О приближенном решении автономных нетеровых краевых задач методом наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О приближенном решении автономных нетеровых краевых задач методом наименьших квадратов1

С. М. Чуйко, Ан. С. Чуйко

Славянский государственный педагогический университет, Славянск, 84112. E-mail: chujko-slav@inbox.ru

Аннотация. Используя метод наименьших квадратов, построено новую итерационную процедуру для нахождения решений автономной слабонелинейной краевой задачи для системы обык-Н OB GH Н ЫХ дифференциальных уравнений в критическом случае в виде развития в обобщенный полином Фурье в окрестности порождающего решения.

Ключевые слова: Нетерова краевая задача, метод наименьших квадратов, обобщенный полином Фурье.

1. Постановка задачи. Исследована задача о построении решений [2, 3] z(t,e) Е C 1[a,b(e)], C[0,e0], b(e) Е C[0,во] краевой задачи для системы обыкно-ве н н ых дифференциальных уравнений

dz/dt = Az + f + eZ(z,e), iz(^e) = a + eJ(z(^e),e), a Е Rm (1)

Решения нетеровой краевой (m = n) задачи (1) ищем в малой окрестности решения z0(t) Е C 1[a,b*], b* = b(0) порождающей задачи

dzo/dt = Azo + f, A Е Rnxn, f Е Rn, fcoO = a.

Z(z, e) непрерывно дифференцируемая по неизвест-

z

ференцируемая по малому параметру; iz(^,e) — линейный и J(z(•,e),e) — нели-неиныи векторный функционалы iz(^e), J(z(•,e),e) : C[a,b(e)] ^ Rm, причем второй функционал непрерывно z

e

ческом (Pq* = 0) случае при условии Pq* {a — iK[/](•)} = 0 порождающая задача имеет семейство решений [2] z0(t,cr) = Xr(t)cr + G[f; a](t), cr Е Rr. Здесь Q = iX(•) — (m x п)-матрпца, rank Q = n\, n — n := r, Pq* — (m x т)-матрица-ортопроектор Pq* : Rm ^ N(Q*), X(t) — нормальная (X(a) = In) фундаментальная матрица однородной части дифференциальной системы; Xr(t) = X(t)PQr, Pqt

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Фонда фундаментальных исследований Германии (DFG; номер регистрации GZ:436UKR 13/103/0-1) и Государственного Фонда фундаментальных исследований Украины (номер государственной регистрации 0109U000381).

© С. М. ЧУЙКО, АН. С. ЧУЙКО

— (n х г)-матрица, составленыая из г линейно независимых столбцов (n х n)-матрицы-ортопроектора Pq : Rn ^ N(Q); (d х т)-мерная матрица Pq* составлена из d := m — ni линейно независимых строк матрицы-ортопроектора Pq* ,

G[f ; a](t)= X(t)Q+{a — Ш[/](•)} + K[f](t), K[f](t) := X(t) f X-i(s)f ds

J a

— обобщенный оператор Грина задачи , Q+— псевдообратная матрица по Муру-Пенроузу [2], In — единичная (n х ^-матрица. В критическом случае задача (1) существенно отличается от аналогичных неавтономных краевых задач; в отличие от последних, правый конец Ъ(е) промежутка [a,b(e)], на котором ищем решение задачи (1). Совершая в задаче (1) замену переменной [3, 6]

t = a + (т — a)(1+ ев(е)), Ъ(е) = Ъ* + е(Ъ* — a)в(е), в(е) G C[0,£о], в(0) = в\

и обозначая щ(с*) = ав* + J(zo(^,c*), 0), fo(s,c*) = в*[Azo(t,c*) + /] + Z(zo(t,c*), 0), аналогично [3], приходим к необходимому условию разрешимости задачи (1).

