Труды Петрозаводского государственного университета
Серия “Математика” Выпуск 17, 2010
УДК 517.54
И. С. Ефремова
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ДВУХ ФУНКЦИОНАЛОВ
В работе исследована экстремальная задача для линейного функционала в классе и'а. В частности, получен вид экстремальной функции.
Понятие линейно-инвариантного семейства было введено Х. Пом-меренке в 1964 г. в работе [1].
Пусть Д = {г : |г| < 1} — единичный круг. Обозначим через £ множество всех конформных автоморфизмов единичного круга Д:
^ = егв г + а , а £ Д, 0 е ^.
1 + га
Определение 1. Множество Ш аналитических в круге Д функций /(г) = г + а2г2 + ... называется линейно-инвариантным семейством (л.-и. с.), если для любой функции /(г) € Ш выполнены условия:
1) /7(г) = 0, для каждого г € Д (локальная однолистность);
2) для любого <р € £ функция
/(У(г)) - /(У(0))
/ '(^(0)М0)
принадлежит классу Ш.
Важной характеристикой является порядок линейно-инвариантного семейства.
Определение 2. Порядком л.-и. с. Ш называется число:
оМШ = яир |а2(/)|.
I еш
© И. С. Ефремова, 2010
Понятие порядка функции было введено Кемпбелом в работе [2]. Пусть /(г) = г + ... локально однолистна и аналитична в Д.
Определение 3. Порядком функции /(г) называется число:
огё / = огё М[/],
где М[/] = {Л^[/(г)] : ^ € £} — л.-и. с., порожденное функцией /.
Определение 4. Универсальным линейно-инвариантным семейством иа порядка а называется объединение всех л.-и. с. М, порядок которых не превосходит а :
иа = У{М : огёМ < а}.
Примеры линейно-инвариантных семейств.
1) Семейство ЬБ всех аналитических и локально однолистных в Д функций /(г) = г + ....
2) Семейство Б С ЬБ однолистных в Д функций; огё Б = 2 [4].
3) Семейство К С Б выпуклых функций (функций из Б, для которых /(Д)- выпуклая область); огёК = 1 [8].
4) Ниже определенное семейство иа является линейно-инвариантным [6, 7]; огё иа = а [6, 7].
1а класс всех комплекснозначных функций ^(£) ограниченной вариации на [0, 2п), удовлетворяющих условию:
2п
2п
0 0 иа класс функций $(г), представимых в виде
ехр
2п
—2 1 log(1 — ее и) й^(£)
(1)
00 где ^(£) € 1а (ветвь логарифма главная).
X и У — два нормированных пространства и ^ — отображение, действующее из X и У. Если отображение ^ в точке ^ допускает разложение
^ (^ + Л.) = ^ (у>) + Ь^(Л-) + о(
то оно называется дифферинцируемым по Фреше в точке ^ Є О. Рассмотрим следующие функционалы:
тах Ие
/ еиа
тах Ие
/ еиа
/"Ы]
//(^і) і /"Ы] №) і
(2)
(3)
где ^1, ^2 — фиксированные точки из Д.
Обозначим: г1 = г1е®01, а^ г1 = 01, г2 = г2в®02, а^ г2 = 02. В [6] (см. также [7]) доказано, что максимум в (2) достигается на функциях 11 (г) € и'а таких, что:
/1 (г) = ехр
2п
-2 / log(1 -
-4)Ч (е“ - Г1)2^^1(^)
')■
|еі4 — Гі|2еі4
где в1 (^) — любая вещественная неубывающая на [0, 2п] функция, с полной вариацией а, удовлетворяющая условию:
2п
(еи — Гі)2^ві(г)
|еі4 — Г і |2еі4
1.
(4)
Обозначим Аі множество всех таких производных // (г) экстремальных функций в задаче (2), которым в их интегральном представлении соответствуют ступенчатые функции ві(^).
Аналогично максимум в (3) достигается на функциях /2 Є и/а, таких, что:
/2 (г) = ехр
2п
2
і(в2-г)) (е“ — Г2)2^в2(г)
|еі4 — Г2І2еі4
где в2 (^) — любая вещественная неубывающая на [0, 2п] функция, с полной вариацией а, удовлетворяющая условию:
2п
(еі4 — Г2)2^в2(^) |еі4 — Г2 |2еі4
1.
(5)
іір.
Обозначим Й2— множество всех таких производных /2 (г) экстремальных функций, которым в их интегральном представлении соответствуют ступенчатые функции в2 (^).
