Пересечение множества экстремальных функций для двух функционалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 17, 2010

УДК 517.54

И. С. Ефремова

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ДВУХ ФУНКЦИОНАЛОВ

В работе исследована экстремальная задача для линейного функционала в классе и'а. В частности, получен вид экстремальной функции.

Понятие линейно-инвариантного семейства было введено Х. Пом-меренке в 1964 г. в работе [1].

Пусть Д = {г : |г| < 1} — единичный круг. Обозначим через £ множество всех конформных автоморфизмов единичного круга Д:

^ = егв г + а , а £ Д, 0 е ^.

1 + га

Определение 1. Множество Ш аналитических в круге Д функций /(г) = г + а2г2 + ... называется линейно-инвариантным семейством (л.-и. с.), если для любой функции /(г) € Ш выполнены условия:

1) /7(г) = 0, для каждого г € Д (локальная однолистность);

2) для любого <р € £ функция

/(У(г)) - /(У(0))

/ '(^(0)М0)

принадлежит классу Ш.

Важной характеристикой является порядок линейно-инвариантного семейства.

Определение 2. Порядком л.-и. с. Ш называется число:

оМШ = яир |а2(/)|.

I еш

© И. С. Ефремова, 2010

Понятие порядка функции было введено Кемпбелом в работе [2]. Пусть /(г) = г + ... локально однолистна и аналитична в Д.

Определение 3. Порядком функции /(г) называется число:

огё / = огё М[/],

где М[/] = {Л^[/(г)] : ^ € £} — л.-и. с., порожденное функцией /.

Определение 4. Универсальным линейно-инвариантным семейством иа порядка а называется объединение всех л.-и. с. М, порядок которых не превосходит а :

иа = У{М : огёМ < а}.

Примеры линейно-инвариантных семейств.

1) Семейство ЬБ всех аналитических и локально однолистных в Д функций /(г) = г + ....

2) Семейство Б С ЬБ однолистных в Д функций; огё Б = 2 [4].

3) Семейство К С Б выпуклых функций (функций из Б, для которых /(Д)- выпуклая область); огёК = 1 [8].

4) Ниже определенное семейство иа является линейно-инвариантным [6, 7]; огё иа = а [6, 7].

1а класс всех комплекснозначных функций ^(£) ограниченной вариации на [0, 2п), удовлетворяющих условию:

2п

2п

0 0 иа класс функций $(г), представимых в виде

ехр

2п

—2 1 log(1 — ее и) й^(£)

(1)

00 где ^(£) € 1а (ветвь логарифма главная).

X и У — два нормированных пространства и ^ — отображение, действующее из X и У. Если отображение ^ в точке ^ допускает разложение

^ (^ + Л.) = ^ (у>) + Ь^(Л-) + о(

то оно называется дифферинцируемым по Фреше в точке ^ Є О. Рассмотрим следующие функционалы:

тах Ие

/ еиа

тах Ие

/ еиа

/"Ы]

//(^і) і /"Ы] №) і

(2)

(3)

где ^1, ^2 — фиксированные точки из Д.

Обозначим: г1 = г1е®01, а^ г1 = 01, г2 = г2в®02, а^ г2 = 02. В [6] (см. также [7]) доказано, что максимум в (2) достигается на функциях 11 (г) € и'а таких, что:

/1 (г) = ехр

2п

-2 / log(1 -

-4)Ч (е“ - Г1)2^^1(^)

')■

|еі4 — Гі|2еі4

где в1 (^) — любая вещественная неубывающая на [0, 2п] функция, с полной вариацией а, удовлетворяющая условию:

2п

(еи — Гі)2^ві(г)

|еі4 — Г і |2еі4

1.

(4)

Обозначим Аі множество всех таких производных // (г) экстремальных функций в задаче (2), которым в их интегральном представлении соответствуют ступенчатые функции ві(^).

Аналогично максимум в (3) достигается на функциях /2 Є и/а, таких, что:

/2 (г) = ехр

2п

2

і(в2-г)) (е“ — Г2)2^в2(г)

|еі4 — Г2І2еі4

где в2 (^) — любая вещественная неубывающая на [0, 2п] функция, с полной вариацией а, удовлетворяющая условию:

2п

(еі4 — Г2)2^в2(^) |еі4 — Г2 |2еі4

1.

(5)

іір.

Обозначим Й2— множество всех таких производных /2 (г) экстремальных функций, которым в их интегральном представлении соответствуют ступенчатые функции в2 (^).

