (det Во = 0) матрицу Во. Положим во = 0, Со = 0,1 ; матрица Во при этом имеет ненулевые элементы

R П

B0 = — — 5

0 0 0 1

= 0;

таким образом, задача о нахождении периодического решения уравнения (2.4) представляет частный критический случай. Заметим, что для корпя Со € М2 имеет место неравенство 1 + ево = 1 = 0.

3. Достаточные условия существования решения

Фиксируя одно из решений Со € R2 уравнения (2.3), приходим к задаче об отыскании периодических решений уравнения типа Льенара (1.1)

у(т,е) = уо(т,со) + х(т, е) в окрестности порождающего решения уо(т, со) = со ■ cos т. Для нахождения возмущения

x(-,e) € C2[0, 2п], х(т, ■) € С[0,ео] получаем задачу об отыскании периодических решений уравнения с12х(т, е)

dr 2

+ х(т,е) = е y(y(T,e),y'(r,e),y"(r,e), ß(e),e).

(3.1)

Решение

х(т, е) = v ■ cos т + х(1\т, е), в(е) := в0 + y(е) периодической задачи для уравнения (3.1) зависит от выбора корня Со; здесь

х(1)(т,е) := ед[У(yo(s,co) + х(в,е),у0(s,co) + х'(в,е),у'0(s,co) + х"(в,е),в(е),е)](т).

Предположим, что порождающее решение уо(т, со) не является искомым периодическим решением уравнения (1.1). Обозначим производные

Ai(yo(r,eo),ßo) :=

Ä2(yo(T,Co),ßo) :=

A3(yo(T,Co),ßo) :=

Aß(yo(T,Co),ßo) :=

Ae(yo(T,co),ßo) :=

dy(y(T,e),y'(t, e),y''(T,e),ß(e),e)

dy

dy(y(T,e),y'(t, e),y''(т,е), ß(e),e)

dy'

dy(y(T,e),y'(t, e),y''(т,е), ß(e),e)

dy''

dy (y(T,e),y' (T,e),y' '(T,e),ß (е),е)

dß

dy(y(r,e),y'(T,e),y''(т,е), ß(e),e)

de

y(r,£)=y0(r,C0)

y' (r,£)=y'0(r,co)

y' '(T,£)=y0 (T,co) ß(£)=ßo, £=0.

y(T,£)=y0(T,c0) y (T,£)=y0(T,c0) y' '(T,£)=y'0 (T,co) ß(£)=ßo, £=0.

y(T,£)=yo(T,co) y' (T,£)=y'o(T,co) y' '(T,£)=yo (T,co) ß(£)=ßo, £=0.

y(T,£)=yo(T,co) y (T,£)=yo(T,co) y' '(T,£)=yo (T,co) ß(£)=ßo, £=0.

y(T,£)=yo(T,co) y (T,£)=yo(T,co) y' '(T,£)=yo (T,co) ß(£)=ßo, £=0.

у(т, е)

у (т, е) у (т, е)

уо(т,Со) и у'о(т, Со), а также непрерывную дифференцируемость по в(е) в окрестности

120

С. М. чуüko. а. С. чуiiко. О. В. несмелова (СТАРКОВА)

точки во и по е в малой положительной окрестности нуля, разлагаем эту функцию в окрестности точек уо(т, с0), у'о(т, с0), у0(т, со), во и е = 0 :

У (уо(т,со) + х(т,е),у0(т,со) + х' (т,е),у0 (т,со) + х" (т,е),в (е),е) =

= У(уо(т, со),у0(т, со),у0(т, со), во, 0) + Л\(уо(т, со),во)х(т, е) + + Л2(уо(т, со), во)х'(т, е) + Лз(уо(т, со), во)х" (т, е) + Лр(уо(т, со),воЬ(е) + + еЛ£(уо(т, со), во) + Щуо(т,со)+ х(т,е),у'о(т,со) + х'(т,е),уЦ(т, со) + х'' (т,е), в(е),е).

Здесь

Щуо(т, со) + х(т,е),у'о(т,со) + х'(т,е),уЮ(т, со) + х"(т,е), в(е),е)

— остаток последнего разложения, более высокого порядка малости по х(т,е), х'(т,е), х''(т,е), ^(е) и е в окрестности точек уо(т,со), у'о(т,со), уЮ(т,со), во я е = 0, чем предыдущие слагаемые. Оставляя только одну линейно-независимую строку в условии (2.1) разрешимости задачи об отыскании периодических решений уравнения (3.1), с учетом равенства (2.3), получаем эквивалентное условие разрешимости исходной задачи об отыскании периодических решений уравнения (1.1):

г2ж

/о

Нр(т){Ai(yo(T, со), ßo)[v ■ cos т + xw(r, е)] + Aß(уо(т, со),воЪ(е) + + А2(уо(т, co),ßo)[v ■ cos т + x[l)(r, е)]т + Аз(уо(т, со), ßo)[v ■ cos т + x[l)(r, е)]'Т2

+ е Ае(уо(т, со),ßo) + П(у(т, е), у'(т, е), у''(т, е),в(е),е)} йт = 0, равносильное уравнению