Отметим, что требование ступенчатости функций Д-^) и в (£) в определении классов А- и А при рассмотрении поставленной задачи вполне естественно, поскольку, как доказано в [6], множество функций (1), которым в их интегральном представлении соответствуют ступенчатые функции ^(£), всюду плотно в и'а в топологии равномерной сходимости внутри Д.
Обозначим 1о = А- П А2. Если /о = 0, то функция д(г) € /о будет экстремальной в задаче о нахождении:
для 7 > 0. И мы сможем легко найти максимум в (6).
Из вышесказанного вытекает естественность постановки следующих двух задач.
1) Найти вид экстремальной функции в задаче (6) для произвольного 7 € С.
2) Описать множество /о.
Решению этих задач посвящены нижеприведенные теоремы 1 и 2 соответственно.
В дальнейшем нам понадобятся следующие факты. Рассмотрим класс функций Са:
0(2, £) регулярна в Д по 2, 2п-периодична и непрерывно дифференцируема по £. Класс Оа компактен в топологии равномерной сходимости внутри Д (см. [7]). Пусть $ — дифференцируемый по Фреше функционал. В [7] рассматривалась следующая экстремальная задача:
(6)
2п
^(г) = J 0(2, £) ^(£), ^ € 1а
о
тах Дв{$(у>)}, а € [1, те).
Обозначим
о
экстремальную функцию в этой задаче (она может быть не единственной). Пусть /а(п) € 1а класс п-ступенчатых функций (подкласс 1а кусочно-постоянных функций, имеющих не более п разрывов на промежутке [0, 2п)).
2п
^а(п) = € Оа : <^(г) = J д{х,г) ^.(£),. € /а(п)}.
о
Класс функций Са(п) также как и Оа компактен в топологии равномерной сходмости внутри Д (см. [7]). Наряду с задачей (7) рассматривалась также экстремальная задача
тах Дв{^(^)}, а € [1, те), (8)
^еОа(п)
где п — фиксированное натуральное число.
Пусть максимум в (8) достигается на функции
2п
¥>п(*0 = J д(М) й.„(г).
Из последовательности ^„(г) можно выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри Д к у>0(.г) € Оа, причем ^о(^) дает решение экстремальной задачи (7) (см. [7]).
В работе [7] было получено, что если ^, ] = 1, ...,к > 3 — точки разрыва функции .„(£) и этим точкам соответствуют 6^- = а^ ^.„(^), 2п + 6к >61 >62 > ... > 6к > 0, то точки разрыва функции .„(£) удовлетворяют уравнениям:
[д(^,^')] с„| |^^П [д(^, )] Си1
(|£^ Ь(М)]- С„|2 )4|*=«,- = 0 для всех j,
(9)
где Ь^п — дифференциал $ в точке .
Теорема 1. Максимум функционала:
- /Р + /2г / € и'.. (10)
где 7 € С фиксированное, достигается на функции /о(^), для которой
/0 (*) = II (1 - )-2“к,
к=1
где Тк —действительные числа, |«11 +1«21 + |«з| = а и « + а2 + аэ| = 1. Доказательство. Так как /(г) € и'а, то по формуле (1):
2п 2п
г/"(^1) [ 2е-г^.(£) ^2/''(^2) / 2е-г^.(£)
f '(zi)
1 — zie
f '(Z2)
1 — Z2e
Тогда функционал (10) примет вид:
2п 2п
^ . I" 2zie-itd^,(t) ^ f 2z2e-itd^,(t)
1 — zi e
1 — Z2e
Следовательно, максимум функционала (10) в Ua равен:
max
f eua
2n
ziY
eJt — zi
+
z2
eJt — z2
) d^(tn : ^(t) e Ia
Обозначим
g(t) = 2
ziY
+
z2
elt — zi elt — z2
(11)
Для решения экстремальной задачи (11) рассмотрим промежуточную экстремальную задачу:
/*2п
max
/e-L a
= max
Re{^ (/ ^(t) dvn(t^| =
/* 2n
Re{F(^)} : f = g(t) dvn(t)
./0
(12)
Роль дифференцируемого по Фреше функционала $ в нашем случае играет $(<£>) = у>. Значит, дифференциал Фреше рассматриваемого функционала равен Ь^п (д(£)) = д(^). Таким образом, для нашего случая имеем:
г < <+ \\ _ 2^7 , 2г2
■V (д&))= е„. - ^ ^ ^ .
Запишем систему (9) для дифференциала Ь^п(д^-)):
2ziY
+
2z2
eitj — zi eitj — z2
, 2ziY + 2z2
elt — zi elt — z2
2zi y
+
2z2
eitk — zi eitk — z2
0.