Отметим, что требование ступенчатости функций Д-^) и в (£) в определении классов А- и А при рассмотрении поставленной задачи вполне естественно, поскольку, как доказано в [6], множество функций (1), которым в их интегральном представлении соответствуют ступенчатые функции ^(£), всюду плотно в и'а в топологии равномерной сходимости внутри Д.

Обозначим 1о = А- П А2. Если /о = 0, то функция д(г) € /о будет экстремальной в задаче о нахождении:

для 7 > 0. И мы сможем легко найти максимум в (6).

Из вышесказанного вытекает естественность постановки следующих двух задач.

1) Найти вид экстремальной функции в задаче (6) для произвольного 7 € С.

2) Описать множество /о.

Решению этих задач посвящены нижеприведенные теоремы 1 и 2 соответственно.

В дальнейшем нам понадобятся следующие факты. Рассмотрим класс функций Са:

0(2, £) регулярна в Д по 2, 2п-периодична и непрерывно дифференцируема по £. Класс Оа компактен в топологии равномерной сходимости внутри Д (см. [7]). Пусть $ — дифференцируемый по Фреше функционал. В [7] рассматривалась следующая экстремальная задача:

(6)

2п

^(г) = J 0(2, £) ^(£), ^ € 1а

о

тах Дв{$(у>)}, а € [1, те).

Обозначим

о

экстремальную функцию в этой задаче (она может быть не единственной). Пусть /а(п) € 1а класс п-ступенчатых функций (подкласс 1а кусочно-постоянных функций, имеющих не более п разрывов на промежутке [0, 2п)).

2п

^а(п) = € Оа : <^(г) = J д{х,г) ^.(£),. € /а(п)}.

о

Класс функций Са(п) также как и Оа компактен в топологии равномерной сходмости внутри Д (см. [7]). Наряду с задачей (7) рассматривалась также экстремальная задача

тах Дв{^(^)}, а € [1, те), (8)

^еОа(п)

где п — фиксированное натуральное число.

Пусть максимум в (8) достигается на функции

2п

¥>п(*0 = J д(М) й.„(г).

Из последовательности ^„(г) можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри Д к у>0(.г) € Оа, причем ^о(^) дает решение экстремальной задачи (7) (см. [7]).

В работе [7] было получено, что если ^, ] = 1, ...,к > 3 — точки разрыва функции .„(£) и этим точкам соответствуют 6^- = а^ ^.„(^), 2п + 6к >61 >62 > ... > 6к > 0, то точки разрыва функции .„(£) удовлетворяют уравнениям:

[д(^,^')] с„| |^^П [д(^, )] Си1

(|£^ Ь(М)]- С„|2 )4|*=«,- = 0 для всех j,

(9)

где Ь^п — дифференциал $ в точке .

Теорема 1. Максимум функционала:

- /Р + /2г / € и'.. (10)

где 7 € С фиксированное, достигается на функции /о(^), для которой

/0 (*) = II (1 - )-2“к,

к=1

где Тк —действительные числа, |«11 +1«21 + |«з| = а и « + а2 + аэ| = 1. Доказательство. Так как /(г) € и'а, то по формуле (1):

2п 2п

г/"(^1) [ 2е-г^.(£) ^2/''(^2) / 2е-г^.(£)

f '(zi)

1 — zie

f '(Z2)

1 — Z2e

Тогда функционал (10) примет вид:

2п 2п

^ . I" 2zie-itd^,(t) ^ f 2z2e-itd^,(t)

1 — zi e

1 — Z2e

Следовательно, максимум функционала (10) в Ua равен:

max

f eua

2n

ziY

eJt — zi

+

z2

eJt — z2

) d^(tn : ^(t) e Ia

Обозначим

g(t) = 2

ziY

+

z2

elt — zi elt — z2

(11)

Для решения экстремальной задачи (11) рассмотрим промежуточную экстремальную задачу:

/*2п

max

/e-L a

= max

Re{^ (/ ^(t) dvn(t^| =

/* 2n

Re{F(^)} : f = g(t) dvn(t)

./0

(12)

Роль дифференцируемого по Фреше функционала $ в нашем случае играет $(<£>) = у>. Значит, дифференциал Фреше рассматриваемого функционала равен Ь^п (д(£)) = д(^). Таким образом, для нашего случая имеем:

г < <+ \\ _ 2^7 , 2г2

■V (д&))= е„. - ^ ^ ^ .