Лемма. Если краевая задача (1) в критическом случае (Pq* = 0) имеет решение, при е = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t,c*), то вектор c* = col (c*, в*) G Rr+i удовлетворяет уравнению [3, 6]

F (c*) = Pq* Wo(c* ) — IK [fo(s,c*)](^)} = 0. (2)

Фиксируя одно из решений c* G Rr+i уравнения (2), приходим к задаче об отыскании решения задачи (1) z(t^) = zo(t,c*) + х(т,е) в окрестности порождающего решения zo(t,c*). Обозначим (d х (г + 1))-матрицу Bo = FC(c*). Пусть Pb0 : Rr+i ^ N(Bo) — ((г + 1) х (г + 1))-матрица-ортопроектор, PB* — ((г + 1) х (г + 1))-мерная матрица-ортопроектор: Rr+i ^ N (Bo*). Известно [3, 6], что для каждого простого (PB* = 0) корня уравнения F (c*) = 0 задача (1) имеет по меньшей мере одно решение, при е = 0 обращающееся в порождающее zo(t, c*). Для построения этого решения предложена итерационная схема [3, 6], соответствующая методу простых итераций. Этот метод отличают простота и численная устойчивость, однако построение приближенных решений с применением метода простых итераций связано с быстро увеличивающейся от итерации к итерации сложностью вычислений.

3. Периодическая задача для уравнения Льенара. На примере периодической задачи для уравнения Льенара продемонстрируем технику построения модифицированной итерационной процедуры для нахождения приближенных решений с использованием метода наименьших квадратов [5], обеспечивающих большую точность при меньшем числе итераций. Исследуем задачу о нахождении решения у^,е) G C2\0^^е)], C[0^] автономной периодической краевой задачи

dy + У = е • Y(у,е) • ^ у(0,е) — у^е^е) = 0, у'(0,е) — у/Т^е) = 0. (3)

Здесь Y(y,e) — нелинейная скалярная функция, непрерывно-дифференцируемая по неизвестной y в малой окрестности решения порождающей задачи и непрерывно-дифференцируемая по малому параметру e на отрезке [0,е0]. Зафиксируем начало отсчета независимой переменной таким образом, чтобы решение порождающей задачи стало однопараметричным, например, y0(t) = c^cos t, с Е R1. Замена независимой переменной в случае периодической задачи принимает вид

Ti(e) = 2n(1+ ев (e)), t = т (1 + e[5(e)).

Таким образом, приходим к задаче о нахождении периодических решений уравне-

у"(т, e) + (1 + eP(e))2 • у(т, e) = e • (1 + ee(e)) • Y(у(т, e),e) • у\т, e). (4) Отклонение х(т, e) определяет 2п-перподпческая задача для уравнения

^^ +(1 + ee(e))2 • х(т, e) = e(1 + ee(e))YЫт, с*) + х(т, e),e)x dт 2

x [y0(т,с*)+ x>(т,e)] — {y>¿(т,c*) + (1+ ee(e))2 • у0(т,с*)}. (5)

Обозначая f0(т, c*) = Y(у0(т, с*), 0) • у0(т, с*) — 2в*у0(т, с*), приходим к необходимому условию разрешимости периодической задачи (3), аналогу доказанной леммы.

Следствие. Если периодическая задача (3) для уравнения, Лъенара имеет решение, при e = 0 обращающееся в порождающее y(t, 0) = y0(t,6f), то вектор c* = col (с*, в*) Е R2 удовлетворяет уравнению

F {c*) = f( Z '.)f0^c">ds = №

Фиксируя один из простых корней c* Е R2 уравнения (6), приходим к задаче об отыскании решения периодической задачи (3) в окрестности порождающего решения y0(t, с*). Предположим, что Y~'(у0(т,с*), 0) = 0. Используя непрерывную

Y(y, e)

рождающего решения у0(т,с*) и непрерывную дифференцируемость по второму аргументу в малой положительной окрестности нуля, разлагаем эту функцию в

х = 0 e = 0 :

Y Ы(т,с*)+ х(т ,e),e) = Y Ы(т,с*), 0) + Al(yo(т,C*))x(т,e) + ПЫт,с*) + x(^e),e),

где А1(у0(т,с*)) := Yy(у0(т,с*), 0). Последовательность {вj (e)}°=0 ^ в (e), в0 := в * определяет последовательность независимых переменных

{tj в (e)j t Е [0, 2п(1 + eв (e))], h Е [0, 2п(1 + eв *)].