(13)
2
2
— c
— c
n
n
c
n
t
Перепишем второе уравнение системы в виде:
( 2^17 , 2^2 )( 27^Т , 212 __.А' _0
в’1 — ^1 в’1 — 12 П в-’1 — її в-’1 — 12 П ) г ,
что равносильно уравнению
(Сзе3’1 + С2Є2’1 + Сїе« + Со + Ае-’1)^-’1 — їТ)(е-і4 — ї2)
|е“ — її |2 |е‘ь — 12 |2 ,
^(Езе-3’1 + Е^е-2’1 + Ее-’1 + Е + Сів’1) — (в®4— їїе’1 — п)
| егі — ї1|2|е’1 — 12|2
0,
где С*, Е*, * = 0,1, 2, 3 и Ех, Сх — некоторые комплексные числа, не зависящие от Отсюда получаем:
ае3’1 + бе2’1 + се’1 + йе-3’1 + /е-2’1 + «в-44 + т = 0,
где а, 6, с, й, 1, V, т — также некоторые комплексные числа. Умножим обе части уравнения на е3*1, получим следующее алгебраическое урав-
ае6’1 + бе5’1 + се4’1 + те3’1 + «е2’1 + /е’1 + й = 0.
Следовательно, решений ^ такого уравнения может быть не более 6. А значит, точек разрыва ^ у функции ^„(£) не более 6. Рассмотрим функцию
ад(і)
2її7 12
,
е’1^ — 11 е’1^ — 12
Выберем две соседние точки ^ и ^+1, которые удовлетворяют второму условию из системы (13). В этих точках значения функции совпадают. Тогда, по теореме Ролля, существует точка £* € (^ , ^'+1) такая, что и/(£*) = 0. Поэтому второе уравнение системы может иметь не более трех решений. То есть число точек разрыва у функции ^„(£) не более 3.
Получаем следующий вид экстремальной функции в поставленной задаче:
/0 (ї)_ П (! — 1в-’Тк )-2“к,
к=1
’1
нение относительно е :
— с
п
где аі, а2, аз — скачки функции а Тк — ее точки разрыва. Тео-
рема доказана.
Возвращаемся к исследованию /о. Пусть ц(і) Є /о. Тогда ц = /і Є А і и ц = /2 Є А2.
Обозначим: } — точки разрыва ві(£), а {а^} — ее скачки, тогда
У^ай = а, ай > 0.
Тогда для соответствующего интеграла Стилтьеса получим:
2п
I 1ок(1 - ^-^ (е“ - =
У ^ ) |е« - гі |2^
о
= у^1од(1 _ ^^-‘ь)) (еіік - Гі)2ак 2-^10ё(1 ге ) |е«к - гі|2е»к .
По аналогии обозначим {тк} — точки разрыва в2(^), а {Ьк} — ее скачки. Тогда
У^Ьк = а, Ьй > 0
1og(1 - іег(Є2-4))
_4)) (е“ - Г2)2^^2(^) |егі — Г2 |2 егі
V 1og(1 — іе^-Тк)) (еІТк — ^ Ьй ,
' |е*Тк — Г2|2еіТк ’
причем здесь мощность множества {к}, вообще говоря, не совпадает с мощностью множества точек разрыва функции вь Тогда
ц(і) = /[ (і)
= ехр
—2 (V ^(1 —
_*(01_4к)
(е^к — гі)2ай
|е^^к — г і | 2 е^^к
= /2 (і) = ехр
—2 Х!1^1
V к
іеі(Є2_Тк)) (еІТк — г2)2Ьй
|еІТк — Г2 | 2 еІТк
и
7Г
)
Следовательно,
Е ^(1 - 1вг(
_*к )
Е 1°ё(1 —
„*(02-Тк )
(е»*к - Г1)2ай _ |е**к — г 112 е**к
(е*Тк - г2)26й |е*Тк — г2 |2 е*Тк
(14)
Пусть 1 ^ е-г(01-4к) при фиксированном к. Тогда из (14) вытекает, что к в правой и левой частях этого равенства пробегает одно и то же множество значений, причем для любого к справедливо равенство $1 — £к = $2 — Тк и
(е«к — г 1 )2Ок (е*Тк — Г2)26к
| е**к — Г1 | 2 е*^к | е*Тк — Г2 | 2 е*Тк
Следовательно, для любого к, Як = 6к, $1 — £к :
— Тк и
(е**к — Г1)2
(е*Тк — Г2)2
| е**к — Г1 | 2 е*^к | е*Тк — Г2 | 2 е*Тк
Формулы (4) и (5) примут вид:
Е
(е**к — Г1)2Як
|е*^к — г 1 | 2 е*^к
l, Е
(е*Тк — Г2)26к | е*Тк — г2 |2 е*Тк
1.