о(уо(-,со),во) ■ ( ^ ) = - J^ Нр(т){А1(уо(т,со),во)х(1\т,е)+

+ А2(уо(т, со), во)[х(1)(т, е)]'т + Аз(уо(т, со), во)[х(1)(т, е]''2 +

+ е Ае(уо (т,со),во) + П(у(т,е),у' (т,е),у''(т,е), в(е),е)} йт, (3.2)

о(уо(-,со),во) := ^ J Нр(т)[А1(уо(■, со), во) cosт-

г2п

- A2(yot, Со), во) sinт - A3(yot, со),во) cos т]dr; J Нр(т)Ap(yo(•, во),во)йг^

— постоянная (1 х 2)-матрпца. При условии o(yo(•,Со),во) = 0 уравнение (3.2) имеет по меньшей мере одно решение

( Yf(£)) = -+>(Уо(;<*),во) fj Нр(т ){А\(уо(т, Со),во)х^ (т,е) +

+ А2(уо(т, Со), во)[х(1)(т, £)]'т + Аз(уо(т, Со), во)[х(1)(т, е)]''2 +

+ £ А£(уо(т, Со), во) + Щу(т, е), y'(т, е), y''(т, е),в(е),е)} d^

Действительно, обозначим

во) : R2 ^ Що(уо(■, со), во))

и

Р*оЫ{,е0),во) : R1 ^ Щ*о(уо(;со),во)) — отоироекторы матриц о(уо(^, со), во) и ^(уо(^со), во). При условии

о(уо(^,со),во) = 0 имеет место равенство rank о(уо(^,со), во) = 1, следовательно

Р*о(уо(-,со),во) = 0, при этом уравнение (3.2) разрешимо. В силу равенства

rank Ро(уо(-,со),во) = 1

уравнение (3.2) разрешимо не однозначно. Таким образом, для любого из кратных корней уравнения для порождающих амплитуд (2.2), при условии о(уо(■, со), во) = 0, по меньшей мере одно периодическое решение уравнения (1-1) определяет операторная система

у(т,е)= уо(т,со)+ х(т,е), х(т,е) = v^)cosт + х(1\т,е), в(е) = во + Y(е), (3-3)

х(1)(т,е) := ед[У(уо^,со) + х^,е),у'о(s,со) + х'(s,е),уЦ(s,со) + х''^,е),в(е),е)](т),

( Y(е))= -+>Ы;со),во) fj ИР(т)[Л1(уо(т,со),во )х(1\т,е) +

+ Л2(уо(т, со), во)[х(1\т, е)]'т + Лз(уо(т, со), во)[х(1)(т, е)]% +

+ еЛ£(уо(т, со), во) + Щу(т, е), у'(т, е), у''(т, е), в(е),е)} йт.

Для построения решений системы (3.3) применим метод простых итераций [4, 11, 17].

Теорема. При наличии кратных (det Во = 0) корней уравнения для порождающих амплитуд (2.2), при условии о(уо(^, со), во) = 0 задача об отыскании периодических реше-

е=0

в порождающее у(т, 0) = уо(т,со), при условии 1 + ев(е) = 0 представимое операторной системой (3.3). Для построения периодических решений уравнения (1.1) применима итерационная схема

ук+1(т,е) = уо(т,со)+ хк+1(т,е), хк+1(т,е) = vk+1^)cosт + х(к+)1(т,е),

х{1+1(т,е)= ед[У (ук (s,е),ук (s,е),у'к (s,е),вк (е),е)](т), (3.4)

( Y^) ) = -+(уо(,со),во) fj Hp(т){Л1(уо(т,со),во)х^1 (т,е) +

+ Л2(уо(т,со),во)[хк]+1(т,е)Ъ + Лз(уо(т,со),во)[х^(т,е)]Т 2 +

+ еЛ£(уо(т, со), во) + Щук(т, е), ук(т, е), ук(s, е), вк(е), е)} йт,

вк+1(е)= во + Yk+l(e), ... , k = 0,1,2, ... .

Пример 2. Исследуем задачу о построении периодического решения

y(•, е) € C2[0,ti(£ )], y(t, •) € C[0, £о ]

уравнения Лотка-Вольтерра в форме (2.5).

Выше было установлено, что уравнение для порождающих амплитуд (2.3) для уравнения Лотка-Вольтерра в форме (2.5) имеет корень во = 0, Со = 0,1 . Матрица Во при этом имеет ненулевые элементы, следовательно согласно доказанной теореме задача о построении периодического решения уравнения Лотка-Вольтерра (2.4) в малой окрестности порождающего решения уо(т, Со) имеет по меньшей мере одно решение. На первом шаге итерационной схемы (3.4)

х1](т, е) = ед[У(уо(в,Со),у'о(*,Со),у'о(з,Со),во, 0)](т) =

£

=-1 — cos т + 2 cos 2т + 2 sin т - sin 2т \.