Первое приближение к решению 2п-периодической задачи для уравнения (4)

y1(r,£) = Уо(т, С*) + x1(r,£), to := т(1+ eß*), т Е [0, 2п] определяет 2п-периодическое решение уравнения

+ xi(r,e) = e(1 + eß*){Y(уо(т,с*),0) • [+

+ AMrc*))xi(r,e)} - [+ (1+eß*)2 • yo(r,c*)]. (7)

Пусть р1(т), р2(т), ... , fß(r), ... —система линейно независимых дважды непрерывно дифференцируемых скалярных 2п-периодических функций. Приближение к решению 2п-периодической задачи для уравнения (7) ищем в виде

Х1(т,е) w £1(т,е) = р(т)ci(e), ci(e) Е р(т) = р(т) р2(т) ... р^(т)].

Обозначим

Ъ(т,е) = (1 + eß *) • [(1 + eß *) - еЛ (уо(т,С* ))у'0 (т,С* )]р(т )-

- е(1 + eß*)Y(уо(т, С*), 0)р'(т) + р"(т).

Аналогично [5] при условии невырожденности матрицы Грама

п 2п

Т(Ъ(;е))= F*(т,е) •F^e) dт J о

находим вектор

п 2п

C1(e) = -e • [r(F1(^,e))]"1 • F*(^^(1 + eß*)Y(уо(т,С*), 0) • y>0(т,С*)-

ю

- Шт,С*) + (1 + eß*)2 • уо(т, С*)]}'т.

Пусть (е), ф2(е), ■■■ Фл(е), ■■■ —система линейно независимых непрерывных функций. Обозначим матрицу Ф(е) = [^(е) ф2(е) ■■■ ^(е)^ Первое приближение

в1(е) = в * + в\. (е) к функции в (е) определим, как

в1(е) : (1 + ев1(е)) := (1 + ев*) • (1 + еЪ(е)), Ъ(е) = ^(е) • Я1, Я1 Е Поправку ^1(е) ищем из условия минимизации невязки в решении уравнения

Уъ(т, С*) + еКт, е) + (1 + ев*)2(1 + 2еЪ(е)) • (уо(т, с*) + Ъ(г, е)) =

= е • (1+ ев*)(1+ еЪ(е))У(уо(т,с*)+ &(т,е),е) • (у'0(т,с*)+ &(т,е))■

Обозначим (1 х А)-матрицу

$1(т, е) = е • (1 + ев*) • {2(1 + ев * )(уо(т, с*) + Ъ(т, е))- е • У(уо(т,с*)+ ^1(т,е),е) • У (т,с*)+ £(т,е))} •

При условии невырожденности (Л х А)-матрицы Грама

г2ж reo

r(?i(-, •)) = / Fl(т,е) • Fi(r,e) drde Jü Jü

находим вектор

п2ж reo

qi(e) = [r(Fi(; •))- ■ / Fl(r,e){e(1 + eß*) • Y(yi(r,e),e) • (y'1(r,e))-

Jo Jo

- (У0(Т,П+ $(r,e)) - (1+ eß*)2 • (Уо(т,С*) + £i(r,e))} dr de.