(15)
Из (15), в частности, следует, что
(е**к — п)2 ^ (е*Тк — Г2)
Под а^ £ понимаем главное значение аргумента в промежутке (—п, п]. При фиксированном к обозначим: $ = $2 — $1, Тк = т, £к = £. Тогда из (12) вытекает: т = £ + $ и
е« е*(*+0)
аГё (е« — Г1)2 = аг® (е<(‘+в) — г2)2 .
(е*(4+0) — ^2 )2
Можно считать, что ($2 — $1) € (— п, п]. Тогда а^ —т~п------------------—— = $ и
(е** — Г1)2
*(*+0) _
Г2
е** — Г1
, £ € [0, 2п].
(16)
)
)
е
2
$
е
Обозначим:
у>(Ь) = а^
=*(*+0)___
Г2
е** — Г1
1т 1п
=*(*+0) __
Г2
е** — Г1
Эта функция 2п-периодична. Вычислим ее производную:
^'(Ь) = И.е
Г2е** — е*(*+0) Г1
(е*(*+0) — Г2)(е** — Г1) ]
Найдем критические точки функции ^(Ь):
^'(Ь) = Ие
Г2ег* — е*(*+0)Г1
(е*(*+0) — Г2 )(е** — Г1)
тогда и только тогда, когда
И.е{(г2 — г1е*0 )(е- е — (г2 + г1е-*0) + г1г2ег*)} = 0
что равносильно равенству:
{(Г2 — Г1ег0 )(е-*4 е-*0 — Г2 — Г1е-г0 + Г1Г2е*4)} +
+ {(Г2 — Г1е-*0 )(ег4е*0 — Г 2 — пе*0 + г^е-*4)} = 0,
(17)
или
е2г*(г2г1 — г^е*0 + г2е*0 — г1) + е**(2г2 — 2г^) + (г2е-*0 —
—г1 + г1г^ — ^е-*0 г2) = 0.
Получили квадратное уравнение относительно е**. Следовательно, уравнение (17) имеет не более двух корней. А поскольку гладкая 2п-периодическая функция ^(Ь), отличная от тождественной константы, имеет на [0, 2п) максимум и минимум, то (17) имеет единственный максимум и единственный минимум. Поэтому (16) может иметь не более двух корней. Обозначим их Ь' и Ь". Поскольку в этих рассуждениях Ьк, Тк пробегают все точки разрывов функций в1 (Ь) и в2 (Ь), то Ьк может принимать значения или Ь', или Ь", так как решений только два. Таким образом, функции 1о в ее интегральном представлении может соответствовать ступенчатая функция в1 (Ь) (или в2 (Ь)), имеющая только две точки разрыва.
Таким образом, доказана следующая теорема.
0
Теорема 2. Функциям q Є lo в их интегральном представлении
2п
q/(z) = exp[—2 j log(1 — ze-it) d^(t)j o
могут соответствовать только ступенчатые функции ^(t) с двумя точками разрыва.
Resume
Research extremal problem for linear functional in U^ is studied. In particular, a form of extremal function is got.
Список литературы
[1] Pommerenke Ch. Linear-invariante Familien analuyischer Functionen jj Math. Ann. 1964. Hf. 155. P. 108-154.
[2] Campbell D. M. Locally univalent functions with locally univalent derivatives jj Trans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 162.
[3] Годуля Я. Линейно-инвариантные семейства jj Труды ПетрГУ. 1998. Вып. 5. С. 3-96.
[4] Bieberbach L. Uber die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln, sitzungsber jj Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 1916. V. 138. P. 940-955.
[5] Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1996. 628 с.
[6] Старков В. В. О некоторых подклассах линейно-инвариантных семейств, имеющих интегральное представление jj Рукопись деп. в ВИНИТИ, є 3341-81.
[7] Старков В. В. О некоторых подклассах линейно-инвариантных семейств, имеющих интегральное представление jj Известия вузов. Серия Математика. 1983. № 5. С. 82-85.
[8] Александров И. А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Томского государственного университета, 2001.
[9] Колмогоров А. П., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
Петрозаводский государственный университет, математический факультет,
185910, Петрозаводск, пр. Ленина, 33 E-mail: irish a@inbox.ru