600L J

Далее вычисляем производные

А1(уо(т,Со),во) = 10 (sin т - 3cos т), А2(уо(т,Со), во) = - -0( 2sin т + cos т),

cos т cos т Аз(уо(т, Со), во) = —, Ав(уо(т,Со),во) =--,

Ае(уо(т,Со),во) = 4000(sinт + sin 3т - 3cos т - cos 3т)

и матрицу

п

о(уо(;ео),во) = п (0 1) . 5

Таким образом, первом шаге итерационной схемы (3.4) находим функции

е е2 7 е3 е4

и1(е) & 0, y1(£) ~--1-----1---+ ... ,

1W ' '1W 1200 7200 988 000 2 400 000

определяющие первое приближение к решению уравнения (2.5)

У1(т, е) = уо(т,Со) + x1\т, е), а также первое приближение к периоду

Т1(е) = 2п(1 + ев1(е)), вЛе) := во + ъ(е) этого решения, и, в свою очередь, первое приближение к решению уравнения (2.4):

z<f>(t, е) :=1 + ет(t, е), z?>(t, е) := 1 + еу^, е), m(t, е) := ^ ^ .

1 + еу1(t, е)

Заметим, что для первого приближения к решению уравнения (2.4) имеет место неравенство 1 + ев1 > 0. Для оценки точности найденных приближений к периодическому решению уравнения Лотка-Вольтерра определим невязки

^k (е) : =

( е) \

I 4^) )

С[о;2п]

нулевого и первого приближений к решению уравнения (2.4); здесь

6ka\е) := е))'' - (1 + efo(е))^\т, е)(1 - г£\т, е)),

5<£\е) :=(zt\r, е))'' + (1 + еШ)^ (т, е)(1 - г£\т, е)), k = 0, 1. Положив е = 0,1 , имеем

До(0,1) и 0, 000 111 335, Ai(0,1) и 2,13 834 • 10-6.

= 0, 01

Д0(0, 01) и 1,11 75)6 • 10-6, Д1(0, 01) и 2,12 820 • 10-9.

Для построения решений операторной системы (3.3) применим также метод наименьших квадратов [1, 9, 14, 19].

Список цитируемых источников

1. Ахиезер ИИ. Лекции по теории аппроксимации.— М. Наука., 1965. — 408 с.

2. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. - 432 с.

3. Зайцев В. Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Факториал. — 1997. — 512 с.

4. МалкинИ.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491 с.

5. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа. — 1963. — 546 с.

6. Чуйко С.М. Нетерова краевая задача в особом критическом случае // Доп. НАН УкраТни.

- 2007. - №. 2. - С. 26-30.

7. Чуйко С.М., Старкова О. В. Автономные краевые задачи в частном критическом случае // Динамические системы. — 2009. — Т. 27. — С. 127-142.

8. Чуйко С.М., Старкова О.В., Пирус О.Е. Нелинейные нетеровы краевые задачи, не разрешенные относительно производной // Динамические системы. — Т. 2(30), №1-2. — 2012. — С. 169-186.

9. Чуйко С.М., Старкова О.В., Чуйко А. С. Автономная нетерова краевая задача в частном критическом случае // Компьютерные исследования и моделирование. — 2011. — Т. 3, №4.

- С. 337-357.

10. Чуйко С.М., Чуйко А. С. О приближенном решении автономных нетеровых краевых задач методом наименьших квадратов // Динамические системы. — 2011. — Т. 29. — С. 103-111.

11. Boichuk A.A., Chuiko S.M. Autonomous weakly nonlinear boundary value problems // Differential Equations. - 1992. - V. 28, Is. 10. - P. 1668-1674.

12. Boichuk A. A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems.- Utrecht; Boston: VSP, 2004. - XIV + 317 pp.

13. Boichuk I.A., Starkova O.V., Chuiko S.M. Weakly perturbed nonlinear boundary-value problem in critical case // Studies of the University of Zilina. Math, series. — 2009. — V. 23, Is. 1. — P. 1-8.

14. Chuiko S.M. On approximate solution of boundary-value problems by the least squares method // Nonlinear Oscillations. - 2008. - V. 11, Is. 4. - P. 585-604.

15. Chuiko S.M. Domain of convergence of an iterative procedure for an autonomous boundary-value problem // Nonlinear Oscillations. - 2006. - V. 9, Is. 3. - P. 405-422.

16. Chuiko S. M. Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case // Ukrainian Mathematical Journal. - 2009. - V. 61, Is. 4. - 3. 657-673.

17. Chuiko S.M., Boichuk I.A. Autonomous noetherian boundary-value problem in the critical case // Nonlinear Oscillations. - 2009. - V. 12, Is. 3. - P. 417-428.

18. Chuiko S.M., Boichuk I.A. Nonlinear Noetherian boundary-value problems in the critical case // Nonlinear Oscillations. - 2010. - V. 13, Is. 1. - P. 128-146.

19. Chuiko S.M., Starkova O.V. On the approximate solution of autonomous boundary-value problems by the least-squares method // Nonlinear Oscillations. — 2009. — V. 12, Is. 4. — P. 574591.

Получена 27.05.2015