Второе и последующие приближения к решению 2^-периодпческой задачи для уравнения (4) ищем, как отклонение от предыдущего

yk+i(r,e) = уо(т,с*)+ xk+i(r,e), Xk+i(r,e) = £i(r,e)+ ... + £k+i(r,e),

£k+i(r,e) = p(r)ck+i(e), ck+i(e) E W. Пусть Ai(yk(r,e)) = Yy(yk(r,e), 0); приближение yk+i(r,e) определяет уравнение

d2ik+i(r,e) , , , dyk(r, e) d£k+i(r,e)

dr2-" + Ck+i(r,e) = e(1 + eßk(e)){Y(yk(r,e),e) • [ У dT + —] +

+ Ai(yk(r,e))Ck+i(r,e)} - [^Гт1 + (1 + eßk(e))2 • yk(r,e)]. (8) Обозначим матрицы

Fk+i(r,e) = (1 + eßk(e)) • [(1 + eßk(e)) - eAi(yk(r,e))yk(r,e)]<p(r)-- e(1+ eßk(e))Y(yk(r,e), 0)р'(т) + v"(r), Fk+i(r, e) = e • (1 + eßk(e)) • {2(1 + eßk(e))(yo(r, с*) + Xk+i(r, e))- e • Y (yo(r, С *) + Xk+i(r,e),e) • (yü (т,с *) + x'k+i(r,e))} • V(e).

При условии невырожденности (ß х ^)-матрицы Грама

п 2п

r(Fk+it,e)) = \ ^Лт,^ • Tk+i^,^ ^

Jo

находим вектор

л 2п

ck+i(e) = -[rFk+i^e))]- • F^e^^ eßk(e)) • Y(yk(т, e), 0) • yk(т, e)-

o

- (1+ eßk(e))2 • yk(т, e) - }dт.

Второе и последующие приближения ßk+^e) к функции ß(e) определим, как (1 + eßk+i(e)) := (1 + eßk(e)) • (1 + e^k+i(e)), Yk+i(e) = e) • qk+i(e).

Поправку 7к+1(£) ищем из условия минимизации невязки в решении уравнения

у1+1(т,£) + (1 + евк(е))2(1 + 2£^к+г(£)) • Ук+1(т,£) =

= £ • (1 + £вк(е))(1 + £Ъ+1(е))У(Ук+1 (т,£),£) • ук+1(т,£). При условии невырожденности (Л х А)-матрицы Грама

Г'2п Г'£ 0

Г(?к+10, •)) = / Гк+1(т,£) • дк+1 (т,£) йт й£

Jо Jо

находим вектор

г2ж Г'£ 0

Як+1 =[Г(дк+1(•, •))]-1 • / Гк+1(т,£){£(1+ £вк (£)) • У (Ук (т,£),£) • (Ук (т,£))-

ио ио

- (у0(т,С*) + х'к(т,£)) - (1 + £вк(£))2 • (Уо(т,С*)+ Хк(т,£))} йт й£,

определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) второе приближение вк+1 (£) к функции в(£)■ Продолжая рассуждения, приходим к следующей итерационной схеме

У1(т,£) = уо(т,С)+ Х1(т,£), в1(£) = в * + ъ(£) • (1 + £в *), ъ(£) = Щ£) • яЛ^,

п 2п

Х1(т,£) - &(т,£) = ф )С1(£), С1(£) = -£ • [Г(Т^,£))]-1 Т* (т,£)х

о

х {£(1 + £в * )У (Уо (т, С*), 0) • у0 (т, С*) - [ йуо(2С +(1 + £в * )2 • Уо(т, С*)]}йт,

Г'2п Г'£ 0

Я1(£) = [Т(Ы; •))- ■ / ГЛт,£)х

оо

х {£(1 + £в *) • У (уо(т,С*)+ & (т,£),£) • (Уо (т,С*)+ & (т,£))-

- (Уо(т,С*)+ К(т,£)) - (1+ £в * )2 • (Уо (т,С*)+ Ыт,£))} йт й£, ■■■

Ук+1(т,£)= Уо(т,С*)+ Хк+1(т,£), Хк+1(т,£) = %1(т,£)+ ■■■ + £к+1 (т,£), (9)

п 2п

Ск+1(т,£) = р(т )Ск+1 (£), Ск+1(£) = -[Г(Тк (•,£))]-1 Т*(т,£)х

о

х {£(1 + £в1(£)) • У (Ук (т,£), 0) • Ук (т,£) - (1+ £вк (£))2 • Ук (т,£) - *Ук^£) }йт, в к+1(£) = в к (£) + 1к+1(£) • (1+ £вк (£)), 1к +1(£) = ^(£) • Як +1(£),