Запишем систему (9) для дифференциала Ь^п(д^-)):

2ziY

+

2z2

eitj — zi eitj — z2

, 2ziY + 2z2

elt — zi elt — z2

2zi y

+

2z2

eitk — zi eitk — z2

0.

(13)

2

2

— c

— c

n

n

c

n

t

Перепишем второе уравнение системы в виде:

( 2^17 , 2^2 )( 27^Т , 212 __.А' _0

в’1 — ^1 в’1 — 12 П в-’1 — її в-’1 — 12 П ) г ,

что равносильно уравнению

(Сзе3’1 + С2Є2’1 + Сїе« + Со + Ае-’1)^-’1 — їТ)(е-і4 — ї2)

|е“ — її |2 |е‘ь — 12 |2 ,

^(Езе-3’1 + Е^е-2’1 + Ее-’1 + Е + Сів’1) — (в®4— їїе’1 — п)

| егі — ї1|2|е’1 — 12|2

0,

где С*, Е*, * = 0,1, 2, 3 и Ех, Сх — некоторые комплексные числа, не зависящие от Отсюда получаем:

ае3’1 + бе2’1 + се’1 + йе-3’1 + /е-2’1 + «в-44 + т = 0,

где а, 6, с, й, 1, V, т — также некоторые комплексные числа. Умножим обе части уравнения на е3*1, получим следующее алгебраическое урав-

ае6’1 + бе5’1 + се4’1 + те3’1 + «е2’1 + /е’1 + й = 0.

Следовательно, решений ^ такого уравнения может быть не более 6. А значит, точек разрыва ^ у функции ^„(£) не более 6. Рассмотрим функцию

ад(і)

2її7 12

,

е’1^ — 11 е’1^ — 12

Выберем две соседние точки ^ и ^+1, которые удовлетворяют второму условию из системы (13). В этих точках значения функции совпадают. Тогда, по теореме Ролля, существует точка £* € (^ , ^'+1) такая, что и/(£*) = 0. Поэтому второе уравнение системы может иметь не более трех решений. То есть число точек разрыва у функции ^„(£) не более 3.

Получаем следующий вид экстремальной функции в поставленной задаче:

/0 (ї)_ П (! — 1в-’Тк )-2“к,

к=1

’1

нение относительно е :

— с

п

где аі, а2, аз — скачки функции а Тк — ее точки разрыва. Тео-

рема доказана.

Возвращаемся к исследованию /о. Пусть ц(і) Є /о. Тогда ц = /і Є А і и ц = /2 Є А2.

Обозначим: } — точки разрыва ві(£), а {а^} — ее скачки, тогда

У^ай = а, ай > 0.

Тогда для соответствующего интеграла Стилтьеса получим:

2п

I 1ок(1 - ^-^ (е“ - =

У ^ ) |е« - гі |2^

о

= у^1од(1 _ ^^-‘ь)) (еіік - Гі)2ак 2-^10ё(1 ге ) |е«к - гі|2е»к .

По аналогии обозначим {тк} — точки разрыва в2(^), а {Ьк} — ее скачки. Тогда

У^Ьк = а, Ьй > 0

1og(1 - іег(Є2-4))

_4)) (е“ - Г2)2^^2(^) |егі — Г2 |2 егі

V 1og(1 — іе^-Тк)) (еІТк — ^ Ьй ,

' |е*Тк — Г2|2еіТк ’

причем здесь мощность множества {к}, вообще говоря, не совпадает с мощностью множества точек разрыва функции вь Тогда

ц(і) = /[ (і)

= ехр

—2 (V ^(1 —

_*(01_4к)

(е^к — гі)2ай

|е^^к — г і | 2 е^^к

= /2 (і) = ехр

—2 Х!1^1

V к

іеі(Є2_Тк)) (еІТк — г2)2Ьй

|еІТк — Г2 | 2 еІТк

и

7Г

)

Следовательно,

Е ^(1 - 1вг(

_*к )

Е 1°ё(1 —

„*(02-Тк )

(е»*к - Г1)2ай _ |е**к — г 112 е**к

(е*Тк - г2)26й |е*Тк — г2 |2 е*Тк

(14)

Пусть 1 ^ е-г(01-4к) при фиксированном к. Тогда из (14) вытекает, что к в правой и левой частях этого равенства пробегает одно и то же множество значений, причем для любого к справедливо равенство $1 — £к = $2 — Тк и

(е«к — г 1 )2Ок (е*Тк — Г2)26к

| е**к — Г1 | 2 е*^к | е*Тк — Г2 | 2 е*Тк

Следовательно, для любого к, Як = 6к, $1 — £к :

— Тк и

(е**к — Г1)2

(е*Тк — Г2)2

| е**к — Г1 | 2 е*^к | е*Тк — Г2 | 2 е*Тк

Формулы (4) и (5) примут вид:

Е

(е**к — Г1)2Як

|е*^к — г 1 | 2 е*^к

l, Е

(е*Тк — Г2)26к | е*Тк — г2 |2 е*Тк

1.