г2п Г'£ 0

Як+1 (£) = [Г(Ък+1(; •))— • / Гк+1(т,£)х

оо

х {£(1 + £в1(£)) • У(Уо(т,с*)+ Хк+1 (т,£),£) • (Уо(т,С*)+ Хк+1(т,£))-- Шт,С*)+ Х'к+1(т,£)) - (1 + £вк(£))2 • (Уо(т,С*)+ Хк+1(т,£))} йт й£, ■■■ к Е N

Теорема. Для каждого простого (det B0 = 0, B0 := F'(c*)) корня c* E R2 уравнения, для порождающих амплитуд (6) периодическая задача (3) для уравнения, Льенара имеет единственное решение, при £ = 0 обращающееся, в порождающее y0(t, с*). При условии det[r(Ffc+i(•,£))] = 0, det|T(Ffc+i(-, •))] = 0, k E N для нахождения решения периодической задачи (3) для, уравнения, Льенара применима итерационная схем,а, (9).

Пример. Используем итерационную схему (9) для построения приближения к периодическому решению уравнения Ван-дер-Поля [4, 9]

У'' + У = £ • (1 - У2) • У',

частного случая уравнения Льенара.

Как известно [3, 4], периодическая задача для уравнения Ван-дер-Поля имеет единственное решение в малой окрестности порождающего решения y0(t, с*) = 2 cos t, при этом известна величина в* = 0, определяющая начальное значение периода T1(£) = 2п этого решения. Положим к примеру

p(r) = [sin т sin 3т sin 5т sin 7т cos т cos 5т cos 7т].

Матрица Грама, соответствующая порождающему решению y0(t,C*) = 2 cos t

det[r(J!0,£))] « 4 057 816 381 784 064п7£4+

+ 2 143 386 517 635 072П7£6 + 390 100 798 144 512П7£8 + ... =0

нбвы рожден el. Введем также матрицу Ф(£) = [£ £2 £3 £4 £5]. Итерационная схема (9) определяет функции

sin т — sin 3т 2 . 3 cos т 5 = е--J-+ г • (-— - 96 cos5T)+

3 -397 sin т + 297 sin 3т + 100 sin 5т + 70 sin 7т

+ е3---+

9 216

4 4 293 cos т + 9 196 cos 5т + 2 380 cos 7т

+ е •--+

884 736

5 197 173 sin т - 138 5)73 sin 3т - 58 600 sin 5т - 46 366 sin 7т

+ е5 ■--+

21 233 664

6 -5 867 397 cos т - 4 460 092 cos 5т - 1 576 804 cos 7т

+ еи--, _ _ _ ,-+

7 -147

+е

2 038 431 744

7 -147 152 989 sin т + 116 416 989sin3т + 30 736 000 sin 5т + 25 022 662sin7т

48 922 361 856 ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 1(29), №1 (2011)

и

6(т,е)

£

6 408 910 • cos т 273 446 527

+ £3 • (-

132 148 cos т 214 671 890 489

+

27 029 033 sin т 675 066 048

11 303 617яп3т 5 sin 5т 7sin7т, 4 , 4 921 502cos т 4 997 742 cos 5т

551 185 119 7 cos 7т

768 1 536 64 438 sin т

+

48 214sin3т

358 183 803 ) + £5 • (-

779 012 549

871 605 cos т

+

8 192 85 161 984 421 69 620 174 635J 4 88 537 950 218

109 806 cos 5т 20 219 919 sin т 16 378 650 sin 3т 2 768 357 sin 5т

+ d dn _____ --_ __ + ........— + _ +

448 670 523 749

882 472 181

915 705 529

1 033 444 703

+

405 642 sin 7т

) + £6 • (-

21 594 728 cos т 6 232 511^5т 2 026 915^7т

982 568 335 392 726 009

322 661 sinт 532 585 sn^

+

+

814 560 282 11 240 sin 5т

+

26 749 532 113 48 519 042 509 372 018 596 053 410 626 823 395

2 677 895 057 33 919 sin 7т .

) +

+ £ • (

299 313 cosт

+

220 751 cos 5т

6 365 cos 7т

30 543 613 sin т

115 975 666 234 57 101 647 056 403 262 449 581 903 084 625

37 701 926sin3т 2 670 614 sin 5т 3 715 250 sin 7т,

+ ^---. ^---- — — — )

1 842 038 921

2 654 419 383

1 803 235 669

а также первое и второе приближение

ßi(£) =

13 003 166

208 050 485

122 527

£

99 521 339 394

£2-

200 790 895

£3

489 085

£4 +

1 962 509

9 953 428 871 24 436 693 638 9 799 331 498 27 696 527 800 854

ß2(£) = ^тт • £ +

4 102 465

1 633Ö8I381 3 484 976

2ÖÖ832TÖ37

£3 +

443 164 003 4 375 976

9 750 133 791

£2

1 019 710 507

£4

■£7-

1 564 455 17~94Ь394 358

■£8 +

8 168 636

393 488 023 5 297 681

11 810 873 872

£5 +

■£9 +

818 296

3 059 806 843 413 913

£6

317 420 081 107

£

10

к функции /3(е). Таким образом, найдены первое и второе приближение к решению периодической задачи для уравнения Ван-дер-Поля

у2(т,е) = уо(т, с*) + Х2{т,е), х2(г,е) = ^(т, е) + &(т,е).

Для оценки точности найденного второго приближения определим невязки

^(е) := \ \у2(т,е) + (1 + еШ)2 • у2(т,е)-

- е • (1 + ев2(е)) • (1 - у\(т,е)) • у2(т,е)\\а{0;2п],

*а(£) = Жт,£) + (1+ £ßa(£))2 • Уа(т,£)-

- £ • (1 + £ßa(£)) • (1 - У2а(т,£)) • y'a(т,£)\\с{0;2п]

5

£

Заметим, что точность найденого нами второго приближения у2(т,е), в2(в)

Д2(0,1) w 0,0 000 252 158, Д2(0, 01) w 3,14 846 • 10-9

выше точности приближений к периодическому решению уравнения Ван-дер-Поля Уа(Т,£), ¡За (£)

Да(0,1) w 0, 000 202, Да(0, 01) w 2, 01 398 • 10-8, полученного в статьях [7, 8].

Список цитируемых источников

1. Абрамов А. А., Курочкин С. В. Вычисление решений уравнения Матье и связанных с ними величин // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 2007. — Т. 47, — № 7. С. 414-423.

2. BoichukA. A., Samoilenko А. М. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-

value problems.— Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 pp.

3. БойчукА.А., ЧуйкоС.М. Автономные слабонелинейные краевые задачи//Диффе-ренц. уравнения. 1992. — 28, N 10 С. 1668 — 1674.

4. МалкинИ. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М. Гостехиздат. 1956. 491 с.

5. Чуйко С. М. О приближенном решении краевых задач методом наименьших квадратов // Нелшшш коливання. — 2008. — 11. — № 4. — С. 554 — 573.

6. Чуйко С. М., БойчукИ. А. Автономная нетерова краевая задача в критическом случае // Нелшшш коливання. — 2009. — 12. — № 3.

7. Andersen С.М., Geer J.F. Power expansion for the Frequency and period of limit cycle of the Van der Pol equation // SIAM Journ. Applied Math. - 1982. - 42. - P. 678 -693.

8. Geer J. F., Andersen С. M. Resonant frequency calculations using a hybrid perturbation - Galerkin technique // NASA Contractor Report 187 632. — ICASE Report № 91-68. — 1991. - 30 p.

9. Van der PolB. The nonlinear theory of electric oscillations // Proceedings of the Institute of Radio Engineers. - 1934. - № 22. - P. 1051 - 1086.

Получена 20.03.2011