(15)

Из (15), в частности, следует, что

(е**к — п)2 ^ (е*Тк — Г2)

Под а^ £ понимаем главное значение аргумента в промежутке (—п, п]. При фиксированном к обозначим: $ = $2 — $1, Тк = т, £к = £. Тогда из (12) вытекает: т = £ + $ и

е« е*(*+0)

аГё (е« — Г1)2 = аг® (е<(‘+в) — г2)2 .

(е*(4+0) — ^2 )2

Можно считать, что ($2 — $1) € (— п, п]. Тогда а^ —т~п------------------—— = $ и

(е** — Г1)2

*(*+0) _

Г2

е** — Г1

, £ € [0, 2п].

(16)

)

)

е

2

$

е

Обозначим:

у>(Ь) = а^

=*(*+0)___

Г2

е** — Г1

1т 1п

=*(*+0) __

Г2

е** — Г1

Эта функция 2п-периодична. Вычислим ее производную:

^'(Ь) = И.е

Г2е** — е*(*+0) Г1

(е*(*+0) — Г2)(е** — Г1) ]

Найдем критические точки функции ^(Ь):

^'(Ь) = Ие

Г2ег* — е*(*+0)Г1

(е*(*+0) — Г2 )(е** — Г1)

тогда и только тогда, когда

И.е{(г2 — г1е*0 )(е- е — (г2 + г1е-*0) + г1г2ег*)} = 0

что равносильно равенству:

{(Г2 — Г1ег0 )(е-*4 е-*0 — Г2 — Г1е-г0 + Г1Г2е*4)} +

+ {(Г2 — Г1е-*0 )(ег4е*0 — Г 2 — пе*0 + г^е-*4)} = 0,

(17)

или

е2г*(г2г1 — г^е*0 + г2е*0 — г1) + е**(2г2 — 2г^) + (г2е-*0 —

—г1 + г1г^ — ^е-*0 г2) = 0.

Получили квадратное уравнение относительно е**. Следовательно, уравнение (17) имеет не более двух корней. А поскольку гладкая 2п-периодическая функция ^(Ь), отличная от тождественной константы, имеет на [0, 2п) максимум и минимум, то (17) имеет единственный максимум и единственный минимум. Поэтому (16) может иметь не более двух корней. Обозначим их Ь' и Ь". Поскольку в этих рассуждениях Ьк, Тк пробегают все точки разрывов функций в1 (Ь) и в2 (Ь), то Ьк может принимать значения или Ь', или Ь", так как решений только два. Таким образом, функции 1о в ее интегральном представлении может соответствовать ступенчатая функция в1 (Ь) (или в2 (Ь)), имеющая только две точки разрыва.

Таким образом, доказана следующая теорема.

0

Теорема 2. Функциям q Є lo в их интегральном представлении

2п

q/(z) = exp[—2 j log(1 — ze-it) d^(t)j o

могут соответствовать только ступенчатые функции ^(t) с двумя точками разрыва.

Resume

Research extremal problem for linear functional in U^ is studied. In particular, a form of extremal function is got.

Список литературы

[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analuyischer Functionen jj Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.

[2] Campbell D. M. Locally univalent functions with locally univalent derivatives jj Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 162.

[3] Годуля Я. Линейно-инвариантные семейства jj Труды ПетрГУ. 1998. Вып. 5. С. 3-96.

[4] Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, sitzungsber jj Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 1916. V. 138. P. 940-955.

[5] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1996. 628 с.

[6] Старков В. В. О некоторых подклассах линейно-инвариантных семейств, имеющих интегральное представление jj Рукопись деп. в ВИНИТИ, є 3341-81.

[7] Старков В. В. О некоторых подклассах линейно-инвариантных семейств, имеющих интегральное представление jj Известия вузов. Серия Математика. 1983. № 5. С. 82-85.

[8] Александров И. А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Томского государственного университета, 2001.

[9] Колмогоров А. П., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: irish [email protected]